Kalkulator Panjang Arka Bulatan

Kalkulator Panjang Arka Bulatan mengukur jarak melengkung di sepanjang mana-mana bahagian bulatan, daripada hirisan kecil hingga lilitan lengkap. Ia menerima enam ukuran permulaan yang berbeza, jadi anda boleh menggunakan mana-mana nilai yang sudah ada pada anda. Ikuti langkah-langkah ini untuk mendapat jawapan yang betul dalam masa kurang seminit.

1. Pilih kaedah input. Pilih Jejari, Diameter, Lilitan Bulatan Penuh, Panjang Perentas, Luas Bulatan Penuh, atau Luas Sektor. Medan input, labelnya, dan senarai unitnya berubah mengikut kaedah yang anda pilih.
2. Masukkan ukuran anda. Taip nilainya dalam kotak input. Untuk kaedah luas, gunakan senarai unit kuasa dua (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Masukkan sudut pusat. Taip sudut dalam darjah atau radian menggunakan togol DEG/RAD, atau seret peluncur sudut dari 0° hingga 360°. Rajah langsung dan hasilnya dikemas kini semasa anda menggerakkannya.
4. Tetapkan sudut mula dan sudut akhir jika anda memerlukannya. Sapuan lalai bermula pada 0° dan bergerak lawan arah jam. Tukar sudut mula, sudut akhir, atau arah untuk mengukur arka di mana-mana bahagian bulatan. Sapuan, bukan kedudukan, yang menentukan panjang arka.
5. Pilih unit input dan output. Kalkulator menukar input anda kepada unit dalaman yang konsisten, mengira, kemudian menukar jawapannya kepada unit output anda. Nombor berubah mengikut unit; panjangnya tidak berubah.
6. Pilih ketepatan. Pilih 2, 4, 6, atau 8 tempat perpuluhan. Lalai ialah 4. Kalkulator sentiasa menggunakan π berketepatan penuh secara dalaman dan membundarkan hanya hasil yang dipaparkan.
7. Klik Kira Sekarang. Hasil utama ialah panjang arka yang dipilih, dengan pengelasannya: arka panjang sifar, arka minor, semibulatan, arka major, atau bulatan lengkap. Di bawahnya anda mendapat jejari, diameter, lilitan lengkap, arka pelengkap, panjang perentas, luas sektor, luas segmen bulatan, peratusan arka, kedua-dua bentuk sudut, dan nisbah arka kepada perentas.
8. Terokai rajah. Rajah bulatan langsung melukis bulatan penuh, menyerlahkan arka yang dipilih dengan warna emas, dan menandakan pusat O, garis jejari, perentas, dan titik hujung. Gunakan togol untuk menunjukkan atau menyembunyikan jejari, diameter, perentas, titik pusat, penanda sudut, serta arka minor dan major.
9. Salin, cetak, atau tetapkan semula. Gunakan Salin Keputusan untuk meletakkan jawapan pada papan keratan anda, Cetak Ringkasan untuk laporan ringkas, atau Tetapkan semula untuk mengosongkan panel. Butang pratetap memuatkan contoh yang telah disahkan dengan serta-merta.

Cuba satu contoh. Jejari 5 dengan sudut 60° memberikan arka 5.2359877560 unit. Jejari 8 dengan 90° memberikan 12.5663706144 unit. Jejari 4 dengan 270° memberikan arka major 18.8495559215 unit. Diameter 14 dengan 120° memberikan 14.6607657168 unit. Jejari 10 dengan 180° memberikan arka semibulatan 31.4159265359 unit, dan jejari 6 dengan 360° memberikan lilitan penuh 37.6991118431 unit.

Petua penting. Kekalkan unit sudut yang konsisten: 60° dan 1.0471975512 radian ialah sudut yang sama, tetapi 60 radian bukan 60°. Panjang arka hanyalah jarak melengkung; perentas ialah ukuran yang berbeza dan sentiasa lebih pendek, kecuali bagi arka panjang sifar. Jika anda memasukkan diameter, kalkulator membahagikannya dengan dua untuk mencari jejari terlebih dahulu. Ukuran sifar atau negatif bukan bulatan yang sah, jadi kalkulator menolaknya dan bukannya menunjukkan jawapan yang mengelirukan.

Bulatan ialah set semua titik pada jarak tetap, iaitu jejari, dari titik pusat O. Arka ialah bahagian bulatan yang berterusan antara dua titik padanya. Panjang arka ialah jarak yang anda lalui jika anda berjalan di sepanjang lengkung dari satu titik hujung ke titik hujung yang lain, dengan kekal di atas bulatan sepanjang jalan.

Bayangkan trek larian berbentuk bulatan. Panjang arka ialah jarak di sepanjang lorong antara dua pintu masuk. Garis lurus yang memotong kawasan dalam antara dua pintu masuk yang sama ialah perentas, dan ia lebih pendek. Perbezaannya penting: pelari mengikut lengkung, jadi jarak melengkunglah yang dikira.

Setiap bulatan mempunyai bahagian yang sama, diskalakan mengikut jejarinya. Pusat O ialah titik tetap. Jejari r bermula dari O ke mana-mana titik pada bulatan. Diameter d bermula dari satu sisi ke sisi yang lain melalui O, dan ia sentiasa dua kali ganda jejari. Lilitan C ialah jarak mengelilingi bulatan sepenuhnya, C = 2πr. Sudut pusat θ ialah sudut pada O antara dua jejari yang menuju ke titik hujung arka, dan ia menentukan pecahan lilitan yang diliputi oleh arka itu.

Dua titik pada bulatan sentiasa menghasilkan dua arka: yang lebih pendek, arka minor, dan yang lebih panjang, arka major. Bersama-sama, kedua-duanya membentuk lilitan lengkap. Arka yang anda mahu bergantung pada masalah anda, dan kalkulator menunjukkan kedua-duanya, jadi anda tidak perlu meneka.

Panjang arka ialah ukuran satu dimensi, iaitu panjang, jadi ia dilaporkan dalam unit biasa seperti cm, m, atau inci. Ia bukan luas, dan ia bukan sudut. Membezakan ketiga-tiga kuantiti ini ialah langkah pertama untuk mengira setiap bulatan dengan betul.

Panjang arka bulatan diperoleh terus daripada lilitan bulatan penuh. Lilitan bulatan lengkap ialah:

Sudut pusat mewakili pecahan daripada putaran lengkap 360°. Arka dengan sudut pusat θ meliputi pecahan θ / 360 daripada seluruh bulatan, jadi:

Memudahkan ungkapan itu memberikan bentuk darjah bagi formula:

Apabila sudut diukur dalam radian, formulanya menjadi lebih mudah, kerana radian ditakrifkan oleh jejari itu sendiri:

Setiap simbol dalam formula mempunyai maksud yang tepat:

Kedua-dua bentuk memberikan jawapan yang sama. Gunakan L = πrθ / 180 apabila sudut anda dalam darjah, dan L = rθ apabila ia dalam radian. Kalkulator menukar darjah kepada radian terlebih dahulu dan kemudian menggunakan L = rθ secara dalaman, dan itulah sebabnya kedua-dua mod sentiasa sepadan.

Menggunakan diameter dan bukannya jejari memberikan bentuk kedua bagi formula yang sama. Memandangkan d = 2r, maka r = d / 2, dan menggantikannya memberikan L = dθ / 2 dalam radian, atau L = πdθ / 360 dalam darjah.

Jejari campur sudut pusat ialah cara paling terus untuk mencari panjang arka. Contoh kerja di bawah menggunakan jejari 5 unit dan sudut pusat 60°.

1. Kenal pasti jejari. r = 5 unit.
2. Kenal pasti sudut pusat. θ = 60°.
3. Tukar darjah kepada radian. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radian.
4. Tulis formula panjang arka. L = rθ.
5. Gantikan nilai. L = 5 × π / 3.
6. Kira. L = 5.2359877560 unit.
7. Bundarkan jika perlu. Kepada dua tempat perpuluhan, L = 5.24 unit.

Langkah yang sama berfungsi untuk sebarang jejari dan sudut. Jejari 8 unit dengan 90° memberikan L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unit. Jejari 3 unit dengan 60° memberikan L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 unit. Jejari 1 unit dengan 60° memberikan L = 1.0471975512 unit, yang tepat bersamaan dengan π / 3, satu semakan yang berguna: bagi r = 1, panjang arka bersamaan dengan sudut dalam radian.

Peraturan pembundaran. Bundarkan hanya pada akhir pengiraan. Jika anda menggantikan π dengan 3.14 sebelum mendarab, jejari 5 dengan 60° memberikan 5.2333333333 dan bukannya 5.2359877560, iaitu ralat 0.0026544227. Ralat itu membesar mengikut jejari, jadi kekalkan ketepatan penuh sepanjang pengiraan dan bundarkan hanya hasil akhir yang dipaparkan.

Apabila anda tahu diameter dan bukannya jejari, bahagikannya dengan dua terlebih dahulu, kemudian gunakan formula yang sama. Contoh kerja di bawah menggunakan diameter 14 unit dan sudut pusat 120°.

1. Kenal pasti diameter. d = 14 unit.
2. Cari jejari. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 unit.
3. Kenal pasti sudut pusat. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radian.
4. Tulis formula. L = rθ, atau secara terus L = πdθ / 360.
5. Gantikan. L = 7 × 2.0943951024, atau L = π × 14 × 120 / 360.
6. Kira. L = 14.6607657168 unit.
7. Bundarkan jika perlu. Kepada dua tempat perpuluhan, L = 14.66 unit.

Kedua-dua laluan sepadan dengan tepat, dan ini satu semakan kendiri yang baik. Laluan jejari memberikan 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Laluan diameter memberikan π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Jika kedua-duanya tidak sepadan, diameter tidak dibahagi dua dengan betul.

Contoh lain: diameter 20 unit dengan 180° memberikan r = 10 unit, jadi L = π × 10 = 31.4159265359 unit, iaitu arka semibulatan. Diameter 10 unit dengan 60° memberikan r = 5 unit, jadi L = 5.2359877560 unit. Kesilapan paling biasa dalam pengiraan ini ialah lupa membahagi dua dan menggunakan diameter seolah-olah ia jejari, yang menggandakan jawapan. Bagi d = 14, kesilapan itu memberikan 29.3215314336 dan bukannya 14.6607657168.

Petua mengukur. Diameter selalunya lebih mudah diukur dalam kehidupan sebenar berbanding jejari, kerana anda boleh mengukur terus merentasi bulatan. Itulah sebabnya kalkulator menerima input diameter secara terus: ukur merentasi bulatan, masukkannya, dan kalkulator membahagikannya dengan dua untuk anda.

Darjah ialah unit harian untuk sudut. Bulatan lengkap mengandungi 360°, jadi sudut pusat dalam darjah memberitahu anda secara terus pecahan bulatan penuh yang diliputi oleh arka anda. Sudut 90° meliputi satu perempat bulatan, 180° meliputi separuh, dan 270° meliputi tiga perempat.

Formula darjah ialah L = πrθ / 180, dengan θ dalam darjah. Ia berasal daripada idea pecahan: θ / 360 daripada lilitan 2πr, yang dimudahkan.

Contoh kerja. Jejari 8 unit, sudut 90°.

1. Kenal pasti nilai. r = 8 unit, θ = 90°.
2. Cari pecahan bulatan. 90 / 360 = 1 / 4, suku bulatan.
3. Tulis formula. L = πrθ / 180.
4. Gantikan. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Kira. L = 12.5663706144 unit.
6. Semak dengan lilitan. Lilitan penuh ialah 2π × 8 = 50.2654824574 unit, dan satu perempat daripadanya ialah 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 unit. Kedua-duanya sepadan.

Lebih banyak contoh darjah dengan jejari 5 unit: 30° memberikan L = 2.6179938780 unit, 45° memberikan L = 3.9269908170 unit, 120° memberikan L = 10.4719755120 unit, dan 270° memberikan L = 23.5619449019 unit. Perhatikan bahawa menggandakan sudut menggandakan panjang arka bagi jejari yang sama, kerana panjang arka berkadar terus dengan sudut pusat.

Kesilapan darjah yang biasa. Memasukkan nilai darjah terus ke dalam L = rθ tanpa menukarnya memberikan jawapan yang jauh salah. Bagi r = 5 dan 60°, pengiraan tanpa penukaran memberikan 5 × 60 = 300, tetapi jawapan yang betul ialah 5.2359877560. Formula L = rθ memerlukan radian, jadi sama ada tukar dahulu atau gunakan bentuk darjah L = πrθ / 180.

Radian ialah sudut yang anda peroleh apabila panjang arka bersamaan dengan jejari. Jika anda membalut seutas tali yang panjangnya sama dengan jejari mengelilingi bulatan, sudut yang dicakupnya pada pusat ialah tepat 1 radian. Bulatan lengkap mengandungi 2π radian, kira-kira 6.2831853072 radian, kerana lilitan penuh ialah 2πr dan membahagikannya dengan r meninggalkan 2π.

Formula radian ialah L = rθ, formula panjang arka yang paling mudah. Ia tidak mempunyai π di dalamnya, kerana π sudah ada di dalam ukuran radian bagi sudut itu.

Contoh kerja. Jejari 5 unit, sudut π / 3 radian (iaitu 60°).

1. Kenal pasti nilai. r = 5 unit, θ = π / 3 = 1.0471975512 radian.
2. Tulis formula. L = rθ.
3. Gantikan. L = 5 × 1.0471975512.
4. Kira. L = 5.2359877560 unit.
5. Semak dengan darjah. π / 3 radian ialah 60°, dan formula darjah memberikan L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 unit. Kedua-duanya sepadan dengan tepat.

Lebih banyak contoh radian: jejari 4 unit dengan θ = π / 2 radian memberikan L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 unit. Jejari 6 unit dengan θ = π / 4 radian memberikan L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 unit. Jejari 10 unit dengan θ = π radian memberikan L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 unit, iaitu arka semibulatan.

Mengapa radian diutamakan dalam matematik. Formula kalkulus untuk panjang arka, dan formula untuk perentas, sektor, dan luas segmen pada halaman ini, semuanya menggunakan radian. Darjah sesuai untuk ukuran harian, tetapi radian menjadikan matematiknya kemas, dan itulah sebabnya kalkulator menukar setiap sudut kepada radian sebelum ia mengira.

Dua titik pada bulatan membahagikannya kepada dua arka. Yang lebih pendek ialah arka minor, dan yang lebih panjang ialah arka major. Kedua-duanya berkongsi titik hujung yang sama, dan bersama-sama membentuk lilitan lengkap.

Sudut pusat menentukan yang mana satu. Sudut pusat di bawah 180° memberikan arka minor. Sudut pusat melebihi 180° memberikan arka major. Tepat 180° memberikan semibulatan, yang bukan minor mahupun major: kedua-dua arka adalah sama.

Minor dan major adalah pelengkap. Bagi sudut pusat yang lebih kecil θ, arka minor ialah Lminor = rθ dan arka major ialah Lmajor = r(2π - θ). Jumlahnya sentiasa lilitan lengkap:

Contoh kerja. Jejari 5 unit, sudut yang lebih kecil 60°. Arka minor ialah L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unit. Arka major menggunakan sudut refleks 360° - 60° = 300°, jadi L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 unit. Jumlahnya ialah 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 unit, yang tepat bersamaan dengan lilitan 2π × 5. Arka minor ialah 16.67% daripada bulatan dan arka major ialah 83.33%.

Contoh lain. Jejari 4 unit, sudut 270°. Ini sudah pun arka major: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 unit. Arka minor pelengkapnya menggunakan 90°: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 unit. Jumlahnya ialah 25.1327412287 unit, lilitan penuh 2π × 4.

Jangan kelirukan kedua-dua sudut. Kesilapan minor/major yang paling biasa ialah menggunakan sudut yang lebih kecil apabila masalah meminta arka major, atau sebaliknya. Sentiasa semak sama ada sudut yang diberikan kepada anda ialah sudut yang lebih kecil atau sudut refleks, dan ingat bahawa kalkulator menunjukkan kedua-dua arka bersebelahan supaya anda boleh memilih arka yang diperlukan oleh masalah anda.

Panjang arka dan panjang perentas kedua-duanya menghubungkan dua titik yang sama pada bulatan, tetapi melalui laluan yang berbeza. Arka mengikut lengkung. Perentas memotong terus merentasinya. Arka hampir selalu lebih panjang.

Formula menunjukkan perbezaannya dengan jelas:

Perentas bergantung pada sinus separuh sudut, yang membesar lebih perlahan daripada sudut itu sendiri, jadi jurang antara arka dan perentas melebar apabila sudut membesar.

Tiga fakta daripada jadual ini wajar diingati. Pada 30°, arka hanya kira-kira 1.15% lebih panjang daripada perentas, jadi bagi sudut kecil kedua-duanya hampir sama. Pada 180°, perentas ialah diameter, 10 unit, manakala arka ialah πr = 15.7079632679 unit. Pada 270°, perentas mengecil semula kepada 7.0710678119 unit, sama seperti pada 90°, kerana perentas bergantung pada sudut yang lebih kecil antara titik hujung, manakala arka terus membesar mengikut sapuan.

Kes khas. Pada 60°, perentas bersamaan tepat dengan jejari: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Bagi r = 5, perentas ialah 5 unit, dan jejari, perentas, serta dua jejari membentuk segi tiga sama sisi. Ini satu semakan yang berguna dan kegemaran penggubal soalan peperiksaan.

Mengapa ia penting. Jika anda memotong paip melengkung, anda memerlukan panjang arka. Jika anda mengukur jurang lurus antara dua titik pada bahagian bulatan, anda memerlukan perentas. Mencampurkan kedua-duanya ialah salah satu kesilapan bulatan yang paling biasa, dan kalkulator menunjukkan kedua-dua nilai bersama-sama supaya perbezaannya sentiasa kelihatan.

Panjang arka dan luas sektor kedengaran serupa, tetapi mengukur perkara yang berbeza. Panjang arka ialah jarak melengkung satu dimensi, diukur dalam unit biasa. Luas sektor ialah kawasan dua dimensi, iaitu baji bulatan yang dipotong oleh dua jejari dan arka, diukur dalam unit persegi.

Formulanya kelihatan serupa, dan itulah sebabnya kedua-duanya sering dikelirukan:

Luas sektor ialah panjang arka didarab dengan separuh jejari: A = ½ × r × L. Hubungan itu satu semakan yang berguna. Bagi jejari 5 unit dan 60°, arkanya ialah 5.2359877560 unit, dan luas sektornya ialah ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 unit persegi.

Unit ialah petunjuknya. Jika jawapan anda sepatutnya panjang, unitnya ialah cm, m, atau inci. Jika ia sepatutnya luas, unitnya ialah cm², m², atau inci persegi. Jawapan panjang arka dalam unit persegi, atau jawapan luas sektor dalam unit biasa, sudah tentu salah. Kalkulator memisahkan kedua-duanya dan melabelkan unit dengan jelas.

Semakan bulatan penuh. Pada 360°, sektor ialah seluruh bulatan, jadi luas sektor mestilah bersamaan dengan πr². Bagi r = 6, π × 36 = 113.0973355292 unit persegi. Arka pada masa yang sama ialah lilitan penuh, 37.6991118431 unit. Kedua-duanya berasal daripada jejari dan sudut yang sama, tetapi menjawab soalan yang berbeza.

Segmen bulatan ialah kawasan yang dikelilingi oleh arka dan perentasnya. Bayangkan hirisan bulatan yang dipotong oleh garis lurus: tepi melengkung ialah arka, tepi lurus ialah perentas, dan luas antara kedua-duanya ialah segmen. Ia lebih kecil daripada sektor, kerana sektor juga merangkumi segi tiga yang dibentuk oleh dua jejari dan perentas.

Luas segmen ialah luas sektor ditolak luas segi tiga antara dua jejari dan perentas:

Di sini θ ialah sapuan pusat dalam radian, antara 0 dan 2π. Formula ini mengendalikan segmen minor dan major dengan betul: bagi arka minor ia memberikan penutup kecil, dan bagi arka major ia memberikan kawasan besar yang meliputi sebahagian besar bulatan.

Contoh kerja. Bagi r = 5 unit dan 60°, luas sektor ialah 13.0899693900 unit persegi dan luas segmen ialah ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 unit persegi. Segmen jauh lebih kecil daripada sektor, kerana segi tiga mengambil sebahagian besar baji itu. Bagi r = 5 dan 90°, segmen ialah 7.1349540849 unit persegi. Bagi r = 8 dan 90°, segmen ialah 18.2654824574 unit persegi.

Kes khas. Pada 180°, sin θ = 0, jadi luas segmen bersamaan dengan luas sektor: ½ πr². Bagi r = 5, kedua-duanya ialah 39.2699081699 unit persegi, iaitu tepat separuh bulatan. Pada 270°, sin θ = -1, jadi segmen lebih besar daripada sektor: bagi r = 5, sektor ialah 58.9048622548 unit persegi dan segmen ialah 71.4048622548 unit persegi. Pada 360°, perentas hilang dan segmen ialah seluruh bulatan, πr².

Segmen lawan sektor, dalam satu ayat. Sektor ialah baji dari pusat. Segmen ialah penutup di luar perentas. Jika masalah anda melibatkan pusat, anda mahukan sektor. Jika ia hanya melibatkan arka dan perentasnya, anda mahukan segmen.

Darjah dan radian ialah dua unit untuk perkara yang sama, iaitu sudut. Darjah membahagikan satu pusingan penuh kepada 360 bahagian yang sama. Radian mengukur sudut mengikut arka yang dipotongnya, dalam unit jejari. Kedua-duanya dihubungkan oleh satu penukaran: π radian bersamaan dengan 180°.

Formula penukaran ialah:

Penukaran kerja. 120° dalam radian ialah 120 × π / 180 = 2.0943951024 radian. 45° ialah 45 × π / 180 = 0.7853981634 radian. Sebaliknya, 1 radian ialah 1 × 180 / π = 57.2957795131°, dan 2 radian ialah 114.5915590262°. Nilai terakhir itu berguna: arka menjadi lebih panjang daripada diameter tepat apabila sudut melepasi 2 radian.

Unit mana yang patut anda gunakan? Gunakan darjah apabila masalah memberikan darjah, dan radian apabila ia memberikan radian. Kalkulator menerima kedua-duanya, dan togol DEG/RAD menukar sudut anda tanpa mengubah arka. Untuk pengiraan tangan, darjah sesuai dengan bentuk pecahan L = πrθ / 180, manakala radian sesuai dengan bentuk ringkas L = rθ. Walau bagaimanapun, jangan sekali-kali mencampurkan kedua-duanya dalam satu formula.

Kadang-kadang jejari mahupun diameter tidak diberikan. Kalkulator bekerja secara songsang daripada empat ukuran lain dengan menerbitkan jejari terlebih dahulu, kemudian menggunakan L = rθ seperti biasa. Keenam-enam kaedah memberikan jejari yang sama dan panjang arka yang sama bagi bulatan yang sama, jadi anda boleh menggunakan mana-mana ukuran yang benar-benar ada pada anda.

Daripada lilitan bulatan penuh. Lilitan penuh ialah C = 2πr, jadi r = C / (2π). Bagi C = 31.4159265359 unit, r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 unit. Kemudian arka 60° ialah L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unit. Perhatikan jalan pintasnya: arka 60° ialah satu perenam lilitan, dan 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 unit.

Daripada panjang perentas. Formula perentas ialah c = 2r sin(θ / 2), jadi r = c / [2 sin(θ / 2)]. Bagi perentas 5 unit dengan sudut 60°, r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 unit. Kemudian L = 5.2359877560 unit. Input perentas hanya berfungsi apabila sudut berada antara 0° dan 360° dengan ketat: pada 0° atau 360° perentasnya ialah sifar dan tiada jejari dapat diperoleh semula, jadi kalkulator menolak sudut tersebut bagi kaedah ini.

Daripada luas bulatan penuh. Luas bulatan penuh ialah A = πr², jadi r = √(A / π). Bagi A = 78.5398163397 unit persegi, r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 unit. Kemudian arka 60° ialah L = 5.2359877560 unit. Anda boleh mengesahkan jejari dengan memasukkannya semula ke dalam formula luas: π × 25 = 78.5398163397 unit persegi.

Daripada luas sektor. Luas sektor ialah A = ½r²θ, jadi r = √(2A / θ) dengan θ dalam radian. Bagi luas sektor 13.0899693900 unit persegi dengan sudut 60°, θ = 1.0471975512 radian, jadi r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 unit. Kemudian L = 5.2359877560 unit. Kaedah ini memerlukan sudut serta luas, kerana luas sektor yang sama boleh datang daripada banyak gabungan jejari dan sudut.

Input mana yang hendak digunakan. Gunakan mana-mana ukuran yang benar-benar ada pada anda. Jika dua ukuran berbeza memberikan jejari yang berbeza, salah satu ukuran itu salah, dan percanggahan itu wajar disiasat sebelum mempercayai mana-mana jawapan.

Panjang arka bukan latihan bilik darjah yang abstrak. Di mana-mana sahaja jarak melengkung pada bulatan perlu diukur, dipotong, dibina, atau dilalui, formula yang sama digunakan.

Kejuruteraan dan pembuatan. Pembengkokan paip bermula dengan panjang arka: paip yang dibengkokkan melalui 90° dengan jejari bengkokan 8 unit memerlukan 12.5663706144 unit paip untuk bengkokan itu sahaja. Logam kepingan yang digulung menjadi panel melengkung, profil gigi gear, dan bentuk sesondol semuanya memerlukan panjang melengkung sebelum bahan dipotong. Jika tersilap, bahan terbazir atau bahagian menjadi pendek.

Seni bina dan pembinaan. Pintu masuk berkubah, tingkap bulat, kubah, dan tangga melengkung diukur mengikut arkanya. Gerbang separuh bulatan dengan jejari 10 unit memerlukan 31.4159265359 unit kemasan di sepanjang lengkung. Pesanan tepi untuk batas taman bulat memerlukan arka bagi sisi melengkung dan diameter bagi sisi lurus, dan kedua-duanya nombor yang berbeza.

Jalan raya dan trek. Lengkung jalan bulat, selekoh trek larian, atau lengkung landasan kereta api dirancang mengikut jejari dan sudut pusat. Panjang lengkung menentukan jumlah asfalt, panjang rel, dan jarak yang dilalui kenderaan melalui selekoh itu. Lengkung 120° dengan jejari 7 unit panjangnya 14.6607657168 unit.

Jam, roda, dan robotik. Jarum jam menyapu arka semasa masa berlalu. Roda yang bergolek di atas tanah meliputi jarak yang sama dengan arka yang dilaluinya. Lengan robot yang berputar pada sendi menggerakkan pencengkamnya di sepanjang arka bulatan, dan jarak yang dilaluinya ialah rθ, dan itulah sebabnya radian ialah unit semula jadi dalam robotik.

Grafik komputer dan CAD. Lengkung dalam model CAD, fon, dan animasi dibina daripada arka bulatan. Panjang arka menentukan cara laluan alat dibahagikan, cara lengkung dipaparkan, dan sejauh mana objek bergerak di sepanjang laluan bulatan dalam animasi.

Nota tentang bentuk sebenar. Bukan setiap struktur melengkung ialah bulatan sempurna. Gerbang sebenar boleh berbentuk elips atau parabola, dan jalan sebenar menggunakan peralihan klotoid. Formula bulatan pada halaman ini digunakan dengan tepat apabila lengkung itu arka bulatan yang benar, dan ia hanya penghampiran yang baik apabila lengkung itu hampir bulatan. Sentiasa sahkan bentuknya sebelum menggunakan formula.

Kebanyakan jawapan salah bagi panjang arka bulatan berpunca daripada senarai kecil kesilapan. Menyemak setiap satunya mengambil masa beberapa saat dan menyelamatkan kebanyakan kesilapan.

1. Menggunakan diameter dan bukannya jejari. Formula memerlukan r, bukan d. Menggunakan d = 14 sebagai jejari menggandakan jawapan: 29.3215314336 dan bukannya 14.6607657168 bagi arka 120°. Bahagikan diameter dengan dua terlebih dahulu.
2. Lupa menukar darjah kepada radian. L = rθ memerlukan radian. Memasukkan 60° terus memberikan 5 × 60 = 300 dan bukannya 5.2359877560. Tukar dahulu, atau gunakan L = πrθ / 180.
3. Mengelirukan sudut pusat dengan sudut tertera. Sudut tertera ialah separuh sudut pusat yang mencakup arka yang sama. Jika masalah memberikan sudut tertera φ, sudut pusat ialah θ = 2φ, dan arkanya ialah L = r × 2φ. Menggunakan φ secara terus mengurangkan jawapan kepada separuh.
4. Mencampurkan arka major dan minor. Sudut 270° memberikan arka major 18.8495559215 unit bagi r = 4. Menggunakan sudut yang lebih kecil 90° pula memberikan 6.2831853072 unit, iaitu arka minor. Semak arka yang diminta oleh masalah.
5. Mengelirukan panjang arka dengan panjang perentas. Perentas ialah garis lurus, sentiasa lebih pendek daripada arka. Bagi r = 5 dan 180°, perentas ialah 10 unit dan arka ialah 15.7079632679 unit. Kedua-duanya sama hanya dalam kes had panjang sifar.
6. Mengelirukan luas sektor dengan panjang arka. Luas sektor ialah kawasan dua dimensi dalam unit persegi. Panjang arka ialah jarak satu dimensi dalam unit biasa. Bagi r = 5 dan 60°, luas sektor ialah 13.0899693900 unit persegi dan arkanya ialah 5.2359877560 unit. Kuantiti berbeza, unit berbeza.
7. Menggunakan unit ukuran yang salah. Jejari dalam cm dan sudut dalam darjah tidak menjadi masalah, tetapi jawapannya keluar dalam cm. Mencampurkan cm dan inci dalam satu pengiraan, atau lupa menukar unit output, memberikan nombor dengan saiz yang salah. Tukar dahulu, kira kemudian.
8. Membundarkan π terlalu awal. Menggantikan π dengan 3.14 sebelum mendarab menimbulkan ralat yang membesar mengikut jejari. Kekalkan π berketepatan penuh sepanjang pengiraan dan bundarkan hanya hasil akhir yang dipaparkan.
9. Lupa bahawa bulatan penuh mewakili 360°. Sudut 360° ialah lilitan lengkap, 2πr, bukan sifar. Sudut 0° ialah arka panjang sifar. Kedua-duanya kelihatan serupa pada rajah, kerana titik hujungnya bertemu, tetapi panjang arkanya berbeza sejauh mungkin.
10. Menggunakan selang sudut yang salah. Formula panjang arka bagi bulatan mengandaikan sapuan antara 0° dan 360°. Sudut 450° bukan sapuan tunggal yang sah pada satu bulatan: ia satu pusingan penuh campur 90°, dan arka bagi satu bulatan ialah baki 90°, iaitu 12.5663706144 unit bagi r = 8.

Semakan akhir yang menangkap kebanyakan kesilapan ini. Sahkan hasilnya dengan lilitan. Arka mestilah antara 0 dan 2πr, ia mestilah lebih panjang daripada perentas, dan arka minor campur arka major mestilah tepat bersamaan dengan 2πr. Jika mana-mana semakan itu gagal, salah satu daripada sepuluh kesilapan di atas ialah puncanya.

Enam contoh ini merangkumi kaedah input utama kalkulator dan jenis arka. Setiap satunya dikira oleh enjin yang sama yang menggerakkan alat ini, dan setiap hasil telah disahkan secara bebas.

Contoh 1: Arka minor dengan jejari 5 dan 60°. Diberi r = 5 unit, θ = 60° = π / 3 radian. Panjang arka L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unit. Diameter d = 10 unit. Perentas c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 unit. Luas sektor A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 unit persegi. Lilitan lengkap C = 31.4159265359 unit.

Contoh 2: Arka suku bulatan dengan jejari 8 dan 90°. Diberi r = 8 unit, θ = 90° = π / 2 radian. Panjang arka L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unit. Perentas c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 unit. Luas sektor A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 unit persegi. Arka itu tepat satu perempat daripada lilitan 50.2654824574 unit.

Contoh 3: Arka major dengan jejari 4 dan 270°. Diberi r = 4 unit, θ = 270° = 3π / 2 radian. Panjang arka L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 unit. Perentas c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 unit. Luas sektor A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 unit persegi. Arka minor pelengkap, menggunakan 90°, ialah 6.2831853072 unit. Kedua-dua arka berjumlah 25.1327412287 unit, iaitu lilitan penuh.

Contoh 4: Arka daripada diameter 14 dan 120°. Diberi d = 14 unit, θ = 120° = 2π / 3 radian. Jejari r = 14 / 2 = 7 unit. Panjang arka L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 unit. Perentas c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 unit. Luas sektor A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 unit persegi. Luas segmen ialah 30.0950576159 unit persegi.

Contoh 5: Semibulatan dengan jejari 10 dan 180°. Diberi r = 10 unit, θ = 180° = π radian. Panjang arka L = 10 × π = 31.4159265359 unit. Perentas c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 unit, iaitu diameter. Luas sektor A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 unit persegi, tepat separuh luas bulatan penuh. Arka itu π / 2 kali ganda diameter, kira-kira 57.08% lebih panjang daripada garis lurus yang merentasinya.

Contoh 6: Bulatan penuh dengan jejari 6 dan 360°. Diberi r = 6 unit, θ = 360° = 2π radian. Panjang arka L = 6 × 2π = 37.6991118431 unit, iaitu lilitan lengkap. Perentas c = 0, kerana titik hujungnya bertemu. Luas sektor A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 unit persegi, iaitu luas bulatan penuh. Peratusan arka ialah 100%.

Klik mana-mana butang pratetap dalam kalkulator untuk memuatkan salah satu contoh ini dan melihat penyelesaian langkah demi langkah yang penuh, rajah langsung, dan semua hasil sekunder bagi input itu.