लाइव विज़ुअल फीडबैक के साथ वृत्तों, वक्रों और पैरामीट्रिक समीकरणों की सटीक चाप लंबाई की गणना के लिए एक प्रीमियम गणित उपकरण।
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सुनहरे बिंदु प्रत्येक उपखंड के मध्यबिंदु को दर्शाते हैं।
किसी आयत पर माउस ले जाएँ और उसका उपखंड, मध्यबिंदु, समाकल्य मान व योगदान देखें।
लगातार परिष्करणों के बीच का अंतर त्रुटि का व्यावहारिक संकेत है, कोई गारंटीकृत त्रुटि सीमा नहीं।
गणना त्रुटि
त्रिज्या और कोण, सेक्टर क्षेत्रफल और जीवा सहित।
किसी भी अंतराल पर x(t) और y(t) वक्र।
ध्रुवीय रूप में r(θ) के रूप में दिए गए वक्र।
हर चरण दिखाते हुए कार्टेशियन चाप लंबाई।
स्पेस वक्र x(t), y(t) और z(t)।
सिम्पसन नियम से संख्यात्मक समाकलन।
संख्यात्मक समाकलन, समलंब नियम।
निर्देशांक बिंदुओं से होकर पथ की लंबाई।
दीर्घवृत्त चापअक्षों और कोणों से किसी भी दीर्घवृत्त की चाप लंबाई।
परवलय चापकिसी भी परवलय की चाप लंबाई उसके समीकरण से।
अर्धवृत्त चापत्रिज्या या व्यास से किसी भी अर्धवृत्त की चाप लंबाई।
सेक्टर चापत्रिज्या और कोण से वृत्तीय सेक्टर की चाप लंबाई।
मध्यबिंदु नियममध्यबिंदु नियम से चाप लंबाई, आयतों और त्रुटि जाँच के साथ।
ऊपर दिए कैलकुलेटर में सात मोड शामिल हैं। हर एक कैलकुलस के मानक इनपुट प्रारूप से मेल खाता है। वह मोड चुनें जिसके इनपुट आपकी समस्या जैसे दिखते हों।
| मोड | आवश्यक इनपुट | कब उपयोग करें |
|---|---|---|
| वृत्त | त्रिज्या r, केंद्रीय कोण θ | वृत्त, त्रिज्यखंड, पहिए, चाप |
| कार्तीय | फलन y = f(x), अंतराल [a, b] | फलन ग्राफ |
| प्राचलिक | x(t), y(t), अंतराल [a, b] | गति पथ, लूप, ऊर्ध्वाधर वक्र |
| ध्रुवीय | r(θ), कोण अंतराल [α, β] | सर्पिल, कार्डियोइड, ध्रुवीय ग्राफ |
| संख्यात्मक | f(x), अंतराल, उपविभाजन n | बंद रूप के बिना समाकलन |
| बिंदु | (x, y) निर्देशांकों की सूची | GPS ट्रैक, नमूना डेटा |
| 3D | x(t), y(t), z(t), अंतराल [a, b] | अंतरिक्ष वक्र, हेलिक्स |
त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ दर्ज करें। टूल L = rθ से चाप लंबाई निकालता है और उन्हीं दो इनपुट से सेक्टर क्षेत्रफल और जीवा की लंबाई भी बताता है। DEG/RAD टॉगल से डिग्री और रेडियन के बीच बदलें।
फलन y = f(x) के साथ शुरुआती और अंतिम x-मान a और b दर्ज करें। कैलकुलेटर फलन का अवकलन करता है, समाकल्य बनाता है और सभी चरण दिखाते हुए निश्चित समाकल का संख्यात्मक मूल्यांकन करता है। पूरी व्युत्पत्ति के लिए चरणों सहित चाप लंबाई कैलकुलेटर आज़माएँ।
पैरामीटर अंतराल के साथ x(t) और y(t) दर्ज करें। यह मोड उन पथों के लिए उपयुक्त है जिन्हें समय पर गति के रूप में वर्णित किया जाता है, जहाँ कोई भी निर्देशांक दूसरे का प्रत्यक्ष फलन नहीं है। समर्पित टूल के लिए पैरामीट्रिक चाप लंबाई कैलकुलेटर देखें।
कोण अंतराल के साथ r को θ के फलन के रूप में दर्ज करें। सर्पिल, कार्डियोइड और अन्य वक्रों के लिए आदर्श, जो ध्रुवीय रूप में सबसे स्वाभाविक रूप से लिखे जाते हैं। एक स्वतंत्र ध्रुवीय चाप लंबाई कैलकुलेटर भी उपलब्ध है।
f(x), अंतराल और उपविभाजनों की संख्या n दर्ज करें, फिर सिम्पसन नियम या समलंब नियम चुनें। यह मोड तब उपयोगी है जब चाप लंबाई समाकल का कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज न हो या जब आप संख्यात्मक विधियों की तुलना करना चाहें। समर्पित सिम्पसन नियम और समलंब नियम कैलकुलेटर पूरी गणना दिखाते हैं।
(x, y) बिंदुओं की सूची चिपकाएँ या लिखें। कैलकुलेटर क्रमागत बिंदुओं के बीच सीधी रेखा की दूरियों को जोड़ता है, जो GPS ट्रैक जैसे नमूनाकृत डेटा से पथ की लंबाई का अनुमान देता है। समर्पित बिंदुओं से चाप लंबाई टूल भी देखें।
स्पेस वक्र की लंबाई मापने के लिए पैरामीटर अंतराल के साथ x(t), y(t) और z(t) दर्ज करें, उदाहरण के लिए हेलिक्स या 3D प्रक्षेपवक्र। समर्पित 3D चाप लंबाई कैलकुलेटर अपने पेज पर वही गणना देता है।
नीचे हर चाप लंबाई सूत्र एक ही विचार मापता है: वक्र के साथ छोटे सीधे खंडों को जोड़ना। सही सूत्र इस पर निर्भर करता है कि वक्र कैसे वर्णित है।
यहाँ r त्रिज्या है और θ रेडियन में केंद्रीय कोण है। चाप लंबाई की इकाई r जैसी होती है: मीटर में त्रिज्या से मीटर में चाप लंबाई मिलती है। यह सबसे सरल मामला है क्योंकि वृत्त की वक्रता स्थिर होती है।
तब उपयोग करें जब वक्र x = a और x = b के बीच y = f(x) हो। पद dy/dx ढलान है; जहाँ वक्र ढलानदार है, वहाँ प्रत्येक dx अधिक लंबाई देता है। सीमाएँ a और b x-मान हैं, चाप स्थितियाँ नहीं।
तब उपयोग करें जब x और y दोनों पैरामीटर t के फलन हों, और t a से b तक चले। यह उन वक्रों को संभालता है जो लूप बनाते हैं या लंबवत होते हैं, जहाँ y को x के फलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
तब उपयोग करें जब वक्र r = r(θ) हो और θ α से β तक हो। पद r² वृत्तीय घुमाव को और (dr/dθ)² त्रिज्यीय परिवर्तन को दर्शाता है।
पैरामीट्रिक सूत्र का तीन आयामों में स्वाभाविक विस्तार: मूल के नीचे वर्गित z-वेग जोड़ें।
चाप लंबाई L वक्र का अनुसरण करती है; जीवा लंबाई c सीधे आर-पार काटती है। शून्य कोण की सीमांत स्थिति को छोड़कर चाप हमेशा लंबी होती है।
नीचे हर उदाहरण पूरी तरह हल किया गया है ताकि आप हर चरण की जाँच कर सकें।
दिया गया: त्रिज्या r = 5 cm, केंद्रीय कोण θ = 60°।
सूत्र: L = rθ, जिसमें θ रेडियन में हो।
प्रतिस्थापन: L = 5 × 1.0472।
उत्तर: L ≈ 5.236 cm।
दिया गया: त्रिज्या r = 10 m, केंद्रीय कोण θ = 1.5 rad।
सूत्र: L = rθ।
प्रतिस्थापन: L = 10 × 1.5 = 15।
उत्तर: L = 15 m। कोई रूपांतरण आवश्यक नहीं है क्योंकि कोण पहले से रेडियन में है।
दिया गया: y = x², अंतराल [0, 1]।
सूत्र: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx।
गणना: x = 1 पर ब्रैकेट का मान (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789 है; x = 0 पर यह 0 है।
उत्तर: L ≈ 1.4789 इकाइयाँ।
दिया गया: x = 3cos t, y = 3sin t, t 0 से π/2 तक।
सूत्र: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt।
उत्तर: L = 3π/2 ≈ 4.7124 इकाइयाँ, जो त्रिज्या-3 वृत्त की ज्ञात चतुर्थांश परिधि से मेल खाता है।
डिग्री पूरे घुमाव को 360 भागों में बाँटती हैं; रेडियन इकाई वृत्त पर चाप लंबाई से कोण मापते हैं, जिसमें पूरा घुमाव 2π रेडियन (लगभग 6.2832) के बराबर होता है। दोनों इकाइयाँ उन्हीं कोणों का वर्णन करती हैं: 180° = π रेडियन, 90° = π/2 रेडियन, और 1 रेडियन लगभग 57.2958° होता है।
इकाई इसलिए मायने रखती है क्योंकि वृत्त सूत्र L = rθ तभी सही है जब θ रेडियन में हो। 90 डिग्री को 90 रेडियन की तरह दर्ज करने से चाप लगभग 57.3 गुना बढ़ा हुआ मिलेगा। कैलकुलेटर का DEG/RAD टॉगल रूपांतरण आपके लिए करता है, लेकिन आउटपुट पर भरोसा करने से पहले हमेशा जाँचें कि आपकी समस्या में कौन सी इकाई है।
अधिकांश गलत उत्तर सूत्र से नहीं, सेटअप त्रुटियों से आते हैं। परिणाम पर भरोसा करने से पहले यह सूची जाँचें।
वृत्त सूत्र को रेडियन चाहिए। π/2 की जगह 90 दर्ज करने से उत्तर लगभग 57 गुना बढ़ जाता है। DEG/RAD टॉगल इस्तेमाल करें या पहले रूपांतरित करें।
L = rθ में त्रिज्या लगती है। यदि आपकी समस्या में व्यास दिया है, तो पहले उसे आधा करें, वरना आपका उत्तर सही मान का ठीक दोगुना होगा।
y = f(x) के लिए सीमाएँ x-मान हैं; पैरामीट्रिक मोड के लिए वे t-मान हैं; ध्रुवीय के लिए वे कोण हैं। इन्हें मिलाने से गलत खंड मापा जाता है।
ध्रुवीय वक्र को अपने r² पद सहित ध्रुवीय सूत्र चाहिए, और पैरामीट्रिक वक्र को दोनों अवकलज चाहिए। वह मोड चुनें जो आपके वक्र के लेखन से मेल खाता हो।
n बढ़ने पर सिम्पसन और समलंब नियम बेहतर होते हैं। यदि अलग-अलग n वाली दो गणनाएँ ध्यान देने योग्य अंतर दें, तो n बढ़ाएँ जब तक परिणाम स्थिर न हो जाए।
संख्यात्मक समाकलन और बिंदु-दर-बिंदु योग सन्निकटन हैं। वे वास्तविक लंबाई की ओर अभिसरित होते हैं, लेकिन वृत्तों के लिए L = rθ जैसी यथार्थ सर्वसमिकाएँ नहीं हैं।
वृत्तीय सेक्टरों की परिधि, वक्रीय सीमाओं की लंबाई और निर्माण लेआउट में चापों के साथ दूरियाँ निकालें।
पुलियों के चारों ओर केबल और बेल्ट की लंबाई, पाइप बेंड भत्ते और वक्रीय पुर्जों के लिए आवश्यक सामग्री का अनुमान लगाएँ।
वक्रीय प्रक्षेपवक्रों के साथ तय की गई दूरियाँ निकालें और चाप स्थिति को कोणीय गति से जोड़ें।
योजना चित्रों से वक्रीय अग्रभागों, मेहराबदार द्वारों और घुमावदार पैदल पथों की दूरियाँ मापें।
समय और ऊर्जा उपयोग की योजना के लिए प्रोग्राम किए गए वक्रीय पथ पर रोबोट भुजा के सिरे की यात्रा दूरी निकालें।
चाप लंबाई समाकलों को स्थापित और मूल्यांकित करने का अभ्यास करें, जो ज्यामिति में समाकलन का क्लासिक अनुप्रयोग है।
स्थिर-गति एनीमेशन और पथों पर समान दूरी पर नमूने के लिए वक्रों को चाप लंबाई से पैरामीट्राइज़ करें।
चाप लंबाई कैलकुलेटर दो बिंदुओं के बीच वक्र के साथ की दूरी मापता है। आप वक्र की परिभाषा दर्ज करते हैं (उदाहरण के लिए त्रिज्या और कोण, या अंतराल सीमाओं वाला फलन) और यह लंबाई देता है, आमतौर पर चरण-दर-चरण गणना के साथ।
वृत्त के लिए त्रिज्या को रेडियन में केंद्रीय कोण से गुणा करें (L = rθ)। अन्य वक्रों के लिए मेल खाता समाकल सूत्र इस्तेमाल करें, या फलन को ऊपर दिए कैलकुलेटर में दर्ज करके सही मोड चुनें।
वृत्त का सूत्र L = rθ है। कार्टेशियन वक्र L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, पैरामीट्रिक वक्र L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, ध्रुवीय वक्र L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ इस्तेमाल करते हैं, और 3D वक्र मूल के नीचे z-पद जोड़ते हैं।
वृत्तों के लिए आपको त्रिज्या चाहिए (या व्यास, जो त्रिज्या का दोगुना है)। सामान्य वक्रों के लिए त्रिज्या बिल्कुल नहीं चाहिए: कार्टेशियन, पैरामीट्रिक, ध्रुवीय और बिंदु मोड फलनों या निर्देशांकों से काम करते हैं।
सूत्र L = rθ में रेडियन इस्तेमाल करें। यदि आपका कोण डिग्री में है, तो पहले रूपांतरित करें (रेडियन = डिग्री × π/180) या कैलकुलेटर का DEG/RAD टॉगल इस्तेमाल करें, जो रूपांतरण स्वतः करता है।
चाप लंबाई वक्र का अनुसरण करती है; जीवा लंबाई चाप के अंतिम बिंदुओं के बीच सीधी रेखा है। जीवा हमेशा छोटी होती है (वृत्त के लिए c = 2r·sin(θ/2))। ऊपर सूत्र अनुभाग में तुलना चित्र देखें।
पैरामीटर अंतराल के साथ x(t) और y(t) पैरामीट्रिक मोड में दर्ज करें। कैलकुलेटर आपके अंतराल पर ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt का मूल्यांकन करता है और चरण दिखाता है।
हाँ। 3D मोड में x(t), y(t) और z(t) दर्ज करें। सूत्र z-अवकलज के साथ पैरामीट्रिक संस्करण का विस्तार है: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt।
परिणाम आपके इनपुट वाली लंबाई इकाई में होता है। यदि त्रिज्या सेंटीमीटर में है, तो चाप लंबाई सेंटीमीटर में है। रेडियन में बदलने के बाद कोण स्वयं इकाईरहित होते हैं।
संख्यात्मक विधियाँ (सिम्पसन, समलंब) समाकल का सन्निकटन करती हैं। नज़दीकी परिणाम के लिए उपविभाजनों की संख्या n बढ़ाएँ, और अपना सेटअप पुष्टि करने के लिए ज्ञात मामले से तुलना करें।