단계가 있는 호 길이 계산기

호 길이는 곡선 위의 두 점 사이를 곡선을 따라 잰 거리입니다. 원의 경우 두 반지름이 잘라낸 원주의 굽은 부분의 길이입니다. 피자 한 조각을 떠올려 보세요. 그 조각의 가장자리 크러스트가 호이고, 그 길이가 호 길이입니다. 두 직선 변은 반지름이며, 중심에서 그 사이에 낀 각을 중심각이라고 합니다.

중심각은 호가 전체 원에서 차지하는 비율을 결정합니다. 원 한 바퀴는 360도, 즉 2π 라디안입니다. 중심각이 90도이면 호는 원주의 4분의 1입니다. 180도이면 원주의 절반입니다. 이 비례 관계가 모든 호 길이 공식의 기초입니다.

원 위의 임의의 두 점에 대해 호는 두 가지 크기가 있습니다. 열호는 두 점 사이의 짧은 경로로, 180도 미만의 중심각에 해당합니다. 우호는 반대 방향으로 돌아가는 긴 경로로, 180도를 초과하는 각에 해당합니다. 별도 언급이 없으면 호 길이 문제는 열호를 가리킵니다.

일상적인 예가 도움이 됩니다. 반지름 10미터인 원형 정원이 있고, 중심에서 90도 각도에 걸친 구간에 테두리를 설치하고 싶다고 합시다. 전체 원주는 2π(10), 약 62.83미터입니다. 90도 각도는 원 전체의 4분의 1이므로 필요한 테두리는 약 15.71미터입니다. 그 굽은 거리가 호 길이입니다.

호 길이 공식은 각이 라디안으로 측정되는지 도로 측정되는지에 따라 달라집니다. 두 버전 모두 같은 아이디어를 나타냅니다. 호 길이는 전체 원주의 일정 비율이며, 그 비율은 중심각에 의해 정해집니다.

각 θ가 라디안일 때 공식은 간단합니다.

s = rθ

여기서 s는 호 길이, r은 반지름, θ는 라디안 단위의 중심각입니다. 이 공식이 이토록 깔끔하게 성립하는 이유는 라디안이 '반지름과 같은 길이의 호를 잘라내는 각'으로 정의되기 때문입니다. 반지름 5인 원에서 1라디안 각은 정확히 5단위의 호를 잘라냅니다. s의 단위는 항상 r의 단위와 일치합니다. 반지름이 센티미터이면 호 길이도 센티미터입니다.

각이 도 단위일 때는 변환 계수가 필요합니다.

s = πrθ / 180

여기서 θ는 도 단위의 중심각입니다. 180도가 π 라디안과 같으므로 π/180 계수가 내부적으로 도를 라디안으로 변환합니다. 즉 180으로 나누고 π를 곱하면 도 단위 측정값을 공식이 실제로 필요로 하는 라디안 측정값으로 바꿉니다.

두 공식 모두 원 한 바퀴의 원주 C = 2πr에서 나옵니다. 원 한 바퀴는 2π 라디안 또는 360도의 중심각에 해당합니다. 호 길이는 중심각이 전체 각에서 차지하는 비율과 같은 비율의 원주입니다. 라디안으로는 s / (2πr) = θ / (2π)이며 정리하면 s = rθ가 됩니다. 도로는 s / (2πr) = θ / 360이며 정리하면 s = πrθ / 180이 됩니다.

도와 라디안 사이의 변환은 간단합니다. 도를 라디안으로 바꾸려면 π/180을 곱합니다. 라디안을 도로 바꾸려면 180/π를 곱합니다. 예를 들어 60도는 60 × π/180 = π/3 라디안, 약 1.047라디안이 됩니다. 2라디안 각은 2 × 180/π, 약 114.59도가 됩니다.

아래 표는 주요 공식을 빠르게 참조할 수 있도록 정리한 것입니다.

예제 1: 각이 도인 경우

반지름 7cm, 중심각 60도인 원의 호 길이를 구해 봅시다.

1단계: 주어진 값을 확인합니다. 반지름 r은 7cm, 각 θ는 60도입니다.

2단계: 올바른 공식을 선택합니다. 각이 도 단위이므로 s = πrθ / 180을 사용합니다.

3단계: 값을 대입합니다. s = π(7)(60) / 180이 됩니다.

4단계: 간단히 합니다. 분수 60/180은 1/3으로 약분되므로 s = 7π/3 cm입니다. 이것이 정확한 답입니다.

5단계: 소수 근사값을 구합니다. π는 약 3.14159이므로 s는 약 7(3.14159)/3, 즉 약 7.33cm입니다.

호 길이는 정확히 7π/3 cm이며, 근사값으로는 약 7.33cm입니다.

예제 2: 각이 라디안인 경우

반지름 5미터, 중심각 1.2라디안인 원의 호 길이를 구해 봅시다.

1단계: 주어진 값을 확인합니다. 반지름 r은 5m, 각 θ는 1.2라디안입니다.

2단계: 올바른 공식을 선택합니다. 각이 라디안 단위이므로 s = rθ를 사용합니다.

3단계: 값을 대입합니다. s = 5(1.2)가 됩니다.

4단계: 곱합니다. 결과는 s = 6미터입니다.

호 길이는 정확히 6미터입니다. 라디안 공식이 얼마나 간단한지 알 수 있습니다. π를 다룰 필요도 없고 분수를 약분할 필요도 없습니다. 수학자와 과학자들이 이론 연구에서 라디안을 선호하는 이유 중 하나가 바로 이것입니다.

모든 곡선이 원의 일부인 것은 아닙니다. 함수 y = f(x)로 표현되는 일반적인 매끄러운 곡선에 대해 x = a부터 x = b까지의 호 길이는 적분으로 구합니다.

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

여기서 f'(x)는 함수의 도함수입니다. 이 공식은 간단한 아이디어에서 나옵니다. 곡선을 수많은 아주 작은 직선 조각으로 나눕니다. 각 조각의 길이는 피타고라스 정리에 의해 √((Δx)² + (Δy)²)입니다. Δx를 묶어내면 √(1 + (Δy/Δx)²) Δx가 됩니다. 조각이 무한히 작아지면 Δy/Δx는 도함수 f'(x)가 되고, 합은 위의 적분이 됩니다.

도함수가 중요한 이유는 각 점에서 곡선이 얼마나 가파른지를 측정하기 때문입니다. 가파른 구간은 같은 수평 거리에서도 평평한 구간보다 더 많은 길이를 기여합니다. √(1 + [f'(x)]²) 계수는 '국소 신장 계수'라고도 불립니다. 곡선이 평평할 때 f'(x)는 0이고 계수는 1이 되어 호 길이는 수평 거리와 같아집니다. 곡선이 가파를 때 계수는 1보다 커집니다.

하한 a와 상한 b는 x축을 따라 측정을 시작하고 끝내는 위치를 나타냅니다. a를 더 작은 값으로 하여 올바른 순서로 두는 것이 중요합니다. 순서를 바꾸면 결과의 부호가 바뀝니다.

많은 호 길이 적분은 초등적인 부정적분으로 평가할 수 없습니다. 그런 경우에는 심프슨 법칙이나 사다리꼴 법칙 같은 수치 방법으로 정확한 근사값을 구합니다. 이 페이지의 계산기는 기호적인 답을 구할 수 없을 때 수치 적분을 사용하고 결과를 근사값으로 명확히 표시합니다.

풀이 예제: x = 0부터 x = 4까지 y = x^3/2

구간 [0, 4]에서 곡선 y = x^3/2의 호 길이를 구해 봅시다.

1단계: 도함수를 구합니다. 거듭제곱 미분 법칙에 의해 f'(x) = (3/2)x^1/2입니다.

2단계: 도함수를 제곱합니다. [f'(x)]² = (9/4)x입니다.

3단계: 공식에 대입합니다. L = ∫[0 to 4] √(1 + (9/4)x) dx입니다.

4단계: 적분을 평가합니다. u = 1 + (9/4)x로 두면 du = (9/4)dx입니다. x = 0일 때 u = 1, x = 4일 때 u = 10입니다. 적분은 (4/9)∫[1 to 10] √u du = (4/9)(2/3)[u^3/2] (1부터 10까지) = (8/27)(10^3/2 - 1)이 됩니다.

5단계: 간단히 합니다. 10^3/2 = 10√10 ≈ 31.62이므로 L ≈ (8/27)(30.62) ≈ 9.07입니다.

정확한 호 길이는 (8/27)(10√10 - 1)이며, 근사값으로는 약 9.07단위입니다.

호 길이는 반지름과 각의 변화에 예측 가능한 방식으로 반응합니다. 공식 s = rθ가 단순한 곱이므로 각 변수는 직접적인 비례 효과를 가집니다.

각을 고정하고 반지름을 두 배로 하면 호 길이도 두 배가 됩니다. 반지름 7cm인 원에서 60도 호는 약 7.33cm입니다. 반지름 14cm인 원에서는 같은 60도 각이 약 14.66cm의 호를 잘라냅니다. 큰 원 위의 각 점은 중심으로부터 두 배 멀리 있으므로 같은 두 각 사이의 굽은 경로도 두 배 길어집니다.

반지름을 고정하고 중심각을 두 배로 하면 호 길이도 두 배가 됩니다. 반지름 10cm인 원에서 30도 호는 약 5.24cm입니다. 같은 원에서 60도 호는 약 10.47cm입니다. 각이 두 배라는 것은 원주에서 차지하는 비율이 두 배라는 뜻입니다.

한 바퀴 회전, 즉 360도 또는 2π 라디안은 전체 원주를 줍니다. s = rθ에 θ = 2π를 대입하면 s = 2πr이 되어 정확히 원주 공식이 됩니다. 이는 공식이 일관됨을 확인해 줍니다. 최대 각도에서는 '호'가 원 전체가 됩니다.

대화형 다이어그램의 슬라이더를 움직이며 이러한 관계를 살펴보세요. 각도 슬라이더를 드래그하면 강조 표시된 호가 자라는 것을 볼 수 있습니다. 반지름 슬라이더를 드래그하면 원 전체가 커집니다. 표시되는 호 길이는 실시간으로 업데이트되어 위에서 설명한 비례 관계를 확인할 수 있습니다.

굽은 거리가 중요한 많은 실무 상황에서 호 길이가 등장합니다.

육상 트랙. 표준 400미터 트랙은 두 직선 구간과 두 반원형 끝부분으로 이루어져 있습니다. 각 반원형 끝부분의 반지름이 36.5미터라면 한쪽 끝의 곡선 부분은 원주의 절반인 π(36.5), 약 114.67미터입니다. 양쪽 끝을 합치면 약 229.35미터의 곡선 주로가 됩니다. 트랙 설계자는 이러한 계산을 이용해 각 레인의 총 거리가 정확하도록 합니다.

자전거 바퀴. 지름 70cm인 자전거 바퀴의 반지름은 35cm입니다. 한 바퀴 회전할 때 타이어 위의 한 점은 전체 원주인 2π(35), 약 219.91cm, 즉 약 2.20미터를 이동합니다. 바퀴가 100번 회전하면 자전거는 약 220미터를 이동합니다. 회전수와 거리 사이의 이 관계는 사이클 컴퓨터가 바퀴 센서로부터 속도와 거리를 추정하는 방식입니다.

건축 아치. 출입문 위의 반원형 아치 반지름은 1.5미터입니다. 아치의 곡선 길이는 원주의 절반인 π(1.5), 약 4.71미터입니다. 이 아치에 곡선 몰딩을 주문하는 시공자는 적절한 양의 자재를 사기 위해 이 측정값이 필요합니다.

회전 기계. 컨베이어 벨트가 반지름 0.4미터인 구동 풀리에 반 바퀴 감겨 있습니다. 벨트와 풀리 사이의 접촉 길이는 반원 호인 π(0.4), 약 1.26미터입니다. 엔지니어는 이 접촉 길이를 이용해 마찰과 동력 전달을 계산합니다. 일반적으로 접촉 호가 길수록 벨트와 풀리 사이의 접지력이 좋아집니다.

학생과 전문가 모두를 함정에 빠뜨리는 몇 가지 흔한 오류가 있습니다. 미리 알아두면 피할 수 있습니다.

도와 라디안 혼동. 가장 빈번한 실수입니다. 각이 60도인데 s = rθ에 대입하면 올바른 πr/3 대신 60r이 나옵니다. 공식을 선택하기 전에 항상 각의 단위를 확인하세요. 확신이 없으면 먼저 라디안으로 변환하세요.

반지름 대신 지름 사용. 공식에는 반지름이 필요합니다. 지름 14cm가 주어지면 반지름은 7cm입니다. 지름을 절반으로 나누는 것을 잊으면 답이 두 배가 됩니다.

측정 단위 누락. 단위 없는 7.33이라는 호 길이는 아무 의미가 없습니다. 반지름이 센티미터였다면 호 길이도 센티미터입니다. 모든 단계에 단위를 붙이세요.

잘못된 공식 적용. 원 공식 s = rθ와 s = πrθ/180은 원호에만 적용됩니다. 다른 곡선에는 적분을 사용한 미적분 공식이 필요합니다. 포물선에 원 공식을 사용하면 틀린 답이 나옵니다.

호 길이와 현의 길이 혼동. 현은 호의 양 끝점을 잇는 직선입니다. (자명한 경우를 제외하고) 항상 호보다 짧습니다. 문제가 굽은 거리를 묻는데 직선 거리를 계산하면 안 됩니다.

너무 이른 반올림. 중간값을 반올림하면 계산을 거치며 오차가 누적됩니다. 마지막 단계까지 완전한 정밀도를 유지한 뒤 요청된 소수 자릿수에서 반올림하세요.

잘못된 적분 구간. 미적분 공식에서 구간은 측정하는 구간과 일치해야 합니다. 순서를 바꾸면 부호가 뒤집힙니다. 문제의 다른 부분의 구간을 사용하면 잘못된 구간이 됩니다.

원형 영역의 서로 다른 측면을 설명하는 세 가지 관련 측정이 있습니다. 각각을 이해하면 혼동을 막을 수 있습니다.

호 길이는 원 위의 두 점 사이를 곡선을 따라 잰 거리입니다. 공식은 s = rθ이며 θ는 라디안입니다. '곡선을 따라 걸으면 얼마나 먼가'라는 질문에 답합니다.

현의 길이는 같은 두 점 사이의 직선 거리입니다. 공식은 c = 2r sin(θ/2)이며 θ는 라디안입니다. '끝점끼리 직선으로 얼마나 떨어져 있는가'라는 질문에 답합니다. 현은 대응하는 열호보다 항상 짧습니다.

부채꼴 넓이는 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 2차원 영역, 피자 조각 같은 모양의 넓이입니다. 공식은 A = (1/2)r²θ이며 θ는 라디안입니다. '조각의 넓이는 얼마인가'라는 질문에 답합니다.

아래 비교표는 차이점을 정리한 것입니다.

세 공식 모두 θ는 라디안이어야 합니다. 부채꼴 넓이 공식은 특히 도로 틀리기 쉬운데, 간단한 도 버전이 없습니다. 먼저 라디안으로 변환하세요.

이 문제들을 풀어 보고 아래 답으로 확인해 보세요.

문제 1 (도). 반지름 12cm, 중심각 45도인 원이 있습니다. 호 길이를 구하세요.

풀이: s = πrθ/180 = π(12)(45)/180 = 3π ≈ 9.42 cm을 사용합니다.

문제 2 (라디안). 반지름 8m, 중심각 2.5라디안인 원이 있습니다. 호 길이를 구하세요.

풀이: s = rθ = 8(2.5) = 20 m을 사용합니다.

문제 3 (지름). 지름 20인치, 중심각 120도인 원이 있습니다. 호 길이를 구하세요.

풀이: 먼저 지름을 반지름으로 변환합니다. r = 20/2 = 10인치. 그 다음 s = π(10)(120)/180 = 20π/3 ≈ 20.94인치입니다.

문제 4 (반지름 구하기). 길이 15cm인 호가 0.75라디안의 중심각에 대응합니다. 반지름을 구하세요.

풀이: s = rθ를 변형하여 r = s/θ = 15/0.75 = 20 cm을 얻습니다.

문제 5 (미적분). x = 0부터 x = 3까지 y = (2/3)x^3/2의 호 길이를 구하세요.

풀이: 도함수는 f'(x) = x^1/2이므로 [f'(x)]² = x입니다. 적분은 L = ∫[0 to 3] √(1 + x) dx입니다. u = 1 + x, du = dx로 둡니다. x = 0일 때 u = 1, x = 3일 때 u = 4입니다. L = ∫[1 to 4] √u du = (2/3)[u^3/2] (1부터 4까지) = (2/3)(8 - 1) = 14/3 ≈ 4.67입니다.

호 길이는 원을 따라서든 일반적인 곡선을 따라서든 굽은 거리를 측정합니다. 원에는 각이 라디안이면 s = rθ, 도이면 s = πrθ/180을 사용합니다. y = f(x)로 표현되는 다른 곡선에는 구간에 대한 적분 공식 L = ∫√(1 + [f'(x)]²)dx를 사용합니다. 도-라디안 혼동, 지름-반지름 혼동, 이른 반올림에 주의하세요. 이 페이지 상단의 계산기는 세 가지 모드를 모두 완전한 단계별 풀이와 함께 처리합니다. 값을 입력하고, 단계를 공부하고, 자신 있게 결과를 사용하세요.