Kalkulator Panjang Arka dengan Langkah

Panjang lengkok ialah jarak sepanjang lengkung antara dua titik. Untuk bulatan, ia adalah panjang bahagian melengkung lilitan yang dipotong oleh dua jejari. Bayangkan sepotong piza. Tepi kerak potongan itu ialah lengkok, dan panjangnya ialah panjang lengkok. Dua tepi lurus ialah jejari, dan sudut antara keduanya di pusat dipanggil sudut pusat.

Sudut pusat menentukan pecahan bulatan penuh yang diwakili lengkok anda. Bulatan penuh berukuran 360 darjah, atau 2π radian. Jika sudut pusat anda 90 darjah, lengkok anda ialah satu perempat lilitan. Jika sudutnya 180 darjah, lengkoknya separuh lilitan. Hubungan berkadar ini ialah asas setiap formula panjang lengkok.

Lengkok hadir dalam dua saiz untuk mana-mana pasangan titik pada bulatan. Lengkok minor ialah laluan yang lebih pendek antara titik-titik itu, sepadan dengan sudut pusat kurang daripada 180 darjah. Lengkok major ialah laluan yang lebih panjang mengelilingi arah lain, sepadan dengan sudut lebih daripada 180 darjah. Kecuali dinyatakan sebaliknya, masalah panjang lengkok merujuk kepada lengkok minor.

Contoh harian yang mudah membantu. Katakan sebuah taman bulat mempunyai jejari 10 meter, dan anda ingin memasang birai di sepanjang bahagian yang merentangi sudut 90 darjah dari pusat. Lilitan penuh ialah 2π(10), kira-kira 62.83 meter. Sudut 90 darjah ialah satu perempat bulatan penuh, jadi birai yang diperlukan ialah kira-kira 15.71 meter. Jarak melengkung itu ialah panjang lengkok.

Formula panjang lengkok bergantung pada sama ada sudut anda diukur dalam radian atau darjah. Kedua-dua versi menyatakan idea yang sama: panjang lengkok ialah pecahan lilitan penuh, dan pecahan itu ditentukan oleh sudut pusat.

Apabila sudut θ dalam radian, formulanya mudah:

s = rθ

Di sini s ialah panjang lengkok, r ialah jejari, dan θ ialah sudut pusat dalam radian. Formula ini berfungsi begitu kemas kerana radian ditakrifkan sebagai sudut yang memotong lengkok yang panjangnya sama dengan jejari. Sudut 1 radian pada bulatan berjejari 5 memberikan lengkok tepat 5 unit. Unit s sentiasa sepadan dengan unit r. Jika jejari dalam sentimeter, panjang lengkok dalam sentimeter.

Apabila sudut dalam darjah, formula memerlukan faktor penukaran:

s = πrθ / 180

Di sini θ ialah sudut pusat dalam darjah. Faktor π/180 menukar darjah kepada radian di sebalik tabir, kerana 180 darjah sama dengan π radian. Jadi membahagi dengan 180 dan mendarab dengan π menukar ukuran darjah anda kepada ukuran radian yang sebenarnya diperlukan formula.

Kedua-dua formula datang daripada lilitan bulatan penuh, C = 2πr. Bulatan penuh sepadan dengan sudut pusat 2π radian atau 360 darjah. Panjang lengkok ialah pecahan lilitan yang sama seperti pecahan sudut pusat terhadap sudut penuh. Dalam radian: s / (2πr) = θ / (2π), yang dimudahkan menjadi s = rθ. Dalam darjah: s / (2πr) = θ / 360, yang dimudahkan menjadi s = πrθ / 180.

Menukar antara darjah dan radian adalah mudah. Untuk menukar darjah kepada radian, darab dengan π/180. Untuk menukar radian kepada darjah, darab dengan 180/π. Sebagai contoh, 60 darjah menjadi 60 × π/180 = π/3 radian, kira-kira 1.047 radian. Sudut 2 radian menjadi 2 × 180/π, kira-kira 114.59 darjah.

Jadual di bawah meringkaskan formula utama untuk rujukan pantas.

Contoh 1: Sudut dalam Darjah

Cari panjang lengkok bulatan dengan jejari 7 cm dan sudut pusat 60 darjah.

Langkah 1: Kenal pasti nilai yang diberi. Jejari r ialah 7 cm dan sudut θ ialah 60 darjah.

Langkah 2: Pilih formula yang betul. Memandangkan sudut dalam darjah, gunakan s = πrθ / 180.

Langkah 3: Gantikan nilai. Ini memberikan s = π(7)(60) / 180.

Langkah 4: Mudahkan. Pecahan 60/180 dikurangkan menjadi 1/3, jadi s = 7π/3 cm. Ini ialah jawapan tepat.

Langkah 5: Cari anggaran perpuluhan. Memandangkan π ialah kira-kira 3.14159, s ialah kira-kira 7(3.14159)/3, yang sama dengan kira-kira 7.33 cm.

Panjang lengkok ialah tepat 7π/3 cm, atau kira-kira 7.33 cm.

Contoh 2: Sudut dalam Radian

Cari panjang lengkok bulatan dengan jejari 5 meter dan sudut pusat 1.2 radian.

Langkah 1: Kenal pasti nilai yang diberi. Jejari r ialah 5 m dan sudut θ ialah 1.2 radian.

Langkah 2: Pilih formula yang betul. Memandangkan sudut dalam radian, gunakan s = rθ.

Langkah 3: Gantikan nilai. Ini memberikan s = 5(1.2).

Langkah 4: Darab. Hasilnya ialah s = 6 meter.

Panjang lengkok ialah tepat 6 meter. Perhatikan betapa lebih mudahnya formula radian. Tiada π untuk diuruskan dan tiada pecahan untuk dimudahkan. Ini ialah satu sebab ahli matematik dan saintis lebih memilih radian untuk kerja teori.

Bukan setiap lengkung adalah sebahagian daripada bulatan. Untuk lengkung licin umum yang digambarkan oleh fungsi y = f(x), panjang lengkok antara x = a dan x = b ditemui dengan kamiran:

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

Di sini f'(x) ialah terbitan fungsi itu. Formula ini datang daripada idea mudah. Pecahkan lengkung kepada banyak segmen lurus kecil. Setiap segmen mempunyai panjang √((Δx)² + (Δy)²) mengikut teorem Pythagoras. Keluarkan Δx untuk mendapatkan √(1 + (Δy/Δx)²) Δx. Apabila segmen menjadi sangat kecil, Δy/Δx menjadi terbitan f'(x), dan hasil tambah menjadi kamiran di atas.

Terbitan penting kerana ia mengukur betapa curam lengkung pada setiap titik. Bahagian yang curam menyumbang lebih panjang daripada bahagian rata pada jarak mengufuk yang sama. Faktor √(1 + [f'(x)]²) kadangkala dipanggil faktor regangan setempat. Apabila lengkung rata, f'(x) ialah sifar dan faktornya 1, bermakna panjang lengkok sama dengan jarak mengufuk. Apabila lengkung curam, faktornya lebih besar daripada 1.

Had a dan b menandakan di mana anda mula dan berhenti mengukur sepanjang paksi x. Penting untuk meletakkannya dalam susunan yang betul, dengan a sebagai nilai yang lebih kecil. Menukarnya mengubah tanda hasil.

Banyak kamiran panjang lengkok tidak boleh dinilai dengan antiterbitan asas. Dalam kes tersebut, kaedah berangka seperti peraturan Simpson atau peraturan trapezium memberikan anggaran yang tepat. Kalkulator di halaman ini menggunakan pengamiran berangka apabila jawapan simbolik tidak tersedia dan dengan jelas melabelkan hasilnya sebagai anggaran.

Contoh Dikerjakan: y = x^3/2 dari x = 0 hingga x = 4

Cari panjang lengkok lengkung y = x^3/2 pada selang [0, 4].

Langkah 1: Cari terbitan. Menggunakan peraturan kuasa, f'(x) = (3/2)x^1/2.

Langkah 2: Kuasa duakan terbitan. [f'(x)]² = (9/4)x.

Langkah 3: Gantikan ke dalam formula. L = ∫[0 to 4] √(1 + (9/4)x) dx.

Langkah 4: Nilaikan kamiran. Biarkan u = 1 + (9/4)x, jadi du = (9/4)dx. Apabila x = 0, u = 1. Apabila x = 4, u = 10. Kamiran menjadi (4/9)∫[1 to 10] √u du = (4/9)(2/3)[u^3/2] dari 1 hingga 10 = (8/27)(10^3/2 - 1).

Langkah 5: Mudahkan. Memandangkan 10^3/2 = 10√10 ≈ 31.62, L ≈ (8/27)(30.62) ≈ 9.07.

Panjang lengkok tepat ialah (8/27)(10√10 - 1), kira-kira 9.07 unit.

Panjang lengkok bertindak balas terhadap perubahan jejari dan sudut dengan cara yang boleh diramal. Kerana formula s = rθ ialah hasil darab mudah, setiap pembolehubah mempunyai kesan berkadar langsung.

Jika anda menggandakan jejari sambil mengekalkan sudut, panjang lengkok berganda. Lengkok 60 darjah pada bulatan berjejari 7 cm berukuran kira-kira 7.33 cm. Pada bulatan berjejari 14 cm, sudut 60 darjah yang sama memotong lengkok kira-kira 14.66 cm. Setiap titik pada bulatan yang lebih besar adalah dua kali lebih jauh dari pusat, jadi laluan melengkung antara dua sudut yang sama adalah dua kali lebih panjang.

Jika anda menggandakan sudut pusat sambil mengekalkan jejari, panjang lengkok juga berganda. Lengkok 30 darjah pada bulatan 10 cm ialah kira-kira 5.24 cm. Lengkok 60 darjah pada bulatan yang sama ialah kira-kira 10.47 cm. Sudut dua kali ganda bermakna pecahan lilitan dua kali ganda.

Satu pusingan lengkap, 360 darjah atau 2π radian, memberikan lilitan penuh. Memasukkan θ = 2π ke dalam s = rθ menghasilkan s = 2πr, tepat formula lilitan. Ini mengesahkan formula itu konsisten: pada sudut maksimum, "lengkok" ialah seluruh bulatan.

Gunakan penggelongsor dalam rajah interaktif untuk meneroka hubungan ini. Seret penggelongsor sudut dan lihat lengkok yang diserlahkan membesar. Seret penggelongsor jejari dan lihat seluruh bulatan mengembang. Panjang lengkok yang dipaparkan dikemas kini dalam masa nyata, mengukuhkan hubungan berkadar yang diterangkan di atas.

Panjang lengkok muncul dalam banyak situasi praktikal di mana jarak melengkung penting.

Trek larian. Trek larian 400 meter piawai mempunyai dua bahagian lurus dan dua hujung separuh bulatan. Jika setiap hujung separuh bulatan mempunyai jejari 36.5 meter, bahagian melengkung satu hujung ialah separuh lilitan: π(36.5), kira-kira 114.67 meter. Kedua-dua hujung bersama-sama menyumbang kira-kira 229.35 meter larian melengkung. Pereka bentuk trek menggunakan pengiraan ini untuk memastikan setiap lorong berukuran jumlah jarak yang betul.

Roda basikal. Roda basikal dengan diameter 70 cm mempunyai jejari 35 cm. Dalam satu pusingan penuh, satu titik pada tayar melalui lilitan penuh: 2π(35), kira-kira 219.91 cm, atau kira-kira 2.20 meter. Jika roda berputar 100 kali, basikal melalui kira-kira 220 meter. Hubungan antara putaran dan jarak inilah yang digunakan komputer basikal untuk menganggarkan kelajuan dan jarak daripada penderia roda.

Gerbang seni bina. Gerbang separuh bulatan di atas pintu mempunyai jejari 1.5 meter. Panjang melengkung gerbang ialah separuh lilitan: π(1.5), kira-kira 4.71 meter. Pembina yang memesan kemasan melengkung untuk gerbang ini memerlukan ukuran ini untuk membeli jumlah bahan yang betul.

Jentera berputar. Tali sawat pembawa membalut separuh takal pemacu dengan jejari 0.4 meter. Panjang sentuhan antara tali sawat dan takal ialah lengkok separuh bulatan: π(0.4), kira-kira 1.26 meter. Jurutera menggunakan panjang sentuhan ini untuk mengira geseran dan penghantaran kuasa. Lengkok sentuhan yang lebih panjang secara amnya bermakna cengkaman yang lebih baik antara tali sawat dan takal.

Beberapa kesilapan biasa memerangkap pelajar dan profesional. Mengetahuinya terlebih dahulu membantu anda mengelakkannya.

Mencampurkan darjah dan radian. Ini ialah kesilapan paling kerap. Jika sudut anda 60 darjah tetapi anda memasukkannya ke dalam s = rθ, anda mendapat 60r bukannya πr/3 yang betul. Sentiasa semak unit sudut sebelum memilih formula anda. Apabila ragu, tukar kepada radian dahulu.

Menggunakan diameter sebagai ganti jejari. Formula memerlukan jejari. Jika anda diberi diameter 14 cm, jejarinya ialah 7 cm. Lupa membahagi dua diameter menggandakan jawapan anda.

Melupakan unit ukuran. Panjang lengkok 7.33 tidak bermakna apa-apa tanpa unit. Jika jejari dalam sentimeter, panjang lengkok dalam sentimeter. Bawa unit melalui setiap langkah.

Menggunakan formula yang salah. Formula bulatan s = rθ dan s = πrθ/180 hanya berfungsi untuk lengkok bulat. Untuk lengkung lain, anda memerlukan formula kalkulus dengan kamiran. Menggunakan formula bulatan pada parabola memberikan jawapan yang salah.

Mengelirukan panjang lengkok dengan panjang perentas. Perentas ialah garis lurus yang menghubungkan titik hujung lengkok. Ia sentiasa lebih pendek daripada lengkok (kecuali dalam kes remeh). Jika masalah meminta jarak melengkung, jangan kira jarak garis lurus.

Membundarkan terlalu awal. Membundarkan nilai perantaraan memasukkan ralat yang berganda melalui pengiraan. Kekalkan kepersisan penuh sehingga langkah terakhir, kemudian bundarkan kepada bilangan tempat perpuluhan yang diminta.

Menggunakan had pengamiran yang salah. Dalam formula kalkulus, had mesti sepadan dengan selang yang anda ukur. Menterbalikkannya mengubah tanda. Menggunakan had daripada bahagian masalah yang berbeza memberikan segmen yang salah.

Tiga ukuran berkaitan menggambarkan aspek berbeza rantau membulat. Memahami setiap satu mengelakkan kekeliruan.

Panjang lengkok mengukur jarak melengkung sepanjang bulatan antara dua titik. Formulanya ialah s = rθ dengan θ dalam radian. Ia menjawab soalan: sejauh mana anda akan berjalan jika anda mengikuti lengkung?

Panjang perentas mengukur jarak garis lurus antara dua titik yang sama. Formulanya ialah c = 2r sin(θ/2) dengan θ dalam radian. Ia menjawab soalan: sejauh mana titik hujung sebagai garis lurus? Perentas sentiasa lebih pendek daripada lengkok minor yang sepadan.

Luas sektor mengukur rantau dua dimensi yang dibatasi oleh dua jejari dan lengkok antaranya, seperti sepotong piza. Formulanya ialah A = (1/2)r²θ dengan θ dalam radian. Ia menjawab soalan: berapa luas yang diliputi potongan itu?

Jadual perbandingan di bawah meringkaskan perbezaan.

Perhatikan bahawa ketiga-tiga formula memerlukan θ dalam radian. Formula luas sektor sangat mudah tersilap dengan darjah, kerana tiada versi darjah yang mudah. Tukar kepada radian dahulu.

Cuba soalan ini, kemudian semak jawapan anda di bawah.

Soalan 1 (darjah). Sebuah bulatan mempunyai jejari 12 cm dan sudut pusat 45 darjah. Cari panjang lengkok.

Penyelesaian: Gunakan s = πrθ/180 = π(12)(45)/180 = 3π ≈ 9.42 cm.

Soalan 2 (radian). Sebuah bulatan mempunyai jejari 8 m dan sudut pusat 2.5 radian. Cari panjang lengkok.

Penyelesaian: Gunakan s = rθ = 8(2.5) = 20 m.

Soalan 3 (diameter). Sebuah bulatan mempunyai diameter 20 inci dan sudut pusat 120 darjah. Cari panjang lengkok.

Penyelesaian: Pertama tukar diameter kepada jejari: r = 20/2 = 10 inci. Kemudian s = π(10)(120)/180 = 20π/3 ≈ 20.94 inci.

Soalan 4 (jejari hilang). Lengkok sepanjang 15 cm membentuk sudut pusat 0.75 radian. Cari jejari.

Penyelesaian: Susun semula s = rθ untuk mendapatkan r = s/θ = 15/0.75 = 20 cm.

Soalan 5 (kalkulus). Cari panjang lengkok y = (2/3)x^3/2 dari x = 0 hingga x = 3.

Penyelesaian: Terbitannya ialah f'(x) = x^1/2, jadi [f'(x)]² = x. Kamirannya ialah L = ∫[0 to 3] √(1 + x) dx. Biarkan u = 1 + x, du = dx. Apabila x = 0, u = 1. Apabila x = 3, u = 4. L = ∫[1 to 4] √u du = (2/3)[u^3/2] dari 1 hingga 4 = (2/3)(8 - 1) = 14/3 ≈ 4.67.

Panjang lengkok mengukur jarak melengkung, sama ada sepanjang bulatan atau lengkung umum. Untuk bulatan, gunakan s = rθ dengan sudut dalam radian, atau s = πrθ/180 dengan sudut dalam darjah. Untuk lengkung lain yang digambarkan oleh y = f(x), gunakan formula kamiran L = ∫√(1 + [f'(x)]²)dx pada selang anda. Berhati-hati dengan kekeliruan darjah-radian, kekeliruan diameter-jejari, dan pembundaran pramatang. Kalkulator di bahagian atas halaman ini mengendalikan ketiga-tiga mod dengan kerja langkah demi langkah yang lengkap. Masukkan nilai anda, kaji langkah-langkahnya, dan gunakan hasilnya dengan yakin.