Трапецовиден калкулатор

Калкулаторът за трапецовидното правило изчислява приблизително дължината на дъга по числен път. Той прилага съставното трапецовидно правило към интеграла за дължина на дъга на въведената от вас функция. Следвайте тези стъпки, за да получите първа оценка за по-малко от минута.

1. Въведете функцията. Напишете f(x) в полето за функция, например x^2, sin(x) или ln(x+1). Използвайте ^ за степени и стандартни имена на функции като sin, cos, exp и ln.
2. Въведете началната стойност. Задайте a, долната граница на интегриране. За сегмента на кривата от x = 0 до x = 1 въведете 0.
3. Въведете крайната стойност. Задайте b, горната граница на интегриране. Калкулаторът изисква b > a.
4. Изберете подразделения. Въведете n, броя на равните подинтервали. Първо изпълнение с n = 10 работи добре за гладки криви.
5. Изберете трапецовидния метод. В интерфейса за числено интегриране изберете трапецовидното правило, така че формулата в панела отдолу да е тази, която се прилага.
6. Щракнете върху Изчисли. Инструментът оценява подинтегралната функция за дължина на дъга в n + 1 пробни точки, прилага теглата на крайните точки и показва приближението.
7. Интерпретирайте резултата. Показаното число е оценка на дължината на кривата между x = a и x = b, в същите единици за дължина като вашите стойности на x.
8. Подобрете точността. Удвойте n и изчислете отново. Когато две последователни оценки почти не се променят, резултатът е практически сходящ.

Ето какво контролира всеки вход:

Въвеждането на f(x) = x², a = 0, b = 1 и n = 10 дава оценка на дължината на дъга около 1.479, което е близо до точната стойност 1.478943. Останалата част от това ръководство обяснява точно какво изчислява калкулаторът и как да прецените качеството на неговия отговор.

Трапецовидното правило е метод за числено интегриране. То приближава определения интеграл, като заменя площта под крива с площта на трапеци, начертани под подинтегралната функция. Всеки трапец е построен от две съседни пробни точки, а сборът на площите на всички трапеци оценява интеграла.

Името идва от геометрията. Между две пробни точки x_i и x_i+1 подинтегралната функция g(x) се заменя с права линия. Областта под тази права линия е трапец: две успоредни вертикални страни с височини g(x_i) и g(x_i+1) и хоризонтална ширина h = x_i+1 - x_i.

Един трапец има площ h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]. Събирането на площите на всички n трапеца дава съставното трапецовидно приближение на интеграла. Думата „съставно“ означава, че интервалът е разделен на няколко панела вместо на един.

Това правило принадлежи към семейството на методите за числена квадратура. Цени се заради прозрачността си: всяка стъпка има ясен геометричен смисъл, а единственият параметър е броят на подразделенията n. Основната идея се формулира лесно: по-правите и по-тесни панели следват подинтегралната функция по-отблизо, така че оценката се подобрява с нарастването на n.

При дължината на дъга подинтегралната функция не е оригиналната функция f(x). Това е подинтегралната функция за дължина на дъга g(x) = √(1 + (f'(x))²), която измерва колко бързо се натрупва дължина по кривата. Ясното разграничение между двете предотвратява най-често срещаното недоразумение за метода.

Формулата на трапецовидното правило има две форми: версия с един панел и съставна версия, използвана на практика. И двете произтичат от една и съща геометрия на трапеца.

Формула с един панел. С един трапец, покриващ целия интервал:

Ширината (b - a) се умножава по средната стойност на двете височини в краищата. Това е точно площта на един трапец.

Съставна формула. Разделете [a, b] на n равни подинтервала с ширина h = (b - a)/n, с пробни точки x₀ = a, x₁ = a + h, ..., x_n = b:

Всеки символ има фиксирано значение:

• T_n е численото приближение с n панела.
• h е ширината на подинтервала, (b - a)/n.
• a и b са долната и горната граница на интегриране.
• n е броят на подинтервалите, положително цяло число.
• x_i са пробните точки, разположени на разстояние h една от друга.
• g(x_i) са стойностите на подинтегралната функция в тези точки.

Крайните точки получават половин тегло, защото всяка вътрешна пробна точка е споделена между два съседни трапеца, докато всяка крайна точка принадлежи само на един. Алгебрично съседните членове h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)] се комбинират така, че вътрешните стойности се броят изцяло, а двете външни стойности се броят наполовина.

Кратко изчисление с числа. Приближете ∫₀¹ x² dx с n = 2. Тогава h = 0.5, x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1 и T₂ = 0.5 · [0/2 + 0.25 + 1/2] = 0.5 · 0.75 = 0.375. Точният интеграл е 1/3 ≈ 0.333, така че грубата оценка с два панела е в правилната област, с място за усъвършенстване.

Дължината на дъга е интеграл, така че трапецовидното правило се прилага директно към нея. Кривата y = f(x) има дължина на дъга от x = a до x = b, дадена чрез:

Калкулаторът формира подинтегралната функция за дължина на дъга g(x) = √(1 + (f'(x))²) и я подава на съставната трапецовидна формула. Цялата процедура е:

1. Започнете с y = f(x). Уверете се, че функцията е диференцируема върху [a, b].
2. Намерете производната f'(x). Инструментът диференцира въведеното изражение вътрешно.
3. Квадрирайте производната. Формирайте (f'(x))². Квадрирането премахва информацията за знака, защото дължината се натрупва независимо от посоката на наклона.
4. Добавете 1. Подинтегралната функция е 1 + (f'(x))², която никога не е по-малка от 1.
5. Извлечете корен квадратен. Това дава g(x), локалната скорост, с която дължината се натрупва на единица x.
6. Разделете интервала. Изберете n и изчислете h = (b - a)/n.
7. Оценете подинтегралната функция. Изчислете g(x₀), ..., g(x_n) в пробните точки.
8. Приложете съставното правило. Комбинирайте стойностите с половин тегла в крайните точки.
9. Интерпретирайте резултата. Сборът е приблизителната дължина на сегмента на кривата.

Производната се квадрира и след това се поставя под корен квадратен по геометрична причина: малък сегмент от кривата с ширина dx и височина dy има дължина √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx по теоремата на Питагор. Интегрирането на тази локална дължина върху [a, b] дава общата дължина, а трапецовидното правило приближава интеграла.

Подинтегралната функция винаги е неотрицателна, защото 1 + (f'(x))² е поне 1. Нейната минимална стойност е 1, достигната там, където кривата е плоска. По-стръмните наклони правят g(x) по-голяма, което е точно причината стръмните криви да са по-дълги от полегатите върху същия x-интервал.

Този напълно разработен пример показва всяко число, което трапецовидното правило произвежда. Използвайте f(x) = x² върху [0, 1] с n = 4.

1. Производна. f'(x) = 2x.

2. Подинтегрална функция. g(x) = √(1 + (2x)²) = √(1 + 4x²).

3. Стъпка. h = (1 - 0)/4 = 0.25.

4. Пробни точки. 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

5. Стойности на подинтегралната функция и тегла.

6. Претеглен сбор. 1.000000/2 + 1.118034 + 1.414214 + 1.802776 + 2.236068/2 = 5.953057.

7. Умножете по h.

8. Сравнете с точната стойност. Точната дължина на дъга е L = √5/2 + asinh(2)/4 ≈ 1.478943. Оценката при n = 4, равна на 1.488264, я надвишава с 0.009321, грешка от около 0.63%. Повторението с n = 8 дава 1.481272, което вече е в рамките на 0.002330 от точната стойност.

Забележете, че оценката е по-голяма от точната стойност. При тази изпъкнала подинтегрална функция правите хорди лежат над кривата, така че трапецовидното правило надценява. Това систематично поведение е нормално, а надценката се свива с нарастването на n.

Броят на подразделенията n и стъпката h са свързани чрез h = (b - a)/n. Заедно те контролират колко гъсто се пробва подинтегралната функция и колко точна е оценката.

Какво представлява n. Това е броят на трапецовидните панели, положително цяло число. Броят на пробните точки винаги е n + 1, защото последователните панели споделят граничните си точки.

Защо n = 1 е правилото с един панел. При n = 1, h = b - a и T₁ = h/2 · [g(a) + g(b)]. Това е най-грубата форма на метода и рядко е достатъчно точна.

Ширини на панелите върху [0, 1]. Таблицата по-долу показва как h се свива с нарастването на n:

По-малките панели следват подинтегралната функция по-отблизо, така че приближението с права линия вътре във всеки панел се отклонява по-малко от истинската крива. Ето защо увеличаването на n обикновено подобрява точността. Компромисът е изчислителен: всеки нов панел изисква още едно изчисляване на функцията.

Повече подразделения не гарантират строго по-добър резултат за всяка подинтегрална функция. Негладки или осцилиращи подинтегрални функции могат да покажат нередовно поведение на грешката, а закръглянето с плаваща запетая в крайна сметка ограничава подобренията при много големи n. При гладки криви като тези в това ръководство обаче подобрението е стабилно и предвидимо.

Практична стратегия: започнете с n = 10 или n = 20, след това удвоявайте n, докато оценката спре да се променя при нужната ви точност. Тази проверка за сходимост е по-надеждна от доверието в която и да е единична стойност на n.

Шест примера обхващат диапазона от точните случаи до функции, чиито дължини на дъга нямат елементарен затворен вид. Всеки показва производната, подинтегралната функция, заместването и числения резултат.

Пример 1: Права линия, f(x) = 2x върху [0, 3]. Производната е f'(x) = 2, константа, така че подинтегралната функция е g(x) = √(1 + 4) = √5, също константа. Един панел е точен, защото подинтегралната функция никога не се извива: T₁ = 3 · √5 ≈ 6.708204. Точната дължина 3√5 съвпада. Това потвърждава правилото: трапецовидното правило е точно винаги, когато подинтегралната функция е линейна или константна.

Пример 2: Квадратична функция, f(x) = x² върху [0, 1], n = 4. При f'(x) = 2x и g(x) = √(1 + 4x²) пълното изчисление в предишния раздел дава L ≈ 1.488264 в сравнение с точната 1.478943. Малкото различие идва от изпъкналата подинтегрална функция; хордите, начертани над кривата, добавят излишна площ.

Пример 3: По-дълга квадратична функция, f(x) = x² върху [0, 2], n = 8. Тук h = 0.25 отново, но интервалът е два пъти по-дълъг, а подинтегралната функция е по-стръмна. Оценката е T₈ = 4.656890. Изчисление с висока резолюция дава 4.646784, така че грешката е около 0.010106. Удължаването на интервала не просто мащабира отговора: подинтегралната функция расте с x, така че дължината на дъга расте по-бързо от дължината на интервала.

Пример 4: Синусоида, f(x) = sin x върху [0, π]. Производната е f'(x) = cos x, което дава g(x) = √(1 + cos²x). При n = 8 оценката е 3.820198; при n = 16 тя е 3.820198, непроменена до шестия знак след десетичната запетая. Симетричната подинтегрална функция се схожда бързо, защото нейната кривина е нежна и равномерно разпределена. (Въвеждайте ъглите в радиани; градусите биха дали различна крива.)

Пример 5: Логаритъм, f(x) = ln(x + 1) върху [0, 2], n = 10. Производната е f'(x) = 1/(x + 1), така че g(x) = √(1 + 1/(x + 1)²). Дефиниционната област изисква x > -1, което интервалът удовлетворява. Оценката е T₁₀ = 2.304215, докато уточнено изчисление дава 2.301988, грешка от около 0.002227. Близо до x = 0 наклонът е най-стръмен, така че по-голямата част от дължината се натрупва в началото на интервала.

Пример 6: Кубична функция, f(x) = x³ върху [0, 1], n = 10. Тук f'(x) = 3x² и g(x) = √(1 + 9x⁴). Тази дължина на дъга няма елементарна първообразна, което е точно случаят, в който численото интегриране заслужава мястото си. Оценката е T₁₀ = 1.552609 срещу уточнена стойност 1.547866, грешка от около 0.004743. Без числен метод тази дължина би била много трудна за получаване.

Всеки резултат по-горе е изчислен директно от съставната формула, закръглен до шестия знак след десетичната запетая. Повтарянето на всеки от тях в калкулатора със същото n възпроизвежда същите цифри.

Сходимост означава, че приближенията се установяват към истинската стойност с нарастването на n. Таблицата по-долу проследява f(x) = x² върху [0, 1], чиято точна дължина е 1.478943:

Всеки път, когато n се удвоява, грешката спада приблизително четири пъти: от 0.037181 до 0.009321 до 0.002330 до 0.000582 до 0.000146 до 0.000036. Това е сходимост от втори ред, отличителният белег на съставното трапецовидно правило върху гладки подинтегрални функции. Разполовяването на h намалява водещия член на грешката до около една четвърт.

Колоната „промяна спрямо предходната“ е практическата проверка за сходимост, която работният процес на калкулатора препоръчва. Когато удвояването на n променя отговора с по-малко от изискваната ви точност, оценката е стабилна. При тази крива n = 16 вече определя дължината с точност до 0.000582 от истината.

Грешката на съставното трапецовидно правило има точна математическа форма. За достатъчно гладка подинтегрална функция g върху [a, b]:

за някое ξ в [a, b]. Знакът е важен: когато g'' е положителна (изпъкнала подинтегрална функция), грешката е отрицателна, което означава, че T_n надценява интеграла. Това съответства на примера с x², където всяка оценка надвишаваше точната 1.478943.

Гарантирана граница следва, като заменим g''(ξ) с максималната му абсолютна стойност M = max|g''(x)| върху [a, b]:

Ключови термини. Абсолютната грешка е |I - T_n|, разстоянието между истината и оценката. Относителната грешка разделя това на |I|. Грешката от приблизителното изчисление е грешката от замяната на интеграла с крайна сума, за разлика от грешката от закръгляне, идваща от аритметиката с крайна точност. Втората производна g'' измерва кривината на подинтегралната функция, която правите панели не успяват да уловят.

Конкретна граница за примера с x². Върху [0, 1], g''(x) = 4/(1 + 4x²)^3/2, най-голяма при x = 0 с M = 4. Границата дава |I - T₄| ≤ 4/(12 · 16) = 0.020833. Действителната грешка 0.009321 удобно се побира в нея. Границите са консервативни по замисъл; те обещават таван, а не точна грешка.

Две предупреждения. Първо, g е подинтегралната функция за дължина на дъга, а не оригиналната f. Диференцирането два пъти през корена квадратен е това, което M описва. Второ, границите за грешката могат да бъдат мъчителни за изчисляване при сложни функции, защото самото M може да изисква максимизиране. На практика проверката за сходимост чрез удвояване на n е по-полезният инструмент, а калкулаторът не показва автоматична граница за грешката.

Правилото на Симпсън е най-близкият роднина на трапецовидното правило. И двете разделят [a, b] на равни подинтервали, но Симпсън напасва парабола през три последователни точки, докато трапецовидното правило чертае една права хорда през две.

Върху гладки подинтегрални функции сходимостта от четвърти ред на Симпсън обикновено печели: удвояването на n намалява грешката му приблизително шестнадесет пъти, срещу четири при трапецовидното правило. Но Симпсън не е универсално по-добър. При груби или прекъснати подинтегрални функции и двата метода се влошават и допълнителният ред на точност може да не се прояви. Трапецовидното правило също приема нечетно n, което е удобно за бързи проверки.

Разумният работен процес използва и двете: трапецовидната оценка като прозрачна базова стойност и правилото на Симпсън за по-висока прецизност. Когато двете съвпаднат до нужните ви цифри, увереността е висока. Когато се разминават, увеличете n, преди да се доверите на която и да е.

Две различни „трапецовидни“ идеи лесно се бъркат. Те дават различни числа за една и съща крива, така че разграничението има значение.

Метод 1: Трапецовидно интегриране на подинтегралната функция за дължина на дъга. Това е, което калкулаторът прави. Той интегрира g(x) = √(1 + (f'(x))²) с трапецовидни панели, начертани под кривата на подинтегралната функция:

Метод 2: Полигонално (сума от хорди) приближение на оригиналната крива. Това свързва съседните точки върху самата крива с прави отсечки и събира дължините им:

Сумата от хорди свързва точки (x_i, f(x_i)) върху оригиналната крива. Трапецовидният панел вместо това приближава площта под подинтегралната функция g(x). Панелите не представляват прави отсечки от оригиналната крива, въпреки че и двете картини включват прави линии.

И двата метода се схождат към истинската дължина с нарастването на n и и двата са легитимни числени инструменти. Калкулаторът на тази страница реализира Метод 1. Ако ви трябват суми от хорди от координатни данни, инструментът дължина на дъга от точки вместо това следва Метод 2.

Трапецовидното правило е правилният избор, когато простотата и прозрачността са по-важни от изстискването на последните цифри на точността.

• Учене на числено интегриране. Всяка стъпка има видим геометричен смисъл, което го прави стандартния първи метод в курсовете по анализ.
• Бързо оценяване на дължини на криви. Няколко панела често дават две или три верни цифри при гладки криви.
• Проверка на аналитични решения. Сравнете ръчно изведена дължина на дъга с независима числена оценка.
• Инженерни и физични модели. Оценки на дължини за кабели, арки и траектории, където приблизителните стойности захранват по-големи изчисления.
• Сравняване на числени методи. Това е базовата стойност, спрямо която се оценяват правилото на Симпсън и методите от по-висок ред.
• Гладки пробвани функции. Когато f е гладка и n може да е умерено, методът е надежден.
• Образователна проверка. Предвидимото му поведение O(h²) прави проверките за сходимост лесни за тълкуване.

Посегнете към различен метод, когато подинтегралната функция се променя бързо, има чупки или прекъсвания, или когато се изисква висока точност на ниска цена. При гладки криви правилото на Симпсън обикновено дава повече цифри на панел. За параметрични, полярни или пространствени криви използвайте специализираните калкулатори за параметрична, полярна или дължина на дъга в 3D, които прилагат същите числени идеи в правилната координатна система.

Това са грешките, които се появяват най-често в студентските работи и във въпросите към поддръжката. Всяка е лесна за избягване, щом знаете, че съществува.

1. Въвеждане на грешни граници на интегриране. Сегментът [0, 2] не е същата част от кривата като [2, 0]. Винаги потвърждавайте a < b и че границите съответстват на задачата.
2. Използване на грешна функция. Правописна грешка като x^3 вместо x^2 променя производната и всяка следваща стойност.
3. Забравяне на производната във формулата за дължина на дъга. Дължината на дъга интегрира √(1 + (f')²), а никога самото f.
4. Прилагане на правилото директно върху f(x) за дължина на дъга. Панелите трябва да лежат под g(x). Интегрирането на f(x) изчислява площ със знак, а не дължина.
5. Избор на твърде малко подразделения. n = 2 върху извита подинтегрална функция може да греши с няколко процента; примерът с x² имаше 2.5% грешка при n = 2.
6. Използване на нула подразделения. n = 0 означава h = (b - a)/0, което е недефинирано. n трябва да е положително цяло число.
7. Въвеждане на нецял брой подразделения. n = 2.5 няма смисъл при броене на панели; закръглете до цяло число.
8. Бъркане на n с броя на пробните точки. n панела се нуждаят от n + 1 пробни точки. При n = 4 има 5 точки, а не 4.
9. Забравяне на половин теглата в крайните точки. Даването на пълно тегло на g(x₀) и g(x_n) надува оценката с h/2 · (g(x₀) + g(x_n)).
10. Използване на грешна стъпка. h = (b - a)/n, а не b - a и не 1/n. Върху [0, 2] при n = 8, h = 0.25.
11. Смесване на градуси и радиани. sin(x) с x в градуси е различна крива от sin(x) в радиани; дължините на дъга се различават съответно.
12. Пренебрегване на ограниченията в дефиниционната област на функцията. ln(x + 1) изисква x > -1. Оценяването извън дефиниционната област дава безсмислени стойности.
13. Бъркане на приближението с точното интегриране. T_n се доближава до L; равно е на L само при специални подинтегрални функции като константите.
14. Предполагане, че повече панели винаги гарантират по-добра точност. Вярно в асимптотичния режим за гладки подинтегрални функции, но грешката от закръгляне и негладкостта могат да нарушат модела в крайностите.
15. Пренебрегване на проверките за сходимост. Една оценка е предположение; две оценки при n и 2n, които съвпадат, са доказателство.
16. Бъркане на правилото на Симпсън с трапецовидното правило. Симпсън използва тегла 1-4-2-4-...-1 и се нуждае от четно n; трапецовидното правило използва 1/2-1-...-1-1/2 и всяко положително n.
17. Бъркане на трапецовидното интегриране със сумирането на хорди. Панелите под подинтегралната функция не са хорди върху кривата; двата метода дават различни числа.
18. Отчитане на прекомерна десетична точност. Ако грешката е около 0.002, записването на шест знака след десетичната запетая надценява това, което е известно. Закръглете, за да съответства на проверената точност.

Същата аритметика с панели зад дължината на дъга се появява навсякъде, където гладка величина трябва да се натрупа по числен път.

• Инженерна оценка на дължини на криви. Дължините на кабели, окачени криви и завои на тръби се изчисляват от проектните функции преди производството.
• Машинно проектиране. Профилите на гърбици и зъбните криви се нуждаят от точни оценки на периметъра за планиране на материалите.
• Геометрия на пътища и пътеки. Кривите на трасето за пътища и железници се измерват по централните им линии, които рядко са елементарни функции.
• Компютърно подпомогнато проектиране. CAD ядрата оценяват дължини на криви за визуализация, генериране на траектории на инструменти и оразмеряване.
• Физични симулации. Траекториите на частици и дължините на силови линии се натрупват от числени модели.
• Числено моделиране. Всеки интеграл без затворен вид, от плътности на вероятности до енергия на сигнали, може да започне с трапецовидни панели.
• Математическо образование. Правилото е стандартният вход към числения анализ, защото поведението на грешката му е лесно за демонстриране.
• Измерване и проверка на криви. Физичните измервания на неправилни криви се сверяват с числени прогнози.

За специализирана геометрия методът се адаптира: същото съставно правило интегрира параметрична скорост √((x')² + (y')²) и полярни подинтегрални функции. Калкулаторът тук обработва декартовия случай; свързаните инструменти покриват другите координатни системи. Той не обработва директно CAD файлове или геодезически данни; те първо трябва да бъдат сведени до функция и граници.

Решете ги на ръка, след това проверете с калкулатора. Всяко решение показва заместването, за да можете да откриете собствените си аритметични грешки.

Задача 1. Използвайте трапецовидното правило с n = 1, за да приближите ∫₀² 3 dx, и кажете дали резултатът е точен.
Решение. h = 2, T₁ = 2/2 · [3 + 3] = 6. Подинтегралната функция е константа, така че единственият трапец съвпада точно с правоъгълника. Точният интеграл също е 6, така че резултатът е точен.

Задача 2. Намерете дължината на дъга на f(x) = x върху [0, 1], като използвате трапецовидното правило с n = 1.
Решение. f'(x) = 1, така че g(x) = √2, константа. T₁ = 1 · √2 ≈ 1.414214, което е точно, защото подинтегралната функция е константа. Геометрично това е диагоналът на единичен квадрат.

Задача 3. Приближете дължината на дъга на f(x) = x² върху [0, 1] с n = 2.
Решение. h = 0.5; g(0) = 1, g(0.5) = 1.414214, g(1) = 2.236068. T₂ = 0.5 · [1/2 + 1.414214 + 2.236068/2] = 0.5 · 3.032249 = 1.516124. Точната стойност е 1.478943, така че грешката е 0.037181.

Задача 4. Приближете дължината на дъга на f(x) = sin x върху [0, π] с n = 4.
Решение. g(x) = √(1 + cos²x), h = π/4. Оценяването в 0, π/4, π/2, 3π/4, π и прилагането на теглата дава T₄ ≈ 3.819944. При n = 8 стойността е 3.820198, така че резултатът при n = 4 вече е в рамките на 0.000254 от сходящата се стойност.

Задача 5. Изчислете стъпката при a = 2, b = 5, n = 6.
Решение. h = (5 - 2)/6 = 3/6 = 0.5. Пробните точки са 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5: седем точки за шест панела.

Задача 6. При n = 10 колко пробни точки има и какви са техните тегла?
Решение. Има n + 1 = 11 пробни точки. Крайните точки x₀ и x₁₀ носят тегло 1/2; деветте вътрешни точки от x₁ до x₉ носят тегло 1.

Задача 7. За f(x) = x² върху [0, 1] сравнете T₂ и T₄ и посочете промяната.
Решение. T₂ = 1.516124 и T₄ = 1.488264, промяна от 0.027860. Точната стойност е 1.478943, така че удвояването на n намали грешката от 0.037181 до 0.009321, фактор от около четири, както предсказва сходимостта от втори ред.

Задача 8. T₈ = 1.481272 за f(x) = x² върху [0, 1]. Отчетете абсолютната и относителната грешка спрямо точната 1.478943.
Решение. Абсолютна грешка = |1.481272 - 1.478943| = 0.002330. Относителна грешка = 0.002330 / 1.478943 ≈ 0.001576, около 0.16%. Както оценката, така и грешката трябва да бъдат цитирани до три знака след десетичната запетая тук; допълнителните цифри в 1.481272 все още не са надеждни.