원의 호의 길이
반지름 r과 중심각 θ를 입력합니다. 도구는 L = rθ로 호의 길이를 계산하고, 같은 두 입력으로 부채꼴 넓이와 현의 길이도 알려 줍니다. DEG/RAD 토글로 도와 라디안을 전환합니다.
\( L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians}) \)
호 길이 계산기
실시간 시각적 피드백을 통해 원, 곡선 및 파라메트릭 방정식의 정확한 호 길이를 계산하기 위한 프리미엄 수학 도구입니다.
무료로 사용 ·가입 불필요 ·브라우저에서 실행
호 길이 공식
0°360°
도표 표시
원래 곡선과 선택한 호
금색 점이 각 부분구간의 중점을 표시합니다.
피적분함수 g(x)와 중점 직사각형
직사각형에 마우스를 올리면 부분구간, 중점, 피적분함수 값, 기여도를 볼 수 있습니다.
자세한 중점 계산 표
수렴 비교
연속된 세분화 사이의 차이는 실용적인 오차 지표이지 보장된 오차 상한이 아닙니다.
계산 오류
◯
원 도구반지름과 각도, 부채꼴 넓이와 현 포함.
∫
매개변수임의의 구간 위의 x(t)와 y(t) 곡선.
ρ
극좌표 도구극형식 r(θ)로 주어진 곡선.
ƒ
전체 단계전 단계를 보여 주는 직교좌표 호의 길이.
◊
3D 공간공간 곡선 x(t), y(t), z(t).
Σ
심프슨 법칙심프슨 법칙을 이용한 수치적분.
△
사다리꼴 법칙수치적분, 사다리꼴 법칙.
⋯
점에서부터좌표 점을 지나는 경로의 길이.
타원 호축과 각도로 구하는 모든 타원의 호 길이.
포물선 호방정식으로 구하는 모든 포물선의 호 길이.
반원 호반지름이나 지름으로 구하는 모든 반원의 호 길이.
부채꼴 호반지름과 각도로 구하는 원형 부채꼴의 호 길이.
중점법중점법으로 구하는 호의 길이, 직사각형과 오차 검사 포함.
호의 길이 계산기 계산 방법
위 계산기에는 일곱 가지 모드가 있습니다. 각각 미적분학의 표준 입력 형식에 대응합니다. 입력이 문제의 형태와 비슷한 모드를 선택하세요.
| 모드 | 필요한 입력 | 사용 시기 |
|---|---|---|
| 원 | 반지름 r, 중심각 θ | 원, 부채꼴, 바퀴, 호 |
| 데카르트 | 함수 y = f(x), 구간 [a, b] | 함수 그래프 |
| 매개변수 | x(t), y(t), 구간 [a, b] | 운동 경로, 루프, 수직 곡선 |
| 극좌표 | r(θ), 각도 구간 [α, β] | 나선, 카디오이드, 극 그래프 |
| 수치 | f(x), 구간, 분할 수 n | 닫힌 형태가 없는 적분 |
| 점 | (x, y) 좌표 목록 | GPS 궤적, 샘플 데이터 |
| 3D | x(t), y(t), z(t), 구간 [a, b] | 공간 곡선, 나선 |
직교좌표 곡선
함수 y = f(x)와 시작·끝 x 값 a, b를 입력합니다. 계산기는 함수를 미분해 피적분함수를 만들고, 전 단계를 표시하며 정적분을 수치적으로 평가합니다. 전체 유도는 단계별 호의 길이 계산기에서 확인해 보세요.
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
매개변수 곡선
매개변수 구간과 함께 x(t)와 y(t)를 입력합니다. 이 모드는 시간에 따른 운동으로 기술되는 경로처럼, 한 좌표가 다른 좌표의 직접적인 함수가 아닌 경우에 적합합니다. 전용 도구는 매개변수 호의 길이 계산기를 참고하세요.
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
극좌표 곡선
각도 구간과 함께 r을 θ의 함수로 입력합니다. 나선, 카디오이드처럼 극좌표로 가장 자연스럽게 쓰이는 곡선에 이상적입니다. 별도의 극좌표 호의 길이 계산기도 있습니다.
\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)
수치적분
f(x), 구간, 분할 수 n을 입력한 뒤 심프슨 법칙이나 사다리꼴 법칙을 선택합니다. 이 모드는 호의 길이 적분에 초등 원시함수가 없거나 수치 방법을 비교하고 싶을 때 유용합니다. 전용 심프슨 법칙 계산기와 사다리꼴 법칙 계산기가 전 과정을 보여 줍니다.
좌표 점
(x, y) 점 목록을 붙여넣거나 입력합니다. 계산기는 연속된 점 사이의 직선 거리를 합산해 GPS 트랙 같은 샘플 데이터로부터 경로 길이의 근삿값을 구합니다. 전용 점으로부터의 호의 길이 도구도 참고하세요.
\( L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_{i})^{2} + (\Delta y_{i})^{2}} \)
3D 곡선
매개변수 구간과 함께 x(t), y(t), z(t)를 입력해 나선이나 3D 궤적 같은 공간 곡선의 길이를 잽니다. 전용 3D 호의 길이 계산기가 전용 페이지에서 같은 계산을 제공합니다.
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
호의 길이 공식
아래 모든 호의 길이 공식은 같은 아이디어를 측정합니다. 곡선을 따라 작은 직선 구간을 더하는 것이죠. 어떤 공식을 쓸지는 곡선이 어떻게 기술되었는지에 달려 있습니다.
원: L = rθ
\( L = r\theta \)
여기서 r은 반지름, θ는 라디안 단위의 중심각입니다. 호의 길이의 단위는 r과 같습니다. 반지름이 미터이면 호의 길이도 미터가 됩니다. 원은 곡률이 일정하므로 가장 단순한 경우입니다.
직교좌표: √(1 + (dy/dx)²)의 적분
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
x = a부터 x = b까지 곡선이 y = f(x)일 때 사용합니다. dy/dx는 기울기입니다. 곡선이 가파른 곳에서는 각 dx가 더 많은 길이에 기여합니다. 적분 구간 a, b는 x 값이지 호 위의 위치가 아닙니다.
매개변수: √((dx/dt)² + (dy/dt)²)의 적분
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
x와 y가 모두 매개변수 t의 함수이고, t가 a부터 b까지 변할 때 사용합니다. 루프를 이루거나 수직이 되는 곡선처럼 y를 x의 함수로 쓸 수 없는 경우를 다룹니다.
극좌표: √(r² + (dr/dθ)²)의 적분
\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)
곡선이 r = r(θ)이고 θ가 α부터 β일 때 사용합니다. r² 항은 원주 방향의 회전을, (dr/dθ)² 항은 반지름 방향의 변화를 나타냅니다.
3D: √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²)의 적분
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
매개변수 공식을 3차원으로 자연스럽게 확장한 것입니다. 근호 아래에 z 방향 속도의 제곱을 더합니다.
호의 길이 L은 곡선을 따라가고, 현의 길이 c는 곧게 가로지릅니다. 각도가 0인 극한을 제외하고 호가 항상 더 깁니다.
호의 길이 계산기 사용법
- 01모드 선택: 입력에 맞는 것을 고릅니다. Circle, Cartesian, Parametric, Polar, Numerical, Points, 3D.
- 02값 입력. 원이면 반지름과 중심각을 입력합니다. 곡선이면 함수와 구간 끝점을 입력합니다.
- 03각도 단위 설정(원 모드): 계산기 위 토글로 DEG(도) 또는 RAD(라디안)를 선택합니다.
- 04결과 읽기. 단계별 풀이와 함께 호의 길이가 표시됩니다. 원 모드에서는 부채꼴 넓이와 현의 길이도 표시됩니다.
- 05예제 사용해 보기: 직접 입력하기 전에 올바른 입력 형식을 확인하려면 각 모드의 "Try Example" 버튼을 누르세요.
호의 길이 계산 예제
아래 각 예제는 전 과정을 풀이했으므로 모든 단계를 검증할 수 있습니다.
예제 1: 반지름과 도로 구한 원의 호
조건: 반지름 r = 5 cm, 중심각 θ = 60°.
공식: L = rθ, 단 θ는 라디안.
\( \theta = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \)
대입: L = 5 × 1.0472.
답: L ≈ 5.236 cm.
예제 2: 반지름과 라디안으로 구한 원의 호
조건: 반지름 r = 10 m, 중심각 θ = 1.5 rad.
공식: L = rθ.
대입: L = 10 × 1.5 = 15.
답: L = 15 m. 각도가 이미 라디안이므로 변환이 필요 없습니다.
예제 3: 0부터 1까지의 직교좌표 곡선 y = x²
조건: y = x², 구간 [0, 1].
공식: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.
\( \frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx \)
\( L = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|2x + \sqrt{1+4x^{2}}\right| \right]_{0}^{1} \)
계산: x = 1일 때 괄호 안은 (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789, x = 0일 때는 0.
답: L ≈ 1.4789.
예제 4: 매개변수로 나타낸 사분원
조건: x = 3cos t, y = 3sin t, t는 0부터 π/2까지.
공식: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.
\( \frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t \)
\( \sqrt{9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{\pi/2} 3\,dt = \frac{3\pi}{2} \)
답: L = 3π/2 ≈ 4.7124. 이는 반지름 3인 원의 사분원 둘레의 알려진 값과 일치합니다.
도와 라디안
도는 한 바퀴를 360등분한 단위이고, 라디안은 단위원 위의 호의 길이로 각도를 재는 단위로, 한 바퀴는 2π 라디안(약 6.2832)과 같습니다. 두 단위는 같은 각도를 나타냅니다. 180° = π 라디안, 90° = π/2 라디안이며, 1 라디안은 약 57.2958°입니다.
단위가 중요한 이유는 원의 공식 L = rθ가 θ가 라디안일 때만 정확하기 때문입니다. 90도를 90라디안으로 입력하면 호가 약 57.3배 길게 나옵니다. 계산기의 DEG/RAD 토글이 변환을 대신해 주지만, 결과를 믿기 전에 문제에서 어떤 단위를 쓰는지 반드시 확인하세요.
흔한 호의 길이 실수
틀린 답의 대부분은 공식이 아니라 설정 오류에서 옵니다. 결과를 믿기 전에 이 목록을 확인하세요.
L = rθ에 도 사용하기
원의 공식에는 라디안이 필요합니다. π/2 대신 90을 입력하면 답이 약 57배 부풀려집니다. DEG/RAD 토글을 사용하거나 먼저 변환하세요.
반지름 대신 지름 입력하기
L = rθ에서는 반지름을 씁니다. 문제에서 지름을 주었다면 먼저 절반으로 나누지 않으면 답이 정확한 값의 정확히 2배가 됩니다.
잘못된 적분 구간
y = f(x)에서는 구간이 x 값이고, 매개변수 모드에서는 t 값, 극좌표에서는 각도입니다. 이를 혼동하면 잘못된 구간을 재게 됩니다.
곡선 유형에 맞지 않는 공식
극좌표 곡선에는 r² 항을 포함한 극좌표 공식이, 매개변수 곡선에는 두 도함수가 모두 필요합니다. 곡선이 쓰인 형태에 맞는 모드를 선택하세요.
너무 적은 수치 분할 수
심프슨 법칙과 사다리꼴 법칙은 n이 클수록 정확해집니다. n을 달리한 두 계산이 눈에 띄게 다르면 결과가 안정될 때까지 n을 늘리세요.
근삿값을 정확한 값으로 여기기
수치적분과 점별 합산은 근사입니다. 참 길이에 수렴하지만, 원의 L = rθ 같은 정확한 항등식은 아닙니다.
호의 길이의 응용
기하학
원 부채꼴의 둘레, 곡선 경계의 길이, 건설 배치에서 호를 따라가는 거리를 구합니다.
공학
도르래 주변의 케이블과 벨트 길이, 파이프 굽힘 여유, 곡면 부품에 필요한 재료를 추정합니다.
물리학
곡선 궤적을 따라 이동한 거리를 계산하고 호의 위치를 각운동과 연결합니다.
건축
도면에서 곡면 파사드, 아치 개구부, 구불구불한 산책로 거리를 측정합니다.
로봇공학
프로그램된 곡선 경로를 따라 로봇 팔 끝의 이동 거리를 계산해 시간과 에너지 사용을 계획합니다.
미적분학
호의 길이 적분을 세우고 계산하는 연습을 합니다. 기하학에 대한 적분의 대표적인 응용입니다.
컴퓨터 그래픽스
등속 애니메이션과 경로상의 등간격 샘플링을 위해 곡선을 호의 길이로 매개변수화합니다.
호의 길이에 대한 자주 묻는 질문
호의 길이 계산기란 무엇인가요?
호의 길이 계산기는 두 점 사이의 곡선을 따라가는 거리를 측정합니다. 곡선의 정의(예: 반지름과 각도, 또는 구간 끝점이 있는 함수)를 입력하면 보통 단계별 풀이와 함께 길이를 반환합니다.
호의 길이는 어떻게 계산하나요?
원의 경우 반지름에 라디안 단위의 중심각을 곱합니다(L = rθ). 다른 곡선은 맞는 적분 공식을 사용하거나, 위 계산기에 함수를 입력하고 알맞은 모드를 선택하세요.
호의 길이 공식은 무엇인가요?
원의 공식은 L = rθ입니다. 직교좌표 곡선은 L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, 매개변수 곡선은 L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, 극좌표 곡선은 L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ를 사용하고, 3D에서는 근호 아래에 z 항이 추가됩니다.
반지름 없이도 호의 길이를 계산할 수 있나요?
원에서는 반지름(또는 지름. 반지름의 2배)이 필요합니다. 일반적인 곡선에서는 반지름이 전혀 필요 없습니다. 직교좌표, 매개변수, 극좌표, 점 모드는 함수나 좌표로 계산합니다.
도와 라디안 중 무엇을 써야 하나요?
L = rθ 공식에서는 라디안을 사용하세요. 각도가 도 단위이면 먼저 변환하거나(라디안 = 도 × π/180), 계산기의 DEG/RAD 토글을 사용하세요. 변환은 자동으로 처리됩니다.
호의 길이와 현의 길이의 차이는 무엇인가요?
호의 길이는 곡선을 따라가는 길이이고, 현의 길이는 호의 양 끝점을 잇는 직선입니다. 현이 항상 더 짧습니다(원에서는 c = 2r·sin(θ/2)). 위 공식 섹션의 비교 그림을 참고하세요.
매개변수 곡선의 호의 길이는 어떻게 계산하나요?
매개변수 구간과 함께 x(t)와 y(t)를 매개변수 모드에 입력합니다. 계산기는 구간 위에서 ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt를 평가하고 풀이 과정을 보여 줍니다.
3D에서도 호의 길이를 계산할 수 있나요?
네. 3D 모드에 x(t), y(t), z(t)를 입력하세요. 공식은 z 도함수를 더한 매개변수 버전의 확장입니다. L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.
답의 단위는 무엇인가요?
결과는 입력과 같은 길이 단위를 사용합니다. 반지름이 센티미터이면 호의 길이도 센티미터입니다. 라디안으로 변환한 각도 자체는 무차원입니다.
수치 결과가 정확한 값과 조금 다른 이유는 무엇인가요?
수치적 방법(심프슨, 사다리꼴)은 적분의 근삿값입니다. 더 정확한 결과를 원하면 분할 수 n을 늘리고, 알려진 경우와 비교해 설정을 확인하세요.