円弧長計算機

円弧長計算機は、円の一部分の小さな弧から完全な円周まで、円に沿った曲線の距離を測ります。6種類の異なる出発点の測定値に対応しているので、すでにお持ちの値のどれを使っても計算できます。次の手順に従えば、1分以内に正しい答えが得られます。

1. 入力方法を選びます。半径、直径、円全体の円周、弦の長さ、円全体の面積、扇形の面積のいずれかを選びます。入力欄、そのラベル、単位のリストが、選んだ方法に合わせて変わります。
2. 測定値を入力します。入力欄に値を入力します。面積を使う方法では、2乗単位のリスト(mm²、cm²、m²、km²、in²、ft²、yd²)を使います。
3. 中心角を入力します。DEG/RADトグルで度またはラジアンを選び、角度を入力するか、0°から360°までの角度スライダーをドラッグします。動かすとライブの図と結果が更新されます。
4. 必要であれば開始角と終了角を設定します。既定の掃引は0°から始まり、反時計回りに進みます。開始角、終了角、方向を変更すると、円上のどこでも弧を測ることができます。弧長を決めるのは位置ではなく掃引です。
5. 入力単位と出力単位を選びます。計算機は入力を一貫した内部単位に変換し、計算してから、答えを出力単位に変換します。単位によって数値は変わりますが、長さは変わりません。
6. 精度を選びます。小数点以下2桁、4桁、6桁、8桁から選びます。既定は4桁です。計算機は内部では常に完全な精度のπを使い、表示する結果だけを丸めます。
7. 今すぐ計算をクリックします。主な結果は選択した弧の長さで、その分類、すなわち長さゼロの弧、劣弧、半円、優弧、完全な円も表示されます。その下には、半径、直径、完全な円周、補弧、弦の長さ、扇形の面積、円の弓形の面積、弧の割合、角度の度表示とラジアン表示、弧と弦の比が表示されます。
8. 図を調べます。ライブの円の図は完全な円を描き、選択した弧を金色で強調し、中心O、半径の線、弦、端点を示します。トグルを使って、半径、直径、弦、中心点、角度マーカー、劣弧と優弧の表示と非表示を切り替えることができます。
9. コピー、印刷、リセットをします。結果をコピーを使うと答えをクリップボードに置けます。概要を印刷では簡単なレポートを印刷でき、リセットではパネルをクリアできます。プリセットボタンを使うと、検証済みの例をすぐに読み込めます。

例を試してみましょう。半径5で角度60°の弧は5.2359877560単位です。半径8で90°の弧は12.5663706144単位です。半径4で270°の優弧は18.8495559215単位です。直径14で120°の弧は14.6607657168単位です。半径10で180°の弧は半円の弧で31.4159265359単位、半径6で360°の弧は完全な円周で37.6991118431単位です。

重要なヒント。角度の単位を一貫させましょう。60°と1.0471975512ラジアンは同じ角度ですが、60ラジアンは60°ではありません。弧長は曲線の距離だけです。弦は別の測定値で、長さゼロの弧を除き、常に短くなります。直径を入力すると、計算機はまず直径を半分にして半径を求めます。ゼロまたは負の測定値は有効な円ではないため、計算機は誤解を招く答えを表示する代わりにそれを拒否します。

円とは、中心点Oから一定の距離、すなわち半径だけ離れたすべての点の集合です。弧とは、円上の2点の間にある円の連続した一部分です。弧長とは、円の上をずっとたどりながら、一方の端点から他方の端点まで曲線に沿って歩いたときの距離です。

円形のランニングトラックを想像してください。弧長とは、2つのゲートの間のレーンに沿った距離です。同じ2つのゲートの間を内側のフィールドを横切って結ぶ直線は弦で、短くなります。この違いは重要です。走者は曲線に沿って走るので、数えるべきは曲線の距離です。

すべての円は、半径によって大きさが変わるだけで、同じ部分を持っています。中心Oは固定された点です。半径rはOから円上の任意の点まで伸びます。直径dはOを通って一方の側から他方の側まで伸び、常に半径の2倍です。円周Cは円を1周する距離で、C = 2πrです。中心角θは、弧の端点へ伸びる2本の半径の間のOにおける角度で、弧が円周のどれだけの割合を占めるかを決めます。

円上の2点は常に2つの弧を作ります。短い方が劣弧、長い方が優弧です。合わせて完全な円周になります。どちらが必要かは問題によって決まります。計算機は両方を表示するので、推測する必要はありません。

弧長は1次元の測定値、すなわち長さなので、cm、m、インチなどの普通の単位で表されます。面積でも角度でもありません。この3つの量を区別することが、すべての円の計算を正しく行う第一歩です。

円の弧長は、完全な円の円周から直接得られます。完全な円の円周は次のとおりです。

中心角は、360°の完全な回転のうちの割合を表します。中心角θの弧は、円全体のθ / 360の割合を占めるので、次のようになります。

これを整理すると、度単位の公式が得られます。

角度をラジアンで測ると、公式はさらに単純になります。ラジアンは半径そのものによって定義されるからです。

公式の各記号には正確な意味があります。

どちらの形でも同じ答えが得られます。角度が度単位のときはL = πrθ / 180を使い、ラジアン単位のときはL = rθを使います。計算機はまず度をラジアンに変換してから、内部ではL = rθを使うため、2つのモードは常に一致します。

半径の代わりに直径を使うと、同じ公式の別の形が得られます。d = 2rなので、r = d / 2であり、代入すると、ラジアンではL = dθ / 2、度ではL = πdθ / 360となります。

半径と中心角を使う方法は、弧長を求める最も直接的な方法です。以下の計算例では、半径5単位、中心角60°を使います。

1. 半径を確認します。r = 5単位です。
2. 中心角を確認します。θ = 60°です。
3. 度をラジアンに変換します。θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512ラジアンです。
4. 弧長の公式を書きます。L = rθです。
5. 値を代入します。L = 5 × π / 3です。
6. 計算します。L = 5.2359877560単位です。
7. 必要に応じて丸めます。小数点以下2桁にすると、L = 5.24単位です。

同じ手順は、どのような半径と角度にも使えます。半径8単位で90°の場合、L = 8 × π / 2 = 12.5663706144単位です。半径3単位で60°の場合、L = 3 × π / 3 = 3.1415926536単位です。半径1単位で60°の場合、L = 1.0471975512単位で、これはちょうどπ / 3であり、便利な確認方法です。r = 1の場合、弧長はラジアン単位の角度に等しくなります。

丸めの規則。丸めるのは最後だけにします。掛ける前にπを3.14に置き換えると、半径5で60°の場合、5.2359877560ではなく5.2333333333となり、0.0026544227の誤差が生じます。この誤差は半径とともに大きくなるので、計算の間は完全な精度を保ち、最後に表示する結果だけを丸めます。

半径の代わりに直径が分かっている場合は、まず直径を半分にしてから、同じ公式を適用します。以下の計算例では、直径14単位、中心角120°を使います。

1. 直径を確認します。d = 14単位です。
2. 半径を求めます。r = d / 2 = 14 / 2 = 7単位です。
3. 中心角を確認します。θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024ラジアンです。
4. 公式を書きます。L = rθ、または直接L = πdθ / 360です。
5. 代入します。L = 7 × 2.0943951024、またはL = π × 14 × 120 / 360です。
6. 計算します。L = 14.6607657168単位です。
7. 必要に応じて丸めます。小数点以下2桁にすると、L = 14.66単位です。

どちらの方法でも答えは完全に一致します。これは良い自己確認になります。半径を使う方法では、7 × 2.0943951024 = 14.6607657168となります。直径を使う方法では、π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168となります。2つが一致しない場合、直径が正しく半分にされていません。

別の例です。直径20単位で180°の場合、r = 10単位なので、L = π × 10 = 31.4159265359単位で、半円の弧です。直径10単位で60°の場合、r = 5単位なので、L = 5.2359877560単位です。この計算で最も多い間違いは、2で割ることを忘れて、直径を半径であるかのように使うことです。答えが2倍になってしまいます。d = 14の場合、その間違いでは14.6607657168ではなく29.3215314336となります。

測定のヒント。直径は、円をまっすぐ横切って測れるため、実際の生活では半径よりも測りやすいことがよくあります。だからこそ、計算機は直径の入力を直接受け付けます。横切って測って入力すれば、計算機が半分にしてくれます。

度は角度の日常的な単位です。完全な円には360°が含まれているので、度単位の中心角は、弧が完全な円のどれだけの割合を占めるかを直接教えてくれます。90°の角度は円の4分の1、180°は2分の1、270°は4分の3を占めます。

度単位の公式はL = πrθ / 180で、ここでθは度単位です。これは割合の考え方から来ています。円周2πrのうちθ / 360の割合を整理したものです。

計算例。半径8単位、角度90°です。

1. 値を確認します。r = 8単位、θ = 90°です。
2. 円の割合を求めます。90 / 360 = 1 / 4で、4分の1の円です。
3. 公式を書きます。L = πrθ / 180です。
4. 代入します。L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2です。
5. 計算します。L = 12.5663706144単位です。
6. 円周と照らして確認します。完全な円周は2π × 8 = 50.2654824574単位で、その4分の1は50.2654824574 / 4 = 12.5663706144単位です。2つは一致します。

半径5単位の場合の度単位の例をさらに挙げます。30°ではL = 2.6179938780単位、45°ではL = 3.9269908170単位、120°ではL = 10.4719755120単位、270°ではL = 23.5619449019単位です。同じ半径では角度を2倍にすると弧長も2倍になることに注目してください。弧長は中心角に正比例するからです。

よくある度単位の間違い。度単位の値を変換せずにL = rθにそのまま入れると、大きく間違った答えになります。r = 5で60°の場合、変換しない計算では5 × 60 = 300となりますが、正しい答えは5.2359877560です。公式L = rθにはラジアンが必要なので、先に変換するか、度単位の形L = πrθ / 180を使います。

ラジアンとは、弧長が半径に等しくなるときに得られる角度です。半径に等しい長さのひもを円に巻き付けると、中心における角度はちょうど1ラジアンになります。完全な円には約6.2831853072ラジアン、すなわち2πラジアンが含まれます。完全な円周は2πrであり、rで割ると2πが残るからです。

ラジアン単位の公式はL = rθで、最も単純な弧長の公式です。πは含まれていません。πはすでに角度のラジアン単位の測定値の中に入っているからです。

計算例。半径5単位、角度π / 3ラジアン(60°に相当)です。

1. 値を確認します。r = 5単位、θ = π / 3 = 1.0471975512ラジアンです。
2. 公式を書きます。L = rθです。
3. 代入します。L = 5 × 1.0471975512です。
4. 計算します。L = 5.2359877560単位です。
5. 度単位と照らして確認します。π / 3ラジアンは60°であり、度単位の公式ではL = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560単位となります。2つは完全に一致します。

ラジアン単位の例をさらに挙げます。半径4単位でθ = π / 2ラジアンの場合、L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072単位です。半径6単位でθ = π / 4ラジアンの場合、L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804単位です。半径10単位でθ = πラジアンの場合、L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359単位で、半円の弧です。

数学でラジアンが好まれる理由。弧長、弦、扇形、弓形の面積についての微積分の公式は、すべてラジアンを使います。度は日常の測定に便利ですが、ラジアンを使うと数学がすっきりするので、計算機は計算の前にすべての角度をラジアンに変換します。

円上の2点は、円を2つの弧に分けます。短い方が劣弧、長い方が優弧です。両方は同じ端点を共有し、合わせて完全な円周になります。

どちらになるかは中心角が決めます。中心角が180°未満なら劣弧です。中心角が180°を超えると優弧です。ちょうど180°なら半円で、劣弧でも優弧でもありません。両方の弧は等しくなります。

劣弧と優弧は互いに補い合います。小さい方の中心角をθとすると、劣弧はLminor = rθ、優弧はLmajor = r(2π - θ)です。両方の合計は常に完全な円周になります。

計算例。半径5単位、小さい方の角度60°です。劣弧はL = 5 × π / 3 = 5.2359877560単位です。優弧は優角360° - 60° = 300°を使うので、L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799単位です。合計は5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359単位で、ちょうど円周2π × 5です。劣弧は円の16.67%、優弧は83.33%です。

別の例。半径4単位、角度270°です。これはすでに優弧です。L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215単位です。補い合う劣弧は90°を使います。L = 4 × π / 2 = 6.2831853072単位です。合計は25.1327412287単位で、完全な円周2π × 4です。

2つの角度を混同しないでください。劣弧と優弧で最も多い間違いは、問題が優弧を求めているのに小さい方の角度を使うこと、またはその逆です。与えられた角度が小さい方なのか優角なのかを常に確認し、計算機は両方の弧を並べて表示するので、問題に必要な方を選べることを覚えておいてください。

弧長と弦の長さは、どちらも円上の同じ2点を結びますが、たどる経路が異なります。弧は曲線に沿います。弦はまっすぐ横切ります。弧の方がほぼ常に長くなります。

公式を見ると、違いがはっきり分かります。

弦は角度の半分の正弦に依存します。正弦は角度そのものよりもゆっくり増加するので、角度が大きくなるにつれて弧と弦の差は広がります。

表から覚えておくべき3つの事実があります。30°では、弧は弦より約1.15%長いだけなので、小さい角度では両者は近くなります。180°では、弦は直径の10単位ですが、弧はπr = 15.7079632679単位です。270°では、弦は7.0710678119単位まで縮み、90°のときと同じになります。弦は端点間の小さい方の角度に依存するのに対し、弧は掃引とともに増え続けるからです。

特殊な場合。60°では、弦は半径とちょうど等しくなります。c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = rです。r = 5の場合、弦は5単位で、半径、弦、2本の半径が正三角形を作ります。これは便利な確認方法であり、試験でよく出題されます。

なぜ重要か。曲がったパイプを切る場合は弧長が必要です。円形の部品上の2点の間の直線のすき間を測る場合は弦が必要です。両者を混同することは、円の間違いの中で最も多いものの一つです。計算機は両方の値を一緒に表示するので、違いが常に目に見えます。

弧長と扇形の面積は似ているように聞こえますが、測るものが異なります。弧長は1次元の曲線の距離で、普通の単位で測ります。扇形の面積は2次元の領域、すなわち2本の半径と弧で切り取られた円のくさび形で、平方単位で測ります。

公式は似ているので、まさにそれが混同される理由です。

扇形の面積は、弧長に半径の半分を掛けたものです。A = ½ × r × Lです。この関係は便利な確認方法です。半径5単位で60°の場合、弧は5.2359877560単位、扇形の面積は½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900平方単位です。

単位が手がかりです。答えが長さなら、単位はcm、m、インチです。答えが面積なら、単位はcm²、m²、平方インチです。弧長の答えが平方単位だったり、扇形の面積の答えが普通の単位だったりすれば、確実に間違っています。計算機は両者を分けて表示し、単位をはっきり示します。

完全な円による確認。360°では、扇形は円全体になるので、扇形の面積はπr²に等しくなければなりません。r = 6の場合、π × 36 = 113.0973355292平方単位です。同時に、弧は完全な円周の37.6991118431単位です。両方とも同じ半径と角度から得られますが、答える質問が異なります。

円の弓形とは、弧とその弦で囲まれた領域です。円の一部を直線で切り取ったものを想像してください。曲がった辺が弧、直線の辺が弦、その間にある面積が弓形です。扇形よりも小さくなります。扇形には、2本の半径と弦で作られる三角形も含まれているからです。

弓形の面積は、扇形の面積から、2本の半径と弦の間の三角形の面積を引いたものです。

ここでθは、0から2πの間のラジアン単位の中心の掃引角です。この公式は劣弓形と優弓形の両方を正しく処理します。劣弧の場合は小さいキャップ、優弧の場合は円の大部分を占める大きな領域を与えます。

計算例。r = 5単位で60°の場合、扇形の面積は13.0899693900平方単位、弓形の面積は½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427平方単位です。三角形がくさび形の大部分を占めるため、弓形は扇形よりはるかに小さくなります。r = 5で90°の場合、弓形は7.1349540849平方単位です。r = 8で90°の場合、弓形は18.2654824574平方単位です。

特殊な場合。180°では、sin θ = 0なので、弓形の面積は扇形の面積に等しくなります。½ πr²です。r = 5の場合、両方とも39.2699081699平方単位で、ちょうど円の半分です。270°では、sin θ = -1なので、弓形は扇形より大きくなります。r = 5の場合、扇形は58.9048622548平方単位、弓形は71.4048622548平方単位です。360°では、弦は消えて、弓形は円全体、πr²となります。

弓形と扇形を一言で言えば。扇形は中心からのくさび形です。弓形は弦の向こう側のキャップです。問題に中心が関わる場合は扇形が必要です。弧とその弦だけが関わる場合は弓形が必要です。

度とラジアンは、同じもの、すなわち角度を測る2つの単位です。度は1周を360等分します。ラジアンは、切り取る弧を半径の単位で測ることで角度を測ります。両者は1つの変換で結ばれています。πラジアンは180°に等しいです。

変換の公式は次のとおりです。

変換の計算例。120°をラジアンにすると、120 × π / 180 = 2.0943951024ラジアンです。45°は、45 × π / 180 = 0.7853981634ラジアンです。逆に、1ラジアンは1 × 180 / π = 57.2957795131°、2ラジアンは114.5915590262°です。最後の値は便利です。弧が直径より長くなるのは、角度が2ラジアンを超えたちょうどそのときです。

どちらの単位を使うべきですか。問題が度で与えられている場合は度を使い、ラジアンで与えられている場合はラジアンを使います。計算機は両方を受け付け、DEG/RADトグルで角度を変換しても弧は変わりません。手計算では、度は割合の形L = πrθ / 180に適し、ラジアンはすっきりした形L = rθに適しています。どちらの場合でも、1つの公式の中で両者を混ぜてはいけません。

半径も直径も与えられていない場合もあります。計算機は、まず半径を導き出してから、通常どおりL = rθを適用することで、他の4つの測定値から逆向きに計算します。6つの方法はすべて、同じ円に対して同じ半径と同じ弧長を与えるので、実際にお持ちの測定値のどれを使っても構いません。

完全な円の円周から求める方法。完全な円の円周はC = 2πrなので、r = C / (2π)です。C = 31.4159265359単位の場合、r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5単位です。すると、60°の弧はL = 5 × π / 3 = 5.2359877560単位です。近道に注目してください。60°の弧は円周の6分の1であり、31.4159265359 / 6 = 5.2359877560単位です。

弦の長さから求める方法。弦の公式はc = 2r sin(θ / 2)なので、r = c / [2 sin(θ / 2)]です。弦が5単位で角度が60°の場合、r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5単位です。すると、L = 5.2359877560単位です。弦の入力は、角度が0°より大きく360°より小さい場合にのみ機能します。0°または360°では弦はゼロになり、半径を回復できないため、この方法では計算機はそのような角度を拒否します。

完全な円の面積から求める方法。完全な円の面積はA = πr²なので、r = √(A / π)です。A = 78.5398163397平方単位の場合、r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5単位です。すると、60°の弧はL = 5.2359877560単位です。半径を面積の公式に戻して確認できます。π × 25 = 78.5398163397平方単位です。

扇形の面積から求める方法。扇形の面積はA = ½r²θなので、r = √(2A / θ)です。ただしθはラジアン単位です。扇形の面積が13.0899693900平方単位で角度が60°の場合、θ = 1.0471975512ラジアンなので、r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5単位です。すると、L = 5.2359877560単位です。この方法では、面積だけでなく角度も必要です。同じ扇形の面積は、多くの半径と角度の組み合わせから得られるからです。

どの入力を使うべきか。実際にお持ちの測定値を使います。2つの異なる測定値から異なる半径が得られた場合、どちらかの測定値が間違っており、どちらかの答えを信じる前に、その不一致を調べる価値があります。

弧長は、抽象的な教室の練習問題ではありません。円上の曲線の距離を測ったり、切ったり、作ったり、移動したりする場面では、どこでも同じ公式が使われます。

工学と製造。パイプの曲げは弧長から始まります。曲げ半径8単位で90°に曲げられたパイプは、曲げ部分だけで12.5663706144単位のパイプが必要です。曲面パネルに巻かれた板金、歯車の歯の形状、カムの形状はすべて、材料を切る前に曲線の長さを必要とします。間違えると材料を無駄にするか、部品が短くなります。

建築と建設。アーチ状の玄関、円形の窓、ドーム、曲がった階段は、弧によって寸法が決められます。半径10単位の半円アーチは、曲線に沿って31.4159265359単位のトリムが必要です。円形の花壇の縁取りの注文では、曲がった側には弧、直線の側には直径が必要で、これらは異なる数値です。

道路とトラック。円形の道路のカーブ、ランニングトラックの曲がり、鉄道のカーブは、半径と中心角によって配置されます。カーブの長さが、アスファルトの量、レールの長さ、カーブを通る車両の移動距離を決めます。半径7単位で120°のカーブは、14.6607657168単位の長さです。

時計、車輪、ロボット工学。時計の針は、時間が経つにつれて弧を描きます。地面を転がる車輪は、回転する弧に等しい距離を進みます。関節を中心に回転するロボットアームは、グリッパーを円弧に沿って移動させます。その移動距離はrθであり、ロボット工学ではラジアンが自然な単位である理由です。

コンピュータグラフィックスとCAD。CADモデル、フォント、アニメーションの曲線は、円弧から作られています。弧の長さが、工具の経路の分割方法、曲線の描画方法、アニメーションで物体が円形の経路に沿って移動する距離を決めます。

実際の形状についての注意。すべての曲がった構造が完全な円というわけではありません。実際のアーチは楕円形や放物線形であることもあり、実際の道路はクロソイド遷移を使います。このページの円の公式は、曲線が真の円弧である場合に正確に当てはまり、曲線が円に近い場合にのみ良い近似となります。公式を適用する前に、必ず形状を確認してください。

円の弧長における間違いの答えのほとんどは、少数の誤りのリストから生じます。それぞれを確認するのに数秒しかかからず、ほとんどの間違いを防げます。

1. 半径の代わりに直径を使うこと。公式にはrが必要であり、dではありません。d = 14を半径として使うと、答えが2倍になります。120°の弧では14.6607657168ではなく29.3215314336となります。まず直径を半分にします。
2. 度をラジアンに変換し忘れること。L = rθにはラジアンが必要です。60°をそのまま入れると、5 × 60 = 300となり、5.2359877560にはなりません。先に変換するか、L = πrθ / 180を使います。
3. 中心角と円周角を混同すること。円周角は、同じ弧に対する中心角の半分です。問題が円周角φを与えている場合、中心角はθ = 2φであり、弧はL = r × 2φです。φをそのまま使うと、答えが半分になります。
4. 優弧と劣弧を混同すること。270°の角度は、r = 4の場合、18.8495559215単位の優弧を与えます。代わりに小さい方の角度90°を使うと、6.2831853072単位の劣弧となります。問題がどちらの弧を求めているか確認します。
5. 弧長と弦の長さを混同すること。弦は直線であり、弧より常に短くなります。r = 5で180°の場合、弦は10単位、弧は15.7079632679単位です。両者が等しくなるのは、長さゼロの極限の場合だけです。
6. 扇形の面積と弧長を混同すること。扇形の面積は平方単位の2次元の領域です。弧長は普通の単位の1次元の距離です。r = 5で60°の場合、扇形の面積は13.0899693900平方単位、弧は5.2359877560単位です。異なる量であり、異なる単位です。
7. 間違った測定単位を使うこと。半径がcmで角度が度単位なら問題ありませんが、答えはcmで出てきます。1つの計算の中でcmとインチを混ぜたり、出力単位の変換を忘れたりすると、大きさの間違った数値になります。先に変換し、次に計算します。
8. πを早めに丸めること。掛ける前にπを3.14に置き換えると、半径とともに大きくなる誤差が生じます。計算の間は完全な精度のπを保ち、最後に表示する結果だけを丸めます。
9. 完全な円が360°であることを忘れること。360°の角度は完全な円周、2πrであり、ゼロではありません。0°の角度は長さゼロの弧です。図では端点が一致するため2つは似て見えますが、弧長は可能な限り異なります。
10. 間違った角度の区間を使うこと。円の弧長の公式は、掃引が0°から360°の間であることを前提としています。450°の角度は、1つの円における有効な1回の掃引ではありません。1周と90°であり、1つの円の弧は90°の余り、r = 8の場合12.5663706144単位です。

これらのほとんどを捉える最後の確認。結果を円周と照らして確認します。弧は0から2πrの間でなければならず、弦より長くなければならず、劣弧と優弧の合計はちょうど2πrでなければなりません。これらの確認のいずれかが失敗すれば、上記の10の間違いのいずれかが原因です。

これら6つの例は、計算機の主な入力方法と弧の種類を網羅しています。それぞれはツールを動かすのと同じエンジンで計算され、それぞれの結果は独立して検証されています。

例1: 半径5、60°の劣弧。条件はr = 5単位、θ = 60° = π / 3ラジアンです。弧長L = 5 × π / 3 = 5.2359877560単位です。直径d = 10単位です。弦c = 2 × 5 × sin(30°) = 5単位です。扇形の面積A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900平方単位です。完全な円周C = 31.4159265359単位です。

例2: 半径8、90°の四分円の弧。条件はr = 8単位、θ = 90° = π / 2ラジアンです。弧長L = 8 × π / 2 = 12.5663706144単位です。弦c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990単位です。扇形の面積A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574平方単位です。弧は、円周50.2654824574単位のちょうど4分の1です。

例3: 半径4、270°の優弧。条件はr = 4単位、θ = 270° = 3π / 2ラジアンです。弧長L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215単位です。弦c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495単位です。扇形の面積A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431平方単位です。90°を使った補弧の劣弧は6.2831853072単位です。2つの弧の合計は25.1327412287単位で、完全な円周です。

例4: 直径14、120°からの弧。条件はd = 14単位、θ = 120° = 2π / 3ラジアンです。半径r = 14 / 2 = 7単位です。弧長L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168単位です。弦c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530単位です。扇形の面積A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086平方単位です。弓形の面積は30.0950576159平方単位です。

例5: 半径10、180°の半円。条件はr = 10単位、θ = 180° = πラジアンです。弧長L = 10 × π = 31.4159265359単位です。弦c = 2 × 10 × sin(90°) = 20単位で、直径です。扇形の面積A = ½ × 100 × π = 157.0796326795平方単位で、ちょうど完全な円の面積の半分です。弧は直径のπ / 2倍で、直線を横切る長さより約57.08%長くなります。

例6: 半径6、360°の完全な円。条件はr = 6単位、θ = 360° = 2πラジアンです。弧長L = 6 × 2π = 37.6991118431単位で、完全な円周です。弦c = 0です。端点が一致するからです。扇形の面積A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292平方単位で、完全な円の面積です。弧の割合は100%です。

計算機のプリセットボタンをクリックすると、これらの例のいずれかを読み込み、その入力に対する完全なステップごとの解法、ライブの図、すべての二次的な結果を見ることができます。