Калькулятор длины дуги

Математический инструмент премиум-класса для расчета точных длин дуг окружностей, кривых и параметрических уравнений с живой визуальной обратной связью.

Бесплатно ·Без регистрации ·Работает в вашем браузере

Формула длины дуги
L=r⋅θL = r \cdot \theta
0°360°
Отображение диаграммы
◯
Инструмент «Окружность»

Радиус и угол, с площадью сектора и хордой.
∫
Параметрические

Кривые x(t) и y(t) на любом интервале.
ρ
Инструмент «Полярные»

Кривые, заданные как r(θ) в полярной форме.
ƒ
Полные шаги

Декартова длина дуги со всеми показанными шагами.
◊
Пространство 3D

Пространственные кривые x(t), y(t) и z(t).
Σ
Формула Симпсона

Численное интегрирование по формуле Симпсона.
△
Формула трапеций

Численное интегрирование, формула трапеций.
⋯
По точкам

Длина пути через точки с координатами.
Дуга эллипса

Длина дуги любого эллипса по его осям и углам.
Дуга параболы

Длина дуги любой параболы по её уравнению.
Дуга полукруга

Длина дуги любого полукруга по радиусу или диаметру.
Дуга сектора

Длина дуги кругового сектора по радиусу и углу.
Правило средних точек

Длина дуги по правилу средних точек, с прямоугольниками и проверкой погрешности.
Быстрая навигация Рассчитать онлайнМетодыСправочник формулРазобранные примерыГрадусы и радианыОшибкиПримененияЧастые вопросы
Методы

Методы калькулятора длины дуги

Калькулятор выше включает семь режимов. Каждый соответствует стандартному формату входных данных из математического анализа. Выберите режим, чьи входные данные похожи на вашу задачу.

РежимВходные данныеКогда использовать
ОкружностьРадиус r, центральный угол θОкружности, секторы, колёса, дуги
ДекартовФункция y = f(x), интервал [a, b]Графики функций
Параметрическийx(t), y(t), интервал [a, b]Траектории, петли, вертикальные кривые
Полярныйr(θ), угловой интервал [α, β]Спирали, кардиоиды, полярные графики
Численныйf(x), интервал, разбиения nИнтегралы без замкнутой формы
ТочкиСписок координат (x, y)GPS-треки, выборочные данные
3Dx(t), y(t), z(t), интервал [a, b]Пространственные кривые, спирали

Длина дуги окружности

Введите радиус r и центральный угол θ. Инструмент вычисляет длину дуги по формуле L = rθ, а также сообщает площадь сектора и длину хорды по тем же двум входным данным. Переключайтесь между градусами и радианами с помощью переключателя DEG/RAD.

\( L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians}) \)

Декартовы кривые

Введите функцию y = f(x) плюс начальное и конечное значения x, a и b. Калькулятор дифференцирует функцию, строит подынтегральное выражение и численно вычисляет определенный интеграл, показывая все шаги. Для полного вывода попробуйте калькулятор длины дуги с шагами.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
Декартова кривая y = f(x) с выделенным отрезком длины дуги между a и b и показанным дифференциальным элементом ds

Параметрические кривые

Введите x(t) и y(t) с интервалом параметра. Этот режим подходит для траекторий, описанных движением во времени, где ни одна координата не является прямой функцией другой. Для специального инструмента смотрите параметрический калькулятор длины дуги.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Полярные кривые

Введите r как функцию θ с интервалом угла. Идеально для спиралей, кардиоид и других кривых, которые естественнее всего записываются в полярной форме. Также доступен отдельный полярный калькулятор длины дуги.

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

Численное интегрирование

Введите f(x), интервал и число разбиений n, затем выберите формулу Симпсона или формулу трапеций. Этот режим полезен, когда интеграл длины дуги не имеет элементарной первообразной или когда вы хотите сравнить численные методы. Специальные калькуляторы формулы Симпсона и формулы трапеций показывают все выкладки.

Точки с координатами

Вставьте или введите список точек (x, y). Калькулятор суммирует прямолинейные расстояния между последовательными точками, что приближает длину пути по выборочным данным, например трекам GPS. Смотрите также специальный инструмент длина дуги по точкам.

\( L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_{i})^{2} + (\Delta y_{i})^{2}} \)

Кривые в 3D

Введите x(t), y(t) и z(t) с интервалом параметра, чтобы измерить длину пространственной кривой, например спирали или 3D-траектории. Специальный 3D-калькулятор длины дуги предлагает то же вычисление на отдельной странице.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
Справочник формул

Формула длины дуги

Каждая формула длины дуги ниже измеряет одну и ту же идею: сложить крошечные прямые отрезки вдоль кривой. Подходящая формула зависит от того, как задана кривая.

Окружность с выделенной дугой, показывающей радиус r, центральный угол тета и длину дуги L, иллюстрирующая формулу L = r умножить на тета

Окружность: L = rθ

\( L = r\theta \)

Здесь r обозначает радиус, а θ обозначает центральный угол в радианах. Длина дуги имеет ту же единицу, что и r: радиус в метрах дает длину дуги в метрах. Это простейший случай, потому что окружность имеет постоянную кривизну.

Декартова: интеграл от √(1 + (dy/dx)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)

Используйте, когда кривая задана как y = f(x) при x от a до b. Слагаемое dy/dx, это наклон: там, где кривая крутая, каждый dx вносит больше длины. Границы a и b, это значения x, а не положения на дуге.

Параметрическая: интеграл от √((dx/dt)² + (dy/dt)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Используйте, когда x и y обе являются функциями параметра t, при t от a до b. Это справляется с кривыми, которые образуют петли или идут вертикально, где y нельзя записать как функцию x.

Полярная: интеграл от √(r² + (dr/dθ)²)

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

Используйте, когда кривая задана как r = r(θ) при θ от α до β. Слагаемое r² учитывает круговой разворот, а (dr/dθ)², радиальное изменение.

3D: интеграл от √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Естественное расширение параметрической формулы на три измерения: добавьте квадрат z-скорости под корень.

Окружность, сравнивающая криволинейную длину дуги L с длиной прямой хорды c между теми же двумя концами

Длина дуги L следует вдоль кривой; длина хорды c режет напрямую. Дуга всегда длиннее, кроме предельного случая нулевого угла.

Инструкции

Как пользоваться калькулятором длины дуги

  1. 01Выберите режим, соответствующий вашим входным данным: окружность, декартов, параметрический, полярный, численный, точки или 3D.
  2. 02Введите значения. Для окружности введите радиус и центральный угол. Для кривых введите функцию и границы интервала.
  3. 03Задайте единицу угла (режим окружности): выберите DEG для градусов или RAD для радиан переключателем над калькулятором.
  4. 04Прочитайте результат. Длина дуги появляется с пошаговым решением. Режим окружности также показывает площадь сектора и длину хорды.
  5. 05Попробуйте пример кнопкой «Попробовать пример» в любом режиме, чтобы увидеть правильно отформатированный ввод, прежде чем вводить свой.
Разобранные примеры

Примеры вычисления длины дуги

Каждый пример ниже разобран полностью, чтобы вы могли проверить каждый шаг.

Пример 1: Дуга окружности по радиусу и градусам

Дано: радиус r = 5 см, центральный угол θ = 60°.

Формула: L = rθ, при θ в радианах.

\( \theta = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \)

Подстановка: L = 5 × 1.0472.

Ответ: L ≈ 5.236 cm.

Пример 2: Дуга окружности по радиусу и радианам

Дано: радиус r = 10 м, центральный угол θ = 1.5 рад.

Формула: L = rθ.

Подстановка: L = 10 × 1.5 = 15.

Ответ: L = 15 м. Перевод не нужен, так как угол уже в радианах.

Пример 3: Декартова кривая y = x² от 0 до 1

Дано: y = x², интервал [0, 1].

Формула: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.

\( \frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx \)
\( L = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|2x + \sqrt{1+4x^{2}}\right| \right]_{0}^{1} \)

Вычисление: при x = 1 скобка равна (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789; при x = 0 она равна 0.

Ответ: L ≈ 1.4789 единиц.

Пример 4: Параметрическая четверть окружности

Дано: x = 3cos t, y = 3sin t, t от 0 до π/2.

Формула: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

\( \frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t \)
\( \sqrt{9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{\pi/2} 3\,dt = \frac{3\pi}{2} \)

Ответ: L = 3π/2 ≈ 4.7124 единиц, что совпадает с известной четвертью длины окружности радиуса 3.

Единицы угла

Градусы и радианы

Градусы делят полный оборот на 360 частей; радианы измеряют угол длиной дуги на единичной окружности, при этом полный оборот равен 2π радиан (около 6.2832). Обе единицы описывают одни и те же углы: 180° равны π радиан, 90° равны π/2 радиан, а 1 радиан, это около 57.2958°.

Единица важна, потому что формула окружности L = rθ верна только когда θ выражен в радианах. Ввод 90 градусов как 90 радиан завысит дугу примерно в 57.3 раза. Переключатель DEG/RAD калькулятора переводит за вас, но всегда перепроверяйте, какая единица используется в вашей задаче, прежде чем доверять результату.

Полуокружности рядом, сравнивающие градусные отметки (0, 90, 180 градусов) с радианными отметками (0, пи пополам, пи), показывающие, что 180 градусов равны пи радианам
Советы по точности

Частые ошибки с длиной дуги

Большинство неверных ответов вызвано ошибками постановки, а не самой формулой. Проверьте этот список, прежде чем доверять результату.

Использование градусов в L = rθ

Формуле окружности нужны радианы. Ввод 90 вместо π/2 завышает ответ примерно в 57 раз. Используйте переключатель DEG/RAD или сначала переведите.

Ввод диаметра вместо радиуса

В L = rθ используется радиус. Если в вашей задаче дан диаметр, сначала поделите его пополам, иначе ваш ответ будет ровно вдвое больше правильного значения.

Неверные границы интегрирования

Для y = f(x) границы, это значения x; для параметрического режима, значения t; для полярного, углы. Их смешивание измеряет не тот отрезок.

Неверная формула для типа кривой

Полярной кривой нужна полярная формула с ее слагаемым r², а параметрической кривой нужны обе производные. Выберите режим, соответствующий тому, как записана ваша кривая.

Слишком мало численных разбиений

Формулы Симпсона и трапеций улучшаются с ростом n. Если два запуска с разными n заметно расходятся, увеличивайте n, пока результат не стабилизируется.

Отношение к приближениям как к точным

Численное интегрирование и суммирование по точкам, это приближения. Они сходятся к истинной длине, но не являются точными тождествами, как L = rθ для окружностей.

Реальные случаи использования

Применения длины дуги

Геометрия

Находите периметры круговых секторов, длины криволинейных границ и расстояния вдоль дуг в строительных чертежах.

Инженерия

Оценивайте длины тросов и ремней вокруг шкивов, припуски на изгиб труб и материал, нужный для криволинейных деталей.

Физика

Вычисляйте пройденные расстояния вдоль криволинейных траекторий и связывайте положение на дуге с угловым движением.

Архитектура

Измеряйте изогнутые фасады, арочные проемы и расстояния извилистых дорожек по чертежам проекта.

Робототехника

Вычисляйте расстояние, проходимое концом руки робота вдоль запрограммированной криволинейной траектории, чтобы планировать время и расход энергии.

Математический анализ

Практикуйтесь в составлении и вычислении интегралов длины дуги, классическом приложении интегрирования к геометрии.

Компьютерная графика

Параметризуйте кривые по длине дуги для анимации с постоянной скоростью и равномерной выборки вдоль траекторий.

Частые вопросы

Частые вопросы о длине дуги

Что такое калькулятор длины дуги?

Калькулятор длины дуги измеряет расстояние вдоль кривой между двумя точками. Вы вводите определение кривой (например, радиус и угол или функцию с границами интервала), и он возвращает длину, обычно с пошаговым решением.

Как вычислить длину дуги?

Для окружности умножьте радиус на центральный угол в радианах (L = rθ). Для других кривых используйте подходящую интегральную формулу или введите функцию в калькулятор выше и выберите правильный режим.

Какая формула длины дуги?

Формула окружности: L = rθ. Декартовы кривые используют L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, параметрические кривые используют L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, полярные кривые используют L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, а кривые в 3D добавляют слагаемое z под корень.

Можно ли вычислить длину дуги без радиуса?

Для окружностей нужен радиус (или диаметр, который вдвое больше радиуса). Для общих кривых радиус вообще не нужен: декартов, параметрический, полярный режимы и режим точек работают с функциями или координатами.

Использовать градусы или радианы?

Используйте радианы в формуле L = rθ. Если ваш угол в градусах, сначала переведите (радианы = градусы × π/180) или используйте переключатель DEG/RAD калькулятора, который выполняет перевод автоматически.

В чем разница между длиной дуги и длиной хорды?

Длина дуги следует вдоль кривой; длина хорды, это прямая линия между концами дуги. Хорда всегда короче (c = 2r·sin(θ/2) для окружности). Смотрите сравнительную схему в разделе формул выше.

Как вычислить длину дуги параметрической кривой?

Введите x(t) и y(t) с интервалом параметра в параметрическом режиме. Калькулятор вычисляет ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt на вашем интервале и показывает шаги.

Можно ли вычислить длину дуги в 3D?

Да. Введите x(t), y(t) и z(t) в режиме 3D. Формула расширяет параметрическую версию z-производной: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.

Какие единицы использует ответ?

Результат использует ту же единицу длины, что и ваши входные данные. Если радиус в сантиметрах, длина дуги в сантиметрах. Сами углы безразмерны после перевода в радианы.

Почему мой численный результат немного отличается от точного значения?

Численные методы (Симпсон, трапеции) приближают интеграл. Увеличьте число разбиений n для более близкого результата и сравните с известным случаем, чтобы подтвердить вашу постановку.