Calcolatore della lunghezza dell'arco di un cerchio

Il calcolatore della lunghezza dell'arco di un cerchio misura la distanza curva lungo qualsiasi parte di un cerchio, da una piccola porzione fino all'intera circonferenza. Accetta sei diverse misure di partenza, così puoi usare il valore che hai già a disposizione. Segui questi passaggi per ottenere una risposta corretta in meno di un minuto.

1. Scegli il metodo di input. Scegli Raggio, Diametro, Circonferenza completa, Lunghezza della corda, Area del cerchio completo o Area del settore. Il campo di input, la sua etichetta e il suo elenco di unità cambiano in base al metodo scelto.
2. Inserisci la misura. Digita il valore nella casella di input. Per i metodi basati sull'area, usa l'elenco delle unità quadrate (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Inserisci l'angolo al centro. Digita l'angolo in gradi o radianti usando il selettore DEG/RAD, oppure trascina il cursore dell'angolo da 0° a 360°. Il diagramma in tempo reale e il risultato si aggiornano mentre lo sposti.
4. Imposta gli angoli iniziale e finale se ti servono. Per impostazione predefinita la rotazione parte da 0° e procede in senso antiorario. Cambia l'angolo iniziale, l'angolo finale o la direzione per misurare un arco in qualsiasi punto del cerchio. È la rotazione, non la posizione, a decidere la lunghezza dell'arco.
5. Scegli le unità di input e di output. Il calcolatore converte il tuo input in un'unità interna coerente, calcola, poi converte la risposta nell'unità di output. Il numero cambia con l'unità; la lunghezza no.
6. Scegli una precisione. Scegli 2, 4, 6 o 8 cifre decimali. Il valore predefinito è 4. Il calcolatore usa sempre il valore completo di π internamente e arrotonda solo il risultato visualizzato.
7. Fai clic su Calcola ora. Il risultato principale è la lunghezza dell'arco selezionato, con la sua classificazione: arco di lunghezza zero, arco minore, semicirconferenza, arco maggiore o cerchio completo. Sotto di esso trovi il raggio, il diametro, la circonferenza completa, l'arco complementare, la lunghezza della corda, l'area del settore, l'area del segmento circolare, la percentuale dell'arco, entrambe le forme dell'angolo e il rapporto arco-corda.
8. Esplora il diagramma. Il diagramma circolare in tempo reale disegna il cerchio completo, evidenzia l'arco selezionato in oro e segna il centro O, le linee del raggio, la corda e gli estremi. Usa gli interruttori per mostrare o nascondere il raggio, il diametro, la corda, il punto centrale, l'indicatore dell'angolo e gli archi minore e maggiore.
9. Copia, stampa o reimposta. Usa Copia risultato per mettere la risposta negli appunti, Stampa riepilogo per un semplice rapporto, o Reimposta per azzerare il pannello. I pulsanti predefiniti caricano istantaneamente esempi verificati.

Prova un esempio. Raggio 5 con un angolo di 60° dà un arco di 5.2359877560 unità. Raggio 8 con 90° dà 12.5663706144 unità. Raggio 4 con 270° dà un arco maggiore di 18.8495559215 unità. Diametro 14 con 120° dà 14.6607657168 unità. Raggio 10 con 180° dà l'arco della semicirconferenza di 31.4159265359 unità, e raggio 6 con 360° dà la circonferenza completa di 37.6991118431 unità.

Suggerimenti importanti. Mantieni coerente l'unità dell'angolo: 60° e 1.0471975512 radianti sono lo stesso angolo, ma 60 radianti non sono 60°. La lunghezza dell'arco è solo la distanza curva; la corda è una misura diversa ed è sempre più corta, tranne che per un arco di lunghezza zero. Se inserisci un diametro, il calcolatore lo dimezza per trovare prima il raggio. Una misura zero o negativa non è un cerchio valido, quindi il calcolatore la rifiuta invece di mostrare una risposta fuorviante.

Un cerchio è l'insieme di tutti i punti a una distanza fissa, il raggio, da un punto centrale O. Un arco è una parte continua del cerchio compresa tra due punti su di esso. La lunghezza dell'arco è la distanza che percorreresti se camminassi lungo la curva da un estremo all'altro, restando sul cerchio per tutto il percorso.

Immagina una pista di atletica circolare. La lunghezza dell'arco è la distanza lungo la corsia tra due cancelli. La linea retta che taglia attraverso il campo interno tra gli stessi due cancelli è la corda, ed è più corta. La differenza conta: un corridore segue la curva, quindi è la distanza curva quella che conta.

Ogni cerchio ha le stesse parti, in scala in base al suo raggio. Il centro O è il punto fisso. Il raggio r va da O a qualsiasi punto del cerchio. Il diametro d va da un lato all'altro passando per O, ed è sempre il doppio del raggio. La circonferenza C è la distanza tutto intorno, C = 2πr. L'angolo al centro θ è l'angolo in O tra i due raggi che arrivano agli estremi dell'arco, e decide quale frazione della circonferenza copre l'arco.

Due punti su un cerchio creano sempre due archi: quello più corto, l'arco minore, e quello più lungo, l'arco maggiore. Insieme formano la circonferenza completa. Quale dei due ti serve dipende dal tuo problema, e il calcolatore mostra entrambi, così non devi mai indovinare.

La lunghezza dell'arco è una misura unidimensionale, una lunghezza, quindi viene espressa in unità semplici come cm, m o pollici. Non è un'area e non è un angolo. Tenere separate queste tre quantità è il primo passo per eseguire correttamente ogni calcolo sul cerchio.

La lunghezza dell'arco di un cerchio deriva direttamente dalla circonferenza di un cerchio completo. La circonferenza di un cerchio completo è:

Un angolo al centro rappresenta una frazione di una rotazione completa di 360°. Un arco con angolo al centro θ copre la frazione θ / 360 dell'intero cerchio, quindi:

Semplificando si ottiene la forma in gradi della formula:

Quando l'angolo è misurato in radianti, la formula è ancora più semplice, perché un radiante è definito dal raggio stesso:

Ogni simbolo nelle formule ha un significato preciso:

Entrambe le forme danno la stessa risposta. Usa L = πrθ / 180 quando l'angolo è in gradi, e L = rθ quando è in radianti. Il calcolatore converte prima i gradi in radianti e poi usa internamente L = rθ, ed è per questo che le due modalità concordano sempre.

Usare il diametro invece del raggio dà una seconda forma della stessa formula. Poiché d = 2r, allora r = d / 2, e sostituendo si ottiene L = dθ / 2 in radianti, oppure L = πdθ / 360 in gradi.

Raggio più angolo al centro è il modo più diretto per trovare la lunghezza di un arco. L'esempio svolto qui sotto usa un raggio di 5 unità e un angolo al centro di 60°.

1. Individua il raggio. r = 5 unità.
2. Individua l'angolo al centro. θ = 60°.
3. Converti i gradi in radianti. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radianti.
4. Scrivi la formula della lunghezza dell'arco. L = rθ.
5. Sostituisci i valori. L = 5 × π / 3.
6. Calcola. L = 5.2359877560 unità.
7. Arrotonda se necessario. A due cifre decimali, L = 5.24 unità.

Gli stessi passaggi funzionano per qualsiasi raggio e angolo. Un raggio di 8 unità con 90° dà L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unità. Un raggio di 3 unità con 60° dà L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 unità. Un raggio di 1 unità con 60° dà L = 1.0471975512 unità, che è esattamente π / 3, un controllo utile: per r = 1, la lunghezza dell'arco è uguale all'angolo in radianti.

Regola di arrotondamento. Arrotonda solo alla fine. Se sostituisci π con 3.14 prima di moltiplicare, un raggio di 5 con 60° dà 5.2333333333 invece di 5.2359877560, un errore di 0.0026544227. Quell'errore cresce con il raggio, quindi mantieni la precisione completa per tutto il calcolo e arrotonda solo il risultato finale visualizzato.

Quando conosci il diametro invece del raggio, dimezzalo prima, poi applica la stessa formula. L'esempio svolto qui sotto usa un diametro di 14 unità e un angolo al centro di 120°.

1. Individua il diametro. d = 14 unità.
2. Trova il raggio. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 unità.
3. Individua l'angolo al centro. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radianti.
4. Scrivi la formula. L = rθ, oppure direttamente L = πdθ / 360.
5. Sostituisci. L = 7 × 2.0943951024, oppure L = π × 14 × 120 / 360.
6. Calcola. L = 14.6607657168 unità.
7. Arrotonda se necessario. A due cifre decimali, L = 14.66 unità.

Entrambi i percorsi concordano esattamente, e questo è un buon autocontrollo. Il percorso con il raggio dà 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Il percorso con il diametro dà π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Se i due non concordano, il diametro non è stato dimezzato correttamente.

Un altro esempio: un diametro di 20 unità con 180° dà r = 10 unità, quindi L = π × 10 = 31.4159265359 unità, l'arco della semicirconferenza. Un diametro di 10 unità con 60° dà r = 5 unità, quindi L = 5.2359877560 unità. L'errore più comune in questo calcolo è dimenticare la divisione per due e usare il diametro come se fosse il raggio, il che raddoppia la risposta. Per d = 14, quell'errore dà 29.3215314336 invece di 14.6607657168.

Consiglio per la misurazione. Nella vita reale i diametri sono spesso più facili da misurare dei raggi, perché puoi misurare dritto attraverso il cerchio. Ecco perché il calcolatore accetta direttamente l'input del diametro: misura attraverso, inseriscilo, e il calcolatore lo dimezza per te.

I gradi sono l'unità quotidiana per gli angoli. Un cerchio completo contiene 360°, quindi un angolo al centro in gradi ti dice direttamente quale frazione del cerchio completo copre il tuo arco. Un angolo di 90° copre un quarto del cerchio, 180° copre una metà, e 270° copre tre quarti.

La formula in gradi è L = πrθ / 180, dove θ è in gradi. Deriva dall'idea della frazione: θ / 360 della circonferenza 2πr, semplificata.

Esempio svolto. Raggio 8 unità, angolo 90°.

1. Individua i valori. r = 8 unità, θ = 90°.
2. Trova la frazione del cerchio. 90 / 360 = 1 / 4, un quarto di cerchio.
3. Scrivi la formula. L = πrθ / 180.
4. Sostituisci. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Calcola. L = 12.5663706144 unità.
6. Verifica con la circonferenza. La circonferenza completa è 2π × 8 = 50.2654824574 unità, e un quarto di essa è 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 unità. Le due concordano.

Altri esempi in gradi con un raggio di 5 unità: 30° dà L = 2.6179938780 unità, 45° dà L = 3.9269908170 unità, 120° dà L = 10.4719755120 unità, e 270° dà L = 23.5619449019 unità. Nota che raddoppiare l'angolo raddoppia la lunghezza dell'arco per lo stesso raggio, perché la lunghezza dell'arco è direttamente proporzionale all'angolo al centro.

Errore comune con i gradi. Inserire un valore in gradi direttamente in L = rθ senza convertirlo dà una risposta enormemente sbagliata. Per r = 5 e 60°, il calcolo non convertito dà 5 × 60 = 300, ma la risposta corretta è 5.2359877560. La formula L = rθ richiede i radianti, quindi converti prima oppure usa la forma in gradi L = πrθ / 180.

Un radiante è l'angolo che si ottiene quando la lunghezza dell'arco è uguale al raggio. Se avvolgi intorno al cerchio un filo lungo quanto il raggio, l'angolo che esso sottende al centro è esattamente 1 radiante. Un cerchio completo contiene 2π radianti, circa 6.2831853072 radianti, perché la circonferenza completa è 2πr e dividendo per r resta 2π.

La formula in radianti è L = rθ, la formula più semplice per la lunghezza dell'arco che esista. Non contiene π, perché il π è già dentro la misura in radianti dell'angolo.

Esempio svolto. Raggio 5 unità, angolo π / 3 radianti (che è 60°).

1. Individua i valori. r = 5 unità, θ = π / 3 = 1.0471975512 radianti.
2. Scrivi la formula. L = rθ.
3. Sostituisci. L = 5 × 1.0471975512.
4. Calcola. L = 5.2359877560 unità.
5. Verifica con i gradi. π / 3 radianti sono 60°, e la formula in gradi dà L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 unità. Le due concordano esattamente.

Altri esempi in radianti: un raggio di 4 unità con θ = π / 2 radianti dà L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 unità. Un raggio di 6 unità con θ = π / 4 radianti dà L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 unità. Un raggio di 10 unità con θ = π radianti dà L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 unità, l'arco della semicirconferenza.

Perché i radianti sono preferiti in matematica. Le formule del calcolo infinitesimale per la lunghezza dell'arco, e le formule per corda, settore e area del segmento in questa pagina, usano tutte i radianti. I gradi sono comodi per le misurazioni quotidiane, ma i radianti rendono pulita la matematica, ed è per questo che il calcolatore converte ogni angolo in radianti prima di calcolare.

Due punti su un cerchio lo dividono in due archi. Quello più corto è l'arco minore, e quello più lungo è l'arco maggiore. Condividono gli stessi estremi, e insieme formano la circonferenza completa.

L'angolo al centro decide qual è quale. Un angolo al centro inferiore a 180° dà un arco minore. Un angolo al centro superiore a 180° dà un arco maggiore. Esattamente 180° dà una semicirconferenza, che non è né minore né maggiore: entrambi gli archi sono uguali.

Minore e maggiore sono complementari. Per un angolo al centro più piccolo θ, l'arco minore è Lminore = rθ e l'arco maggiore è Lmaggiore = r(2π - θ). La loro somma è sempre la circonferenza completa:

Esempio svolto. Raggio 5 unità, angolo più piccolo 60°. L'arco minore è L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unità. L'arco maggiore usa l'angolo riflesso 360° - 60° = 300°, quindi L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 unità. La somma è 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 unità, che è esattamente la circonferenza 2π × 5. L'arco minore è il 16.67% del cerchio e l'arco maggiore è l'83.33%.

Un altro esempio. Raggio 4 unità, angolo 270°. Questo è già l'arco maggiore: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 unità. Il suo arco minore complementare usa 90°: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 unità. La somma è 25.1327412287 unità, la circonferenza completa 2π × 4.

Non confondere i due angoli. L'errore più comune tra minore e maggiore è usare l'angolo più piccolo quando il problema chiede l'arco maggiore, o viceversa. Controlla sempre se l'angolo che ti è stato dato è quello più piccolo o quello riflesso, e ricorda che il calcolatore mostra entrambi gli archi affiancati così puoi scegliere quello che serve al tuo problema.

La lunghezza dell'arco e la lunghezza della corda collegano entrambe gli stessi due punti su un cerchio, ma seguono percorsi diversi. L'arco segue la curva. La corda taglia dritto attraverso. L'arco è quasi sempre più lungo.

Le formule mostrano chiaramente la differenza:

La corda dipende dal seno della metà dell'angolo, che cresce più lentamente dell'angolo stesso, quindi il divario tra arco e corda si allarga man mano che l'angolo cresce.

Tre fatti della tabella meritano di essere ricordati. A 30°, l'arco è solo circa l'1.15% più lungo della corda, quindi per angoli piccoli i due sono vicini. A 180°, la corda è il diametro, 10 unità, mentre l'arco è πr = 15.7079632679 unità. A 270°, la corda si riduce a 7.0710678119 unità, lo stesso valore di 90°, perché la corda dipende dall'angolo più piccolo tra gli estremi, mentre l'arco continua a crescere con la rotazione.

Caso speciale. A 60°, la corda è esattamente uguale al raggio: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Per r = 5, la corda è 5 unità, e il raggio, la corda e i due raggi formano un triangolo equilatero. Questo è un controllo pratico e un classico dei temi d'esame.

Perché è importante. Se stai tagliando un tubo curvo, ti serve la lunghezza dell'arco. Se stai misurando la distanza retta tra due punti su un pezzo circolare, ti serve la corda. Confondere le due è uno degli errori più comuni con i cerchi, e il calcolatore mostra entrambi i valori insieme così la differenza è sempre visibile.

La lunghezza dell'arco e l'area del settore sembrano simili, ma misurano cose diverse. La lunghezza dell'arco è una distanza curva unidimensionale, misurata in unità semplici. L'area del settore è una regione bidimensionale, il cuneo del cerchio ritagliato da due raggi e dall'arco, misurata in unità quadrate.

Le formule sembrano simili, ed è proprio per questo che vengono confuse:

L'area del settore è la lunghezza dell'arco moltiplicata per metà del raggio: A = ½ × r × L. Quella relazione è un controllo utile. Per un raggio di 5 unità e 60°, l'arco è 5.2359877560 unità, e l'area del settore è ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 unità quadrate.

Le unità sono l'indizio decisivo. Se la tua risposta deve essere una lunghezza, l'unità è cm, m o pollici. Se deve essere un'area, l'unità è cm², m² o pollici quadrati. Una risposta per la lunghezza dell'arco in unità quadrate, o una risposta per l'area del settore in unità semplici, è sicuramente sbagliata. Il calcolatore tiene separate le due e indica chiaramente le unità.

Un controllo con il cerchio completo. A 360°, il settore è l'intero cerchio, quindi l'area del settore deve essere uguale a πr². Per r = 6, π × 36 = 113.0973355292 unità quadrate. L'arco nello stesso momento è la circonferenza completa, 37.6991118431 unità. Entrambi derivano dallo stesso raggio e angolo, ma rispondono a domande diverse.

Un segmento circolare è la regione racchiusa da un arco e dalla sua corda. Immagina una fetta del cerchio tagliata da una linea retta: il bordo curvo è l'arco, il bordo retto è la corda, e l'area tra di essi è il segmento. È più piccolo del settore, perché il settore include anche il triangolo formato dai due raggi e dalla corda.

L'area del segmento è l'area del settore meno l'area triangolare tra i due raggi e la corda:

Qui θ è la rotazione al centro in radianti, tra 0 e 2π. La formula gestisce correttamente sia i segmenti minori sia quelli maggiori: per un arco minore dà la piccola calotta, e per un arco maggiore dà la grande regione che copre la maggior parte del cerchio.

Esempi svolti. Per r = 5 unità e 60°, l'area del settore è 13.0899693900 unità quadrate e l'area del segmento è ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 unità quadrate. Il segmento è molto più piccolo del settore, perché il triangolo occupa la maggior parte del cuneo. Per r = 5 e 90°, il segmento è 7.1349540849 unità quadrate. Per r = 8 e 90°, il segmento è 18.2654824574 unità quadrate.

Casi speciali. A 180°, sin θ = 0, quindi l'area del segmento è uguale all'area del settore: ½ πr². Per r = 5, entrambe sono 39.2699081699 unità quadrate, che è esattamente metà del cerchio. A 270°, sin θ = -1, quindi il segmento è più grande del settore: per r = 5, il settore è 58.9048622548 unità quadrate e il segmento è 71.4048622548 unità quadrate. A 360°, la corda svanisce e il segmento è l'intero cerchio, πr².

Segmento e settore, in una riga. Il settore è il cuneo dal centro. Il segmento è la calotta oltre la corda. Se il tuo problema riguarda il centro, ti serve il settore. Se riguarda solo l'arco e la sua corda, ti serve il segmento.

Gradi e radianti sono due unità per la stessa cosa, l'angolo. I gradi dividono un giro completo in 360 parti uguali. I radianti misurano un angolo in base all'arco che esso ritaglia, in unità di raggio. I due sono legati da una singola conversione: π radianti equivalgono a 180°.

Le formule di conversione sono:

Conversioni svolte. 120° in radianti sono 120 × π / 180 = 2.0943951024 radianti. 45° sono 45 × π / 180 = 0.7853981634 radianti. Nell'altro senso, 1 radiante è 1 × 180 / π = 57.2957795131°, e 2 radianti sono 114.5915590262°. Quest'ultimo valore è utile: un arco diventa più lungo del diametro esattamente quando l'angolo supera 2 radianti.

Quale unità dovresti usare? Usa i gradi quando il problema dà i gradi, e i radianti quando dà i radianti. Il calcolatore accetta entrambi, e il selettore DEG/RAD converte il tuo angolo senza cambiare l'arco. Per il calcolo a mano, i gradi si adattano alla forma frazionaria L = πrθ / 180, mentre i radianti si adattano alla forma pulita L = rθ. In ogni caso, non mescolare mai le due in una sola formula.

A volte non sono dati né il raggio né il diametro. Il calcolatore lavora a ritroso da altre quattro misure ricavando prima il raggio, poi applicando L = rθ come al solito. Tutti e sei i metodi danno lo stesso raggio e la stessa lunghezza dell'arco per lo stesso cerchio, quindi puoi usare la misura che hai davvero a disposizione.

Dalla circonferenza completa. La circonferenza completa è C = 2πr, quindi r = C / (2π). Per C = 31.4159265359 unità, r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 unità. Poi un arco di 60° è L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unità. Nota la scorciatoia: un arco di 60° è un sesto della circonferenza, e 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 unità.

Dalla lunghezza della corda. La formula della corda è c = 2r sin(θ / 2), quindi r = c / [2 sin(θ / 2)]. Per una corda di 5 unità con un angolo di 60°, r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 unità. Poi L = 5.2359877560 unità. L'input della corda funziona solo quando l'angolo è strettamente compreso tra 0° e 360°: a 0° o 360° la corda è zero e non si può ricavare alcun raggio, quindi il calcolatore rifiuta quegli angoli per questo metodo.

Dall'area del cerchio completo. L'area di un cerchio completo è A = πr², quindi r = √(A / π). Per A = 78.5398163397 unità quadrate, r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 unità. Poi un arco di 60° è L = 5.2359877560 unità. Puoi verificare il raggio rimettendolo nella formula dell'area: π × 25 = 78.5398163397 unità quadrate.

Dall'area del settore. L'area del settore è A = ½r²θ, quindi r = √(2A / θ) con θ in radianti. Per un'area del settore di 13.0899693900 unità quadrate con un angolo di 60°, θ = 1.0471975512 radianti, quindi r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 unità. Poi L = 5.2359877560 unità. Questo metodo ha bisogno dell'angolo oltre che dell'area, perché la stessa area del settore può derivare da molte combinazioni di raggio e angolo.

Quale input usare. Usa la misura che hai davvero a disposizione. Se due misure diverse danno raggi diversi, una delle misure è sbagliata, e vale la pena indagare quel disaccordo prima di fidarsi di una delle due risposte.

La lunghezza dell'arco non è un esercizio astratto da aula. Ovunque una distanza curva su un cerchio debba essere misurata, tagliata, costruita o percorsa, si applica la stessa formula.

Ingegneria e produzione. La piegatura dei tubi inizia con la lunghezza dell'arco: un tubo piegato di 90° con un raggio di curvatura di 8 unità richiede 12.5663706144 unità di tubo solo per la piega. La lamiera arrotolata in un pannello curvo, il profilo di un dente di ingranaggio e la forma di una camma richiedono tutti la lunghezza curva prima che il materiale venga tagliato. Sbagliarla spreca materiale o lascia un pezzo troppo corto.

Architettura e costruzioni. Porte ad arco, finestre circolari, cupole e scale curve sono dimensionate in base ai loro archi. Un arco semicircolare con un raggio di 10 unità richiede 31.4159265359 unità di rifinitura lungo la curva. Un ordine di bordatura per un'aiuola circolare richiede l'arco per il lato curvo e il diametro per il lato dritto, che sono numeri diversi.

Strade e piste. Una curva stradale circolare, la curva di una pista di atletica o una curva ferroviaria sono tracciate in base a raggio e angolo al centro. La lunghezza della curva decide la quantità di asfalto, la lunghezza del binario e la distanza percorsa da un veicolo nella curva. Una curva di 120° con un raggio di 7 unità è lunga 14.6607657168 unità.

Orologi, ruote e robotica. La lancetta di un orologio spazza un arco con il passare del tempo. Una ruota che rotola sul terreno copre una distanza uguale all'arco attraverso cui ruota. Un braccio robotico che ruota attorno a un giunto muove la sua pinza lungo un arco circolare, e la distanza che percorre è rθ, ed è per questo che i radianti sono l'unità naturale in robotica.

Grafica computerizzata e CAD. Le curve nei modelli CAD, nei caratteri tipografici e nelle animazioni sono costruite da archi circolari. La lunghezza di un arco decide come viene suddiviso un percorso utensile, come viene disegnata una curva e quanto si muove un oggetto lungo un percorso circolare in un'animazione.

Una nota sulle forme reali. Non ogni struttura curva è un cerchio perfetto. Gli archi reali possono essere ellittici o parabolici, e le strade reali usano transizioni clotoidali. Le formule del cerchio in questa pagina si applicano esattamente quando la curva è un vero arco circolare, e sono una buona approssimazione solo quando la curva è vicina a quella circolare. Conferma sempre la forma prima di applicare la formula.

La maggior parte delle risposte sbagliate sulla lunghezza dell'arco di un cerchio deriva da una breve lista di errori. Controllare ciascuno richiede pochi secondi e previene la maggior parte degli sbagli.

1. Usare il diametro invece del raggio. La formula richiede r, non d. Usare d = 14 come raggio raddoppia la risposta: 29.3215314336 invece di 14.6607657168 per un arco di 120°. Dimezza prima il diametro.
2. Dimenticare di convertire i gradi in radianti. L = rθ richiede i radianti. Inserire 60° direttamente dà 5 × 60 = 300 invece di 5.2359877560. Converti prima, oppure usa L = πrθ / 180.
3. Confondere l'angolo al centro con un angolo alla circonferenza. Un angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro che sottende lo stesso arco. Se un problema dà un angolo alla circonferenza φ, l'angolo al centro è θ = 2φ, e l'arco è L = r × 2φ. Usare φ direttamente dimezza la risposta.
4. Mescolare archi maggiori e minori. Un angolo di 270° dà un arco maggiore di 18.8495559215 unità per r = 4. Usare invece l'angolo più piccolo 90° dà 6.2831853072 unità, l'arco minore. Controlla quale arco chiede il problema.
5. Confondere la lunghezza dell'arco con la lunghezza della corda. La corda è la linea retta, sempre più corta dell'arco. Per r = 5 e 180°, la corda è 10 unità e l'arco è 15.7079632679 unità. Sono uguali solo nel caso limite di lunghezza zero.
6. Confondere l'area del settore con la lunghezza dell'arco. L'area del settore è una regione bidimensionale in unità quadrate. La lunghezza dell'arco è una distanza unidimensionale in unità semplici. Per r = 5 e 60°, l'area del settore è 13.0899693900 unità quadrate e l'arco è 5.2359877560 unità. Quantità diverse, unità diverse.
7. Usare le unità di misura sbagliate. Un raggio in cm e un angolo in gradi va bene, ma la risposta risulta in cm. Mescolare cm e pollici in un unico calcolo, o dimenticare di convertire l'unità di output, dà un numero della dimensione sbagliata. Converti prima, calcola dopo.
8. Arrotondare π troppo presto. Sostituire π con 3.14 prima di moltiplicare introduce un errore che cresce con il raggio. Mantieni il valore completo di π per tutto il calcolo e arrotonda solo il risultato finale visualizzato.
9. Dimenticare che un cerchio completo rappresenta 360°. Un angolo di 360° è la circonferenza completa, 2πr, non zero. Un angolo di 0° è l'arco di lunghezza zero. I due sembrano simili su un diagramma, perché gli estremi coincidono, ma le loro lunghezze d'arco sono diverse quanto possibile.
10. Usare l'intervallo di angolo sbagliato. Le formule della lunghezza dell'arco per un cerchio presuppongono che la rotazione sia tra 0° e 360°. Un angolo di 450° non è una singola rotazione valida su un cerchio: è un giro completo più 90°, e l'arco per un cerchio è il resto di 90°, 12.5663706144 unità per r = 8.

Un controllo finale che individua la maggior parte di questi errori. Verifica il risultato con la circonferenza. L'arco deve essere compreso tra 0 e 2πr, deve essere più lungo della corda, e gli archi minore e maggiore devono sommarsi esattamente a 2πr. Se uno di questi controlli fallisce, la causa è uno dei dieci errori qui sopra.

Questi sei esempi coprono i principali metodi di input del calcolatore e i tipi di arco. Ciascuno è calcolato dallo stesso motore che alimenta lo strumento, e ogni risultato è stato verificato in modo indipendente.

Esempio 1: arco minore con raggio 5 e 60°. Dati r = 5 unità, θ = 60° = π / 3 radianti. Lunghezza dell'arco L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unità. Diametro d = 10 unità. Corda c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 unità. Area del settore A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 unità quadrate. Circonferenza completa C = 31.4159265359 unità.

Esempio 2: arco di un quarto di cerchio con raggio 8 e 90°. Dati r = 8 unità, θ = 90° = π / 2 radianti. Lunghezza dell'arco L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unità. Corda c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 unità. Area del settore A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 unità quadrate. L'arco è esattamente un quarto della circonferenza di 50.2654824574 unità.

Esempio 3: arco maggiore con raggio 4 e 270°. Dati r = 4 unità, θ = 270° = 3π / 2 radianti. Lunghezza dell'arco L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 unità. Corda c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 unità. Area del settore A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 unità quadrate. L'arco minore complementare, usando 90°, è 6.2831853072 unità. I due archi si sommano a 25.1327412287 unità, la circonferenza completa.

Esempio 4: arco da diametro 14 e 120°. Dati d = 14 unità, θ = 120° = 2π / 3 radianti. Raggio r = 14 / 2 = 7 unità. Lunghezza dell'arco L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 unità. Corda c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 unità. Area del settore A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 unità quadrate. L'area del segmento è 30.0950576159 unità quadrate.

Esempio 5: semicirconferenza con raggio 10 e 180°. Dati r = 10 unità, θ = 180° = π radianti. Lunghezza dell'arco L = 10 × π = 31.4159265359 unità. Corda c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 unità, il diametro. Area del settore A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 unità quadrate, esattamente metà dell'area del cerchio completo. L'arco è π / 2 volte il diametro, circa il 57.08% più lungo della linea retta che lo attraversa.

Esempio 6: cerchio completo con raggio 6 e 360°. Dati r = 6 unità, θ = 360° = 2π radianti. Lunghezza dell'arco L = 6 × 2π = 37.6991118431 unità, che è la circonferenza completa. Corda c = 0, perché gli estremi coincidono. Area del settore A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 unità quadrate, l'area del cerchio completo. La percentuale dell'arco è 100%.

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