Máy tính độ dài cung hình tròn

Máy tính độ dài cung hình tròn đo khoảng cách cong dọc theo bất kỳ phần nào của một hình tròn, từ một lát nhỏ đến toàn bộ chu vi. Máy tính chấp nhận sáu phép đo khởi đầu khác nhau, vì vậy bạn có thể dùng bất kỳ giá trị nào mình đã có. Hãy làm theo các bước sau để có đáp án đúng trong chưa đầy một phút.

1. Chọn phương pháp nhập liệu. Chọn Bán kính, Đường kính, Chu vi hình tròn đầy đủ, Độ dài dây cung, Diện tích hình tròn đầy đủ hoặc Diện tích hình quạt. Ô nhập liệu, nhãn của nó và danh sách đơn vị sẽ thay đổi theo phương pháp bạn chọn.
2. Nhập số đo của bạn. Gõ giá trị vào ô nhập liệu. Đối với các phương pháp diện tích, hãy dùng danh sách đơn vị bình phương (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Nhập góc ở tâm. Gõ góc theo độ hoặc radian bằng nút chuyển DEG/RAD, hoặc kéo thanh trượt góc từ 0° đến 360°. Sơ đồ trực tiếp và kết quả sẽ cập nhật khi bạn di chuyển thanh trượt.
4. Đặt góc bắt đầu và góc kết thúc nếu bạn cần. Góc quét mặc định bắt đầu ở 0° và chạy ngược chiều kim đồng hồ. Hãy thay đổi góc bắt đầu, góc kết thúc hoặc hướng để đo một cung ở bất kỳ vị trí nào trên hình tròn. Góc quét, chứ không phải vị trí, quyết định độ dài cung.
5. Chọn đơn vị nhập và đơn vị xuất. Máy tính đổi số đo bạn nhập sang một đơn vị nội bộ thống nhất, tính toán, rồi đổi đáp án sang đơn vị xuất bạn chọn. Con số thay đổi theo đơn vị, còn độ dài thì không.
6. Chọn độ chính xác. Chọn 2, 4, 6 hoặc 8 chữ số thập phân. Mặc định là 4. Máy tính luôn dùng π với độ chính xác đầy đủ ở bên trong và chỉ làm tròn kết quả hiển thị.
7. Nhấn Tính ngay. Kết quả chính là độ dài cung đã chọn, kèm theo phân loại của nó: cung có độ dài bằng không, cung nhỏ, nửa hình tròn, cung lớn hoặc hình tròn đầy đủ. Bên dưới, bạn nhận được bán kính, đường kính, chu vi đầy đủ, cung bù, độ dài dây cung, diện tích hình quạt, diện tích đoạn hình tròn, tỉ lệ phần trăm cung, cả hai dạng góc và tỉ số cung trên dây cung.
8. Khám phá sơ đồ. Sơ đồ hình tròn trực tiếp vẽ toàn bộ hình tròn, tô sáng cung đã chọn bằng màu vàng, và đánh dấu tâm O, các đường bán kính, dây cung và các đầu mút. Dùng các nút bật tắt để hiển thị hoặc ẩn bán kính, đường kính, dây cung, điểm tâm, dấu góc và các cung nhỏ, cung lớn.
9. Sao chép, in hoặc đặt lại. Dùng Sao chép kết quả để đưa đáp án vào bộ nhớ tạm, In tóm tắt để có một báo cáo đơn giản, hoặc Đặt lại để xóa bảng điều khiển. Các nút ví dụ mẫu sẽ nạp ngay các ví dụ đã được kiểm chứng.

Thử một ví dụ. Bán kính 5 với góc 60° cho một cung dài 5.2359877560 đơn vị. Bán kính 8 với 90° cho 12.5663706144 đơn vị. Bán kính 4 với 270° cho một cung lớn dài 18.8495559215 đơn vị. Đường kính 14 với 120° cho 14.6607657168 đơn vị. Bán kính 10 với 180° cho cung nửa hình tròn dài 31.4159265359 đơn vị, và bán kính 6 với 360° cho toàn bộ chu vi 37.6991118431 đơn vị.

Mẹo quan trọng. Hãy giữ đơn vị góc thống nhất: 60° và 1.0471975512 radian là cùng một góc, nhưng 60 radian không phải là 60°. Độ dài cung chỉ là khoảng cách cong, dây cung là một phép đo khác và luôn ngắn hơn, trừ cung có độ dài bằng không. Nếu bạn nhập đường kính, máy tính sẽ chia đôi nó để tìm bán kính trước. Số đo bằng không hoặc âm không phải là một hình tròn hợp lệ, vì vậy máy tính sẽ từ chối nó thay vì hiển thị một đáp án gây hiểu lầm.

Một hình tròn là tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định, tâm O, một khoảng không đổi gọi là bán kính. Một cung là một phần liên tục của hình tròn nằm giữa hai điểm trên nó. Độ dài cung là quãng đường bạn sẽ đi nếu bạn bước dọc theo đường cong từ đầu mút này đến đầu mút kia, luôn ở trên hình tròn trong suốt quãng đường.

Hãy hình dung một đường chạy hình tròn. Độ dài cung là khoảng cách dọc theo làn chạy giữa hai cổng. Đường thẳng cắt ngang qua sân trong giữa cùng hai cổng đó là dây cung, và nó ngắn hơn. Sự khác biệt này rất quan trọng: người chạy đi theo đường cong, vì vậy khoảng cách cong mới là khoảng cách được tính.

Mọi hình tròn đều có cùng các thành phần, được thu phóng theo bán kính của nó. Tâm O là điểm cố định. Bán kính r chạy từ O đến bất kỳ điểm nào trên hình tròn. Đường kính d chạy từ phía này sang phía kia qua O, và luôn gấp đôi bán kính. Chu vi C là khoảng cách đi hết một vòng, C = 2πr. Góc ở tâm θ là góc tại O giữa hai bán kính chạy đến các đầu mút của cung, và nó quyết định cung chiếm bao nhiêu phần của chu vi.

Hai điểm trên một hình tròn luôn tạo ra hai cung: cung ngắn hơn là cung nhỏ, và cung dài hơn là cung lớn. Cùng nhau, chúng tạo thành toàn bộ chu vi. Bạn muốn cung nào tùy thuộc vào bài toán của bạn, và máy tính hiển thị cả hai, vì vậy bạn không bao giờ phải đoán.

Độ dài cung là một phép đo một chiều, một độ dài, vì vậy nó được báo cáo bằng các đơn vị thông thường như cm, m hoặc inch. Nó không phải là diện tích, và cũng không phải là góc. Việc phân biệt rõ ba đại lượng này là bước đầu tiên để tính đúng mọi bài toán về hình tròn.

Độ dài cung của một hình tròn suy ra trực tiếp từ chu vi của một hình tròn đầy đủ. Chu vi của một hình tròn đầy đủ là:

Một góc ở tâm chiếm một phần của một vòng quay đầy đủ 360°. Một cung có góc ở tâm θ chiếm phần θ / 360 của toàn bộ hình tròn, vì vậy:

Rút gọn ta được dạng theo độ của công thức:

Khi góc được đo bằng radian, công thức còn đơn giản hơn, vì radian được định nghĩa dựa trên chính bán kính:

Mỗi ký hiệu trong các công thức đều có một ý nghĩa chính xác:

Cả hai dạng đều cho cùng một đáp án. Dùng L = πrθ / 180 khi góc của bạn tính bằng độ, và L = rθ khi góc tính bằng radian. Máy tính đổi độ sang radian trước rồi dùng L = rθ ở bên trong, đó là lý do hai chế độ luôn cho kết quả giống nhau.

Dùng đường kính thay cho bán kính cho ta một dạng thứ hai của cùng một công thức. Vì d = 2r nên r = d / 2, và thay vào ta được L = dθ / 2 theo radian, hoặc L = πdθ / 360 theo độ.

Bán kính cộng với góc ở tâm là cách trực tiếp nhất để tìm độ dài cung. Ví dụ minh họa dưới đây dùng bán kính 5 đơn vị và góc ở tâm 60°.

1. Xác định bán kính. r = 5 đơn vị.
2. Xác định góc ở tâm. θ = 60°.
3. Đổi độ sang radian. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radian.
4. Viết công thức tính độ dài cung. L = rθ.
5. Thay các giá trị vào. L = 5 × π / 3.
6. Tính toán. L = 5.2359877560 đơn vị.
7. Làm tròn khi cần. Đến hai chữ số thập phân, L = 5.24 đơn vị.

Các bước tương tự áp dụng cho mọi bán kính và góc. Bán kính 8 đơn vị với 90° cho L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 đơn vị. Bán kính 3 đơn vị với 60° cho L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 đơn vị. Bán kính 1 đơn vị với 60° cho L = 1.0471975512 đơn vị, đúng bằng π / 3, một cách kiểm tra hữu ích: với r = 1, độ dài cung bằng góc tính bằng radian.

Quy tắc làm tròn. Chỉ làm tròn ở cuối bài. Nếu bạn thay π bằng 3.14 trước khi nhân, bán kính 5 với 60° cho 5.2333333333 thay vì 5.2359877560, sai lệch 0.0026544227. Sai số này tăng theo bán kính, vì vậy hãy giữ độ chính xác đầy đủ trong suốt quá trình tính toán và chỉ làm tròn kết quả hiển thị cuối cùng.

Khi bạn biết đường kính thay vì bán kính, hãy chia đôi nó trước, rồi áp dụng cùng một công thức. Ví dụ minh họa dưới đây dùng đường kính 14 đơn vị và góc ở tâm 120°.

1. Xác định đường kính. d = 14 đơn vị.
2. Tìm bán kính. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 đơn vị.
3. Xác định góc ở tâm. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radian.
4. Viết công thức. L = rθ, hoặc trực tiếp L = πdθ / 360.
5. Thay vào. L = 7 × 2.0943951024, hoặc L = π × 14 × 120 / 360.
6. Tính toán. L = 14.6607657168 đơn vị.
7. Làm tròn khi cần. Đến hai chữ số thập phân, L = 14.66 đơn vị.

Cả hai cách đều cho kết quả giống hệt nhau, và đó là một cách tự kiểm tra tốt. Cách dùng bán kính cho 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Cách dùng đường kính cho π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Nếu hai cách không khớp nhau, nghĩa là đường kính đã không được chia đôi đúng cách.

Một ví dụ khác: đường kính 20 đơn vị với 180° cho r = 10 đơn vị, vì vậy L = π × 10 = 31.4159265359 đơn vị, cung nửa hình tròn. Đường kính 10 đơn vị với 60° cho r = 5 đơn vị, vì vậy L = 5.2359877560 đơn vị. Lỗi thường gặp nhất trong phép tính này là quên chia cho hai và dùng đường kính như thể nó là bán kính, khiến đáp án gấp đôi. Với d = 14, lỗi đó cho 29.3215314336 thay vì 14.6607657168.

Mẹo đo đạc. Trong thực tế, đường kính thường dễ đo hơn bán kính, vì bạn có thể đo thẳng qua hình tròn. Đó là lý do máy tính chấp nhận nhập đường kính trực tiếp: hãy đo ngang qua, nhập vào, và máy tính sẽ chia đôi giúp bạn.

Độ là đơn vị góc dùng trong đời sống hằng ngày. Một hình tròn đầy đủ chứa 360°, vì vậy một góc ở tâm tính bằng độ cho bạn biết trực tiếp cung của bạn chiếm bao nhiêu phần của hình tròn đầy đủ. Góc 90° chiếm một phần tư hình tròn, 180° chiếm một nửa, và 270° chiếm ba phần tư.

Công thức theo độ là L = πrθ / 180, trong đó θ tính bằng độ. Công thức này xuất phát từ ý tưởng về phần: θ / 360 của chu vi 2πr, rút gọn lại.

Ví dụ minh họa. Bán kính 8 đơn vị, góc 90°.

1. Xác định các giá trị. r = 8 đơn vị, θ = 90°.
2. Tìm phần của hình tròn. 90 / 360 = 1 / 4, một phần tư hình tròn.
3. Viết công thức. L = πrθ / 180.
4. Thay vào. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Tính toán. L = 12.5663706144 đơn vị.
6. Kiểm tra với chu vi. Chu vi đầy đủ là 2π × 8 = 50.2654824574 đơn vị, và một phần tư của nó là 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 đơn vị. Hai kết quả khớp nhau.

Thêm các ví dụ theo độ với bán kính 5 đơn vị: 30° cho L = 2.6179938780 đơn vị, 45° cho L = 3.9269908170 đơn vị, 120° cho L = 10.4719755120 đơn vị, và 270° cho L = 23.5619449019 đơn vị. Lưu ý rằng gấp đôi góc thì gấp đôi độ dài cung với cùng một bán kính, vì độ dài cung tỉ lệ thuận trực tiếp với góc ở tâm.

Lỗi thường gặp với độ. Đưa một giá trị độ thẳng vào L = rθ mà không đổi đơn vị sẽ cho một đáp án sai rất nhiều. Với r = 5 và 60°, phép tính không đổi đơn vị cho 5 × 60 = 300, nhưng đáp án đúng là 5.2359877560. Công thức L = rθ cần radian, vì vậy hãy đổi trước hoặc dùng dạng theo độ L = πrθ / 180.

Một radian là góc bạn nhận được khi độ dài cung bằng bán kính. Nếu bạn quấn một đoạn dây dài bằng bán kính quanh hình tròn, góc mà nó chắn tại tâm đúng bằng 1 radian. Một hình tròn đầy đủ chứa 2π radian, khoảng 6.2831853072 radian, vì chu vi đầy đủ là 2πr và chia cho r còn lại 2π.

Công thức theo radian là L = rθ, công thức tính độ dài cung đơn giản nhất. Nó không chứa π, vì π đã nằm bên trong số đo radian của góc.

Ví dụ minh họa. Bán kính 5 đơn vị, góc π / 3 radian (tức là 60°).

1. Xác định các giá trị. r = 5 đơn vị, θ = π / 3 = 1.0471975512 radian.
2. Viết công thức. L = rθ.
3. Thay vào. L = 5 × 1.0471975512.
4. Tính toán. L = 5.2359877560 đơn vị.
5. Kiểm tra với độ. π / 3 radian là 60°, và công thức theo độ cho L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 đơn vị. Hai kết quả khớp nhau chính xác.

Thêm các ví dụ theo radian: bán kính 4 đơn vị với θ = π / 2 radian cho L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 đơn vị. Bán kính 6 đơn vị với θ = π / 4 radian cho L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 đơn vị. Bán kính 10 đơn vị với θ = π radian cho L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 đơn vị, cung nửa hình tròn.

Vì sao radian được ưa chuộng trong toán học. Các công thức vi tích phân cho độ dài cung, và các công thức tính dây cung, hình quạt và diện tích đoạn hình tròn trên trang này, đều dùng radian. Độ tiện cho việc đo đạc hằng ngày, nhưng radian làm cho toán học trở nên gọn gàng, đó là lý do máy tính đổi mọi góc sang radian trước khi tính toán.

Hai điểm trên một hình tròn chia nó thành hai cung. Cung ngắn hơn là cung nhỏ, và cung dài hơn là cung lớn. Chúng có chung các đầu mút, và cùng nhau tạo thành toàn bộ chu vi.

Góc ở tâm quyết định cung nào là cung nào. Góc ở tâm nhỏ hơn 180° cho một cung nhỏ. Góc ở tâm lớn hơn 180° cho một cung lớn. Đúng 180° cho một nửa hình tròn, không phải cung nhỏ cũng không phải cung lớn: cả hai cung đều bằng nhau.

Cung nhỏ và cung lớn bù nhau. Với một góc ở tâm nhỏ hơn θ, cung nhỏ là Lminor = rθ và cung lớn là Lmajor = r(2π - θ). Tổng của chúng luôn bằng chu vi đầy đủ:

Ví dụ minh họa. Bán kính 5 đơn vị, góc nhỏ hơn 60°. Cung nhỏ là L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 đơn vị. Cung lớn dùng góc phản 360° - 60° = 300°, vì vậy L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 đơn vị. Tổng là 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 đơn vị, đúng bằng chu vi 2π × 5. Cung nhỏ chiếm 16.67% hình tròn và cung lớn chiếm 83.33%.

Một ví dụ khác. Bán kính 4 đơn vị, góc 270°. Đây đã là cung lớn: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 đơn vị. Cung nhỏ bù của nó dùng 90°: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 đơn vị. Tổng là 25.1327412287 đơn vị, chu vi đầy đủ 2π × 4.

Đừng nhầm lẫn hai góc. Lỗi cung nhỏ, cung lớn thường gặp nhất là dùng góc nhỏ hơn khi bài toán hỏi cung lớn, hoặc ngược lại. Hãy luôn kiểm tra xem góc bạn được cho là góc nhỏ hơn hay góc phản, và nhớ rằng máy tính hiển thị cả hai cung cạnh nhau để bạn có thể chọn cung mà bài toán của mình cần.

Độ dài cung và độ dài dây cung đều nối cùng hai điểm trên một hình tròn, nhưng chúng đi theo hai đường khác nhau. Cung đi theo đường cong. Dây cung cắt thẳng qua. Cung hầu như luôn dài hơn.

Các công thức cho thấy sự khác biệt một cách rõ ràng:

Dây cung phụ thuộc vào sin của một nửa góc, và sin tăng chậm hơn chính góc đó, vì vậy khoảng cách giữa cung và dây cung càng lớn khi góc càng tăng.

Ba điều rút ra từ bảng rất đáng nhớ. Ở 30°, cung chỉ dài hơn dây cung khoảng 1.15%, vì vậy với góc nhỏ, hai giá trị gần bằng nhau. Ở 180°, dây cung là đường kính, 10 đơn vị, trong khi cung là πr = 15.7079632679 đơn vị. Ở 270°, dây cung thu lại còn 7.0710678119 đơn vị, bằng với ở 90°, vì dây cung phụ thuộc vào góc nhỏ hơn giữa các đầu mút, trong khi cung tiếp tục dài ra theo góc quét.

Trường hợp đặc biệt. Ở 60°, dây cung bằng đúng bán kính: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Với r = 5, dây cung là 5 đơn vị, và bán kính, dây cung cùng hai bán kính tạo thành một tam giác đều. Đây là một cách kiểm tra tiện lợi và là dạng bài mà người ra đề rất thích.

Vì sao điều này quan trọng. Nếu bạn đang cắt một ống cong, bạn cần độ dài cung. Nếu bạn đang đo khoảng cách thẳng giữa hai điểm trên một chi tiết hình tròn, bạn cần dây cung. Nhầm lẫn hai thứ này là một trong những lỗi hình tròn thường gặp nhất, và máy tính hiển thị cả hai giá trị cùng nhau để sự khác biệt luôn được nhìn thấy rõ.

Độ dài cung và diện tích hình quạt nghe có vẻ giống nhau, nhưng chúng đo những thứ khác nhau. Độ dài cung là một khoảng cách cong một chiều, đo bằng đơn vị thông thường. Diện tích hình quạt là một vùng hai chiều, phần hình nêm của hình tròn được cắt ra bởi hai bán kính và cung, đo bằng đơn vị vuông.

Các công thức trông giống nhau, và đó chính là lý do chúng bị nhầm lẫn:

Diện tích hình quạt bằng độ dài cung nhân với một nửa bán kính: A = ½ × r × L. Mối quan hệ đó là một cách kiểm tra hữu ích. Với bán kính 5 đơn vị và 60°, cung dài 5.2359877560 đơn vị, và diện tích hình quạt là ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 đơn vị vuông.

Đơn vị là dấu hiệu nhận biết. Nếu đáp án của bạn phải là một độ dài, đơn vị là cm, m hoặc inch. Nếu đáp án phải là một diện tích, đơn vị là cm², m² hoặc inch vuông. Một đáp án độ dài cung tính bằng đơn vị vuông, hoặc một đáp án diện tích hình quạt tính bằng đơn vị thông thường, chắc chắn là sai. Máy tính giữ hai thứ này tách biệt và ghi nhãn đơn vị rõ ràng.

Kiểm tra với hình tròn đầy đủ. Ở 360°, hình quạt là toàn bộ hình tròn, vì vậy diện tích hình quạt phải bằng πr². Với r = 6, π × 36 = 113.0973355292 đơn vị vuông. Cùng lúc đó, cung là toàn bộ chu vi, 37.6991118431 đơn vị. Cả hai đều suy ra từ cùng một bán kính và góc, nhưng chúng trả lời những câu hỏi khác nhau.

Một đoạn hình tròn là vùng được bao quanh bởi một cung và dây cung của nó. Hãy hình dung một lát của hình tròn bị cắt ra bởi một đường thẳng: cạnh cong là cung, cạnh thẳng là dây cung, và diện tích giữa chúng là đoạn hình tròn. Nó nhỏ hơn hình quạt, vì hình quạt còn bao gồm tam giác tạo bởi hai bán kính và dây cung.

Diện tích đoạn hình tròn bằng diện tích hình quạt trừ đi diện tích tam giác nằm giữa hai bán kính và dây cung:

Ở đây θ là góc quét ở tâm tính bằng radian, nằm giữa 0 và 2π. Công thức xử lý đúng cả đoạn nhỏ và đoạn lớn: với cung nhỏ, nó cho phần chỏm nhỏ, và với cung lớn, nó cho vùng lớn bao phủ phần lớn hình tròn.

Ví dụ minh họa. Với r = 5 đơn vị và 60°, diện tích hình quạt là 13.0899693900 đơn vị vuông và diện tích đoạn hình tròn là ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 đơn vị vuông. Đoạn hình tròn nhỏ hơn nhiều so với hình quạt, vì tam giác chiếm phần lớn của hình nêm. Với r = 5 và 90°, đoạn hình tròn là 7.1349540849 đơn vị vuông. Với r = 8 và 90°, đoạn hình tròn là 18.2654824574 đơn vị vuông.

Các trường hợp đặc biệt. Ở 180°, sin θ = 0, vì vậy diện tích đoạn hình tròn bằng diện tích hình quạt: ½ πr². Với r = 5, cả hai đều là 39.2699081699 đơn vị vuông, đúng bằng một nửa hình tròn. Ở 270°, sin θ = -1, vì vậy đoạn hình tròn lớn hơn hình quạt: với r = 5, hình quạt là 58.9048622548 đơn vị vuông và đoạn hình tròn là 71.4048622548 đơn vị vuông. Ở 360°, dây cung biến mất và đoạn hình tròn là toàn bộ hình tròn, πr².

Đoạn hình tròn và hình quạt, tóm lại trong một câu. Hình quạt là hình nêm tính từ tâm. Đoạn hình tròn là phần chỏm nằm ngoài dây cung. Nếu bài toán của bạn liên quan đến tâm, bạn cần hình quạt. Nếu nó chỉ liên quan đến cung và dây cung của nó, bạn cần đoạn hình tròn.

Độ và radian là hai đơn vị cho cùng một thứ, góc. Độ chia một vòng quay đầy đủ thành 360 phần bằng nhau. Radian đo một góc bằng cung mà nó cắt ra, tính theo đơn vị bán kính. Hai đơn vị liên hệ với nhau bằng một phép đổi duy nhất: π radian bằng 180°.

Các công thức đổi đơn vị là:

Ví dụ đổi đơn vị. 120° theo radian là 120 × π / 180 = 2.0943951024 radian. 45° là 45 × π / 180 = 0.7853981634 radian. Đổi theo chiều ngược lại, 1 radian là 1 × 180 / π = 57.2957795131°, và 2 radian là 114.5915590262°. Giá trị cuối cùng này rất hữu ích: một cung trở nên dài hơn đường kính đúng khi góc vượt qua 2 radian.

Bạn nên dùng đơn vị nào? Dùng độ khi bài toán cho độ, và dùng radian khi bài toán cho radian. Máy tính chấp nhận cả hai, và nút chuyển DEG/RAD đổi góc của bạn mà không làm thay đổi cung. Khi tính tay, độ phù hợp với dạng phân số L = πrθ / 180, trong khi radian phù hợp với dạng gọn L = rθ. Dù thế nào, đừng bao giờ trộn hai đơn vị trong cùng một công thức.

Đôi khi, cả bán kính lẫn đường kính đều không được cho. Máy tính làm ngược lại từ bốn phép đo khác bằng cách suy ra bán kính trước, rồi áp dụng L = rθ như thường lệ. Cả sáu phương pháp đều cho cùng một bán kính và cùng một độ dài cung đối với cùng một hình tròn, vì vậy bạn có thể dùng bất kỳ phép đo nào mình thực sự có.

Từ chu vi hình tròn đầy đủ. Chu vi đầy đủ là C = 2πr, vì vậy r = C / (2π). Với C = 31.4159265359 đơn vị, r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 đơn vị. Sau đó, một cung 60° là L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 đơn vị. Lưu ý cách tính nhanh: một cung 60° là một phần sáu chu vi, và 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 đơn vị.

Từ độ dài dây cung. Công thức dây cung là c = 2r sin(θ / 2), vì vậy r = c / [2 sin(θ / 2)]. Với dây cung 5 đơn vị và góc 60°, r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 đơn vị. Sau đó L = 5.2359877560 đơn vị. Nhập dây cung chỉ dùng được khi góc nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0° đến 360°: ở 0° hoặc 360°, dây cung bằng không và không thể khôi phục bán kính, vì vậy máy tính từ chối các góc đó đối với phương pháp này.

Từ diện tích hình tròn đầy đủ. Diện tích của một hình tròn đầy đủ là A = πr², vì vậy r = √(A / π). Với A = 78.5398163397 đơn vị vuông, r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 đơn vị. Sau đó, một cung 60° là L = 5.2359877560 đơn vị. Bạn có thể kiểm tra bán kính bằng cách thay nó trở lại công thức diện tích: π × 25 = 78.5398163397 đơn vị vuông.

Từ diện tích hình quạt. Diện tích hình quạt là A = ½r²θ, vì vậy r = √(2A / θ) với θ tính bằng radian. Với diện tích hình quạt 13.0899693900 đơn vị vuông và góc 60°, θ = 1.0471975512 radian, vì vậy r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 đơn vị. Sau đó L = 5.2359877560 đơn vị. Phương pháp này cần cả góc lẫn diện tích, vì cùng một diện tích hình quạt có thể xuất phát từ nhiều cặp bán kính và góc khác nhau.

Nên dùng số đo nhập nào. Hãy dùng bất kỳ phép đo nào bạn thực sự có. Nếu hai phép đo khác nhau cho ra hai bán kính khác nhau, một trong hai phép đo đã sai, và sự không khớp đó đáng để xem xét trước khi tin vào đáp án nào.

Độ dài cung không phải là một bài tập trừu tượng trong lớp học. Bất cứ nơi nào cần đo, cắt, xây dựng hoặc di chuyển một khoảng cách cong trên một hình tròn, cùng một công thức đều được áp dụng.

Kỹ thuật và sản xuất. Uốn ống bắt đầu từ độ dài cung: một ống được uốn qua 90° với bán kính uốn 8 đơn vị cần 12.5663706144 đơn vị ống chỉ riêng cho đoạn uốn. Tấm kim loại được cuộn thành một tấm cong, biên dạng răng bánh răng và hình dạng cam đều cần độ dài cong trước khi vật liệu được cắt. Tính sai sẽ lãng phí vật liệu hoặc làm chi tiết bị thiếu.

Kiến trúc và xây dựng. Cửa vòm, cửa sổ tròn, mái vòm và cầu thang cong được xác định kích thước theo các cung của chúng. Một vòm nửa hình tròn có bán kính 10 đơn vị cần 31.4159265359 đơn vị nẹp dọc theo đường cong. Một đơn hàng viền bồn hoa tròn cần độ dài cung cho phía cong và đường kính cho phía thẳng, và đó là hai con số khác nhau.

Đường sá và đường đua. Một khúc cua đường tròn, một khúc cua của đường chạy hoặc một khúc cua đường sắt được bố trí theo bán kính và góc ở tâm. Độ dài của khúc cua quyết định lượng nhựa đường, độ dài đường ray và quãng đường một phương tiện đi qua khúc cua. Một khúc cua 120° với bán kính 7 đơn vị dài 14.6607657168 đơn vị.

Đồng hồ, bánh xe và robot. Một kim đồng hồ quét qua một cung khi thời gian trôi qua. Một bánh xe lăn trên mặt đất đi được một quãng đường bằng cung mà nó quay qua. Một cánh tay robot quay quanh một khớp sẽ di chuyển đầu kẹp của nó dọc theo một cung tròn, và quãng đường nó đi được là rθ, đó là lý do radian là đơn vị tự nhiên trong lĩnh vực robot.

Đồ họa máy tính và CAD. Các đường cong trong mô hình CAD, phông chữ và hình ảnh động được xây dựng từ các cung tròn. Độ dài của một cung quyết định cách một đường chạy dao được chia nhỏ, cách một đường cong được hiển thị, và một vật thể di chuyển bao xa dọc theo một đường tròn trong một hình ảnh động.

Một lưu ý về hình dạng thực. Không phải mọi cấu trúc cong đều là một hình tròn hoàn hảo. Các vòm thực có thể có dạng elip hoặc parabol, và các đường thực dùng đoạn chuyển tiếp clothoid. Các công thức về hình tròn trên trang này áp dụng chính xác khi đường cong là một cung tròn thực sự, và chúng chỉ là một phép xấp xỉ tốt khi đường cong gần giống hình tròn. Hãy luôn xác nhận hình dạng trước khi áp dụng công thức.

Hầu hết các đáp án sai về độ dài cung hình tròn đều xuất phát từ một danh sách nhỏ các lỗi. Kiểm tra từng lỗi chỉ mất vài giây và giúp tránh được phần lớn sai sót.

1. Dùng đường kính thay cho bán kính. Công thức cần r, không phải d. Dùng d = 14 làm bán kính sẽ làm đáp án gấp đôi: 29.3215314336 thay vì 14.6607657168 đối với một cung 120°. Hãy chia đôi đường kính trước.
2. Quên đổi độ sang radian. L = rθ cần radian. Đưa thẳng 60° vào cho 5 × 60 = 300 thay vì 5.2359877560. Hãy đổi trước, hoặc dùng L = πrθ / 180.
3. Nhầm góc ở tâm với góc nội tiếp. Một góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm chắn cùng một cung. Nếu bài toán cho một góc nội tiếp φ, góc ở tâm là θ = 2φ, và cung là L = r × 2φ. Dùng thẳng φ sẽ làm đáp án chỉ còn một nửa.
4. Nhầm cung lớn với cung nhỏ. Góc 270° cho một cung lớn dài 18.8495559215 đơn vị với r = 4. Dùng góc nhỏ hơn 90° thay vào cho 6.2831853072 đơn vị, tức là cung nhỏ. Hãy kiểm tra xem bài toán hỏi cung nào.
5. Nhầm độ dài cung với độ dài dây cung. Dây cung là đường thẳng, luôn ngắn hơn cung. Với r = 5 và 180°, dây cung là 10 đơn vị và cung là 15.7079632679 đơn vị. Chúng chỉ bằng nhau trong trường hợp giới hạn cung có độ dài bằng không.
6. Nhầm diện tích hình quạt với độ dài cung. Diện tích hình quạt là một vùng hai chiều tính bằng đơn vị vuông. Độ dài cung là một khoảng cách một chiều tính bằng đơn vị thông thường. Với r = 5 và 60°, diện tích hình quạt là 13.0899693900 đơn vị vuông và cung là 5.2359877560 đơn vị. Hai đại lượng khác nhau, đơn vị khác nhau.
7. Dùng sai đơn vị đo. Bán kính tính bằng cm và góc tính bằng độ thì không sao, nhưng đáp án sẽ ra bằng cm. Trộn cm với inch trong cùng một phép tính, hoặc quên đổi đơn vị xuất, sẽ cho một con số có độ lớn sai. Hãy đổi trước, tính sau.
8. Làm tròn π quá sớm. Thay π bằng 3.14 trước khi nhân sẽ tạo ra một sai số tăng theo bán kính. Hãy giữ π với độ chính xác đầy đủ trong suốt quá trình tính toán và chỉ làm tròn kết quả hiển thị cuối cùng.
9. Quên rằng một hình tròn đầy đủ tương ứng với 360°. Góc 360° là toàn bộ chu vi, 2πr, chứ không phải bằng không. Góc 0° là cung có độ dài bằng không. Hai góc này trông giống nhau trên sơ đồ, vì các đầu mút trùng nhau, nhưng độ dài cung của chúng khác nhau hết mức có thể.
10. Dùng sai khoảng góc. Các công thức độ dài cung của một hình tròn giả định góc quét nằm trong khoảng từ 0° đến 360°. Góc 450° không phải là một góc quét đơn hợp lệ trên một hình tròn: nó là một vòng đầy đủ cộng thêm 90°, và cung cho một hình tròn là phần dư 90°, 12.5663706144 đơn vị với r = 8.

Một cách kiểm tra cuối cùng giúp phát hiện hầu hết các lỗi này. Hãy kiểm tra kết quả với chu vi. Cung phải nằm trong khoảng từ 0 đến 2πr, phải dài hơn dây cung, và cung nhỏ cộng cung lớn phải bằng đúng 2πr. Nếu bất kỳ kiểm tra nào trong số đó không đạt, một trong mười lỗi trên là nguyên nhân.

Sáu ví dụ này bao quát các phương pháp nhập chính của máy tính và các loại cung. Mỗi ví dụ đều được tính bằng cùng một bộ máy tính toán vận hành công cụ, và mỗi kết quả đều đã được kiểm chứng độc lập.

Ví dụ 1: Cung nhỏ với bán kính 5 và 60°. Cho r = 5 đơn vị, θ = 60° = π / 3 radian. Độ dài cung L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 đơn vị. Đường kính d = 10 đơn vị. Dây cung c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 đơn vị. Diện tích hình quạt A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 đơn vị vuông. Chu vi đầy đủ C = 31.4159265359 đơn vị.

Ví dụ 2: Cung một phần tư hình tròn với bán kính 8 và 90°. Cho r = 8 đơn vị, θ = 90° = π / 2 radian. Độ dài cung L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 đơn vị. Dây cung c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 đơn vị. Diện tích hình quạt A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 đơn vị vuông. Cung này đúng bằng một phần tư chu vi 50.2654824574 đơn vị.

Ví dụ 3: Cung lớn với bán kính 4 và 270°. Cho r = 4 đơn vị, θ = 270° = 3π / 2 radian. Độ dài cung L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 đơn vị. Dây cung c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 đơn vị. Diện tích hình quạt A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 đơn vị vuông. Cung nhỏ bù, dùng 90°, là 6.2831853072 đơn vị. Hai cung cộng lại bằng 25.1327412287 đơn vị, chu vi đầy đủ.

Ví dụ 4: Cung từ đường kính 14 và 120°. Cho d = 14 đơn vị, θ = 120° = 2π / 3 radian. Bán kính r = 14 / 2 = 7 đơn vị. Độ dài cung L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 đơn vị. Dây cung c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 đơn vị. Diện tích hình quạt A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 đơn vị vuông. Diện tích đoạn hình tròn là 30.0950576159 đơn vị vuông.

Ví dụ 5: Nửa hình tròn với bán kính 10 và 180°. Cho r = 10 đơn vị, θ = 180° = π radian. Độ dài cung L = 10 × π = 31.4159265359 đơn vị. Dây cung c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 đơn vị, tức là đường kính. Diện tích hình quạt A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 đơn vị vuông, đúng bằng một nửa diện tích hình tròn đầy đủ. Cung dài gấp π / 2 lần đường kính, dài hơn khoảng 57.08% so với đường thẳng ngang qua.

Ví dụ 6: Hình tròn đầy đủ với bán kính 6 và 360°. Cho r = 6 đơn vị, θ = 360° = 2π radian. Độ dài cung L = 6 × 2π = 37.6991118431 đơn vị, tức là toàn bộ chu vi. Dây cung c = 0, vì các đầu mút trùng nhau. Diện tích hình quạt A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 đơn vị vuông, diện tích hình tròn đầy đủ. Tỉ lệ phần trăm cung là 100%.

Nhấn bất kỳ nút ví dụ mẫu nào trong máy tính để nạp một trong các ví dụ này và xem lời giải đầy đủ từng bước, sơ đồ trực tiếp và tất cả các kết quả phụ cho dữ liệu đó.