弧长计算器

弧长计算器的计算方法

上面的计算器包含七种模式，每种对应微积分中的标准输入形式。选择输入形式与您的问题相似的模式。

圆弧长

输入半径 r 和圆心角 θ。工具用 L = rθ 计算弧长，并根据同样的两个输入给出扇形面积和弦长。用 DEG/RAD 开关在度和弧度之间切换。

\( L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians}) \)

直角坐标曲线

输入函数 y = f(x) 以及起点和终点的 x 值 a、b。计算器对函数求导，构造被积函数，并展示全部步骤对定积分做数值计算。完整推导请试用分步弧长计算器。

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)

参数曲线

输入 x(t) 和 y(t) 以及参数区间。适用于用随时间运动描述的路径，其中任一坐标都不是另一坐标的直接函数。专用工具见参数弧长计算器。

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

极坐标曲线

把 r 输入为 θ 的函数，并给出角度区间。适合螺线、心形线等用极坐标写最自然的曲线。还有独立的极坐标弧长计算器可用。

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

数值积分

输入 f(x)、区间和分割数 n，然后选择辛普森法则或梯形法则。当弧长积分没有初等原函数，或想比较数值方法时，这个模式很有用。专用的辛普森法则计算器和梯形法则计算器会展示完整计算过程。

坐标点

粘贴或输入 (x, y) 点列表。计算器把相邻点之间的直线距离相加，由 GPS 轨迹等采样数据近似路径长度。另见专用由点求弧长工具。

\( L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_{i})^{2} + (\Delta y_{i})^{2}} \)

3D 曲线

输入 x(t)、y(t) 和 z(t) 以及参数区间，测量空间曲线的长度，例如螺旋线或 3D 轨迹。专用的3D 弧长计算器在其页面上提供同样的计算。

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

弧长公式

下面的每个弧长公式衡量的都是同一个思想：把沿曲线的小直线段加起来。用哪个公式取决于曲线是如何描述的。

弧长 L 沿曲线走；弦长 c 直线横切。除角度为零的极限情形外，弧总是更长。

如何使用弧长计算器

1. 01选择模式：与您的输入匹配的模式：Circle、Cartesian、Parametric、Polar、Numerical、Points 或 3D。
2. 02输入数值。圆输入半径和圆心角；曲线输入函数和区间端点。
3. 03设置角度单位（圆模式）：用计算器上方的开关选择 DEG（度）或 RAD（弧度）。
4. 04查看结果。弧长会连同逐步计算过程一起显示。圆模式还会显示扇形面积和弦长。
5. 05试用示例：在输入自己的数据之前，点击任意模式中的 "Try Example" 按钮查看正确的输入格式。

弧长计算实例

下面的每个例子都给出了完整步骤，您可以逐一验证。

度与弧度

度把一整圈分成 360 等份；弧度用单位圆上的弧长来度量角度，一整圈等于 2π 弧度（约 6.2832）。两种单位描述的是同一个角度：180° = π 弧度，90° = π/2 弧度，1 弧度约等于 57.2958°。

单位之所以重要，是因为圆的公式 L = rθ 只有在 θ 为弧度时才成立。把 90 度当成 90 弧度输入，弧长会偏大约 57.3 倍。计算器的 DEG/RAD 开关会自动换算，但在相信输出结果之前，务必确认题目使用的是哪种单位。

常见的弧长错误

大多数错误答案来自设置错误，而不是公式本身。在相信结果之前请检查这个清单。

弧长的应用

关于弧长的常见问题