Una herramienta matemática premium para calcular longitudes de arco precisas de círculos, curvas y ecuaciones paramétricas con retroalimentación visual en vivo.
Uso gratuito ·Sin registro ·Funciona en su navegador
Los puntos dorados marcan el punto medio de cada subintervalo.
Pasa el cursor sobre un rectángulo para ver su subintervalo, punto medio, valor del integrando y contribución.
Las diferencias entre refinamientos sucesivos son un indicador práctico de error, no una cota de error garantizada.
Error de cálculo
Radio y ángulo, con área del sector y cuerda.
Curvas x(t) e y(t) en cualquier intervalo.
Curvas dadas como r(θ) en forma polar.
Longitud de arco cartesiana con todos los pasos.
Curvas espaciales x(t), y(t) y z(t).
Integración numérica con la regla de Simpson.
Integración numérica, regla del trapecio.
Longitud de trayectoria a través de puntos de coordenadas.
Arco de elipseLongitud de arco de cualquier elipse a partir de sus ejes y ángulos.
Arco de parábolaLongitud de arco de cualquier parábola a partir de su ecuación.
Arco de semicírculoLongitud de arco de cualquier semicírculo a partir del radio o el diámetro.
Arco de sectorLongitud de arco de un sector circular a partir del radio y el ángulo.
Regla del punto medioLongitud de arco con la regla del punto medio, con rectángulos y comprobaciones de error.
La calculadora anterior incluye siete modos. Cada uno corresponde a un formato de entrada estándar del cálculo. Elija el modo cuyas entradas se parezcan a su problema.
| Modo | Entradas necesarias | Cuándo usar |
|---|---|---|
| Círculo | Radio r, ángulo central θ | Círculos, sectores, ruedas, arcos |
| Cartesiano | Función y = f(x), intervalo [a, b] | Gráficas de funciones |
| Paramétrico | x(t), y(t), intervalo [a, b] | Trayectorias, bucles, curvas verticales |
| Polar | r(θ), intervalo angular [α, β] | Espirales, cardioides, gráficas polares |
| Numérico | f(x), intervalo, subdivisiones n | Integrales sin forma cerrada |
| Puntos | Lista de coordenadas (x, y) | Rutas GPS, datos muestreados |
| 3D | x(t), y(t), z(t), intervalo [a, b] | Curvas espaciales, hélices |
Introduzca el radio r y el ángulo central θ. La herramienta calcula la longitud de arco con L = rθ, e informa además el área del sector y la longitud de la cuerda a partir de las mismas dos entradas. Cambie entre grados y radianes con el selector DEG/RAD.
Introduzca una función y = f(x) más los valores inicial y final de x, a y b. La calculadora deriva la función, construye el integrando y evalúa numéricamente la integral definida mostrando todos los pasos. Para la derivación completa, pruebe la calculadora de longitud de arco con pasos.
Introduzca x(t) e y(t) con el intervalo del parámetro. Este modo es adecuado para trayectorias descritas por el movimiento en el tiempo, donde ninguna coordenada es función directa de la otra. Para una herramienta dedicada, consulte la calculadora de longitud de arco paramétrica.
Introduzca r como función de θ con el intervalo del ángulo. Ideal para espirales, cardioides y otras curvas que se expresan de forma más natural en forma polar. También está disponible una calculadora de longitud de arco polar independiente.
Introduzca f(x), el intervalo y el número de subdivisiones n, y luego elija la regla de Simpson o la regla del trapecio. Este modo es útil cuando la integral de longitud de arco no tiene antiderivada elemental o cuando quiere comparar métodos numéricos. Las calculadoras dedicadas de la regla de Simpson y la regla del trapecio muestran todo el desarrollo.
Pegue o escriba una lista de puntos (x, y). La calculadora suma las distancias en línea recta entre puntos consecutivos, lo que aproxima la longitud de la trayectoria a través de datos muestreados como recorridos GPS. Consulte también la herramienta dedicada de longitud de arco a partir de puntos.
Introduzca x(t), y(t) y z(t) con el intervalo del parámetro para medir la longitud de una curva espacial, por ejemplo una hélice o una trayectoria en 3D. La calculadora de longitud de arco en 3D ofrece el mismo cálculo en su propia página.
Cada fórmula de longitud de arco a continuación mide la misma idea: sumar pequeños segmentos rectos a lo largo de la curva. La fórmula correcta depende de cómo se describa la curva.
Aquí r es el radio y θ es el ángulo central en radianes. La longitud de arco lleva la misma unidad que r: un radio en metros da una longitud de arco en metros. Este es el caso más simple porque un círculo tiene curvatura constante.
Úsela cuando la curva es y = f(x) entre x = a y x = b. El término dy/dx es la pendiente; donde la curva es empinada, cada dx aporta más longitud. Los límites a y b son valores de x, no posiciones del arco.
Úsela cuando x e y son ambas funciones de un parámetro t, con t desde a hasta b. Esto maneja curvas que forman bucles o son verticales, donde y no puede escribirse como función de x.
Úsela cuando la curva es r = r(θ) con θ desde α hasta β. El término r² representa el barrido circular, mientras que (dr/dθ)² representa el cambio radial.
La extensión natural de la fórmula paramétrica a tres dimensiones: añada la velocidad z al cuadrado bajo la raíz.
La longitud de arco L sigue la curva; la longitud de la cuerda c corta en línea recta. El arco siempre es más largo, excepto en el caso límite de un ángulo cero.
Cada ejemplo a continuación está desarrollado por completo para que pueda verificar cada paso.
Dado: radio r = 5 cm, ángulo central θ = 60°.
Fórmula: L = rθ, con θ en radianes.
Sustitución: L = 5 × 1.0472.
Respuesta: L ≈ 5.236 cm.
Dado: radio r = 10 m, ángulo central θ = 1.5 rad.
Fórmula: L = rθ.
Sustitución: L = 10 × 1.5 = 15.
Respuesta: L = 15 m. No se necesita conversión porque el ángulo ya está en radianes.
Dado: y = x², intervalo [0, 1].
Fórmula: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.
Cálculo: en x = 1 el corchete vale (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789; en x = 0 vale 0.
Respuesta: L ≈ 1.4789 unidades.
Dado: x = 3cos t, y = 3sin t, t de 0 a π/2.
Fórmula: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.
Respuesta: L = 3π/2 ≈ 4.7124 unidades, que coincide con el cuarto de circunferencia conocido de un círculo de radio 3.
Los grados dividen una vuelta completa en 360 partes; los radianes miden el ángulo por la longitud de arco en un círculo unitario, con una vuelta completa igual a 2π radianes (unos 6.2832). Las dos unidades describen los mismos ángulos: 180° equivalen a π radianes, 90° equivalen a π/2 radianes, y 1 radián son unos 57.2958°.
La unidad importa porque la fórmula del círculo L = rθ solo es correcta cuando θ está en radianes. Introducir 90 grados como 90 radianes exageraría el arco en un factor de unos 57.3. El selector DEG/RAD de la calculadora convierte por usted, pero compruebe siempre qué unidad usa su problema antes de confiar en el resultado.
La mayoría de las respuestas incorrectas se deben a errores de planteamiento, no a la fórmula en sí. Revise esta lista antes de confiar en un resultado.
La fórmula del círculo necesita radianes. Introducir 90 en lugar de π/2 infla la respuesta unas 57 veces. Use el selector DEG/RAD o convierta primero.
L = rθ usa el radio. Si su problema da el diámetro, divídalo a la mitad primero o su respuesta será exactamente el doble del valor correcto.
Para y = f(x) los límites son valores de x; para el modo paramétrico son valores de t; para el modo polar son ángulos. Mezclarlos mide el segmento equivocado.
Una curva polar necesita la fórmula polar con su término r², y una curva paramétrica necesita ambas derivadas. Elija el modo que coincida con cómo está escrita su curva.
Las reglas de Simpson y del trapecio mejoran a medida que n crece. Si dos ejecuciones con n distintos difieren notablemente, aumente n hasta que el resultado se estabilice.
La integración numérica y la suma punto a punto son aproximaciones. Convergen a la longitud verdadera, pero no son identidades exactas como L = rθ para círculos.
Encuentre perímetros de sectores circulares, longitudes de contornos curvos y distancias a lo largo de arcos en planos de construcción.
Estime longitudes de cables y correas alrededor de poleas, tolerancias de curvatura de tuberías y material necesario para piezas curvas.
Calcule distancias recorridas a lo largo de trayectorias curvas y relacione la posición del arco con el movimiento angular.
Mida fachadas curvas, aberturas en arco y distancias de pasarelas sinuosas a partir de planos.
Calcule la distancia de recorrido de la punta de un brazo robótico a lo largo de una trayectoria curva programada para planificar el tiempo y el consumo de energía.
Practique el planteamiento y la evaluación de integrales de longitud de arco, la aplicación clásica de la integración a la geometría.
Parametrice curvas por longitud de arco para animaciones a velocidad constante y muestreo uniformemente espaciado a lo largo de trayectorias.
Una calculadora de longitud de arco mide la distancia a lo largo de una curva entre dos puntos. Usted introduce la definición de la curva (por ejemplo, radio y ángulo, o una función con límites de intervalo) y esta devuelve la longitud, normalmente con el desarrollo paso a paso.
Para un círculo, multiplique el radio por el ángulo central en radianes (L = rθ). Para otras curvas, use la fórmula integral correspondiente, o introduzca la función en la calculadora anterior y elija el modo correcto.
La fórmula del círculo es L = rθ. Las curvas cartesianas usan L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, las paramétricas usan L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, las polares usan L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, y las curvas en 3D añaden el término z bajo la raíz.
Para círculos necesita el radio (o el diámetro, que es el doble del radio). Para curvas generales no necesita ningún radio: los modos cartesiano, paramétrico, polar y de puntos funcionan a partir de funciones o coordenadas.
Use radianes en la fórmula L = rθ. Si su ángulo está en grados, conviértalo primero (radianes = grados × π/180) o use el selector DEG/RAD de la calculadora, que realiza la conversión automáticamente.
La longitud de arco sigue la curva; la longitud de la cuerda es la línea recta entre los extremos del arco. La cuerda siempre es más corta (c = 2r·sen(θ/2) para un círculo). Consulte el diagrama comparativo en la sección de fórmulas anterior.
Introduzca x(t) e y(t) con el intervalo del parámetro en el modo paramétrico. La calculadora evalúa ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt en su intervalo y muestra los pasos.
Sí. Introduzca x(t), y(t) y z(t) en el modo 3D. La fórmula extiende la versión paramétrica con la derivada z: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.
El resultado usa la misma unidad de longitud que sus entradas. Si el radio está en centímetros, la longitud de arco está en centímetros. Los ángulos en sí no tienen unidad una vez convertidos a radianes.
Los métodos numéricos (Simpson, trapecio) aproximan la integral. Aumente el número de subdivisiones n para obtener un resultado más cercano, y compárelo con un caso conocido para confirmar su planteamiento.