حاسبة القاعدة شبه المنحرفة

تقدّر حاسبة قاعدة شبه المنحرف طول القوس عددياً. إنها تطبق قاعدة شبه المنحرف المركبة على تكامل طول القوس لدالة تدخلها. اتبع هذه الخطوات للحصول على تقدير أولي في أقل من دقيقة.

1. أدخل الدالة. اكتب f(x) في حقل الدالة، مثل x^2 أو sin(x) أو ln(x+1). استخدم ^ للأسس وأسماء الدوال القياسية مثل sin وcos وexp وln.
2. أدخل القيمة الابتدائية. حدد a، وهو الحد الأدنى للتكامل. لمقطع المنحنى من x = 0 إلى x = 1، أدخل 0.
3. أدخل القيمة النهائية. حدد b، وهو الحد الأعلى للتكامل. تتطلب الحاسبة أن يكون b > a.
4. اختر عدد التقسيمات. أدخل n، وهو عدد الفترات الجزئية المتساوية. التجربة الأولى مع n = 10 مناسبة جيداً للمنحنيات الملساء.
5. اختر طريقة شبه المنحرف. في واجهة التكامل العددي، اختر قاعدة شبه المنحرف بحيث تكون صيغة اللوح المعروضة أدناه هي المطبقة.
6. انقر على «احسب». تقوم الأداة بتقييم الدالة المتكاملة لطول القوس عند n + 1 نقطة عينة، وتطبق أوزان الطرفين، وتعرض التقريب.
7. فسّر النتيجة. الرقم المعروض هو تقدير لطول المنحنى بين x = a وx = b، بنفس وحدات الطول المستخدمة لقيم x.
8. حسّن الدقة. ضاعف n وأعد الحساب. عندما لا يتغير تقديران متتاليان تقريباً، تكون النتيجة قد تقاربت للأغراض العملية.

فيما يلي ما يتحكم فيه كل مدخل:

إدخال f(x) = x² وa = 0 وb = 1 وn = 10 يعطي تقديراً لطول القوس قريباً من 1.479، وهو قريب من القيمة الدقيقة 1.478943. يشرح باقي هذا الدليل بالضبط ما تحسبه الحاسبة وكيفية تقييم جودة إجابتها.

قاعدة شبه المنحرف هي طريقة للتكامل العددي. إنها تقرّب التكامل المحدد باستبدال المساحة تحت المنحنى بمساحات أشباه المنحرف المرسومة تحت الدالة المتكاملة. يُبنى كل شبه منحرف من نقطتي عينة متجاورتين، ومجموع مساحات جميع أشباه المنحرف يقدّر التكامل.

يأتي الاسم من الهندسة. بين نقطتي العينة x_i وx_i+1، تُستبدل الدالة المتكاملة g(x) بخط مستقيم. المنطقة تحت ذلك الخط المستقيم هي شبه منحرف: ضلعان رأسيان متوازيان بارتفاعي g(x_i) وg(x_i+1)، وعرض أفقي h = x_i+1 - x_i.

مساحة شبه المنحرف الواحد هي h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)]. وجمع مساحات جميع أشباه المنحرف الـ n يعطي التقريب المركب للتكامل بقاعدة شبه المنحرف. وكلمة «مركبة» تعني أن الفترة مقسمة إلى عدة ألواح بدلاً من لوح واحد.

تنتمي هذه القاعدة إلى عائلة طرق التربيع العددي. وتُقدَّر لشفافيتها: لكل خطوة معنى هندسي واضح، والمعامل الوحيد هو عدد التقسيمات n. الفكرة الأساسية سهلة الصياغة: الألواح الأضيق والأكثر استقامة تتبع الدالة المتكاملة بدقة أكبر، لذا يتحسن التقدير كلما زاد n.

بالنسبة لطول القوس، الدالة المتكاملة ليست الدالة الأصلية f(x). بل هي الدالة المتكاملة لطول القوس g(x) = √(1 + (f'(x))²)، التي تقيس سرعة تراكم الطول على امتداد المنحنى. والحفاظ على وضوح هذا التمييز يمنع أكثر سوء فهم شيوعاً لهذه الطريقة.

لصيغة قاعدة شبه المنحرف شكلان: نسخة اللوح الواحد والنسخة المركبة المستخدمة عملياً. وكلتاهما تنبعان من نفس هندسة شبه المنحرف.

صيغة اللوح الواحد. مع شبه منحرف واحد يغطي الفترة كاملة:

يُضرب العرض (b - a) في متوسط ارتفاعي الطرفين. وهذه هي بالضبط مساحة شبه المنحرف الواحد.

الصيغة المركبة. قسّم [a, b] إلى n فترة جزئية متساوية بعرض h = (b - a)/n، مع نقاط العينة x₀ = a وx₁ = a + h و... وx_n = b:

لكل رمز معنى ثابت:

• T_n هو التقريب العددي باستخدام n لوحاً.
• h هو عرض الفترة الجزئية، (b - a)/n.
• a وb هما حدا التكامل الأدنى والأعلى.
• n هو عدد الفترات الجزئية، وهو عدد صحيح موجب.
• x_i هي نقاط العينة، وتفصل بينها مسافة h.
• g(x_i) هي قيم الدالة المتكاملة عند تلك النقاط.

يحصل الطرفان على نصف الوزن لأن كل نقطة عينة داخلية مشتركة بين شبهي منحرف متجاورين، بينما ينتمي كل طرف إلى واحد فقط. وجبرياً، تتجمع الحدود المتجاورة h/2 · [g(x_i) + g(x_i+1)] بحيث تُحسب القيم الداخلية كاملة والقيمتان الخارجيتان بنصف الوزن.

حساب قصير محلول. قرّب ∫₀¹ x² dx باستخدام n = 2. إذن h = 0.5 وx₀ = 0 وx₁ = 0.5 وx₂ = 1، وT₂ = 0.5 · [0/2 + 0.25 + 1/2] = 0.5 · 0.75 = 0.375. التكامل الدقيق هو 1/3 ≈ 0.333، لذا فإن التقدير الخشن بلوحين يقع في الجوار الصحيح، مع مجال للتحسين.

طول القوس تكامل، لذا تنطبق عليه قاعدة شبه المنحرف مباشرة. طول قوس المنحنى y = f(x) من x = a إلى x = b يُعطى بالصيغة:

تكوّن الحاسبة الدالة المتكاملة لطول القوس g(x) = √(1 + (f'(x))²) وتدخلها في الصيغة المركبة لقاعدة شبه المنحرف. والإجراء الكامل هو:

1. ابدأ بـ y = f(x). تأكد من أن الدالة قابلة للاشتقاق على [a, b].
2. أوجد المشتقة f'(x). تشتق الأداة التعبير المدخل داخلياً.
3. ربّع المشتقة. كوّن (f'(x))². التربيع يزيل معلومات الإشارة لأن الطول يتراكم بغض النظر عن اتجاه الميل.
4. أضف 1. الدالة المتكاملة هي 1 + (f'(x))²، وهي لا تقل عن 1 أبداً.
5. خذ الجذر التربيعي. يعطي هذا g(x)، وهو المعدل المحلي لتراكم الطول لكل وحدة من x.
6. قسّم الفترة. اختر n واحسب h = (b - a)/n.
7. قيّم الدالة المتكاملة. احسب g(x₀)، ...، g(x_n) عند نقاط العينة.
8. طبّق القاعدة المركبة. اجمع القيم مع نصف الأوزان عند الطرفين.
9. فسّر النتيجة. المجموع هو الطول التقريبي لمقطع المنحنى.

تُربَّع المشتقة ثم توضع تحت جذر تربيعي لسبب هندسي: مقطع منحنى صغير بعرض dx وارتفاع dy له طول √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx وفق نظرية فيثاغورس. وتكامل ذلك الطول المحلي على [a, b] يعطي الطول الكلي، وقاعدة شبه المنحرف تقرّب التكامل.

الدالة المتكاملة غير سالبة دائماً لأن 1 + (f'(x))² لا تقل عن 1. وقيمتها الصغرى هي 1، وتتحقق حيثما يكون المنحنى مسطحاً. الميول الأكثر انحداراً تجعل g(x) أكبر، وهذا بالضبط سبب كون المنحنيات شديدة الانحدار أطول من المنحنيات قليلة الانحدار على نفس فترة x.

يعرض هذا المثال المحلول بالكامل كل رقم تنتجه قاعدة شبه المنحرف. استخدم f(x) = x² على [0, 1] مع n = 4.

1. المشتقة. f'(x) = 2x.

2. الدالة المتكاملة. g(x) = √(1 + (2x)²) = √(1 + 4x²).

3. حجم الخطوة. h = (1 - 0)/4 = 0.25.

4. نقاط العينة. 0 و0.25 و0.5 و0.75 و1.

5. قيم الدالة المتكاملة والأوزان.

6. المجموع الموزون. 1.000000/2 + 1.118034 + 1.414214 + 1.802776 + 2.236068/2 = 5.953057.

7. اضرب في h.

8. قارن مع القيمة الدقيقة. طول القوس الدقيق هو L = √5/2 + asinh(2)/4 ≈ 1.478943. تقدير n = 4 البالغ 1.488264 يتجاوزه بمقدار 0.009321، أي بخطأ يقارب 0.63%. والتكرار مع n = 8 يعطي 1.481272، وهو ضمن 0.002330 من القيمة الدقيقة.

لاحظ أن التقدير أكبر من القيمة الدقيقة. بالنسبة لهذه الدالة المتكاملة المحدبة، تقع الأوتار المستقيمة فوق المنحنى، لذا تبالغ قاعدة شبه المنحرف في التقدير. وهذا السلوك المنهجي طبيعي، وتتضاءل المبالغة كلما زاد n.

يرتبط عدد التقسيمات n وحجم الخطوة h بالعلاقة h = (b - a)/n. ويتحكمان معاً في مدى دقة أخذ عينات الدالة المتكاملة ومدى دقة التقدير.

ماذا يمثل n. إنه عدد ألواح شبه المنحرف، وهو عدد صحيح موجب. وعدد نقاط العينة هو دائماً n + 1 لأن الألواح المتتالية تشترك في نقاط حدودها.

لماذا n = 1 هو قاعدة اللوح الواحد. مع n = 1 يكون h = b - a وT₁ = h/2 · [g(a) + g(b)]. وهذا هو أخشن أشكال الطريقة ونادراً ما يكون دقيقاً بما يكفي.

عروض الألواح على [0, 1]. يوضح الجدول أدناه كيف يتضاءل h كلما زاد n:

الألواح الأصغر تتبع الدالة المتكاملة بدقة أكبر، لذا فإن التقريب الخطي داخل كل لوح ينحرف أقل عن المنحنى الحقيقي. ولهذا السبب فإن زيادة n عادة ما تحسن الدقة. المقابل حسابي: كل لوح جديد يحتاج إلى تقييم دالة إضافي.

زيادة التقسيمات لا تضمن نتيجة أفضل دائماً لكل دالة متكاملة. الدوال المتكاملة غير الملساء أو المتذبذبة قد تُظهر سلوكاً غير منتظم للخطأ، وتقريب الفاصلة العائمة يحد في النهاية من المكاسب عند قيم n الكبيرة جداً. أما بالنسبة للمنحنيات الملساء مثل تلك الواردة في هذا الدليل، فإن التحسن ثابت وقابل للتنبؤ.

استراتيجية عملية: ابدأ بـ n = 10 أو n = 20، ثم ضاعف n حتى يتوقف التقدير عن التغير بالدقة التي تحتاجها. فحص التقارب هذا أكثر موثوقية من الوثوق بأي قيمة مفردة لـ n.

تغطي ستة أمثلة المجال من الحالات الدقيقة إلى الدوال التي ليس لأطوال أقواسها صيغة مغلقة أولية. يعرض كل مثال المشتقة والدالة المتكاملة والتعويض والنتيجة العددية.

مثال 1: خط مستقيم، f(x) = 2x على [0, 3]. المشتقة هي f'(x) = 2، وهي ثابتة، لذا فإن الدالة المتكاملة هي g(x) = √(1 + 4) = √5، وهي ثابتة أيضاً. اللوح الواحد دقيق لأن الدالة المتكاملة لا تنحني أبداً: T₁ = 3 · √5 ≈ 6.708204. والطول الدقيق 3√5 يطابقه. هذا يؤكد القاعدة: قاعدة شبه المنحرف دقيقة متى كانت الدالة المتكاملة خطية أو ثابتة.

مثال 2: دالة تربيعية، f(x) = x² على [0, 1]، n = 4. مع f'(x) = 2x وg(x) = √(1 + 4x²)، يعطي الحساب الكامل في القسم السابق L ≈ 1.488264، مقارنة بالقيمة الدقيقة 1.478943. الفجوة الصغيرة ناتجة عن تحدب الدالة المتكاملة؛ فالأوتار المرسومة فوق المنحنى تضيف مساحة زائدة.

مثال 3: دالة تربيعية أطول، f(x) = x² على [0, 2]، n = 8. هنا h = 0.25 مجدداً، لكن الفترة ضعف الطول والدالة المتكاملة أكثر انحداراً. التقدير هو T₈ = 4.656890. والحساب عالي الدقة يعطي 4.646784، لذا فإن الخطأ يقارب 0.010106. تمديد الفترة لا يضاعف الإجابة فحسب: فالدالة المتكاملة تنمو مع x، لذا ينمو طول القوس أسرع من طول الفترة.

مثال 4: منحنى الجيب، f(x) = sin x على [0, π]. المشتقة هي f'(x) = cos x، مما يعطي g(x) = √(1 + cos²x). مع n = 8، التقدير هو 3.820198؛ ومع n = 16، هو 3.820198، دون تغير حتى ست منازل عشرية. تتقارب الدالة المتكاملة المتماثلة بسرعة لأن انحناءها لطيف وموزع بالتساوي. (أدخل الزوايا بالراديان؛ فالدرجات ستنتج منحنى مختلفاً.)

مثال 5: اللوغاريتم، f(x) = ln(x + 1) على [0, 2]، n = 10. المشتقة هي f'(x) = 1/(x + 1)، لذا فإن g(x) = √(1 + 1/(x + 1)²). يتطلب المجال x > -1، وهو ما تحققه الفترة. التقدير هو T₁₀ = 2.304215، بينما يعطي الحساب المنقح 2.301988، بخطأ يقارب 0.002227. بالقرب من x = 0 يكون الميل أشد انحداراً، لذا يتراكم معظم الطول في بداية الفترة.

مثال 6: دالة تكعيبية، f(x) = x³ على [0, 1]، n = 10. هنا f'(x) = 3x² وg(x) = √(1 + 9x⁴). ليس لطول هذا القوس مشتقة عكسية أولية، وهنا بالضبط يبرز دور التكامل العددي. التقدير هو T₁₀ = 1.552609 مقابل قيمة منقحة 1.547866، بخطأ يقارب 0.004743. بدون طريقة عددية، سيكون من الصعب جداً الحصول على هذا الطول.

كل نتيجة أعلاه حُسبت مباشرة من الصيغة المركبة، مقربة إلى ست منازل عشرية. تكرار أي منها في الحاسبة بنفس n يعيد إنتاج نفس الأرقام.

التقارب يعني أن التقريبات تستقر نحو القيمة الحقيقية كلما زاد n. يتتبع الجدول أدناه f(x) = x² على [0, 1]، التي طولها الدقيق 1.478943:

في كل مرة يتضاعف فيها n، ينخفض الخطأ بمعامل يقارب أربعة: من 0.037181 إلى 0.009321 إلى 0.002330 إلى 0.000582 إلى 0.000146 إلى 0.000036. هذا هو التقارب من الدرجة الثانية، وهو السمة المميزة لقاعدة شبه المنحرف المركبة على الدوال المتكاملة الملساء. تنصيف h يقلص حد الخطأ الرئيسي إلى الربع تقريباً.

عمود «التغير عن السابق» هو فحص التقارب العملي الذي توصي به آلية عمل الحاسبة. عندما يؤدي مضاعفة n إلى تغيير الإجابة بأقل من الدقة المطلوبة، يكون التقدير مستقراً. بالنسبة لهذا المنحنى، فإن n = 16 يثبت الطول ضمن 0.000582 من القيمة الحقيقية.

لخطأ قاعدة شبه المنحرف المركبة صيغة رياضية دقيقة. بالنسبة لدالة متكاملة ملساء بما يكفي g على [a, b]:

لبعض ξ في [a, b]. الإشارة مهمة: عندما تكون g'' موجبة (دالة متكاملة محدبة)، يكون الخطأ سالباً، أي أن T_n تبالغ في تقدير التكامل. وهذا يطابق مثال x²، حيث تجاوز كل تقدير القيمة الدقيقة 1.478943.

يتبع حد مضمون باستبدال g''(ξ) بأقصى مقدار لها M = max|g''(x)| على [a, b]:

مصطلحات أساسية. الخطأ المطلق هو |I - T_n|، أي المسافة بين القيمة الحقيقية والتقدير. الخطأ النسبي يقسم ذلك على |I|. خطأ القطع هو الخطأ الناتج عن تقريب التكامل بمجموع منتهٍ، مقابل خطأ التقريب الناتج عن الحسابات ذات الدقة المحدودة. المشتقة الثانية g'' تقيس انحناء الدالة المتكاملة، وهو ما تفشل الألواح المستقيمة في التقاطه.

حد عملي لمثال x². على [0, 1]، تكون g''(x) = 4/(1 + 4x²)^3/2، وهي أكبر ما تكون عند x = 0 حيث M = 4. يعطي الحد |I - T₄| ≤ 4/(12 · 16) = 0.020833. والخطأ الفعلي 0.009321 يقع ضمنه بارتياح. الحدود متحفظة بطبيعتها؛ فهي تعد بسقف أعلى، لا بخطأ دقيق.

تحذيران. أولاً، g هي الدالة المتكاملة لطول القوس، وليست الدالة الأصلية f. فالاشتقاق مرتين عبر الجذر التربيعي هو ما يصفه M. ثانياً، قد يكون حساب حدود الخطأ مؤلماً للدوال المعقدة لأن M نفسها قد تحتاج إلى تعظيم. عملياً، فحص التقارب بمضاعفة n هو الأداة الأكثر فائدة، والحاسبة لا تعرض حداً تلقائياً للخطأ.

قاعدة سيمبسون هي أقرب قريبة لقاعدة شبه المنحرف. كلتاهما تقسمان [a, b] إلى فترات جزئية متساوية، لكن سيمبسون تطابق قطعاً مكافئاً يمر بثلاث نقاط متتالية بينما ترسم قاعدة شبه المنحرف وتراً مستقيماً واحداً يمر بنقطتين.

على الدوال المتكاملة الملساء، يفوز تقارب سيمبسون من الدرجة الرابعة عادة: مضاعفة n تخفض خطأها بنحو ستة عشر، مقابل أربعة لقاعدة شبه المنحرف. لكن سيمبسون ليست أفضل دائماً. بالنسبة للدوال المتكاملة الخشنة أو غير المتصلة، تتدهور كلتا الطريقتين، وقد لا تتحقق رتبة الدقة الإضافية. كما تقبل قاعدة شبه المنحرف قيم n الفردية، وهو أمر ملائم للفحوصات السريعة.

آلية عمل سليمة تستخدم كلتيهما: تقدير شبه المنحرف كخط أساس شفاف، وقاعدة سيمبسون لدقة أعلى. عندما تتفق الطريقتان على الأرقام المطلوبة، تكون الثقة عالية. وعندما تختلفان، زد n قبل الوثوق بأي منهما.

من السهل الخلط بين فكرتين مختلفتين «شبيهتين بشبه المنحرف». إنهما تنتجان أرقاماً مختلفة لنفس المنحنى، لذا فإن التمييز مهم.

الطريقة 1: التكامل بشبه المنحرف للدالة المتكاملة لطول القوس. هذا ما تفعله الحاسبة. إنها تكامل g(x) = √(1 + (f'(x))²) بألواح شبه منحرف مرسومة تحت منحنى الدالة المتكاملة:

الطريقة 2: التقريب المضلعي (مجموع الأوتار) للمنحنى الأصلي. هذه تربط النقاط المتجاورة على المنحنى نفسه بقطع مستقيمة وتجمع أطوالها:

مجموع الأوتار يربط النقاط (x_i, f(x_i)) على المنحنى الأصلي. أما لوح شبه المنحرف فيقرّب المساحة تحت الدالة المتكاملة g(x). الألواح لا تمثل قطعاً مستقيمة من المنحنى الأصلي، رغم أن كلتا الصورتين تتضمنان خطوطاً مستقيمة.

تتقارب كلتا الطريقتين نحو الطول الحقيقي كلما زاد n، وكلتاهما أداتان عدديتان شرعيتان. الحاسبة في هذه الصفحة تطبق الطريقة 1. وإذا كنت تحتاج إلى مجموع الأوتار من بيانات إحداثية، فإن أداة طول القوس من النقاط تتبع الطريقة 2 بدلاً من ذلك.

قاعدة شبه المنحرف هي الخيار الصحيح عندما تكون البساطة والشفافية أهم من انتزاع آخر أرقام الدقة.

• تعلم التكامل العددي. لكل خطوة معنى هندسي مرئي، مما يجعلها الطريقة الأولى القياسية في مقررات التفاضل والتكامل.
• تقدير أطوال المنحنيات بسرعة. حفنة من الألواح تعطي غالباً رقمين أو ثلاثة أرقام صحيحة للمنحنيات الملساء.
• التحقق من الحلول التحليلية. قارن طول قوس مشتق يدوياً مع تقدير عددي مستقل.
• النماذج الهندسية والفيزيائية. تقديرات الأطوال للكابلات والأقواس والمسارات حيث تغذي القيم التقريبية حسابات أكبر.
• مقارنة الطرق العددية. إنها خط الأساس الذي تُقاس عليه قاعدة سيمبسون والطرق ذات الرتب الأعلى.
• الدوال الملساء المأخوذة عيناتها. عندما تكون f ملساء ويمكن أن يكون n معتدلاً، تكون الطريقة موثوقة.
• التحقق التعليمي. سلوكها المتوقع O(h²) يجعل فحوصات التقارب سهلة التفسير.

الجأ إلى طريقة مختلفة عندما تتغير الدالة المتكاملة بسرعة، أو تحتوي على انكسارات أو انقطاعات، أو عندما تُطلب دقة عالية بتكلفة منخفضة. بالنسبة للمنحنيات الملساء، تقدم قاعدة سيمبسون عادة أرقاماً أكثر لكل لوح. وبالنسبة للمنحنيات البارامترية أو القطبية أو الفضائية، استخدم حاسبات البارامترية أو القطبية أو طول القوس ثلاثي الأبعاد المخصصة، التي تطبق نفس الأفكار العددية في نظام الإحداثيات الصحيح.

هذه هي الأخطاء التي تظهر غالباً في أعمال الطلاب وأسئلة الدعم. وكل منها سهل التجنب متى عرفت وجوده.

1. إدخال حدود تكامل غير صحيحة. المقطع [0, 2] ليس نفس جزء المنحنى مثل [2, 0]. تأكد دائماً من أن a < b وأن الحدود تطابق المسألة.
2. استخدام دالة خاطئة. خطأ مطبعي مثل x^3 بدلاً من x^2 يغير المشتقة وكل قيمة لاحقة.
3. نسيان المشتقة في صيغة طول القوس. طول القوس يكامل √(1 + (f')²)، وليس f نفسها أبداً.
4. تطبيق القاعدة مباشرة على f(x) لطول القوس. يجب أن تقع الألواح تحت g(x). تكامل f(x) يحسب المساحة الموقعة، لا الطول.
5. اختيار تقسيمات قليلة جداً. n = 2 على دالة متكاملة منحنية قد يخطئ بعدة في المئة؛ مثال x² كان خطؤه 2.5% عند n = 2.
6. استخدام صفر تقسيمات. n = 0 يعني h = (b - a)/0، وهو غير معرف. يجب أن يكون n عدداً صحيحاً موجباً.
7. إدخال عدد تقسيمات غير صحيح. n = 2.5 لا معنى له في عد الألواح؛ قرّب إلى عدد صحيح.
8. الخلط بين n وعدد نقاط العينة. n لوحاً تحتاج إلى n + 1 نقطة عينة. مع n = 4 توجد 5 نقاط، لا 4.
9. نسيان نصف الأوزان عند الطرفين. إعطاء g(x₀) وg(x_n) الوزن الكامل يضخم التقدير بمقدار h/2 · (g(x₀) + g(x_n)).
10. استخدام حجم خطوة خاطئ. h = (b - a)/n، وليس b - a وليس 1/n. على [0, 2] مع n = 8، يكون h = 0.25.
11. الخلط بين الدرجات والراديان. sin(x) مع x بالدرجات منحنى مختلف عن sin(x) بالراديان؛ وتختلف أطوال الأقواس تبعاً لذلك.
12. تجاهل قيود مجال الدالة. ln(x + 1) تتطلب x > -1. التقييم خارج المجال ينتج قيماً لا معنى لها.
13. الخلط بين التقريب والتكامل الدقيق. T_n تقترب من L؛ وتساويها فقط لدوال متكاملة خاصة مثل الثوابت.
14. افتراض أن زيادة الألواح تضمن دائماً دقة أفضل. هذا صحيح في النظام المقارب للدوال المتكاملة الملساء، لكن خطأ التقريب وعدم الملاسة قد يكسران النمط عند الأطراف.
15. تجاهل فحوصات التقارب. التقدير الواحد تخمين؛ وتقديران عند n و2n متفقان هو دليل.
16. الخلط بين قاعدة سيمبسون وقاعدة شبه المنحرف. سيمبسون تستخدم أوزان 1-4-2-4-...-1 وتحتاج n زوجياً؛ وقاعدة شبه المنحرف تستخدم 1/2-1-...-1-1/2 وأي n موجب.
17. الخلط بين التكامل بشبه المنحرف ومجموع الأوتار. الألواح تحت الدالة المتكاملة ليست أوتاراً على المنحنى؛ فالطريقتان تعطيان أرقاماً مختلفة.
18. الإبلاغ عن دقة عشرية مفرطة. إذا كان الخطأ حوالي 0.002، فإن كتابة ست منازل عشرية تبالغ فيما هو معروف. قرّب بما يطابق الدقة المتحقق منها.

حسابات الألواح نفسها وراء طول القوس تظهر أينما وجب تجميع كمية ملساء عددياً.

• تقدير أطوال المنحنيات هندسياً. أطوال الكابلات ومنحنيات التعليق وانحناءات الأنابيب تُحسب من دوال التصميم قبل التصنيع.
• التصميم الميكانيكي. مقاطع الكامات ومنحنيات أسنان التروس تحتاج إلى تقديرات دقيقة للمحيط لتخطيط المواد.
• هندسة الطرق والمسارات. منحنيات المحاذاة للطرق والسكك الحديدية تُقاس على امتداد خطوطها المركزية، وهي نادراً ما تكون دوالاً أولية.
• التصميم بمساعدة الحاسوب. أنوية CAD تقدّر أطوال المنحنيات للعرض وتوليد مسارات الأدوات ووضع الأبعاد.
• محاكاة الفيزياء. مسارات الجسيمات وأطوال خطوط المجال تُجمع من نماذج عددية.
• النمذجة العددية. أي تكامل بلا صيغة مغلقة، من كثافات الاحتمال إلى طاقة الإشارة، يمكن أن يبدأ بألواح شبه المنحرف.
• التعليم الرياضي. القاعدة هي البوابة القياسية للتحليل العددي لأن سلوك خطأها سهل العرض.
• قياس المنحنيات والتحقق منها. القياسات الفيزيائية للمنحنيات غير المنتظمة تُقارن مع التنبؤات العددية.

بالنسبة للهندسات المتخصصة، تتكيف الطريقة: نفس القاعدة المركبة تكامل السرعة البارامترية √((x')² + (y')²) والدوال المتكاملة القطبية. الحاسبة هنا تتعامل مع الحالة الديكارتية؛ والأدوات المرتبطة تغطي أنظمة الإحداثيات الأخرى. إنها لا تعالج ملفات CAD أو مجموعات بيانات المساحة مباشرة؛ فهذه تحتاج أولاً إلى اختزالها إلى دالة وحدود.

حل هذه يدوياً، ثم تحقق مقابل الحاسبة. يعرض كل حل التعويض لتتمكن من اكتشاف زلاتك الحسابية.

مسألة 1. استخدم قاعدة شبه المنحرف مع n = 1 لتقريب ∫₀² 3 dx، وحدد ما إذا كانت النتيجة دقيقة.
الحل. h = 2، T₁ = 2/2 · [3 + 3] = 6. الدالة المتكاملة ثابتة، لذا يطابق شبه المنحرف الواحد المستطيل تماماً. التكامل الدقيق هو 6 أيضاً، لذا فالنتيجة دقيقة.

مسألة 2. أوجد طول قوس f(x) = x على [0, 1] باستخدام قاعدة شبه المنحرف مع n = 1.
الحل. f'(x) = 1، لذا g(x) = √2، وهي ثابتة. T₁ = 1 · √2 ≈ 1.414214، وهي دقيقة لأن الدالة المتكاملة ثابتة. وهندسياً هذا هو قطر مربع الوحدة.

مسألة 3. قرّب طول قوس f(x) = x² على [0, 1] مع n = 2.
الحل. h = 0.5؛ g(0) = 1 وg(0.5) = 1.414214 وg(1) = 2.236068. T₂ = 0.5 · [1/2 + 1.414214 + 2.236068/2] = 0.5 · 3.032249 = 1.516124. القيمة الدقيقة هي 1.478943، لذا فالخطأ هو 0.037181.

مسألة 4. قرّب طول قوس f(x) = sin x على [0, π] مع n = 4.
الحل. g(x) = √(1 + cos²x) وh = π/4. التقييم عند 0 وπ/4 وπ/2 و3π/4 وπ وتطبيق الأوزان يعطي T₄ ≈ 3.819944. مع n = 8 تكون القيمة 3.820198، لذا فنتيجة n = 4 تقع ضمن 0.000254 من القيمة المتقاربة.

مسألة 5. احسب حجم الخطوة لـ a = 2 وb = 5 وn = 6.
الحل. h = (5 - 2)/6 = 3/6 = 0.5. نقاط العينة هي 2 و2.5 و3 و3.5 و4 و4.5 و5: سبع نقاط لستة ألواح.

مسألة 6. بالنسبة لـ n = 10، كم عدد نقاط العينة، وما أوزانها؟
الحل. توجد n + 1 = 11 نقطة عينة. الطرفان x₀ وx₁₀ يحملان الوزن 1/2؛ والنقاط الداخلية التسع x₁ حتى x₉ تحمل الوزن 1.

مسألة 7. بالنسبة لـ f(x) = x² على [0, 1]، قارن T₂ وT₄ وحدد التغير.
الحل. T₂ = 1.516124 وT₄ = 1.488264، بتغير مقداره 0.027860. القيمة الدقيقة هي 1.478943، لذا فإن مضاعفة n خفضت الخطأ من 0.037181 إلى 0.009321، أي بمعامل يقارب أربعة، كما يتنبأ التقارب من الدرجة الثانية.

مسألة 8. T₈ = 1.481272 بالنسبة لـ f(x) = x² على [0, 1]. أبلغ عن الخطأ المطلق والنسبي مقابل القيمة الدقيقة 1.478943.
الحل. الخطأ المطلق = |1.481272 - 1.478943| = 0.002330. الخطأ النسبي = 0.002330 / 1.478943 ≈ 0.001576، أي حوالي 0.16%. يجب ذكر كل من التقدير والخطأ هنا بثلاث منازل عشرية؛ فالأرقام الزائدة في 1.481272 ليست موثوقة بعد.