चरणों के साथ चाप लंबाई कैलकुलेटर

चाप लंबाई दो बिंदुओं के बीच वक्र के साथ की दूरी होती है। वृत्त के लिए, यह दो त्रिज्याओं द्वारा काटी गई परिधि के घुमावदार भाग की लंबाई होती है। पिज्जा के एक टुकड़े की कल्पना करें। उस टुकड़े के क्रस्ट का किनारा एक चाप है, और उसकी लंबाई ही चाप लंबाई है। दो सीधे किनारे त्रिज्याएं हैं, और केंद्र पर उनके बीच के कोण को केंद्रीय कोण कहते हैं।

केंद्रीय कोण तय करता है कि आपका चाप पूरे वृत्त का कितना हिस्सा दर्शाता है। पूरा वृत्त 360 डिग्री, या 2π रेडियन का होता है। यदि आपका केंद्रीय कोण 90 डिग्री है, तो आपका चाप परिधि का एक चौथाई है। यदि कोण 180 डिग्री है, तो चाप आधी परिधि है। यह आनुपातिक संबंध हर चाप लंबाई सूत्र की नींव है।

वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के लिए चाप दो आकार के होते हैं। लघु चाप बिंदुओं के बीच का छोटा रास्ता है, जो 180 डिग्री से कम केंद्रीय कोण के अनुरूप होता है। दीर्घ चाप दूसरी ओर से जाने वाला लंबा रास्ता है, जो 180 डिग्री से अधिक कोण के अनुरूप होता है। जब तक अन्यथा न कहा जाए, चाप लंबाई की समस्याएं लघु चाप को ही संदर्भित करती हैं।

एक सरल रोजमर्रा का उदाहरण मदद करता है। मान लीजिए एक गोल बगीचे की त्रिज्या 10 मीटर है, और आप केंद्र से 90 डिग्री के कोण तक फैले हिस्से के साथ किनारी लगाना चाहते हैं। पूरी परिधि 2π(10), यानी लगभग 62.83 मीटर है। 90 डिग्री का कोण पूरे वृत्त का एक चौथाई है, इसलिए जरूरी किनारी लगभग 15.71 मीटर है। वह घुमावदार दूरी ही चाप लंबाई है।

चाप लंबाई सूत्र इस बात पर निर्भर करता है कि आपका कोण रेडियन में मापा गया है या डिग्री में। दोनों संस्करण एक ही विचार व्यक्त करते हैं: चाप लंबाई पूरी परिधि का एक हिस्सा है, और वह हिस्सा केंद्रीय कोण द्वारा तय होता है।

जब कोण θ रेडियन में हो, तो सूत्र सरल है:

s = rθ

यहाँ s चाप लंबाई है, r त्रिज्या है, और θ रेडियन में केंद्रीय कोण है। यह सूत्र इतना साफ इसलिए काम करता है क्योंकि रेडियन को उस कोण के रूप में परिभाषित किया गया है जो त्रिज्या के बराबर लंबाई का चाप काटता है। त्रिज्या 5 वाले वृत्त पर 1 रेडियन का कोण ठीक 5 इकाई का चाप देता है। s की इकाइयां हमेशा r की इकाइयों से मेल खाती हैं। यदि त्रिज्या सेंटीमीटर में है, तो चाप लंबाई भी सेंटीमीटर में है।

जब कोण डिग्री में हो, तो सूत्र को एक रूपांतरण गुणक चाहिए:

s = πrθ / 180

यहाँ θ डिग्री में केंद्रीय कोण है। π/180 गुणक पर्दे के पीछे डिग्री को रेडियन में बदल देता है, क्योंकि 180 डिग्री बराबर π रेडियन है। इसलिए 180 से भाग देकर और π से गुणा करके आपका डिग्री माप उस रेडियन माप में बदल जाता है जो सूत्र को वास्तव में चाहिए।

दोनों सूत्र पूरे वृत्त की परिधि C = 2πr से आते हैं। पूरा वृत्त 2π रेडियन या 360 डिग्री के केंद्रीय कोण के अनुरूप होता है। चाप लंबाई परिधि का वही हिस्सा है जो केंद्रीय कोण पूरे कोण का है। रेडियन में: s / (2πr) = θ / (2π), जो सरल होकर s = rθ बन जाता है। डिग्री में: s / (2πr) = θ / 360, जो सरल होकर s = πrθ / 180 बन जाता है।

डिग्री और रेडियन के बीच रूपांतरण सीधा है। डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए π/180 से गुणा करें। रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए 180/π से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 60 डिग्री बन जाता है 60 × π/180 = π/3 रेडियन, यानी लगभग 1.047 रेडियन। 2 रेडियन का कोण बन जाता है 2 × 180/π, यानी लगभग 114.59 डिग्री।

नीचे दी गई तालिका त्वरित संदर्भ के लिए प्रमुख सूत्रों का सारांश देती है।

उदाहरण 1: डिग्री में कोण

त्रिज्या 7 सेमी और केंद्रीय कोण 60 डिग्री वाले वृत्त की चाप लंबाई ज्ञात कीजिए।

चरण 1: दिए गए मान पहचानें। त्रिज्या r 7 सेमी है और कोण θ 60 डिग्री है।

चरण 2: सही सूत्र चुनें। चूंकि कोण डिग्री में है, s = πrθ / 180 का उपयोग करें।

चरण 3: मान रखें। इससे s = π(7)(60) / 180 मिलता है।

चरण 4: सरल करें। भिन्न 60/180 घटकर 1/3 हो जाती है, इसलिए s = 7π/3 सेमी। यही सटीक उत्तर है।

चरण 5: दशमलव सन्निकटन ज्ञात करें। चूंकि π लगभग 3.14159 है, s लगभग 7(3.14159)/3 है, जो लगभग 7.33 सेमी के बराबर है।

चाप लंबाई ठीक 7π/3 सेमी है, या लगभग 7.33 सेमी।

उदाहरण 2: रेडियन में कोण

त्रिज्या 5 मीटर और केंद्रीय कोण 1.2 रेडियन वाले वृत्त की चाप लंबाई ज्ञात कीजिए।

चरण 1: दिए गए मान पहचानें। त्रिज्या r 5 मीटर है और कोण θ 1.2 रेडियन है।

चरण 2: सही सूत्र चुनें। चूंकि कोण रेडियन में है, s = rθ का उपयोग करें।

चरण 3: मान रखें। इससे s = 5(1.2) मिलता है।

चरण 4: गुणा करें। परिणाम s = 6 मीटर है।

चाप लंबाई ठीक 6 मीटर है। ध्यान दें कि रेडियन सूत्र कितना सरल है। इसमें न तो π से निपटना पड़ता है और न ही किसी भिन्न को सरल करना पड़ता है। यही एक कारण है कि गणितज्ञ और वैज्ञानिक सैद्धांतिक कार्य के लिए रेडियन को पसंद करते हैं।

हर वक्र वृत्त का हिस्सा नहीं होता। फलन y = f(x) द्वारा वर्णित सामान्य चिकने वक्र के लिए, x = a और x = b के बीच की चाप लंबाई एक समाकल से मिलती है:

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

यहाँ f'(x) फलन का अवकलज है। यह सूत्र एक सरल विचार से आता है। वक्र को बहुत से छोटे सीधे खंडों में तोड़ें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार प्रत्येक खंड की लंबाई √((Δx)² + (Δy)²) होती है। Δx को बाहर निकालकर √(1 + (Δy/Δx)²) Δx मिलता है। जब खंड अनंत रूप से छोटे हो जाते हैं, तो Δy/Δx अवकलज f'(x) बन जाता है, और योग ऊपर दिया गया समाकल बन जाता है।

अवकलज महत्वपूर्ण है क्योंकि यह मापता है कि वक्र प्रत्येक बिंदु पर कितना ढलान वाला है। एक ही क्षैतिज दूरी पर खड़ा खंड समतल खंड की तुलना में अधिक लंबाई देता है। √(1 + [f'(x)]²) गुणक को कभी-कभी स्थानीय खिंचाव गुणक कहा जाता है। जब वक्र समतल होता है, तो f'(x) शून्य होता है और गुणक 1 होता है, अर्थात चाप लंबाई क्षैतिज दूरी के बराबर होती है। जब वक्र खड़ा होता है, तो गुणक 1 से बड़ा होता है।

सीमाएं a और b बताती हैं कि आप x-अक्ष के साथ कहां से मापना शुरू करते हैं और कहां रुकते हैं। इन्हें सही क्रम में रखना जरूरी है, जिसमें a छोटा मान हो। इन्हें बदलने से परिणाम का चिह्न बदल जाता है।

कई चाप लंबाई समाकलों का मान प्रारंभिक प्रतिअवकलजों से नहीं निकाला जा सकता। ऐसे मामलों में, सिम्पसन नियम या समलंब नियम जैसी संख्यात्मक विधियां सटीक सन्निकटन देती हैं। इस पेज पर कैलकुलेटर संख्यात्मक समाकलन का उपयोग तब करता है जब प्रतीकात्मक उत्तर उपलब्ध न हो, और परिणाम को स्पष्ट रूप से सन्निकट बताया जाता है।

हल किया गया उदाहरण: x = 0 से x = 4 तक y = x^3/2

अंतराल [0, 4] पर वक्र y = x^3/2 की चाप लंबाई ज्ञात कीजिए।

चरण 1: अवकलज ज्ञात करें। घात नियम का उपयोग करके, f'(x) = (3/2)x^1/2।

चरण 2: अवकलज का वर्ग करें। [f'(x)]² = (9/4)x।

चरण 3: सूत्र में रखें। L = ∫[0 to 4] √(1 + (9/4)x) dx।

चरण 4: समाकल का मान निकालें। मान लें u = 1 + (9/4)x, तो du = (9/4)dx। जब x = 0, तो u = 1। जब x = 4, तो u = 10। समाकल बन जाता है (4/9)∫[1 to 10] √u du = (4/9)(2/3)[u^3/2] 1 से 10 तक = (8/27)(10^3/2 - 1)।

चरण 5: सरल करें। चूंकि 10^3/2 = 10√10 ≈ 31.62, L ≈ (8/27)(30.62) ≈ 9.07।

सटीक चाप लंबाई (8/27)(10√10 - 1) है, यानी लगभग 9.07 इकाई।

चाप लंबाई त्रिज्या और कोण में बदलाव पर अनुमानित तरीके से प्रतिक्रिया देती है। चूंकि सूत्र s = rθ एक सरल गुणनफल है, प्रत्येक चर का सीधा आनुपातिक प्रभाव होता है।

यदि आप कोण स्थिर रखते हुए त्रिज्या को दोगुना करते हैं, तो चाप लंबाई दोगुनी हो जाती है। त्रिज्या 7 सेमी वाले वृत्त पर 60 डिग्री का चाप लगभग 7.33 सेमी होता है। त्रिज्या 14 सेमी वाले वृत्त पर वही 60 डिग्री का कोण लगभग 14.66 सेमी का चाप काटता है। बड़े वृत्त पर हर बिंदु केंद्र से दोगुनी दूरी पर होता है, इसलिए समान दो कोणों के बीच का घुमावदार रास्ता दोगुना लंबा होता है।

यदि आप त्रिज्या स्थिर रखते हुए केंद्रीय कोण को दोगुना करते हैं, तो चाप लंबाई भी दोगुनी हो जाती है। 10 सेमी के वृत्त पर 30 डिग्री का चाप लगभग 5.24 सेमी है। उसी वृत्त पर 60 डिग्री का चाप लगभग 10.47 सेमी है। कोण दोगुना होने का मतलब परिधि का दोगुना हिस्सा है।

एक पूरा चक्कर, 360 डिग्री या 2π रेडियन, पूरी परिधि देता है। s = rθ में θ = 2π रखने पर s = 2πr मिलता है, जो ठीक परिधि सूत्र है। यह पुष्टि करता है कि सूत्र संगत है: अधिकतम कोण पर, "चाप" पूरा वृत्त होता है।

इन संबंधों को जानने के लिए इंटरैक्टिव आरेख में स्लाइडरों का उपयोग करें। कोण स्लाइडर को खींचें और हाइलाइट किए गए चाप को बढ़ते देखें। त्रिज्या स्लाइडर को खींचें और पूरे वृत्त को फैलते देखें। दिखाई गई चाप लंबाई वास्तविक समय में अपडेट होती है, जो ऊपर वर्णित आनुपातिक संबंधों को पुष्ट करती है।

चाप लंबाई कई व्यावहारिक स्थितियों में दिखती है जहां घुमावदार दूरियां मायने रखती हैं।

दौड़ने के ट्रैक। मानक 400 मीटर दौड़ ट्रैक में दो सीधे खंड और दो अर्धवृत्ताकार छोर होते हैं। यदि प्रत्येक अर्धवृत्ताकार छोर की त्रिज्या 36.5 मीटर है, तो एक छोर का घुमावदार हिस्सा आधी परिधि है: π(36.5), यानी लगभग 114.67 मीटर। दोनों छोर मिलकर लगभग 229.35 मीटर की घुमावदार दौड़ देते हैं। ट्रैक डिज़ाइनर इन गणनाओं का उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए करते हैं कि हर लेन की कुल दूरी सही हो।

साइकिल के पहिए। 70 सेमी व्यास वाले साइकिल के पहिए की त्रिज्या 35 सेमी है। एक पूरे चक्कर में, टायर पर एक बिंदु पूरी परिधि तय करता है: 2π(35), यानी लगभग 219.91 सेमी, या लगभग 2.20 मीटर। यदि पहिया 100 बार घूमता है, तो साइकिल लगभग 220 मीटर चलती है। घूर्णन और दूरी के बीच यह संबंध ही है जिससे साइकिल कंप्यूटर पहिया सेंसरों से गति और दूरी का अनुमान लगाते हैं।

वास्तुकला के मेहराब। दरवाजे के ऊपर अर्धवृत्ताकार मेहराब की त्रिज्या 1.5 मीटर है। मेहराब की घुमावदार लंबाई आधी परिधि है: π(1.5), यानी लगभग 4.71 मीटर। इस मेहराब के लिए घुमावदार पट्टी मंगवाने वाले बिल्डर को सामग्री की सही मात्रा खरीदने के लिए यह माप चाहिए।

घूमने वाली मशीनरी। एक कन्वेयर बेल्ट 0.4 मीटर त्रिज्या वाले ड्राइव पुली के आधे हिस्से पर लिपटी है। बेल्ट और पुली के बीच संपर्क लंबाई एक अर्धवृत्ताकार चाप है: π(0.4), यानी लगभग 1.26 मीटर। इंजीनियर इस संपर्क लंबाई का उपयोग घर्षण और शक्ति संचरण की गणना के लिए करते हैं। लंबा संपर्क चाप आमतौर पर बेल्ट और पुली के बीच बेहतर पकड़ देता है।

कई आम त्रुटियां छात्रों और पेशेवरों दोनों को परेशान करती हैं। इन्हें पहले से जानने से आपको इनसे बचने में मदद मिलती है।

डिग्री और रेडियन को मिलाना। यह सबसे आम गलती है। यदि आपका कोण 60 डिग्री है लेकिन आप उसे s = rθ में रखते हैं, तो आपको सही πr/3 के बजाय 60r मिलता है। सूत्र चुनने से पहले हमेशा कोण की इकाई जांचें। संदेह हो तो पहले रेडियन में बदलें।

त्रिज्या के बजाय व्यास का उपयोग। सूत्रों में त्रिज्या चाहिए। यदि आपको 14 सेमी का व्यास दिया गया है, तो त्रिज्या 7 सेमी है। व्यास को आधा करना भूलने से आपका उत्तर दोगुना हो जाता है।

मापन इकाइयां भूलना। 7.33 की चाप लंबाई का इकाइयों के बिना कोई मतलब नहीं है। यदि त्रिज्या सेंटीमीटर में थी, तो चाप लंबाई भी सेंटीमीटर में है। हर चरण में इकाइयां साथ रखें।

गलत सूत्र लगाना। वृत्त सूत्र s = rθ और s = πrθ/180 केवल वृत्ताकार चापों के लिए काम करते हैं। अन्य वक्रों के लिए आपको समाकल वाला कलन सूत्र चाहिए। परवलय पर वृत्त सूत्र लगाने से गलत उत्तर मिलता है।

चाप लंबाई को जीवा लंबाई से भ्रमित करना। जीवा चाप के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा है। यह हमेशा चाप से छोटी होती है (तुच्छ मामलों को छोड़कर)। यदि समस्या में घुमावदार दूरी पूछी गई है, तो सीधी रेखा की दूरी की गणना न करें।

जल्दी पूर्णांकन करना। मध्यवर्ती मानों का पूर्णांकन त्रुटि लाता है जो गणना में बढ़ती जाती है। अंतिम चरण तक पूरी सटीकता रखें, फिर मांगे गए दशमलव स्थानों तक पूर्णांकन करें।

गलत समाकलन सीमाएं उपयोग करना। कलन सूत्र में सीमाएं उसी अंतराल से मेल खानी चाहिए जिसे आप माप रहे हैं। इन्हें उल्टा करने से चिह्न पलट जाता है। समस्या के किसी दूसरे हिस्से की सीमाएं उपयोग करने से गलत खंड मिलता है।

तीन संबंधित माप वृत्ताकार क्षेत्र के अलग-अलग पहलुओं का वर्णन करते हैं। प्रत्येक को समझने से भ्रम दूर होता है।

चाप लंबाई वृत्त के साथ दो बिंदुओं के बीच की घुमावदार दूरी मापती है। सूत्र है s = rθ, जिसमें θ रेडियन में है। यह इस प्रश्न का उत्तर देता है: यदि आप वक्र का अनुसरण करते हैं तो आप कितनी दूर चलेंगे?

जीवा लंबाई उन्हीं दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा की दूरी मापती है। सूत्र है c = 2r sin(θ/2), जिसमें θ रेडियन में है। यह इस प्रश्न का उत्तर देता है: अंतिम बिंदु कौए की उड़ान की तरह कितनी दूर हैं? जीवा हमेशा संगत लघु चाप से छोटी होती है।

त्रिज्यखंड क्षेत्रफल दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरे द्वि-आयामी क्षेत्र को मापता है, जैसे पिज्जा का टुकड़ा। सूत्र है A = (1/2)r²θ, जिसमें θ रेडियन में है। यह इस प्रश्न का उत्तर देता है: टुकड़ा कितना क्षेत्रफल घेरता है?

नीचे दी गई तुलना तालिका अंतरों का सारांश देती है।

ध्यान दें कि तीनों सूत्रों में θ रेडियन में होना चाहिए। त्रिज्यखंड क्षेत्रफल सूत्र डिग्री के साथ विशेष रूप से आसानी से गलत हो जाता है, क्योंकि इसका कोई सरल डिग्री संस्करण नहीं है। पहले रेडियन में बदलें।

इन प्रश्नों को हल करने का प्रयास करें, फिर नीचे अपने उत्तर जांचें।

प्रश्न 1 (डिग्री)। एक वृत्त की त्रिज्या 12 सेमी है और केंद्रीय कोण 45 डिग्री है। चाप लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: s = πrθ/180 = π(12)(45)/180 = 3π ≈ 9.42 सेमी का उपयोग करें।

प्रश्न 2 (रेडियन)। एक वृत्त की त्रिज्या 8 मीटर है और केंद्रीय कोण 2.5 रेडियन है। चाप लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: s = rθ = 8(2.5) = 20 मीटर का उपयोग करें।

प्रश्न 3 (व्यास)। एक वृत्त का व्यास 20 इंच है और केंद्रीय कोण 120 डिग्री है। चाप लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: पहले व्यास को त्रिज्या में बदलें: r = 20/2 = 10 इंच। फिर s = π(10)(120)/180 = 20π/3 ≈ 20.94 इंच।

प्रश्न 4 (अज्ञात त्रिज्या)। 15 सेमी लंबाई का चाप 0.75 रेडियन का केंद्रीय कोण बनाता है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल: s = rθ को बदलकर r = s/θ = 15/0.75 = 20 सेमी पाएं।

प्रश्न 5 (कलन)। x = 0 से x = 3 तक y = (2/3)x^3/2 की चाप लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: अवकलज f'(x) = x^1/2 है, इसलिए [f'(x)]² = x। समाकल है L = ∫[0 to 3] √(1 + x) dx। मान लें u = 1 + x, du = dx। जब x = 0, तो u = 1। जब x = 3, तो u = 4। L = ∫[1 to 4] √u du = (2/3)[u^3/2] 1 से 4 तक = (2/3)(8 - 1) = 14/3 ≈ 4.67।

चाप लंबाई घुमावदार दूरी मापती है, चाहे वृत्त के साथ हो या सामान्य वक्र के साथ। वृत्तों के लिए, कोण रेडियन में होने पर s = rθ का उपयोग करें, या कोण डिग्री में होने पर s = πrθ/180 का उपयोग करें। y = f(x) द्वारा वर्णित अन्य वक्रों के लिए, अपने अंतराल पर समाकल सूत्र L = ∫√(1 + [f'(x)]²)dx का उपयोग करें। डिग्री-रेडियन की गड़बड़ी, व्यास-त्रिज्या भ्रम और समय से पहले पूर्णांकन से सावधान रहें। इस पेज के शीर्ष पर कैलकुलेटर तीनों मोड को पूर्ण चरण-दर-चरण कार्य के साथ संभालता है। अपने मान दर्ज करें, चरणों का अध्ययन करें, और परिणाम का उपयोग विश्वास के साथ करें।