Калькулятор длины дуги параболы

Калькулятор длины дуги параболы измеряет длину изогнутого отрезка параболы по её уравнению и двум координатам. Страница открывается с активной панелью «Длина дуги параболы», на которой показана формула L = ∫_x1^x₂ √(1 + (dy/dx)²) dx. Выполните следующие шаги, чтобы получить правильный ответ менее чем за минуту.

1. Выберите вид уравнения. Выберите вертикальную форму с вершиной, вертикальную общую форму, горизонтальную форму с вершиной, горизонтальную общую форму или стандартную форму с фокусом. Поля ввода изменятся в соответствии с выбранным видом.
2. Введите параметры параболы. Для y = a(x − h)² + k введите a, h и k. Для y = ax² + bx + c введите a, b и c. Для формы с фокусом введите p и вершину (h, k).
3. Введите интервал. Укажите начальную и конечную координаты: значения x для вертикальной параболы и значения y для горизонтальной. Калькулятор сам найдёт обе конечные точки на кривой.
4. Выберите единицу измерения и точность. Единица измерения подписывает ответ, а точность задаёт, сколько знаков после запятой покажет результат. Единицы идут от миллиметров до ярдов.
5. Нажмите «Рассчитайте сейчас». Калькулятор вычислит точную формулу длины дуги и покажет длину дуги, длину хорды, насколько дуга длиннее хорды, конечные точки, наклоны касательных, а также вершину, фокус и директрису.
6. Изучите график. Интерактивный график рисует параболу, выделяет выбранную дугу золотым цветом и отмечает вершину, фокус, конечные точки и хорду. Переключатели позволяют показывать или скрывать элементы, а масштаб и перетаскивание помогают рассмотреть кривую.
7. Скопируйте результат или сбросьте данные. Используйте «Копировать результат», чтобы поместить ответ в буфер обмена, или «Сбросить», чтобы очистить панель. Кнопка «Поменять местами начало и конец» меняет два значения интервала одним нажатием.

Попробуйте пример. Кнопки готовых примеров мгновенно загружают проверенные значения: y = 0.5x² от x = −2 до x = 2 даёт 5.915771430 единиц, y = x² от x = 0 до x = 3 даёт 9.747088759 единиц, а горизонтальная парабола x = 0.25(y − 1)² + 2 от y = −1 до y = 3 даёт 4.591174299 единиц.

Важные советы. Все значения должны быть в одной единице измерения. Вертикальной параболе нужен интервал по x, а горизонтальной, по y. Если начальная и конечная координаты равны, длина дуги равна нулю. У параболы нет конечного полного периметра, поэтому калькулятор сообщает только длину выбранной конечной дуги.

Парабола, это множество точек, одинаково удалённых от фиксированной точки, фокуса, и фиксированной прямой, директрисы. Это кривая, которую описывает брошенный мяч, по которой спутниковый диск собирает сигнал или по которой арка несёт нагрузку. Дуга, это часть такой кривой между двумя точками на ней. Длина дуги, это расстояние, которое вы прошли бы, если бы шли вдоль кривой от первой точки до второй.

Каждую параболу можно записать как функцию одной переменной. Вертикальная парабола, это y = a(x − h)² + k, где (h, k), вершина, а a задаёт ширину и направление раскрытия. Горизонтальная парабола, это x = a(y − k)² + h. Две конечные точки дуги находятся подстановкой значений интервала в уравнение: для y = 0.5x² от x = −2 до x = 2 конечные точки, это (−2, 2) и (2, 2).

Изогнутое расстояние отличается от расстояния по прямой. Прямая между (−2, 2) и (2, 2) имеет длину 4 единицы, но парабола опускается к своей вершине в точке (0, 0) и снова поднимается, поэтому дуга длиннее: 5.915771430 единиц, примерно на 47.9% длиннее хорды. Именно эта дополнительная длина и требует отдельного вычисления длины дуги.

Полная парабола имеет бесконечную длину, потому что кривая уходит бесконечно далеко в обе стороны и никогда не замыкается. Вычислимую длину имеет только конечная дуга между двумя конечными координатами, и именно её измеряет этот калькулятор.

Длина дуги функции y = f(x) между x₁ и x₂ задаётся определённым интегралом:

Каждый символ в формуле имеет точное значение:

Для вертикальной параболы y = a(x − h)² + k производная равна dy/dx = 2a(x − h), поэтому интеграл принимает вид:

У этого интеграла есть точный ответ в замкнутой форме, что редко встречается в задачах о длине дуги. При u = 2a(x − h) и F(u) = ½[u√(1 + u²) + asinh(u)] длина равна L = |F(u₂) − F(u₁)| / (2|a|), где asinh, обратный гиперболический синус. Калькулятор использует эту точную формулу, а затем сверяет её с численным интегрированием.

Для горизонтальной параболы x = a(y − k)² + h применяется та же формула с переменой мест x и y: интегрируйте по y и используйте dx/dy = 2a(y − k) вместо dy/dx.

Вычисление длины дуги параболы вручную состоит из восьми шагов. Разобранный ниже пример использует y = x² от x = 0 до x = 3.

1. Определите уравнение параболы. y = x², значит a = 1, h = 0, k = 0.
2. Определите ориентацию. Уравнение задаёт y как функцию от x, значит это вертикальная парабола, а интервал задаётся по x.
3. Найдите производную. dy/dx = 2x.
4. Определите интервал. x₁ = 0 и x₂ = 3.
5. Подставьте в формулу длины дуги. L = ∫₀³ √(1 + (2x)²) dx = ∫₀³ √(1 + 4x²) dx.
6. Примените первообразную. При u = 2x, F(u) = ½[u√(1 + u²) + asinh(u)], а L = |F(6) − F(0)| / 2.
7. Вычислите значения на концах. F(0) = 0. F(6) = ½[6√(37) + asinh(6)] = ½[36.4965751818 + 2.4917798526] = 19.4941775172. Значит L = 19.4941775172 / 2 = 9.7470887586.
8. Истолкуйте окончательный ответ. L ≈ 9.747088759 единиц. Конечные точки, это (0, 0) и (3, 9), а хорда между ними равна 9.4868329805 единиц, поэтому дуга длиннее хорды всего на 0.2602557781 единиц, примерно на 2.7%.

Те же восемь шагов работают для любой формы. Общий квадратный трёхчлен y = ax² + bx + c имеет производную 2ax + b, поэтому положите u = 2ax + b и используйте ту же F(u). Уравнение в форме с фокусом (x − h)² = 4p(y − k) сначала преобразуется к форме с вершиной при a = 1/(4p). В горизонтальной параболе x и y меняются местами во всём решении.

Одну и ту же параболу можно записать несколькими способами, и каждый способ удобен для своей задачи. Калькулятор принимает все пять, поэтому вы можете вводить уравнение ровно в том виде, в котором его даёт учебник или ваши измерения.

Формы переходят друг в друга выделением полного квадрата. Для y = 2x² − 4x + 1 вынесите a = 2 за скобки: y = 2(x² − 2x) + 1 = 2(x − 1)² − 1, значит вершина находится в точке (1, −1). В общем случае вершина параболы y = ax² + bx + c находится в точке h = −b/(2a) и k = c − b²/(4a). Параметр фокуса равен p = 1/(4a), поэтому форма с фокусом получается сразу: (x − 1)² = 4 × (1/8)(y + 1), так как p = 1/8 при a = 2.

Одна ошибка при преобразовании, которой следует избегать: вершина (h, k) в форме с вершиной, это не та же пара чисел, что и константы в общей форме. В уравнении y = 2x² − 4x + 1 константа c = 1, это точка пересечения с осью y, а вершина находится при y = −1. Если перепутать их, получится другая парабола и неверная длина дуги.

Три элемента полностью определяют параболу: вершина, фокус и директриса.

Вершина, это точка поворота кривой, где она меняет направление. Для y = a(x − h)² + k это точка (h, k). Для y = 0.5x² вершина, это (0, 0); для y = 2x² − 4x + 1 это (1, −1).

Фокус, это фиксированная точка, которая вместе с директрисой определяет кривую. Каждая точка параболы находится ровно на одинаковом расстоянии от фокуса и от директрисы. Для вертикальной параболы фокус лежит на оси симметрии на расстоянии p от вершины, где p = 1/(4a). Для y = 0.5x², p = 0.5, поэтому фокус находится в точке (0, 0.5).

Директриса, это фиксированная прямая на противоположной стороне вершины от фокуса. Для вертикальной параболы это горизонтальная прямая y = k − p. Для y = 0.5x² это y = −0.5. Для горизонтальной параболы директриса вертикальна: x = h − p.

Ось симметрии, это прямая, проходящая через вершину и фокус. Вертикальная парабола симметрична относительно вертикальной прямой x = h, а горизонтальная, относительно горизонтальной прямой y = k. Знак a определяет направление раскрытия: a > 0 означает раскрытие вверх (или вправо для горизонтальной параболы), a < 0 означает раскрытие вниз (или влево).

Вот характеристики пяти готовых примеров, все вычислены калькулятором:

Обратите внимание, что у более узкой параболы фокус расположен ближе к вершине: у y = x² p = 0.25, а у более широкой y = 0.5x² p = 0.5. Широкой и пологой кривой нужен далёкий фокус, а узкой кривой, близкий.

У прямой линии один наклон, поэтому её длина, это одно умножение. У параболы наклон меняется в каждой точке, поэтому никакое одно умножение не даст её длину. Честный способ измерить её, это разрезать кривую на крошечные кусочки, измерить каждый кусочек, как будто он прямой, и сложить их. Это сложение и есть интегрирование.

Посмотрите на один крошечный кусочек. Перемещение на малое горизонтальное расстояние dx вдоль кривой также даёт малое вертикальное перемещение dy, а сам кусочек, это гипотенуза этого крошечного прямоугольного треугольника:

Наклон dy/dx, это то, что делает каждый кусочек длиннее, чем один dx. Там, где парабола плоская, вблизи её вершины, dy/dx близок к нулю, и ds едва длиннее dx. Там, где парабола крутая, dy/dx велик, и каждый кусочек намного длиннее dx. Для y = x² от 0 до 3 наклон растёт от 0 в вершине до 6 при x = 3, и именно поэтому дуга (9.747088759) лишь немного длиннее хорды (9.4868329805), хотя кривая поднимается на 9 единиц: большая часть подъёма приходится на участки, где кривая уже крутая, а крутые кусочки дают в основном вертикальную длину, которую хорда уже покрывает.

В отличие от эллипса, чей интеграл длины дуги не имеет элементарной первообразной, у параболы такая первообразная есть: формула с asinh из раздела о формуле. Калькулятор использует эту точную первообразную как основной метод и сверяет её с адаптивным численным интегрированием, поэтому ответ точен с точностью до округления чисел с плавающей точкой, а не является приближением.

Длина дуги, это расстояние вдоль кривой; длина хорды, это расстояние по прямой между двумя конечными точками. Дуга всегда не короче хорды и равна ей только тогда, когда отрезок прямой, что на параболе никогда не случается, кроме дуги нулевой длины.

Насколько дуга длиннее, зависит от того, насколько сильно кривая изгибается между конечными точками. Пять готовых примеров показывают весь диапазон:

Четвёртый пример самый показательный: дуга более чем в два раза длиннее хорды. Конечные точки (0, 1) и (2, 1) находятся всего в 2 единицах друг от друга, но кривая ныряет вниз к вершине (1, −1) и возвращается вверх, проходя 4.646783762 единиц. Когда интервал проходит через вершину, дуга резко изгибается, и превышение над хордой растёт. Второй пример, противоположный: интервал начинается в вершине и равномерно поднимается, поэтому кривая едва отклоняется от хорды, и превышение меньше 3%.

Именно поэтому калькулятор показывает оба числа рядом. Если вы режете материал, длина дуги, это длина, которую нужно отрезать; хорда, это лишь промежуток, который охватывает готовая деталь.

Вертикальная парабола раскрывается вверх или вниз и является функцией от x; горизонтальная парабола раскрывается влево или вправо и является функцией от y. Математика одинакова с переменой мест x и y, но настройку легко перепутать, поэтому держите оба случая рядом.

Горизонтальный готовый пример показывает эту замену в действии: x = 0.25(y − 1)² + 2 от y = −1 до y = 3 имеет длину дуги 4.591174299 единиц, а конечные точки, это (3, −1) и (3, 3). Производная равна dx/dy = 0.5(y − 1), что даёт −1 при y = −1 и +1 при y = 3. Если по ошибке ввести −1 и 3 как значения x, калькулятор будет решать другую задачу на другой кривой, поэтому всегда проверяйте, к какой переменной относится ваш интервал.

Полезная проверка на симметрию: поворот вертикальной параболы на 90 градусов даёт горизонтальную параболу с теми же длинами дуг. Вертикальная парабола y = 0.25x² от x = −1 до x = 3 и горизонтальная парабола x = 0.25y² от y = −1 до y = 3 имеют ровно одинаковую длину дуги, потому что кривые конгруэнтны.

Коэффициент a, это единственное число, которое задаёт форму параболы. Его изменение меняет ширину, крутизну, фокус и длину дуги на любом фиксированном интервале.

Большее |a| означает более узкую параболу. При a = 1 парабола y = x² поднимается до y = 4 при x = 2. При a = 0.25 парабола y = 0.25x² достигает лишь y = 1 при x = 2. Узкая кривая изгибается сильнее, поэтому её дуга на том же интервале длиннее: y = x² от 0 до 2 имеет длину дуги 4.646783762 единиц (та же форма, что и у четвёртого готового примера, но сдвинутая), а y = 0.25x² от 0 до 2 имеет длину дуги 2.2955871494 единиц.

Знак a меняет направление раскрытия. Парабола y = 0.5x² раскрывается вверх от своей вершины в точке (0, 0); парабола y = −0.5x² + 3 раскрывается вниз от точки (0, 3). Смена знака зеркально отражает кривую, поэтому длина дуги на симметричном интервале не меняется: обе дают 5.915771430 единиц от −2 до 2. Меняются только знак конечных точек и наклонов касательных.

Изменение a перемещает фокус. Так как p = 1/(4a), удвоение a вдвое уменьшает фокусное расстояние. При a = 0.25, p = 1, и фокус находится в 1 единице от вершины; при a = 1, p = 0.25, и фокус находится в четверти единицы от вершины. Именно поэтому узкие диски фокусируют резко, а широкие, мягко.

Очень малое a, это почти прямая линия. Когда a стремится к 0, парабола сплющивается к прямой y = k, а длина дуги стремится к длине хорды. Калькулятор обрабатывает a = 0 в общей форме как линейный предельный случай L = |x₂ − x₁|√(1 + b²), а для a = 0 в форме с вершиной или с фокусом показывает сообщение о проверке, поскольку нулевой коэффициент, это вообще не парабола.

Нет. Полная парабола, это открытая неограниченная кривая: она уходит бесконечно далеко в обе стороны и никогда не замыкается сама на себя. Её общая длина бесконечна, поэтому нет конечного числа, которое можно было бы назвать её периметром.

Это отличается от окружности или эллипса, которые являются замкнутыми кривыми с измеримым периметром. Это также отличается от сегмента параболы, например спутникового диска или арки, который является конечным куском параболы, отрезанным в двух конечных точках. У такого куска есть вполне определённая длина дуги, и именно это число возвращает калькулятор.

Это различие важно на практике. Если вас просят указать длину параболической арки, вы должны сказать, где арка начинается и заканчивается: арка y = −(1/3)x², охватывающая x от −3 до x = 3, является конечным куском с конечной длиной, но лежащая в её основе парабола продолжается бесконечно за оба конца. Без конечных точек у вопроса нет ответа.

Из забвения этого следуют две связанные ошибки. Первая, это просьба к калькулятору указать длину целой параболы: он не может её дать, и любой инструмент, который утверждает обратное, ошибается. Вторая, это трактовка хорды как периметра замкнутой фигуры: хорда вместе с дугой действительно ограничивает область, и у этой области есть периметр (дуга плюс хорда), но это периметр области сегмента, а не параболы.

Этот разобранный пример показывает каждый шаг точного вычисления для первого готового примера, y = 0.5x² от x = −2 до x = 2, чтобы вы могли проверить калькулятор вручную.

1. Определите уравнение. y = 0.5x², значит a = 0.5, h = 0, k = 0, а вершина находится в точке (0, 0).
2. Найдите производную. dy/dx = 2ax = x.
3. Запишите интеграл. L = ∫₋₂² √(1 + x²) dx.
4. Подставьте u = 2a(x − h) = x. Тогда u₁ = −2 и u₂ = 2, а L = |F(2) − F(−2)| / (2 × 0.5) = |F(2) − F(−2)|.
5. Вычислите F(u) = ½[u√(1 + u²) + asinh(u)]. При u = 2: √(5) ≈ 2.2360679775, значит 2√(5) ≈ 4.4721359550, а asinh(2) ≈ 1.4436354752. Их сумма равна 5.9157714302, а её половина, это F(2) ≈ 2.9578857151.
6. Используйте симметрию. F, нечётная функция, поэтому F(−2) = −2.9578857151. Разность F(2) − F(−2) = 5.9157714302.
7. Разделите на 2|a| = 1. L = 5.9157714302 / 1 = 5.9157714302, значит L ≈ 5.915771430 единиц.
8. Сверьте с хордой. Конечные точки, это (−2, 2) и (2, 2), поэтому хорда равна 4 единицам. Дуга длиннее её на 1.9157714302 единиц, или на 47.894286%.

В силу симметрии половина этой дуги, это дуга от 0 до 2: y = 0.5x² от x = 0 до x = 2 имеет длину 2.9578857151 единиц, ровно половину от 5.9157714302. Проверки на симметрию, это самый быстрый способ поймать неверный ответ: если две половины симметричной дуги не совпадают, что-то не так.

Двойник, раскрывающийся вниз, y = −0.5x² + 3 от x = −2 до x = 2, имеет ту же длину дуги, 5.915771430 единиц, потому что зеркальное отражение кривой не меняет расстояний. Его конечные точки, это (−2, 1) и (2, 1), его вершина находится в точке (0, 3), а наклоны его касательных равны +2 при x = −2 и −2 при x = 2.

Длина дуги параболы, это рабочее число в инженерии и проектировании, а не просто учебное упражнение. Когда параболическую кривую строят, режут или измеряют, кому-то нужна её длина.

Архитектурные арки и мосты. Параболическая арка равномерно передаёт нагрузку на свои опоры, поэтому такая форма встречается в мостах и сводах. Знание длины дуги говорит строителю, сколько камня, стали или бетона нужно для арки. Арка на диаграмме, y = −(1/3)x² с пролётом 6 м и подъёмом 3 м, это конечный кусок параболы: её длина, это длина материала, а хорда, это лишь пролёт, который она перекрывает.

Отражатели и спутниковые диски. Параболический диск отражает поступающие сигналы в свой фокус, а отражатель автомобильной фары направляет свет из своего фокуса параллельными лучами. Поверхность диска, это параболоид, а её профиль, дуга параболы: длина дуги задаёт размер листа, который нужно вырезать и придать ему форму.

Проектирование дорог и железных дорог. Вертикальные кривые на дорогах, где меняется уклон, часто делают параболическими, потому что парабола даёт плавное и постоянное изменение уклона. Длина дуги кривой, это длина дорожного покрытия, которое нужно замостить и разметить.

Движение снарядов. Брошенный мяч летит по параболе (без учёта сопротивления воздуха). Длина дуги его траектории полёта, это фактическое пройденное расстояние, которое длиннее расстояния по прямой от запуска до приземления, и оно важно при оценке времени полёта или энергии.

САПР-моделирование и производство. Изогнутые детали часто задаются как сегменты параболы. Длина дуги определяет траектории инструмента, длину резки и смету: станок режет вдоль дуги, а не вдоль хорды.

Обучение физике и геометрии. Парабола, это первая кривая, у которой интеграл длины дуги имеет точный ответ в замкнутой форме, что делает её стандартным учебным примером для первообразной с asinh и для различия между интегралом, который можно вычислить точно, и интегралом, который нельзя, как у эллипса.

Не утверждайте, что каждая изогнутая конструкция математически параболична. Многие арки круглые или цепные; только конструкция, спроектированная по уравнению параболы, имеет параболическую длину дуги.

На эти десять ошибок приходится большинство неверных ответов. Проверьте свою работу по ним, прежде чем доверять результату.

1. Использование длины хорды вместо длины дуги. Прямая между конечными точками всегда короче. Для y = 2x² − 4x + 1 от 0 до 2 хорда равна 2, а дуга равна 4.646783762, то есть более чем вдвое больше.
2. Забытое дифференцирование уравнения. В формуле нужен (dy/dx)² внутри квадратного корня. Если его опустить, получится длина интервала |x₂ − x₁|, то есть горизонтальное расстояние, а не дуга.
3. Неверные пределы интегрирования. Пределы, это независимая переменная: значения x для вертикальной параболы и значения y для горизонтальной. Их перестановка означает интегрирование по неверной переменной.
4. Путаница формы с вершиной и общей формы. В уравнении y = 2x² − 4x + 1 вершина находится в точке (1, −1), а не (0, 1). Константа c = 1, это точка пересечения с осью y.
5. Использование горизонтального уравнения как вертикального. Уравнение x = 0.25(y − 1)² + 2, это функция от y. Если трактовать −1 и 3 как значения x, решается другая задача.
6. Игнорирование отрицательных коэффициентов. Отрицательное a переворачивает направление раскрытия и меняет конечные точки, фокус и наклоны касательных, хотя длина дуги на симметричном интервале остаётся прежней.
7. Путаница полных координат с координатами относительно вершины. В уравнении y = a(x − h)² + k интервал задаётся в абсолютных x, а не в (x − h). Подстановка пределов (x − h) в интеграл дважды учитывает сдвиг.
8. Неверный параметр фокуса. p = 1/(4a), а не 1/a или 4a. При a = 2, p = 1/8 = 0.125, а фокус параболы y = 2x² − 4x + 1 находится в точке (1, −0.875), а не (1, −0.5).
9. Предположение, что у параболы есть конечный полный периметр. Его нет: кривая неограничена, а её общая длина бесконечна. Конечную длину имеют только конечные дуги.
10. Слишком раннее округление промежуточных значений. Округляйте только окончательный ответ. В разобранном примере округление √(5) до 2.24 до завершения сдвигает окончательный результат в четвёртом знаке после запятой.

Эти проверенные значения полезны для проверки собственных вычислений или для быстрой оценки перед запуском калькулятора.

Стоит запомнить две закономерности. Во-первых, y = x² от 0 до 1 даёт 1.4789428575, то же число, что и отношение дуги к хорде симметричной дуги y = 0.5x²: совпадение чисел, а не общее правило. Во-вторых, хорда для y = 0.5x² от 0 до 2 равна 2.8284271247, что равно 2√(2): конечные точки (0, 0) и (2, 2) находятся в 2 единицах друг от друга как по x, так и по y.

Держите эту справочную карточку под рукой. Все углы, где они встречаются, даны в радианах; в формулах параболы используются координаты напрямую, поэтому преобразование углов не нужно.

Преобразование вершины из общей формы и параметр фокуса, это две формулы, к которым обращаются чаще всего, поэтому они перечислены отдельно. Калькулятор применяет их все автоматически; эта карточка нужна для проверки его работы вручную.