Apa rumus panjang busur lingkaran?

Untuk sebuah lingkaran, panjang busur adalah \(L = r\theta\), dengan \(r\) adalah jari-jari dan \(\theta\) dalam radian.

Bagaimana cara mengubah derajat ke radian untuk panjang busur?

Gunakan \(\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \pi/180\) sebelum menerapkan \(L = r\theta\).

Apa perbedaan antara busur dan tali busur?

Tali busur adalah ruas garis lurus antara dua titik pada suatu lingkaran. Busur adalah lintasan melengkung antara titik-titik yang sama.

Bisakah saya menghitung panjang busur dari diameter, bukan radius?

Ya. Sejak \(r = d/2\), Anda dapat menggunakan \(L = (d/2)\theta\).

Bagaimana cara menghitung panjang busur mayor?

Gunakan sudut pusat yang lebih besar untuk busur mayor, atau hitung busur mayor sebagai keliling penuh dikurangi busur minor.

Bisakah panjang busur lebih besar dari keliling?

Untuk satu putaran penuh, tidak. Jika \(\theta > 2\pi\), rumusnya mewakili jarak dalam beberapa putaran.

Bagaimana jika saya memasukkan radius negatif?

Radius adalah besaran dan tidak boleh negatif. Gunakan nilai radius absolut untuk interpretasi fisik.

Bagaimana hubungan luas sektor dengan panjang busur?

Area sektor dapat ditulis sebagai \(A = \frac{1}{2}rL\), yang menghubungkan langsung radius dan panjang busur.

Apakah satuan busur lingkaran cocok dengan satuan radius?

Ya. Jika jari-jari dalam sentimeter, maka panjang busur dalam sentimeter.

Apa pemeriksaan kewarasan yang baik untuk panjang busur lingkaran?

Busur 90 derajat harus berukuran seperempat keliling penuh.

Kalkulator Panjang Busur

Alat matematika premium untuk menghitung panjang busur lingkaran, kurva, dan persamaan parametrik dengan umpan balik visual langsung.

Gratis digunakan ·Tanpa pendaftaran ·Berjalan di browser Anda

◯

Alat Lingkaran

Jari-jari dan sudut, lengkap dengan luas juring dan tali busur.

∫

Parametrik

Kurva x(t) dan y(t) pada interval apa pun.

Alat Polar

Kurva berbentuk r(θ) dalam bentuk polar.

Langkah Lengkap

Panjang busur Kartesius dengan setiap langkah ditampilkan.

◊

Ruang 3D

Kurva ruang x(t), y(t), dan z(t).

Aturan Simpson

Integrasi numerik dengan aturan Simpson.

△

Aturan Trapesium

Integrasi numerik, aturan trapesium.

⋯

Dari Titik

Panjang lintasan melalui titik-titik koordinat.

Busur Elips

Panjang busur elips apa pun dari sumbu dan sudutnya.

Busur Parabola

Panjang busur parabola apa pun dari persamaannya.

Busur Setengah Lingkaran

Panjang busur setengah lingkaran apa pun dari jari-jari atau diameter.

Busur Juring

Panjang busur juring lingkaran dari jari-jari dan sudut.

Aturan Titik Tengah

Panjang busur dengan aturan titik tengah, lengkap dengan persegi panjang dan pemeriksaan galat.

Navigasi Cepat Hitung Online Metode Panduan Rumus Contoh Pengerjaan Derajat vs Radian Kesalahan Umum Aplikasi FAQ

Metode

Metode Kalkulator Panjang Busur

Kalkulator di atas memiliki tujuh mode. Masing-masing sesuai dengan format input standar dari kalkulus. Pilih mode yang inputnya mirip dengan soal Anda.

Mode	Input yang dibutuhkan	Kapan digunakan
Lingkaran	Jari-jari r, sudut pusat θ	Lingkaran, sektor, roda, busur
Kartesius	Fungsi y = f(x), interval [a, b]	Grafik fungsi
Parametrik	x(t), y(t), interval [a, b]	Lintasan gerak, loop, kurva vertikal
Polar	r(θ), interval sudut [α, β]	Spiral, kardioid, grafik polar
Numerik	f(x), interval, subdivisi n	Integral tanpa bentuk tertutup
Titik	Daftar koordinat (x, y)	Jejak GPS, data sampel
3D	x(t), y(t), z(t), interval [a, b]	Kurva ruang, heliks

Panjang Busur Lingkaran

Masukkan jari-jari r dan sudut pusat θ. Alat ini menghitung panjang busur dengan L = rθ, sekaligus melaporkan luas juring dan panjang tali busur dari dua input yang sama. Beralihlah antara derajat dan radian dengan tombol DEG/RAD.

L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians})

Kurva Kartesius

Masukkan fungsi y = f(x) beserta nilai x awal dan akhir a dan b. Kalkulator menurunkan fungsi tersebut, menyusun integran, dan mengevaluasi integral tentu secara numerik dengan langkah lengkap ditampilkan. Untuk penurunan lengkapnya, coba kalkulator panjang busur dengan langkah.

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx

Kurva Kartesius y = f(x) dengan segmen panjang busur antara a dan b disorot, dan elemen diferensial ds ditampilkan

Kurva Parametrik

Masukkan x(t) dan y(t) beserta interval parameternya. Mode ini cocok untuk lintasan yang digambarkan oleh gerak terhadap waktu, di mana tidak ada satu koordinat pun yang merupakan fungsi langsung dari koordinat lainnya. Untuk alat khusus, lihat kalkulator panjang busur parametrik.

__HALAMAN_TOKEN_0__

Kurva Polar

Masukkan r sebagai fungsi θ beserta interval sudutnya. Cocok untuk spiral, kardioid, dan kurva lain yang paling alami ditulis dalam bentuk polar. kalkulator panjang busur polar mandiri juga tersedia.

__HALAMAN_TOKEN_0__

Integrasi Numerik

Masukkan f(x), interval, dan jumlah subdivisi n, lalu pilih aturan Simpson atau aturan trapesium. Mode ini berguna ketika integral panjang busur tidak memiliki antiturunan elementer atau ketika Anda ingin membandingkan metode numerik. Kalkulator aturan Simpson dan aturan trapesium khusus menampilkan seluruh pengerjaannya.

Titik Koordinat

Tempel atau ketik daftar titik (x, y). Kalkulator menjumlahkan jarak garis lurus antara titik-titik berurutan, yang menghampiri panjang lintasan melalui data sampel seperti trek GPS. Lihat juga alat panjang busur dari titik khusus.

__HALAMAN_TOKEN_0__

Kurva 3D

Masukkan x(t), y(t), dan z(t) beserta interval parameter untuk mengukur panjang kurva ruang, misalnya heliks atau lintasan 3D. kalkulator panjang busur 3D khusus menawarkan perhitungan yang sama di halamannya sendiri.

__HALAMAN_TOKEN_0__

Panduan Rumus

Rumus Panjang Busur

Setiap rumus panjang busur di bawah mengukur gagasan yang sama: menjumlahkan potongan-potongan lurus yang sangat kecil sepanjang kurva. Rumus yang tepat bergantung pada cara kurva dideskripsikan.

Lingkaran dengan busur disorot yang menunjukkan jari-jari r, sudut pusat theta, dan panjang busur L, mengilustrasikan rumus L = r kali theta

Lingkaran: L = rθ

L = r\theta

Di sini r adalah jari-jari dan θ adalah sudut pusat dalam radian. Panjang busur memakai satuan yang sama dengan r: jari-jari dalam meter menghasilkan panjang busur dalam meter. Ini kasus paling sederhana karena lingkaran memiliki kelengkungan yang konstan.

Kartesius: integral dari √(1 + (dy/dx)²)

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx

Gunakan ketika kurvanya y = f(x) antara x = a dan x = b. Suku dy/dx adalah kemiringan; di bagian kurva yang curam, setiap dx menyumbang panjang lebih besar. Batas a dan b adalah nilai x, bukan posisi busur.

Parametrik: integral dari √((dx/dt)² + (dy/dt)²)

__HALAMAN_TOKEN_0__

Gunakan ketika x dan y keduanya fungsi dari parameter t, dengan t berjalan dari a ke b. Ini menangani kurva yang melingkar atau vertikal, di mana y tidak dapat ditulis sebagai fungsi dari x.

Polar: integral dari √(r² + (dr/dθ)²)

__HALAMAN_TOKEN_0__

Gunakan ketika kurvanya r = r(θ) dengan θ dari α ke β. Suku r² memperhitungkan sapuan melingkar sedangkan (dr/dθ)² memperhitungkan perubahan radial.

3D: integral dari √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²)

__HALAMAN_TOKEN_0__

Perluasan alami rumus parametrik ke tiga dimensi: tambahkan kuadrat kecepatan z di bawah akar.

Lingkaran yang membandingkan panjang busur lengkung L dengan panjang tali busur lurus c antara dua titik ujung yang sama

Panjang busur L mengikuti kurva; panjang tali busur c memotong lurus. Busur selalu lebih panjang, kecuali pada kasus batas sudut nol.

Petunjuk

Cara Menggunakan Kalkulator Panjang Busur

01Pilih mode yang sesuai input Anda: Lingkaran, Kartesius, Parametrik, Polar, Numerik, Titik, atau 3D.
02Masukkan nilainya. Untuk lingkaran, ketik jari-jari dan sudut pusat. Untuk kurva, ketik fungsi dan batas interval.
03Atur satuan sudut (mode lingkaran): pilih DEG untuk derajat atau RAD untuk radian dengan tombol di atas kalkulator.
04Baca hasilnya. Panjang busur muncul beserta langkah pengerjaan bertahap. Mode lingkaran juga menampilkan luas juring dan panjang tali busur.
05Coba contoh dengan tombol "Try Example" di mode mana pun untuk melihat format input yang benar sebelum mengetik sendiri.

Contoh Pengerjaan

Contoh Perhitungan Panjang Busur

Setiap contoh di bawah dikerjakan lengkap agar Anda dapat memeriksa setiap langkah.

Contoh 1: Busur lingkaran dari jari-jari dan derajat

Diketahui: jari-jari r = 5 cm, sudut pusat θ = 60°.

Rumus: L = rθ, dengan θ dalam radian.

\theta = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472

Substitusi: L = 5 × 1.0472.

Jawaban: L ≈ 5.236 cm.

Contoh 2: Busur lingkaran dari jari-jari dan radian

Diketahui: jari-jari r = 10 m, sudut pusat θ = 1.5 rad.

Rumus: L = rθ.

Substitusi: L = 10 × 1.5 = 15.

Jawaban: L = 15 m. Tidak perlu konversi karena sudutnya sudah dalam radian.

Contoh 3: Kurva Kartesius y = x² dari 0 sampai 1

Diketahui: y = x², interval [0, 1].

Rumus: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.

\frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx

L = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|2x + \sqrt{1+4x^{2}}\right| \right]_{0}^{1}

Perhitungan: pada x = 1 nilai kurungnya adalah (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789; pada x = 0 nilainya 0.

Jawaban: L ≈ 1.4789 satuan.

Contoh 4: Seperempat lingkaran parametrik

Diketahui: x = 3cos t, y = 3sin t, t dari 0 sampai π/2.

Rumus: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

\frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t

\sqrt{9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{\pi/2} 3\,dt = \frac{3\pi}{2}

Jawaban: L = 3π/2 ≈ 4.7124 satuan, sesuai dengan seperempat keliling lingkaran berjari-jari 3 yang sudah dikenal.

Satuan Sudut

Derajat vs Radian

Derajat membagi satu putaran penuh menjadi 360 bagian; radian mengukur sudut berdasarkan panjang busur pada lingkaran satuan, dengan satu putaran penuh sama dengan 2π radian (sekitar 6.2832). Kedua satuan menggambarkan sudut yang sama: 180° sama dengan π radian, 90° sama dengan π/2 radian, dan 1 radian sekitar 57.2958°.

Satuan ini penting karena rumus lingkaran L = rθ hanya benar jika θ dalam radian. Memasukkan 90 derajat sebagai 90 radian akan melebih-lebihkan busur sekitar 57.3 kali. Tombol DEG/RAD pada kalkulator mengonversi untuk Anda, tetapi selalu periksa kembali satuan yang dipakai soal Anda sebelum mempercayai hasilnya.

Dua setengah lingkaran berdampingan yang membandingkan tanda derajat (0, 90, 180 derajat) dengan tanda radian (0, pi per 2, pi), menunjukkan 180 derajat sama dengan pi radian

Tips Akurasi

Kesalahan Umum Panjang Busur

Sebagian besar jawaban salah berasal dari kesalahan penyiapan, bukan dari rumusnya sendiri. Periksa daftar ini sebelum mempercayai hasil.

Menggunakan derajat dalam L = rθ

Rumus lingkaran membutuhkan radian. Memasukkan 90 alih-alih π/2 membuat jawaban membengkak sekitar 57 kali. Gunakan tombol DEG/RAD atau konversi dulu.

Memasukkan diameter, bukan jari-jari

L = rθ memakai jari-jari. Jika soal memberi diameter, bagi dua dulu atau jawaban Anda akan tepat dua kali lipat dari nilai yang benar.

Batas integrasi yang salah

Untuk y = f(x) batasnya adalah nilai x; untuk mode parametrik batasnya nilai t; untuk polar batasnya sudut. Mencampurnya akan mengukur segmen yang salah.

Rumus salah untuk jenis kurva

Kurva polar membutuhkan rumus polar dengan suku r²-nya, dan kurva parametrik membutuhkan kedua turunannya. Pilih mode yang sesuai dengan cara kurva Anda ditulis.

Subdivisi numerik terlalu sedikit

Aturan Simpson dan trapesium membaik seiring bertambahnya n. Jika dua percobaan dengan n berbeda hasilnya jelas berbeda, naikkan n sampai hasilnya stabil.

Menganggap hampiran sebagai nilai eksak

Integrasi numerik dan penjumlahan titik ke titik adalah hampiran. Keduanya konvergen ke panjang sebenarnya tetapi bukan identitas eksak seperti L = rθ untuk lingkaran.

Kasus Penggunaan Nyata

Aplikasi Panjang Busur

Geometri

Mencari keliling juring lingkaran, panjang batas lengkung, dan jarak sepanjang busur dalam tata letak konstruksi.

Teknik

Memperkirakan panjang kabel dan sabuk di sekitar katrol, kelonggaran tekukan pipa, dan material untuk komponen lengkung.

Fisika

Menghitung jarak yang ditempuh sepanjang lintasan lengkung dan menghubungkan posisi busur dengan gerak sudut.

Arsitektur

Mengukur fasad lengkung, bukaan melengkung, dan jarak jalan setapak berliku dari gambar rencana.

Robotika

Menghitung jarak tempuh ujung lengan robot sepanjang lintasan lengkung terprogram untuk merencanakan waktu dan penggunaan energi.

Kalkulus

Berlatih menyusun dan mengevaluasi integral panjang busur, aplikasi klasik integrasi pada geometri.

Grafik Komputer

Memparametrisasi kurva berdasarkan panjang busur untuk animasi berkecepatan konstan dan pengambilan sampel berjarak sama sepanjang lintasan.

FAQ

Pertanyaan Umum Tentang Panjang Busur

Apa itu kalkulator panjang busur?

Kalkulator panjang busur mengukur jarak sepanjang kurva antara dua titik. Anda memasukkan definisi kurva (misalnya jari-jari dan sudut, atau fungsi beserta batas interval) dan kalkulator mengembalikan panjangnya, biasanya dengan langkah pengerjaan bertahap.

Bagaimana cara menghitung panjang busur?

Untuk lingkaran, kalikan jari-jari dengan sudut pusat dalam radian (L = rθ). Untuk kurva lain, gunakan rumus integral yang sesuai, atau masukkan fungsi ke kalkulator di atas dan pilih mode yang tepat.

Apa rumus panjang busur?

Rumus lingkaran adalah L = rθ. Kurva Kartesius memakai L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, kurva parametrik memakai L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, kurva polar memakai L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, dan kurva 3D menambahkan suku z di bawah akar.

Bisakah saya menghitung panjang busur tanpa jari-jari?

Untuk lingkaran Anda membutuhkan jari-jari (atau diameter, yang dua kali jari-jari). Untuk kurva umum Anda sama sekali tidak membutuhkan jari-jari: mode Kartesius, parametrik, polar, dan titik bekerja dari fungsi atau koordinat.

Haruskah saya memakai derajat atau radian?

Gunakan radian dalam rumus L = rθ. Jika sudut Anda dalam derajat, konversi dulu (radian = derajat × π/180) atau gunakan tombol DEG/RAD pada kalkulator, yang menangani konversinya secara otomatis.

Apa bedanya panjang busur dan panjang tali busur?

Panjang busur mengikuti kurva; panjang tali busur adalah garis lurus antara kedua titik ujung busur. Tali busur selalu lebih pendek (c = 2r·sin(θ/2) untuk lingkaran). Lihat diagram perbandingan di bagian rumus di atas.

Bagaimana cara menghitung panjang busur kurva parametrik?

Masukkan x(t) dan y(t) beserta interval parameter ke mode Parametrik. Kalkulator mengevaluasi ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt pada interval Anda dan menampilkan langkah-langkahnya.

Bisakah panjang busur dihitung dalam 3D?

Ya. Masukkan x(t), y(t), dan z(t) ke mode 3D. Rumusnya memperluas versi parametrik dengan turunan z: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.

Satuan apa yang dipakai jawabannya?

Hasil memakai satuan panjang yang sama dengan input Anda. Jika jari-jari dalam sentimeter, panjang busur dalam sentimeter. Sudut sendiri tidak bersatuan setelah dikonversi ke radian.

Mengapa hasil numerik saya sedikit berbeda dari nilai eksaknya?

Metode numerik (Simpson, trapesium) menghampiri integral. Naikkan jumlah subdivisi n untuk hasil yang lebih dekat, dan bandingkan dengan kasus yang sudah diketahui untuk memastikan penyiapan Anda.