Калкулатор за дължина на дъгата със стъпки

Дължината на дъгата е разстоянието по кривата между две точки. За окръжност това е дължината на извитата част от обиколката, отрязана от два радиуса. Представете си парче пица. Коричката на това парче е дъга, а нейната дължина е дължината на дъгата. Двете прави страни са радиуси, а ъгълът между тях в центъра се нарича централен ъгъл.

Централният ъгъл определя каква част от пълната окръжност представлява вашата дъга. Пълната окръжност е 360 градуса или 2π радиана. Ако вашият централен ъгъл е 90 градуса, вашата дъга е една четвърт от обиколката. Ако ъгълът е 180 градуса, дъгата е половината от обиколката. Тази пропорционална връзка е в основата на всяка формула за дължина на дъга.

За всяка двойка точки върху окръжност дъгите са два размера. Малката дъга е по-късият път между точките и съответства на централен ъгъл, по-малък от 180 градуса. Голямата дъга е по-дългият път в другата посока и съответства на ъгъл, по-голям от 180 градуса. Освен ако не е посочено друго, задачите за дължина на дъга се отнасят за малката дъга.

Един прост ежедневен пример помага. Да предположим, че кръгова градина има радиус 10 метра и искате да поставите бордюр по участък, който обхваща ъгъл от 90 градуса от центъра. Пълната обиколка е 2π(10), около 62.83 метра. Ъгъл от 90 градуса е една четвърт от пълната окръжност, така че необходимият бордюр е около 15.71 метра. Това извито разстояние е дължината на дъгата.

Формулата за дължина на дъга зависи от това дали ъгълът ви е измерен в радиани или в градуси. И двата варианта изразяват една и съща идея: дължината на дъгата е част от пълната обиколка, а тази част се определя от централния ъгъл.

Когато ъгълът θ е в радиани, формулата е проста:

s = rθ

Тук s е дължината на дъгата, r е радиусът, а θ е централният ъгъл в радиани. Тази формула работи толкова изчистено, защото радианът е дефиниран като ъгъла, който отрязва дъга с дължина, равна на радиуса. Ъгъл от 1 радиан върху окръжност с радиус 5 дава дъга с дължина точно 5 единици. Единиците на s винаги съвпадат с единиците на r. Ако радиусът е в сантиметри, дължината на дъгата е в сантиметри.

Когато ъгълът е в градуси, формулата се нуждае от преобразувателен коефициент:

s = πrθ / 180

Тук θ е централният ъгъл в градуси. Коефициентът π/180 преобразува градусите в радиани, защото 180 градуса са равни на π радиана. Така че деленето на 180 и умножението по π превръща вашата градусна мярка в радианната мярка, от която формулата действително се нуждае.

И двете формули произлизат от обиколката на пълна окръжност, C = 2πr. Пълната окръжност съответства на централен ъгъл от 2π радиана или 360 градуса. Дължината на дъгата е същата част от обиколката, каквато централният ъгъл е от пълния ъгъл. В радиани: s / (2πr) = θ / (2π), което се опростява до s = rθ. В градуси: s / (2πr) = θ / 360, което се опростява до s = πrθ / 180.

Преобразуването между градуси и радиани е лесно. За да преобразувате градуси в радиани, умножете по π/180. За да преобразувате радиани в градуси, умножете по 180/π. Например 60 градуса стават 60 × π/180 = π/3 радиана, около 1.047 радиана. Ъгъл от 2 радиана става 2 × 180/π, около 114.59 градуса.

Таблицата по-долу обобщава ключовите формули за бърза справка.

Пример 1: Ъгъл в градуси

Намерете дължината на дъгата на окръжност с радиус 7 см и централен ъгъл 60 градуса.

Стъпка 1: Определете дадените стойности. Радиусът r е 7 см, а ъгълът θ е 60 градуса.

Стъпка 2: Изберете правилната формула. Тъй като ъгълът е в градуси, използвайте s = πrθ / 180.

Стъпка 3: Заместете стойностите. Получава се s = π(7)(60) / 180.

Стъпка 4: Опростете. Дробта 60/180 се съкращава до 1/3, така че s = 7π/3 см. Това е точният отговор.

Стъпка 5: Намерете десетичното приближение. Тъй като π е около 3.14159, s е около 7(3.14159)/3, което е равно на около 7.33 см.

Дължината на дъгата е точно 7π/3 см, или приблизително 7.33 см.

Пример 2: Ъгъл в радиани

Намерете дължината на дъгата на окръжност с радиус 5 метра и централен ъгъл 1.2 радиана.

Стъпка 1: Определете дадените стойности. Радиусът r е 5 м, а ъгълът θ е 1.2 радиана.

Стъпка 2: Изберете правилната формула. Тъй като ъгълът е в радиани, използвайте s = rθ.

Стъпка 3: Заместете стойностите. Получава се s = 5(1.2).

Стъпка 4: Умножете. Резултатът е s = 6 метра.

Дължината на дъгата е точно 6 метра. Забележете колко по-проста е формулата в радиани. Няма π, с което да се занимавате, и няма дроб за опростяване. Това е една от причините математиците и учените да предпочитат радианите в теоретичната работа.

Не всяка крива е част от окръжност. За обща гладка крива, описана от функция y = f(x), дължината на дъгата между x = a и x = b се намира с интеграл:

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

Тук f'(x) е производната на функцията. Формулата идва от проста идея. Разделете кривата на много малки прави отсечки. Всяка отсечка има дължина √((Δx)² + (Δy)²) по питагоровата теорема. Изнасянето на Δx пред скоби дава √(1 + (Δy/Δx)²) Δx. Когато отсечките станат безкрайно малки, Δy/Δx се превръща в производната f'(x), а сумата се превръща в горния интеграл.

Производната е важна, защото измерва колко стръмна е кривата във всяка точка. Стръмен участък допринася с повече дължина от полегат участък върху същото хоризонтално разстояние. Коефициентът √(1 + [f'(x)]²) понякога се нарича локален коефициент на разтягане. Когато кривата е полегата, f'(x) е нула, а коефициентът е 1, което означава, че дължината на дъгата е равна на хоризонталното разстояние. Когато кривата е стръмна, коефициентът е по-голям от 1.

Границите a и b отбелязват къде започвате и спирате измерването по оста x. Важно е да ги подредите в правилния ред, като a е по-малката стойност. Размяната им променя знака на резултата.

Много интеграли за дължина на дъга не могат да бъдат изчислени с елементарни първообразни. В тези случаи числените методи като правилото на Симпсън или правилото на трапеца дават точни приближения. Калкулаторът на тази страница използва числено интегриране, когато символният отговор не е наличен, и ясно отбелязва резултата като приблизителен.

Разработен пример: y = x^3/2 от x = 0 до x = 4

Намерете дължината на дъгата на кривата y = x^3/2 върху интервала [0, 4].

Стъпка 1: Намерете производната. По степеннто правило f'(x) = (3/2)x^1/2.

Стъпка 2: Повдигнете производната на квадрат. [f'(x)]² = (9/4)x.

Стъпка 3: Заместете във формулата. L = ∫[0 to 4] √(1 + (9/4)x) dx.

Стъпка 4: Изчислете интеграла. Нека u = 1 + (9/4)x, тогава du = (9/4)dx. Когато x = 0, u = 1. Когато x = 4, u = 10. Интегралът става (4/9)∫[1 to 10] √u du = (4/9)(2/3)[u^3/2] от 1 до 10 = (8/27)(10^3/2 - 1).

Стъпка 5: Опростете. Тъй като 10^3/2 = 10√10 ≈ 31.62, L ≈ (8/27)(30.62) ≈ 9.07.

Точната дължина на дъгата е (8/27)(10√10 - 1), приблизително 9.07 единици.

Дължината на дъгата реагира на промените в радиуса и ъгъла по предвидим начин. Тъй като формулата s = rθ е просто произведение, всяка променлива има пряк пропорционален ефект.

Ако удвоите радиуса, като запазите ъгъла непроменен, дължината на дъгата се удвоява. Дъга от 60 градуса върху окръжност с радиус 7 см е около 7.33 см. Върху окръжност с радиус 14 см същият ъгъл от 60 градуса отрязва дъга от около 14.66 см. Всяка точка върху по-голямата окръжност е два пъти по-далеч от центъра, така че извитият път между същите два ъгъла е два пъти по-дълъг.

Ако удвоите централния ъгъл, като запазите радиуса непроменен, дължината на дъгата също се удвоява. Дъга от 30 градуса върху окръжност 10 см е около 5.24 см. Дъга от 60 градуса върху същата окръжност е около 10.47 см. Двойният ъгъл означава двойна част от обиколката.

Пълният оборот, 360 градуса или 2π радиана, дава пълната обиколка. Заместването на θ = 2π в s = rθ дава s = 2πr, точно формулата за обиколка. Това потвърждава, че формулата е съгласувана: при максималния ъгъл „дъгата“ е цялата окръжност.

Използвайте плъзгачите в интерактивната диаграма, за да изследвате тези връзки. Плъзнете плъзгача за ъгъла и наблюдавайте как маркираната дъга расте. Плъзнете плъзгача за радиуса и вижте как цялата окръжност се разширява. Показаната дължина на дъгата се обновява в реално време, затвърждавайки описаните по-горе пропорционални връзки.

Дължината на дъгата се появява в много практически ситуации, в които извитите разстояния са важни.

Писти за бягане. Стандартната 400-метрова писта за бягане има два прави участъка и два полукръгли края. Ако всеки полукръгъл край има радиус 36.5 метра, извитата част на единия край е половината от обиколката: π(36.5), около 114.67 метра. Двата края заедно дават около 229.35 метра извито бягане. Проектантите на писти използват тези изчисления, за да гарантират, че всяка писта е с правилната обща дължина.

Велосипедни колела. Велосипедно колело с диаметър 70 см има радиус 35 см. При един пълен оборот точка върху гумата изминава пълната обиколка: 2π(35), около 219.91 см, или около 2.20 метра. Ако колелото се завърти 100 пъти, велосипедът изминава около 220 метра. Тази връзка между оборотите и разстоянието е начинът, по който велокомпютрите изчисляват скоростта и разстоянието от сензорите на колелата.

Архитектурни арки. Полукръгла арка над врата има радиус 1.5 метра. Извитата дължина на арката е половината от обиколката: π(1.5), около 4.71 метра. Строител, който поръчва извита лайсна за тази арка, се нуждае от това измерване, за да купи правилното количество материал.

Въртящи се машини. Транспортна лента се увива наполовина около задвижваща ролка с радиус 0.4 метра. Дължината на контакта между лентата и ролката е полукръгла дъга: π(0.4), около 1.26 метра. Инженерите използват тази дължина на контакта, за да изчисляват триенето и предаването на мощност. По-дългата контактна дъга обикновено означава по-добро сцепление между лентата и ролката.

Няколко често срещани грешки подвеждат както учениците, така и професионалистите. Познаването им предварително ви помага да ги избегнете.

Смесване на градуси и радиани. Това е най-честата грешка. Ако ъгълът ви е 60 градуса, но го заместите в s = rθ, получавате 60r вместо правилното πr/3. Винаги проверявайте мерната единица на ъгъла, преди да изберете формулата си. Когато се съмнявате, първо преобразувайте в радиани.

Използване на диаметър вместо радиус. Формулите изискват радиус. Ако ви е даден диаметър 14 см, радиусът е 7 см. Забравянето да разделите диаметъра наполовина удвоява отговора ви.

Забравяне на мерните единици. Дължина на дъга 7.33 не означава нищо без единици. Ако радиусът е бил в сантиметри, дължината на дъгата е в сантиметри. Пренасяйте единиците през всяка стъпка.

Прилагане на грешна формула. Формулите за окръжност s = rθ и s = πrθ/180 работят само за дъги на окръжност. За други криви ви е нужна формулата на математическия анализ с интеграла. Използването на формулата за окръжност върху парабола дава грешен отговор.

Объркване на дължината на дъгата с дължината на хордата. Хордата е правата линия, свързваща краищата на дъгата. Тя винаги е по-къса от дъгата (освен в тривиални случаи). Ако задачата пита за извитото разстояние, не изчислявайте праволинейното разстояние.

Твърде ранно закръгляване. Закръглянето на междинните стойности внася грешка, която се натрупва в хода на изчислението. Запазете пълната точност до последната стъпка, след което закръглете до искания брой десетични знака.

Използване на неправилни граници на интегриране. Във формулата на математическия анализ границите трябва да съответстват на измервания интервал. Обръщането им променя знака. Използването на граници от друга част на задачата дава грешния отрязък.

Три свързани измервания описват различни аспекти на кръгова област. Разбирането на всяко от тях предотвратява объркване.

Дължината на дъгата измерва извитото разстояние по окръжността между две точки. Формулата е s = rθ, като θ е в радиани. Тя отговаря на въпроса: колко далеч бихте извървели, ако следвате кривата?

Дължината на хордата измерва праволинейното разстояние между същите две точки. Формулата е c = 2r sin(θ/2), като θ е в радиани. Тя отговаря на въпроса: колко далеч са краищата един от друг по права линия? Хордата винаги е по-къса от съответната малка дъга.

Лицето на сектора измерва двумерната област, ограничена от два радиуса и дъгата между тях, като парче пица. Формулата е A = (1/2)r²θ, като θ е в радиани. Тя отговаря на въпроса: какво лице покрива парчето?

Сравнителната таблица по-долу обобщава разликите.

Обърнете внимание, че и трите формули изискват θ в радиани. Формулата за лице на сектор е особено лесна за объркване с градуси, защото няма прост вариант в градуси. Първо преобразувайте в радиани.

Опитайте тези задачи, след което проверете отговорите си по-долу.

Задача 1 (градуси). Окръжност има радиус 12 см и централен ъгъл 45 градуса. Намерете дължината на дъгата.

Решение: Използвайте s = πrθ/180 = π(12)(45)/180 = 3π ≈ 9.42 см.

Задача 2 (радиани). Окръжност има радиус 8 м и централен ъгъл 2.5 радиана. Намерете дължината на дъгата.

Решение: Използвайте s = rθ = 8(2.5) = 20 м.

Задача 3 (диаметър). Окръжност има диаметър 20 инча и централен ъгъл 120 градуса. Намерете дължината на дъгата.

Решение: Първо преобразувайте диаметъра в радиус: r = 20/2 = 10 инча. След това s = π(10)(120)/180 = 20π/3 ≈ 20.94 инча.

Задача 4 (липсващ радиус). Дъга с дължина 15 см стяга централен ъгъл 0.75 радиана. Намерете радиуса.

Решение: Преобразувайте s = rθ, за да получите r = s/θ = 15/0.75 = 20 см.

Задача 5 (математически анализ). Намерете дължината на дъгата на y = (2/3)x^3/2 от x = 0 до x = 3.

Решение: Производната е f'(x) = x^1/2, така че [f'(x)]² = x. Интегралът е L = ∫[0 to 3] √(1 + x) dx. Нека u = 1 + x, du = dx. Когато x = 0, u = 1. Когато x = 3, u = 4. L = ∫[1 to 4] √u du = (2/3)[u^3/2] от 1 до 4 = (2/3)(8 - 1) = 14/3 ≈ 4.67.

Дължината на дъгата измерва извито разстояние, независимо дали по окръжност или по обща крива. За окръжности използвайте s = rθ с ъгъл в радиани или s = πrθ/180 с ъгъл в градуси. За други криви, описани чрез y = f(x), използвайте интегралната формула L = ∫√(1 + [f'(x)]²)dx върху вашия интервал. Внимавайте за объркване на градуси с радиани, диаметър с радиус и преждевременно закръгляване. Калкулаторът в горната част на тази страница обработва и трите режима с пълно пошагово решение. Въведете стойностите си, изучете стъпките и използвайте резултата с увереност.