Uno strumento matematico premium per il calcolo preciso delle lunghezze degli archi di cerchi, curve ed equazioni parametriche con feedback visivo in tempo reale.
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I punti dorati segnano il punto medio di ogni sottointervallo.
Passa il cursore su un rettangolo per vedere sottointervallo, punto medio, valore dell'integranda e contributo.
Le differenze tra raffinamenti successivi sono un indicatore pratico dell'errore, non un limite di errore garantito.
Errore di calcolo
Raggio e angolo, con area del settore e corda.
Curve x(t) e y(t) su qualsiasi intervallo.
Curve date come r(θ) in forma polare.
Lunghezza d'arco cartesiana con tutti i passaggi.
Curve spaziali x(t), y(t) e z(t).
Integrazione numerica con la regola di Simpson.
Integrazione numerica, regola dei trapezi.
Lunghezza del percorso attraverso punti di coordinate.
Arco di ellisseLunghezza dell'arco di qualsiasi ellisse a partire dai suoi assi e angoli.
Arco di parabolaLunghezza dell'arco di qualsiasi parabola a partire dalla sua equazione.
Arco di semicirconferenzaLunghezza dell'arco di qualsiasi semicirconferenza dal raggio o dal diametro.
Arco di settoreLunghezza dell'arco di un settore circolare da raggio e angolo.
Regola del punto medioLunghezza d'arco con la regola del punto medio, con rettangoli e controlli di errore.
La calcolatrice qui sopra include sette modalità. Ognuna corrisponde a un formato di input standard dell'analisi. Scegli la modalità i cui input assomigliano al tuo problema.
| Modalità | Input richiesti | Quando usare |
|---|---|---|
| Cerchio | Raggio r, angolo al centro θ | Cerchi, settori, ruote, archi |
| Cartesiano | Funzione y = f(x), intervallo [a, b] | Grafici di funzioni |
| Parametrico | x(t), y(t), intervallo [a, b] | Traiettorie, cicli, curve verticali |
| Polare | r(θ), intervallo angolare [α, β] | Spirali, cardioidi, grafici polari |
| Numerico | f(x), intervallo, suddivisioni n | Integrali senza forma chiusa |
| Punti | Elenco di coordinate (x, y) | Tracce GPS, dati campionati |
| 3D | x(t), y(t), z(t), intervallo [a, b] | Curve spaziali, eliche |
Inserisci il raggio r e l'angolo al centro θ. Lo strumento calcola la lunghezza d'arco con L = rθ e riporta anche l'area del settore e la lunghezza della corda dagli stessi due input. Passa da gradi a radianti con il selettore DEG/RAD.
Inserisci una funzione y = f(x) più i valori iniziale e finale di x, a e b. La calcolatrice deriva la funzione, costruisce l'integranda e valuta numericamente l'integrale definito mostrando tutti i passaggi. Per la derivazione completa, prova la calcolatrice della lunghezza d'arco con passaggi.
Inserisci x(t) e y(t) con l'intervallo del parametro. Questa modalità è adatta ai percorsi descritti dal moto nel tempo, dove nessuna coordinata è funzione diretta dell'altra. Per uno strumento dedicato, vedi la calcolatrice della lunghezza d'arco parametrica.
Inserisci r come funzione di θ con l'intervallo dell'angolo. Ideale per spirali, cardioidi e altre curve che si scrivono più naturalmente in forma polare. È disponibile anche una calcolatrice della lunghezza d'arco polare autonoma.
Inserisci f(x), l'intervallo e il numero di suddivisioni n, poi scegli la regola di Simpson o la regola dei trapezi. Questa modalità è utile quando l'integrale di lunghezza d'arco non ha una primitiva elementare o quando vuoi confrontare metodi numerici. Le calcolatrici dedicate della regola di Simpson e della regola dei trapezi mostrano tutto lo svolgimento.
Incolla o digita una lista di punti (x, y). La calcolatrice somma le distanze in linea retta tra punti consecutivi, il che approssima la lunghezza del percorso attraverso dati campionati come le tracce GPS. Vedi anche lo strumento dedicato lunghezza d'arco da punti.
Inserisci x(t), y(t) e z(t) con l'intervallo del parametro per misurare la lunghezza di una curva spaziale, ad esempio un'elica o una traiettoria in 3D. La calcolatrice della lunghezza d'arco in 3D offre lo stesso calcolo nella sua pagina dedicata.
Ogni formula di lunghezza d'arco qui sotto misura la stessa idea: sommare minuscoli segmenti retti lungo la curva. La formula giusta dipende da come è descritta la curva.
Qui r è il raggio e θ è l'angolo al centro in radianti. La lunghezza d'arco ha la stessa unità di r: un raggio in metri dà una lunghezza d'arco in metri. È il caso più semplice perché un cerchio ha curvatura costante.
Usala quando la curva è y = f(x) tra x = a e x = b. Il termine dy/dx è la pendenza; dove la curva è ripida, ogni dx contribuisce con più lunghezza. Gli estremi a e b sono valori di x, non posizioni sull'arco.
Usala quando x e y sono entrambe funzioni di un parametro t, con t da a a b. Gestisce le curve che formano anse o sono verticali, dove y non può essere scritta come funzione di x.
Usala quando la curva è r = r(θ) con θ da α a β. Il termine r² tiene conto della spazzata circolare, mentre (dr/dθ)² tiene conto della variazione radiale.
L'estensione naturale della formula parametrica a tre dimensioni: aggiungi la velocità z al quadrato sotto la radice.
La lunghezza d'arco L segue la curva; la lunghezza della corda c taglia in linea retta. L'arco è sempre più lungo, tranne nel caso limite di un angolo nullo.
Ogni esempio qui sotto è svolto per intero così puoi verificare ogni passaggio.
Dati: raggio r = 5 cm, angolo al centro θ = 60°.
Formula: L = rθ, con θ in radianti.
Sostituzione: L = 5 × 1.0472.
Risposta: L ≈ 5.236 cm.
Dati: raggio r = 10 m, angolo al centro θ = 1.5 rad.
Formula: L = rθ.
Sostituzione: L = 10 × 1.5 = 15.
Risposta: L = 15 m. Non serve alcuna conversione perché l'angolo è già in radianti.
Dati: y = x², intervallo [0, 1].
Formula: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.
Calcolo: per x = 1 la parentesi vale (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789; per x = 0 vale 0.
Risposta: L ≈ 1.4789 unità.
Dati: x = 3cos t, y = 3sin t, t da 0 a π/2.
Formula: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.
Risposta: L = 3π/2 ≈ 4.7124 unità, che corrisponde al noto quarto di circonferenza di un cerchio di raggio 3.
I gradi dividono un giro completo in 360 parti; i radianti misurano l'angolo come lunghezza d'arco su un cerchio unitario, con un giro completo pari a 2π radianti (circa 6.2832). Le due unità descrivono gli stessi angoli: 180° equivalgono a π radianti, 90° equivalgono a π/2 radianti, e 1 radiante sono circa 57.2958°.
L'unità conta perché la formula del cerchio L = rθ è corretta solo quando θ è in radianti. Inserire 90 gradi come 90 radianti sovrastimerebbe l'arco di un fattore di circa 57.3. Il selettore DEG/RAD della calcolatrice converte per te, ma controlla sempre quale unità usa il tuo problema prima di fidarti del risultato.
La maggior parte delle risposte sbagliate deriva da errori di impostazione, non dalla formula in sé. Controlla questa lista prima di fidarti di un risultato.
La formula del cerchio richiede i radianti. Inserire 90 invece di π/2 gonfia la risposta di circa 57 volte. Usa il selettore DEG/RAD o converti prima.
L = rθ usa il raggio. Se il tuo problema dà il diametro, dimezzalo prima, altrimenti la tua risposta sarà esattamente il doppio del valore corretto.
Per y = f(x) gli estremi sono valori di x; per la modalità parametrica sono valori di t; per la polare sono angoli. Confonderli misura il segmento sbagliato.
Una curva polare richiede la formula polare con il suo termine r², e una curva parametrica richiede entrambe le derivate. Scegli la modalità che corrisponde a come è scritta la tua curva.
Le regole di Simpson e dei trapezi migliorano al crescere di n. Se due esecuzioni con n diversi differiscono in modo evidente, aumenta n finché il risultato non si stabilizza.
L'integrazione numerica e la somma punto a punto sono approssimazioni. Convergono alla lunghezza vera, ma non sono identità esatte come L = rθ per i cerchi.
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Una calcolatrice della lunghezza d'arco misura la distanza lungo una curva tra due punti. Inserisci la definizione della curva (ad esempio raggio e angolo, oppure una funzione con gli estremi dell'intervallo) e restituisce la lunghezza, di solito con lo svolgimento passo passo.
Per un cerchio, moltiplica il raggio per l'angolo al centro in radianti (L = rθ). Per le altre curve, usa la formula integrale corrispondente, oppure inserisci la funzione nella calcolatrice qui sopra e scegli la modalità giusta.
La formula del cerchio è L = rθ. Le curve cartesiane usano L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, le parametriche usano L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, le polari usano L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, e le curve in 3D aggiungono il termine z sotto la radice.
Per i cerchi serve il raggio (o il diametro, che è il doppio del raggio). Per le curve generali non serve alcun raggio: le modalità cartesiana, parametrica, polare e da punti funzionano a partire da funzioni o coordinate.
Usa i radianti nella formula L = rθ. Se il tuo angolo è in gradi, convertilo prima (radianti = gradi × π/180) oppure usa il selettore DEG/RAD della calcolatrice, che gestisce la conversione automaticamente.
La lunghezza d'arco segue la curva; la lunghezza della corda è la linea retta tra gli estremi dell'arco. La corda è sempre più corta (c = 2r·sen(θ/2) per un cerchio). Vedi lo schema di confronto nella sezione delle formule qui sopra.
Inserisci x(t) e y(t) con l'intervallo del parametro nella modalità parametrica. La calcolatrice valuta ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt sul tuo intervallo e mostra i passaggi.
Sì. Inserisci x(t), y(t) e z(t) nella modalità 3D. La formula estende la versione parametrica con la derivata z: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.
Il risultato usa la stessa unità di lunghezza dei tuoi input. Se il raggio è in centimetri, la lunghezza d'arco è in centimetri. Gli angoli in sé non hanno unità una volta convertiti in radianti.
I metodi numerici (Simpson, trapezi) approssimano l'integrale. Aumenta il numero di suddivisioni n per un risultato più vicino e confronta con un caso noto per confermare la tua impostazione.