حاسبة طول قوس القطع المكافئ

تقيس حاسبة طول قوس القطع المكافئ طول مقطع منحني من القطع المكافئ من معادلته وإحداثيتيه. تفتح الصفحة ولوحة طول قوس القطع المكافئ نشطة، وتعرض الصيغة L = ∫_x1^x₂ √(1 + (dy/dx)²) dx. اتبع هذه الخطوات للحصول على إجابة صحيحة في أقل من دقيقة.

1. اختر صيغة المعادلة. اختر الصيغة الرأسية العمودية، أو الصيغة العامة العمودية، أو الصيغة الرأسية الأفقية، أو الصيغة العامة الأفقية، أو صيغة البؤرة القياسية. تتغير حقول الإدخال لتطابق الصيغة التي تختارها.
2. أدخل معاملات القطع المكافئ. بالنسبة إلى y = a(x − h)² + k، أدخل a وh وk. وبالنسبة إلى y = ax² + bx + c، أدخل a وb وc. وبالنسبة إلى صيغة البؤرة، أدخل p والرأس (h, k).
3. أدخل الفترة. أعطِ إحداثيي البداية والنهاية: قيم x للقطع المكافئ العمودي، وقيم y للقطع المكافئ الأفقي. وتجد الحاسبة نقطتي النهاية على المنحنى نيابة عنك.
4. اختر وحدة ودقة. تسمّي الوحدة الإجابة؛ وتحدد الدقة عدد المنازل العشرية التي تعرضها النتيجة. وتمتد الوحدات من المليمترات إلى الياردات.
5. انقر على «احسب الآن». تقيّم الحاسبة صيغة طول القوس الدقيقة وتعرض طول القوس، وطول الوتر، ومقدار تجاوز القوس للوتر، ونقطتي النهاية، وميلي المماس، والرأس والبؤرة والدليل.
6. استكشف الرسم البياني. يرسم الرسم التفاعلي القطع المكافئ، ويبرز القوس المحدد باللون الذهبي، ويميز الرأس والبؤرة ونقطتي النهاية والوتر. استخدم مفاتيح التبديل لإظهار العناصر أو إخفائها، وكبّر أو اسحب لفحص المنحنى.
7. انسخ أو أعد الضبط. استخدم «نسخ النتيجة» لوضع الإجابة في الحافظة، أو «إعادة ضبط» لمسح اللوحة. ويبدّل زر «تبديل البداية والنهاية» قيمتي الفترة بنقرة واحدة.

جرّب مثالاً. تحمّل أزرار الأمثلة الجاهزة قيماً موثوقة فوراً: y = 0.5x² من x = −2 إلى x = 2 تعطي 5.915771430 وحدة، وy = x² من x = 0 إلى x = 3 تعطي 9.747088759 وحدة، والقطع المكافئ الأفقي x = 0.25(y − 1)² + 2 من y = −1 إلى y = 3 يعطي 4.591174299 وحدة.

نصائح مهمة. حافظ على جميع القيم بالوحدة نفسها. يحتاج القطع المكافئ العمودي إلى فترة x؛ ويحتاج القطع الأفقي إلى فترة y. وإذا تساوى إحداثيا البداية والنهاية، كان طول القوس صفراً. ولا يوجد للقطع المكافئ محيط كامل منتهٍ، لذا تعرض الحاسبة القوس المنتهي المحدد فقط.

القطع المكافئ هو مجموعة النقاط التي تبعد مسافة متساوية عن نقطة ثابتة، هي البؤرة، وعن خط ثابت، هو الدليل. وهو المنحنى الذي تحصل عليه عند رمي كرة، أو عندما يجمع طبق القمر الصناعي إشارة، أو عندما يحمل قوس حملاً. والقوس جزء من ذلك المنحنى بين نقطتين عليه. وطول القوس هو المسافة التي تقطعها إذا مشيت على طول المنحنى من النقطة الأولى إلى الثانية.

يمكن كتابة كل قطع مكافئ دالةً في متغير واحد. والقطع المكافئ العمودي هو y = a(x − h)² + k، حيث (h, k) هو الرأس وa يتحكم في العرض واتجاه الفتح. والقطع المكافئ الأفقي هو x = a(y − k)² + h. وتوجد نقطتا نهاية القوس بوضع قيم الفترة في المعادلة: بالنسبة إلى y = 0.5x² من x = −2 إلى x = 2، تكون نقطتا النهاية (−2, 2) و(2, 2).

تختلف المسافة المنحنية عن المسافة المستقيمة. فالخط المستقيم بين (−2, 2) و(2, 2) طوله 4 وحدات، لكن القطع المكافئ ينخفض إلى رأسه عند (0, 0) ثم يعود للصعود، لذا يكون القوس أطول: 5.915771430 وحدة، أي أطول من الوتر بنحو 47.9%. وهذا الطول الإضافي هو السبب كله في أن طول القوس يحتاج إلى حساب خاص به.

القطع المكافئ الكامل طوله لا نهائي، لأن المنحنى يمتد إلى الأبد في الاتجاهين ولا ينغلق أبداً. والقوس المنتهي الوحيد بين إحداثيتين منتهيتين هو الذي يمكن حساب طوله، وهذا ما تقيسه هذه الحاسبة.

يُعطى طول قوس الدالة y = f(x) بين x₁ وx₂ بتكامل محدد:

لكل رمز في الصيغة معنى دقيق:

بالنسبة إلى القطع المكافئ العمودي y = a(x − h)² + k، تكون المشتقة dy/dx = 2a(x − h)، فيصبح التكامل:

لهذا التكامل إجابة مغلقة دقيقة، وهو أمر نادر في مسائل طول القوس. فمع u = 2a(x − h) وF(u) = ½[u√(1 + u²) + asinh(u)]، يكون الطول L = |F(u₂) − F(u₁)| / (2|a|)، حيث asinh هو الجيب الزائد العكسي. وتستخدم الحاسبة هذه الصيغة الدقيقة، ثم تتحقق منها بالتكامل العددي.

بالنسبة إلى القطع المكافئ الأفقي x = a(y − k)² + h، تنطبق الصيغة نفسها مع تبديل دوري x وy: كامل على y، واستخدم dx/dy = 2a(y − k) بدلاً من dy/dx.

يتبع حساب طول قوس القطع المكافئ يدوياً ثماني خطوات. ويستخدم المثال المحلول أدناه y = x² من x = 0 إلى x = 3.

1. حدّد معادلة القطع المكافئ. y = x²، إذن a = 1 وh = 0 وk = 0.
2. حدّد الاتجاه. تعطي المعادلة y دالة في x، لذا فهو قطع مكافئ عمودي والفترة في x.
3. أوجد المشتقة. dy/dx = 2x.
4. حدّد الفترة. x₁ = 0 وx₂ = 3.
5. عوّض في صيغة طول القوس. L = ∫₀³ √(1 + (2x)²) dx = ∫₀³ √(1 + 4x²) dx.
6. طبّق الدالة الأصلية. مع u = 2x، وF(u) = ½[u√(1 + u²) + asinh(u)]، وL = |F(6) − F(0)| / 2.
7. قيّم الحدود. F(0) = 0. F(6) = ½[6√(37) + asinh(6)] = ½[36.4965751818 + 2.4917798526] = 19.4941775172. إذن L = 19.4941775172 / 2 = 9.7470887586.
8. فسّر الإجابة النهائية. L ≈ 9.747088759 وحدة. نقطتا النهاية هما (0, 0) و(3, 9)، والوتر بينهما 9.4868329805 وحدة، فيتجاوز القوس الوتر بمقدار 0.2602557781 وحدة فقط، أي نحو 2.7%.

تعمل الخطوات الثماني نفسها مع كل صيغة. فالمعادلة التربيعية العامة y = ax² + bx + c مشتقتها 2ax + b، لذا ضع u = 2ax + b واستخدم F(u) نفسها. وتتحول معادلة صيغة البؤرة (x − h)² = 4p(y − k) إلى الصيغة الرأسية مع a = 1/(4p) أولاً. أما القطع المكافئ الأفقي فيبدّل x وy في كل مكان.

يمكن كتابة القطع المكافئ نفسه بعدة صيغ، وكل صيغة مناسبة لمهمة مختلفة. وتقبل الحاسبة الصيغ الخمس جميعها، فيمكنك إدخال المعادلة كما يعطيها كتابك المدرسي أو قياساتك تماماً.

تتحول الصيغ بعضها إلى بعض بإكمال المربع. فبالنسبة إلى y = 2x² − 4x + 1، أخرج العامل a = 2: y = 2(x² − 2x) + 1 = 2(x − 1)² − 1، فيكون الرأس (1, −1). وبشكل عام، يكون رأس y = ax² + bx + c عند h = −b/(2a) وk = c − b²/(4a). ومعامل البؤرة هو p = 1/(4a)، فتتبع صيغة البؤرة مباشرة: (x − 1)² = 4 × (1/8)(y + 1)، لأن p = 1/8 عندما a = 2.

وهناك فخ تحويل واحد يجب تجنبه: الرأس (h, k) في الصيغة الرأسية ليس الزوج نفسه من الأعداد مثل الثوابت في الصيغة العامة. ففي y = 2x² − 4x + 1، الثابت c = 1 هو تقاطع y، بينما يقع الرأس عند y = −1. وخلط الاثنين يعطي قطعاً مكافئاً مختلفاً وطول قوس خاطئاً.

ثلاث ميزات تحدد القطع المكافئ تماماً: الرأس والبؤرة والدليل.

الرأس هو نقطة انعطاف المنحنى، حيث يغير اتجاهه. فبالنسبة إلى y = a(x − h)² + k يكون النقطة (h, k). وبالنسبة إلى y = 0.5x² يكون الرأس (0, 0)؛ وبالنسبة إلى y = 2x² − 4x + 1 يكون (1, −1).

البؤرة هي النقطة الثابتة التي تحدد المنحنى مع الدليل. فكل نقطة على القطع المكافئ تبعد عن البؤرة مسافة تساوي بعدها عن الدليل تماماً. وبالنسبة إلى القطع المكافئ العمودي تقع البؤرة على محور التماثل على بعد p من الرأس، حيث p = 1/(4a). وبالنسبة إلى y = 0.5x²، يكون p = 0.5، فتكون البؤرة (0, 0.5).

الدليل هو الخط الثابت على الجانب المقابل للرأس من البؤرة. وبالنسبة إلى القطع المكافئ العمودي يكون الخط الأفقي y = k − p. وبالنسبة إلى y = 0.5x² يكون y = −0.5. وبالنسبة إلى القطع المكافئ الأفقي يكون الدليل عمودياً: x = h − p.

محور التماثل هو الخط المار بالرأس والبؤرة. والقطع المكافئ العمودي متماثل حول الخط العمودي x = h؛ والقطع الأفقي حول الخط الأفقي y = k. وتحدد إشارة a اتجاه الفتح: a > 0 يفتح لأعلى (أو لليمين في القطع المكافئ الأفقي)، وa < 0 يفتح لأسفل (أو لليسار).

إليك ميزات الأمثلة الخمسة الجاهزة، وكلها محسوبة بالحاسبة:

لاحظ أن القطع المكافئ الأضيق تكون بؤرته أقرب إلى الرأس: فـ y = x² لها p = 0.25، بينما القطع الأوسع y = 0.5x² له p = 0.5. فالمنحنى الواسع اللطيف يحتاج إلى بؤرة بعيدة؛ والمنحنى الضيق يحتاج إلى بؤرة قريبة.

للخط المستقيم ميل واحد، فطوله عملية ضرب واحدة. أما القطع المكافئ فيغير ميله عند كل نقطة، فلا يمكن لأي عملية ضرب واحدة أن تعطي طوله. والطريقة الصادقة الوحيدة لقياسه هي تقطيع المنحنى إلى قطع صغيرة، وقياس كل قطعة كأنها مستقيمة، وجمعها. وهذا الجمع هو التكامل.

انظر إلى قطعة صغيرة واحدة. فالانتقال مسافة أفقية صغيرة dx على طول المنحنى ينتقل أيضاً مسافة عمودية صغيرة dy، والقطعة نفسها هي وتر ذلك المثلث القائم الصغير:

الميل dy/dx هو ما يجعل كل قطعة أطول من dx وحدها. فحيث يكون القطع المكافئ مسطحاً، قرب رأسه، يكون dy/dx قريباً من الصفر ويكاد ds يساوي dx. وحيث يكون القطع المكافئ حاداً، يكون dy/dx كبيراً وتكون كل قطعة أطول بكثير من dx. وبالنسبة إلى y = x² من 0 إلى 3، ينمو الميل من 0 عند الرأس إلى 6 عند x = 3، ولهذا يكون القوس (9.747088759) أطول قليلاً فقط من الوتر (9.4868329805) رغم أن المنحنى يصعد 9 وحدات: فمعظم الصعود يحدث حيث يكون المنحنى حاداً أصلاً، والقطع الحادة تسهم بطول عمودي يغطيه الوتر أصلاً.

وعلى عكس القطع الناقص، الذي لا توجد لتكامل طول قوسه مشتقة عكسية أولية، فإن تكامل القطع المكافئ له مشتقة عكسية: صيغة asinh في قسم الصيغة. وتستخدم الحاسبة تلك المشتقة العكسية الدقيقة طريقتها الأساسية وتتحقق منها بالتكامل العددي التكيفي، فتكون الإجابة دقيقة حتى تقريب النقطة العائمة، لا تقريباً.

طول القوس هو المسافة على طول المنحنى؛ وطول الوتر هو المسافة المستقيمة بين نقطتي النهاية. والقوس أطول دائماً من الوتر على الأقل، ويساويه فقط عندما يكون المقطع مستقيماً، وهو ما لا يحدث أبداً على قطع مكافئ إلا في قوس طوله صفر.

يعتمد مقدار تجاوز القوس للوتر على مقدار انحناء المنحنى بين نقطتي النهاية. وتعرض الأمثلة الخمسة الجاهزة النطاق الكامل:

المثال الرابع هو اللافت: فالقوس أطول من الوتر بأكثر من الضعف. فنقطتا النهاية (0, 1) و(2, 1) تفصل بينهما 2 وحدة فقط، لكن المنحنى يغوص إلى الرأس (1, −1) ويعود للصعود، قاطعاً 4.646783762 وحدة ليصل إلى هناك. وكلما مرت فترة عبر الرأس، انحنى القوس بشدة ونمت الزيادة على الوتر. والمثال الثاني هو العكس: فالفترة تبدأ عند الرأس وتصعد بثبات، فيكاد المنحنى لا ينحني بعيداً عن الوتر وتكون الزيادة أقل من 3%.

ولهذا تعرض الحاسبة الرقمين جنباً إلى جنب. فإذا كنت تقطع مادة، فإن طول القوس هو الطول الذي يجب قطعه؛ أما الوتر فهو الفجوة التي يغطيها الجزء النهائي فقط.

القطع المكافئ العمودي يفتح لأعلى أو لأسفل وهو دالة في x؛ والقطع المكافئ الأفقي يفتح لليسار أو لليمين وهو دالة في y. والرياضيات متماثلة مع تبديل x وy، لكن الإعداد سهل الخطأ، فاحتفظ بالحالتين جنباً إلى جنب.

يعرض المثال الجاهز الأفقي التبديل عملياً: x = 0.25(y − 1)² + 2 من y = −1 إلى y = 3 له طول قوس 4.591174299 وحدة، ونقطتا نهايته (3, −1) و(3, 3). والمشتقة هي dx/dy = 0.5(y − 1)، وهي −1 عند y = −1 و+1 عند y = 3. وإذا أدخلت −1 و3 خطأً كقيم x، لكانت الحاسبة تحل مسألة مختلفة على منحنى مختلف، فتحقق دائماً من المتغير الذي تنتمي إليه فترتك.

وهناك فحص تماثل مفيد: فتدوير قطع مكافئ عمودي 90 درجة يعطي قطعاً أفقياً له أطوال القوس نفسها. فالقطع العمودي y = 0.25x² من x = −1 إلى x = 3 والقطع الأفقي x = 0.25y² من y = −1 إلى y = 3 لهما طول القوس نفسه تماماً، لأن المنحنيين متطابقان.

المعامل a هو الرقم الواحد الذي يتحكم في شكل القطع المكافئ. فتغييره يغير العرض والحدة والبؤرة وطول القوس على أي فترة ثابتة.

كلما كبر |a| كان القطع المكافئ أضيق. مع a = 1، يصعد y = x² إلى y = 4 عند x = 2. ومع a = 0.25، يصل y = 0.25x² إلى y = 1 فقط عند x = 2. وينحني المنحنى الضيق بشدة أكبر، فيكون قوسه على الفترة نفسها أطول: فـ y = x² من 0 إلى 2 له طول قوس 4.646783762 وحدة (الشكل نفسه مثل المثال الجاهز الرابع، منزاحاً)، بينما y = 0.25x² من 0 إلى 2 له طول قوس 2.2955871494 وحدة.

إشارة a تقلب اتجاه الفتح. فـ y = 0.5x² يفتح لأعلى من رأسه عند (0, 0)؛ وy = −0.5x² + 3 يفتح لأسفل من (0, 3). وقلب الإشارة يعكس المنحنى، فيبقى طول القوس على فترة متماثلة دون تغيير: فكلاهما يعطي 5.915771430 وحدة من −2 إلى 2. ولا يتغير إلا نقطتا النهاية وميلي المماس.

تغيير a يحرك البؤرة. فبما أن p = 1/(4a)، فإن مضاعفة a تنصف المسافة البؤرية. فعند a = 0.25، يكون p = 1 وتقع البؤرة على بعد 1 وحدة من الرأس؛ وعند a = 1، يكون p = 0.25 وتكون البؤرة على بعد ربع وحدة. ولهذا تركز الأطباق الضيقة بشدة والأطباق الواسعة بلطف.

قيمة a الصغيرة جداً تكاد تكون خطاً مستقيماً. فمع اقتراب a من 0، يتسطح القطع المكافئ نحو الخط y = k، ويقترب طول القوس من طول الوتر. وتتعامل الحاسبة مع a = 0 في الصيغة العامة كحالة خطية حدية L = |x₂ − x₁|√(1 + b²)، وتعرض رسالة تحقق عند a = 0 في الصيغة الرأسية أو صيغة البؤرة، حيث لا يكون المعامل الصفري قطعاً مكافئاً أصلاً.

لا. فالقطع المكافئ الكامل منحنى مفتوح غير محدود: يمتد إلى الأبد في الاتجاهين ولا ينغلق على نفسه أبداً. وطوله الكلي لا نهائي، فلا يوجد عدد منتهٍ يمكن أن يسمى محيطه.

وهذا يختلف عن الدائرة أو القطع الناقص، وهما منحنيان مغلقان لهما محيط قابل للقياس. ويختلف أيضاً عن مقطع القطع المكافئ مثل طبق القمر الصناعي أو القوس، وهو جزء منتهٍ من قطع مكافئ مقطوع عند نقطتي نهاية. لذلك الجزء طول قوس محدد تماماً، وهذا هو الرقم الذي تعيده هذه الحاسبة.

وهذا التمييز مهم عملياً. فإذا طلبت طول قوس مكافئ، يجب أن تقول أين يبدأ القوس وأين ينتهي: فالقوس y = −(1/3)x² الذي يمتد من x = −3 إلى x = 3 جزء منتهٍ له طول منتهٍ، لكن القطع المكافئ الأساسي يستمر بعد الطرفين إلى الأبد. وبدون نقطتي نهاية، لا إجابة للسؤال.

ويتبع هذا النسيان خطآن مرتبطان. الأول هو طلب طول القطع المكافئ كاملاً من الحاسبة: فهي لا تستطيع إعطاءه، وأي أداة تدعي ذلك مخطئة. والثاني هو التعامل مع الوتر كمحيط لشكل مغلق: فالوتر مع القوس يحيطان بمنطقة، وتلك المنطقة لها محيط (القوس زائد الوتر)، لكن ذلك محيط منطقة المقطع، لا محيط القطع المكافئ.

يعرض هذا المثال المحلول كل خطوة من الحساب الدقيق للمثال الجاهز الأول، y = 0.5x² من x = −2 إلى x = 2، لتتمكن من التحقق من الحاسبة يدوياً.

1. حدّد المعادلة. y = 0.5x²، إذن a = 0.5 وh = 0 وk = 0، والرأس (0, 0).
2. أوجد المشتقة. dy/dx = 2ax = x.
3. ضع التكامل. L = ∫₋₂² √(1 + x²) dx.
4. عوّض u = 2a(x − h) = x. إذن u₁ = −2 وu₂ = 2، وL = |F(2) − F(−2)| / (2 × 0.5) = |F(2) − F(−2)|.
5. قيّم F(u) = ½[u√(1 + u²) + asinh(u)]. عند u = 2: √(5) ≈ 2.2360679775، إذن 2√(5) ≈ 4.4721359550، وasinh(2) ≈ 1.4436354752. ومجموعهما 5.9157714302، ونصفه F(2) ≈ 2.9578857151.
6. استخدم التماثل. فـ F دالة فردية، إذن F(−2) = −2.9578857151. والفرق F(2) − F(−2) = 5.9157714302.
7. اقسم على 2|a| = 1. L = 5.9157714302 / 1 = 5.9157714302، إذن L ≈ 5.915771430 وحدة.
8. تحقق من الوتر. نقطتا النهاية هما (−2, 2) و(2, 2)، فالوتر 4 وحدات. ويتجاوز القوس الوتر بمقدار 1.9157714302 وحدة، أو 47.894286%.

بالتماثل، نصف هذا القوس هو القوس من 0 إلى 2: فـ y = 0.5x² من x = 0 إلى x = 2 طوله 2.9578857151 وحدة، أي نصف 5.9157714302 تماماً. وفحوص التماثل مثل هذه هي أسرع طريقة لاكتشاف إجابة خاطئة: فإذا لم يتطابق نصفا قوس متماثل، فهناك خطأ ما.

والتوأم الذي يفتح لأسفل، y = −0.5x² + 3 من x = −2 إلى x = 2، له طول القوس نفسه، 5.915771430 وحدة، لأن عكس المنحنى لا يغير المسافات. ونقطتا نهايته هما (−2, 1) و(2, 1)، ورأسه (0, 3)، وميلا مماسه +2 عند x = −2 و−2 عند x = 2.

طول قوس القطع المكافئ رقم عملي في الهندسة والتصميم، وليس مجرد تمرين في كتاب. فكلما بُني منحنى مكافئ أو قُطع أو قيس، احتاج أحد ما إلى طوله.

الأقواس المعمارية والجسور. يحمل القوس المكافئ حمله بالتساوي إلى دعامتيه، ولهذا يظهر الشكل في الجسور والقباب. ومعرفة طول القوس تخبر البنّاء كم يحتاج القوس من حجر أو فولاذ أو خرسانة. والقوس في الرسم، y = −(1/3)x² بعرض 6 م وارتفاع 3 م، جزء منتهٍ من قطع مكافئ: فطوله هو طول المادة، والوتر هو مجرد الامتداد الذي يغطيه.

العاكسات وأطباق الأقمار الصناعية. يعكس طبق القطع المكافئ الإشارات الواردة إلى بؤرته، ويرسل عاكس المصباح الأمامي للسيارة الضوء من بؤرته في أشعة متوازية. وسطح الطبق سطح مكافئ، ومقطعه قوس قطع مكافئ: وطول القوس يحدد حجم اللوح الذي يجب قطعه وتشكيله.

تصميم الطرق والسكك الحديدية. المنحنيات العمودية على الطرق، حيث تتغير درجة الانحدار، غالباً ما تكون مكافئة، لأن القطع المكافئ يعطي معدل تغير ثابتاً وسلساً للانحدار. وطول قوس المنحنى هو طول سطح الطريق الذي يجب رصفه وتخطيطه.

حركة المقذوفات. تتبع الكرة المرميّة قطعاً مكافئاً (مع تجاهل مقاومة الهواء). وطول قوس مسار طيرانها هو المسافة الفعلية المقطوعة، وهي أطول من المسافة المستقيمة من الإطلاق إلى الهبوط، وتؤخذ في الحسبان عند تقدير زمن الطيران أو الطاقة.

النمذجة بالحاسوب والتصنيع. غالباً ما تُحدد الأجزاء المنحنية كمقاطع قطع مكافئ. ويقود طول القوس مسارات الأدوات وأطوال القطع وتقديرات التكلفة: فالآلة تقطع على طول القوس، لا على طول الوتر.

تعليم الفيزياء والهندسة. القطع المكافئ هو أول منحنى يكون لتكامل طول قوسه إجابة مغلقة دقيقة، مما يجعله مثال التدريس القياسي للمشتقة العكسية asinh وللفرق بين تكامل يمكن حله بدقة وتكامل، مثل القطع الناقص، لا يمكن.

تجنب الادعاء بأن كل بنية منحنية مكافئة رياضياً. فكثير من الأقواس دائرية أو سلسلية؛ والبنية المصممة على معادلة القطع المكافئ وحدها هي التي لها طول قوس مكافئ.

هذه الأخطاء العشرة مسؤولة عن معظم الإجابات الخاطئة. تحقق من عملك مقابلها قبل الوثوق بنتيجة.

1. استخدام طول الوتر بدلاً من طول القوس. فالخط المستقيم بين نقطتي النهاية أقصر دائماً. وبالنسبة إلى y = 2x² − 4x + 1 من 0 إلى 2، يكون الوتر 2 لكن القوس 4.646783762، أي أكثر من الضعف.
2. نسيان اشتقاق المعادلة. فالصيغة تحتاج (dy/dx)² داخل الجذر التربيعي. وتركها يعطي طول الفترة |x₂ − x₁|، وهي المسافة الأفقية، لا القوس.
3. استخدام حدود تكامل خاطئة. فالحدود هي المتغير المستقل: قيم x للقطع المكافئ العمودي، وقيم y للقطع الأفقي. وتبديلهما يكامل على المتغير الخاطئ.
4. الخلط بين الصيغة الرأسية والصيغة العامة. ففي y = 2x² − 4x + 1، الرأس هو (1, −1)، لا (0, 1). والثابت c = 1 هو تقاطع y.
5. استخدام معادلة أفقية كمعادلة عمودية. فـ x = 0.25(y − 1)² + 2 دالة في y. والتعامل مع −1 و3 كقيم x يحل مسألة مختلفة.
6. تجاهل المعاملات السالبة. فالمعامل a السالب يقلب اتجاه الفتح ويغير نقطتي النهاية والبؤرة وميلي المماس، رغم بقاء طول القوس على فترة متماثلة كما هو.
7. الخلط بين الإحداثيات الكاملة والإحداثيات النسبية إلى الرأس. ففي y = a(x − h)² + k، تكون الفترة في x المطلق، لا في (x − h). وتعويض حدود (x − h) في التكامل يحسب الإزاحة مرتين.
8. استخدام معامل بؤرة غير صحيح. فـ p = 1/(4a)، لا 1/a ولا 4a. وعند a = 2، يكون p = 1/8 = 0.125، وبؤرة y = 2x² − 4x + 1 هي (1, −0.875)، لا (1, −0.5).
9. افتراض أن للقطع المكافئ محيطاً كاملاً منتهياً. فليس له: فالمنحنى غير محدود وطوله الكلي لا نهائي. والقوس المنتهي وحده له طول منتهٍ.
10. تقريب القيم الوسيطة مبكراً جداً. قرّب الإجابة النهائية فقط. ففي المثال المحلول، تقريب √(5) إلى 2.24 قبل الانتهاء يزيح النتيجة النهائية في المنزلة العشرية الرابعة.

هذه القيم الموثوقة مفيدة للتحقق من حساباتك أو لتقدير سريع قبل تشغيل الحاسبة.

وهناك نمطان يستحقان التذكر. أولاً، y = x² من 0 إلى 1 تعطي 1.4789428575، وهو الرقم نفسه مثل نسبة القوس إلى الوتر للقوس المتماثل y = 0.5x²: مصادفة في الأرقام، لا قاعدة عامة. وثانياً، الوتر لـ y = 0.5x² من 0 إلى 2 هو 2.8284271247، وهو 2√(2): فنقطتا النهاية (0, 0) و(2, 2) تفصل بينهما 2 وحدة في x وy معاً.

احتفظ ببطاقة المرجع هذه في متناول يدك. فجميع الزوايا بالراديان حيث تظهر الزوايا؛ وتستخدم صيغ القطع المكافئ الإحداثيات مباشرة، فلا حاجة إلى تحويل زوايا.

تحويل الرأس في الصيغة العامة ومعامل البؤرة هما الصيغتان الأكثر بحثاً، لذا أُدرجتا منفصلتين. وتطبق الحاسبة جميعها تلقائياً؛ وهذه البطاقة للتحقق من عملها يدوياً.