حاسبة طول قوس القطع الناقص

تقيس حاسبة طول قوس القطع الناقص طول قوس على قطع ناقص من نصفي محوريه وزاويتيه. تفتح الصفحة ولوحة طول قوس القطع الناقص نشطة، وتعرض الصيغة L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ. اتبع هذه الخطوات للحصول على إجابة صحيحة في أقل من دقيقة.

1. اختر طريقة إدخال المحورين. استخدم طولي نصفي المحورين (a, b) افتراضياً. وإذا قست المحورين الكاملين بدلاً من ذلك، فبدّل إلى إدخال طولي المحورين الكاملين وستقسم الحاسبة كل قيمة على اثنين نيابة عنك.
2. أدخل نصف المحور الأكبر (a). وهو أطول نصف قطر في القطع الناقص، ويُقاس من المركز إلى أبعد نقطة على الحدود.
3. أدخل نصف المحور الأصغر (b). وهو أقصر نصف قطر، ويُقاس من المركز إلى أقرب نقطة على الحدود. ويجب ألا يكون أكبر من a.
4. أدخل زاوية البداية (θ₁) وزاوية النهاية (θ₂). استخدم مفتاح DEG و RAD أعلى اللوحة لمطابقة أرقامك. الدرجات هي الافتراضية.
5. اختر اتجاه القوس. عكس اتجاه عقارب الساعة يتبع الزوايا تصاعدياً من θ₁ إلى θ₂. ومع اتجاه عقارب الساعة يسلك الاتجاه الآخر. ويقارن خيارا الأقصر والأطول كلا المسارين الفعليين ويبلّغان عن الأقصر أو الأطول منهما.
6. اختر وحدة ودقة. الوحدة تسمّي الإجابة، والدقة تحدد عدد المنازل العشرية التي تعرضها النتيجة.
7. انقر «احسب الآن». تقيّم الحاسبة تكامل طول القوس عددياً وتعرض النتيجة والمحيط الكامل والقوس المكمّل والنسبة المئوية من المحيط وإحداثيات نقطتي النهاية.
8. انسخ أو أعد الضبط. استخدم «نسخ النتيجة» لوضع الإجابة في الحافظة، أو «إعادة ضبط» لمسح اللوحة. ورابط «تبديل زاويتي البداية والنهاية» يبدّل θ₁ و θ₂ بنقرة واحدة.

جرّب مثالاً. أزرار ربع القطع الناقص ونصف القطع الناقص وربع الدائرة والقطع الناقص الكامل تحمّل قيماً موثقة فوراً: a = 5 و b = 3، من 0° إلى 90° تعطي 6.3817497158 وحدة، والقطع الناقص نفسه من 0° إلى 360° يعطي المحيط الكامل، 25.5269988634 وحدة.

نصائح مهمة. أبقِ a و b بالوحدة نفسها. وأدخل b بحيث لا يكون أكبر من a. وتذكر أن الزاويتين زاويتان بارامتريتان تُقاسان من المركز، وليستا زاويتين تُقاسان على امتداد الحدود. وإذا تساوت زاويتا البداية والنهاية كان طول القوس صفراً؛ واستخدم 0° إلى 360° للقطع الناقص الكامل.

القطع الناقص منحنى مغلق يتكون من جميع النقاط التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين، هما البؤرتان، ثابتاً. وهو يشبه دائرة ممدودة: له اتجاه طويل واتجاه قصير، لكنه أملس تماماً بلا زوايا. والقوس جزء من ذلك المنحنى بين نقطتين عليه. وطول القوس هو المسافة التي تقطعها إذا مشيت على امتداد المنحنى من النقطة الأولى إلى الثانية.

يمكن وصف كل نقطة على القطع الناقص بزاوية واحدة θ، تسمى الزاوية البارامترية:

هنا a هو نصف المحور الأكبر و b هو نصف المحور الأصغر. وعندما تجري θ من 0 إلى 2π راديان، ترسم النقطة (x, y) القطع الناقص كاملاً مرة واحدة بالضبط، بدءاً من (a, 0) وعودة إليها. والقوس من θ₁ إلى θ₂ هو جزء ذلك المسار بين الزاويتين.

ويختلف قوس القطع الناقص عن قوس الدائرة في أمر مهم واحد. فعلى الدائرة، تكون كل نقطة على البعد نفسه r من المركز، لذا يكون طول القوس ببساطة L = rθ. أما على القطع الناقص، فيتغير البعد عن المركز أثناء التحرك حول المنحنى، فتتغير أيضاً سرعة تتبع المنحنى. ولذلك يعتمد طول القوس على شكل القطع الناقص، وليس على الزاوية الممسوحة فقط، ويجب إيجاده بالتكامل لا بعملية ضرب واحدة.

ولهذا السبب يُعد طول قوس القطع الناقص حساباً حقيقياً وليس بحثاً في جدول. فالحاسبة في هذه الصفحة تنفذ ذلك التكامل عددياً، وبدقة عالية، لأي قطع ناقص وأي زوج من الزوايا.

يُعطى طول قوس القطع الناقص بين الزاويتين البارامتريتين θ₁ و θ₂ بتكامل محدد:

لكل رمز في الصيغة معنى دقيق:

الدالة المتكاملة √(a² sin²θ + b² cos²θ) هي السرعة التي تتحرك بها النقطة (a cos θ, b sin θ) مع زيادة θ. وهي أصغر ما تكون، وتساوي b، عند θ = 0°، حيث يعبر المنحنى المحور الأكبر، وأكبر ما تكون، وتساوي a، عند θ = 90°، حيث يعبر المنحنى المحور الأصغر. وتكامل تلك السرعة على فترة الزاوية يجمع كل المقاطع الصغيرة في طول القوس الكلي.

عندما يكون a = b، يصبح القطع الناقص دائرة نصف قطرها r = a، وتصبح الدالة المتكاملة الثابت r، وتنهار الصيغة إلى الصيغة المألوفة L = rθ، مع θ بالراديان. وتلك الحالة الخاصة فحص مفيد: فأي حاسبة للقطع الناقص يجب أن تعيد نتيجة الدائرة عندما يتساوى المحوران.

يتبع حساب طول قوس القطع الناقص يدوياً ثماني خطوات. ويستخدم المثال المحلول أدناه a = 5 و b = 3، من 0° إلى 90°، أي ربع قطع ناقص.

1. حدد نصف المحور الأكبر. a = 5 وحدات.
2. حدد نصف المحور الأصغر. b = 3 وحدات.
3. حدد زاوية البداية. θ₁ = 0°.
4. حدد زاوية النهاية. θ₂ = 90°.
5. حوّل الدرجات إلى راديان عند الحاجة. 0° = 0 راديان و 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 راديان.
6. طبّق تكامل طول قوس القطع الناقص. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. قيّم التكامل عددياً. ليس للدالة المتكاملة مشتقة عكسية أولية، لذا استخدم طريقة عددية مثل قاعدة سيمبسون التكيفية، التي تدقق فتراتها حتى تستقر الإجابة.
8. فسّر الإجابة النهائية. L ≈ 6.3817497158 وحدة. وتعطي الحاسبة في هذه الصفحة القيمة نفسها.

ولرؤية سبب الحاجة إلى التكامل العددي، انظر إلى الدالة المتكاملة عند ثلاث زوايا:

خطوة سيمبسون واحدة عبر الربع كاملاً تعطي (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169، وهي قريبة لكنها غير دقيقة. وتستمر قاعدة سيمبسون التكيفية في تقسيم الفترة وإعادة التقييم حتى يهبط الخطأ دون حد التسامح، متقاربة نحو 6.3817497158. والدرس عملي: التقدير العددي التقريبي سهل، لكن الإجابة الموثوقة تحتاج طريقة تتحقق من دقتها بنفسها، وهو ما تفعله الحاسبة.

المحور الأكبر هو أطول خط مستقيم يمر بمركز القطع الناقص، ويمتد من أحد جانبي الحدود إلى الجانب الآخر. والمحور الأصغر هو أقصر خط من هذا النوع، وهو عمودي على المحور الأكبر. ونصف المحور الأكبر a هو نصف المحور الأكبر: المسافة من المركز إلى الحدود على امتداد الاتجاه الطويل. ونصف المحور الأصغر b هو نصف المحور الأصغر: المسافة من المركز إلى الحدود على امتداد الاتجاه القصير.

الخلط بين المحورين الكاملين ونصفي المحورين هو أكثر أخطاء الإدخال شيوعاً. فإذا أعطى رسم العرض الكامل للقطع الناقص 10، فإن نصف المحور الأكبر هو a = 5، وليس 10. وإدخال 10 على أنه a يصف قطعاً ناقصاً ضعف حجمه، وكل طول تعيده الحاسبة سيتضاعف. وتوفر الحاسبة وضع المحور الكامل لهذه الحالة بالضبط: أدخل الطولين الكاملين، وستقسمهما على اثنين قبل الحساب.

ويتحكم المحوران أيضاً في الشكل. فعندما يكون a و b متقاربين، يكون القطع الناقص قريباً من الدائرة. وعندما يكون b أصغر بكثير من a، يكون القطع الناقص طويلاً ومسطحاً، مثل مضمار جري يُرى من الجانب. وتسمى النسبة b/a أحياناً نسبة الأبعاد؛ والانحراف المركزي e = √(1 − (b/a)²) يقيس الفكرة نفسها، حيث e = 0 للدائرة و e قريب من 1 للقطع الناقص المسطح جداً. وبالنسبة إلى a = 5 و b = 3، فإن e = √(1 − 9/25) = 0.8.

المحيط الكامل هو طول المنحنى المغلق كله، بينما طول القوس الجزئي هو طول قطعة واحدة منه. والمحيط هو الحالة الخاصة لصيغة القوس مع θ₁ = 0° و θ₂ = 360°:

ويظهر العامل 4 لأن أرباع القطع الناقص الأربعة صور مرآوية لبعضها. وبالنسبة إلى a = 5 و b = 3، يكون المحيط P ≈ 25.5269988634 وحدة. ويقارن الجدول أدناه القطع القياسية لذلك القطع الناقص.

ربع القطع الناقص هو بالضبط ربع المحيط، ونصف القطع الناقص هو بالضبط نصفه، لأن الأرباع صور مرآوية. لكن ذلك التناظر لا ينطبق إلا على الأقواس التي تبدأ وتنتهي على المحورين. فمسح 90° اعتباطي ليس ربع المحيط: فعلى قطع ناقص أكبر حيث a = 10 و b = 6، يقيس القوس من 30° إلى 120° مقدار 14.4818404027 وحدة، أي ضعف القيمة بالضبط للقطع الناقص حيث a = 5 و b = 3، ويوضح المثال المحلول لاحقاً في هذا الدليل أن مسح 90° هذا يشكل 28.3657% من محيط القطع الناقص الأكبر. فلا تفترض أبداً أن مسح 90° يساوي P/4 ما لم يمتد من محور إلى المحور التالي.

وتبلّغ الحاسبة عن كلا الرقمين في كل عملية حسابية: طول القوس الذي طلبته، والمحيط الكامل الذي ينتمي إليه، مع القوس المكمّل (بقية القطع الناقص) والنسبة المئوية من المحيط التي يغطيها قوسك.

ليس لطول قوس القطع الناقص صيغة دقيقة مبنية من دوال عادية. فالتكامل ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ هو تكامل إهليجي ناقص من النوع الثاني، يُكتب E(φ, k)، حيث φ هي الزاوية و k = √(1 − (b/a)²) هو الانحراف المركزي. والقوس من θ₁ إلى θ₂ يساوي a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)). وبالنسبة إلى a = 5 و b = 3، يكون k = 0.8، وربع القطع الناقص يساوي 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158.

التكاملات الإهليجية مفهومة جيداً، لكنها ليست أولية: فلا تركيب من كثيرات الحدود والجذور والدوال الأسية والمثلثية يقيّمها بصورة مغلقة. ولهذا السبب يستخدم كل حساب عملي للقطع الناقص التكامل العددي. وقاعدة سيمبسون التكيفية، التي تستخدمها هذه الحاسبة، خيار جيد لأنها تدقق الفترات حيث تتغير الدالة المتكاملة بأسرع ما يكون وتتوقف عندما تستقر النتيجة ضمن حد التسامح.

وبالنسبة إلى المحيط الكامل فقط، يوجد أيضاً تقريب شهير لسرينيفاسا رامانوجان:

وبالنسبة إلى a = 5 و b = 3، يكون h = 0.0625، وتعطي صيغة رامانوجان P ≈ 25.5269988628، وهو ما يتفق مع المحيط العددي الدقيق 25.5269988634 حتى تسعة منازل عشرية. وهي دقيقة بشكل ملحوظ للقطوع الناقصة غير المسطحة جداً. لكنها تقريب للمحيط الكامل فقط: فلا يمكن تقليصها لإعطاء قوس جزئي، لذا لا تستخدمها أبداً بديلاً عن تكامل القوس. وتعرض الحاسبة قيمة رامانوجان في خطواتها كمجرد مقارنة تعليمية بجانب النتيجة العددية.

استخدم التكامل العددي كلما كانت الإجابة مهمة، واستخدم صيغة رامانوجان فقط كفحص سريع للعقل على محيط كامل. وإذا اختلف الاثنان بما يتجاوز بضع منازل عشرية، فثق بالتكامل العددي وتحقق من المدخلات.

تنجح صيغة الدائرة L = rθ لأن كل نقطة على الدائرة على البعد نفسه r من المركز، فتكون السرعة على امتداد المنحنى ثابتة. أما على القطع الناقص فتتغير السرعة: فبالنسبة إلى a = 5 و b = 3 تتراوح من 3 عند طرفي المحور الأكبر إلى 5 عند طرفي المحور الأصغر. ولا يمكن لنصف قطر واحد أن يلتقط ذلك التغير، لذا تعطي صيغة الدائرة إجابة خاطئة لأي قطع ناقص ليس دائرة.

قارن قوس 90° على ثلاثة أشكال بالحجم الاسمي نفسه:

استخدام r = 5 في صيغة الدائرة يبالغ في تقدير قوس ربع القطع الناقص بنحو 23% عندما يكون b = 3، وبنحو 11% عندما يكون b = 4. ويتقلص الخطأ مع اقتراب القطع الناقص من الدائرة ويكبر مع تسطحه، وهو بالضبط ما تتوقعه: فصيغة الدائرة هي نهاية صيغة القطع الناقص عندما يقترب b من a، وليست بديلاً عاماً عنها.

لا تستخدم الحاسبة أبداً صيغة الدائرة للقطع الناقص. بل تكامل الدالة المتكاملة الدقيقة للقطع الناقص، وعندما يكون a = b فقط يختزل ذلك التكامل إلى L = rθ، وهو ما تتحقق منه الحاسبة داخلياً أيضاً كفحص اتساق.

تقسم نقطتان على القطع الناقص المنحنى إلى قوسين: أحدهما عكس اتجاه عقارب الساعة والآخر مع اتجاه عقارب الساعة. وهما ليسا صوراً مرآوية، لأن القطع الناقص ليس دائرة، لذا يختلف طولا القوسين. والأقصر منهما هو أقصر مسار على امتداد المنحنى بين النقطتين؛ والأطول هو بقية القطع الناقص.

خذ a = 5 و b = 3، مع نقطتي نهاية عند 0° و 120°:

يصل مجموع الطولين إلى المحيط الكامل، 25.5269988634، كما يجب، لأنهما معاً يغطيان القطع الناقص كله. فأقصر قوس هو 8.9253958986 وأطول قوس هو 16.6016029648. ولاحظ أن التقسيم الزاوي هو 120° مقابل 240°، أي نسبة واحد إلى اثنين، بينما تقسيم الطول هو نحو 35% مقابل 65%: فالأطوال لا تتبع الزوايا، لأن المنحنى يتحرك بسرعة أكبر قرب المحور الأصغر منه قرب المحور الأكبر.

ولهذا السبب تقيس الحاسبة كلا المسارين بالتكامل الفعلي بدلاً من مقارنة الزوايا. فمقارنة الفروق الزاوية ستعطي الفائز الخطأ كلما كان القطع الناقص بعيداً عن الدائرية. اختر «أقصر قوس فعلي» عندما تحتاج المسار الأقصر، مثلاً أقصر مسار كابل بين نقطتين على إطار إهليجي، و«أطول قوس فعلي» عندما تحتاج بقية المنحنى.

تلتف الزوايا البارامترية على القطع الناقص: فـ 360° هي النقطة نفسها مثل 0°، و 370° هي النقطة نفسها مثل 10°. وتتولى الحاسبة ذلك الالتفاف نيابة عنك، لكن من المفيد معرفة القواعد التي تتبعها.

عكس اتجاه عقارب الساعة يعني أن الزاوية تزداد من θ₁ إلى θ₂، ملتفة بعد 360° عند الحاجة. فقوس من 350° إلى 10° عكس اتجاه عقارب الساعة يقطع 20° عبر 0°، لا 340° إلى الوراء. وبالنسبة إلى a = 5 و b = 3 يقيس ذلك القوس 1.0565175692 وحدة، مثل القوس من −10° إلى 10° تماماً.

مع اتجاه عقارب الساعة يعني أن الزاوية تنقص من θ₁ إلى θ₂. فقوس من 10° إلى 350° مع اتجاه عقارب الساعة هو القوس نفسه البالغ 20° عبر 0°، بينما يقطع الزوج نفسه عكس اتجاه عقارب الساعة 340° في الطريق الطويل حول المنحنى.

الزاويتان المتساويتان تعطيان قوساً طوله صفر. فإذا كانت θ₁ و θ₂ متماثلتين، انطبقت نقطتا البداية والنهاية ولم يكن بينهما قوس. وللحصول على قطع ناقص كامل، أدخل 0° إلى 360° بدلاً من ذلك: فتلك دورة كاملة واحدة، وتعيد الحاسبة المحيط كله.

الزوايا السالبة مسموحة وتعني النقاط نفسها مثل معادلاتها الموجبة: فـ −30° هي النقطة نفسها مثل 330°. وتطبع الحاسبة كل زاوية في النطاق من 0° إلى 360° قبل التكامل، لذا تعطي −30° إلى 30° و 330° إلى 30° الإجابة نفسها.

الراديان يتبع القواعد نفسها مع 2π مكان 360°. بدّل مفتاح DEG و RAD قبل كتابة قيم الراديان، لأن 1.57 راديان و 1.57 درجة يصفان قوسين مختلفين جداً.

تتكرر بعض فترات الزوايا كثيراً حتى تستحق أسماء خاصة بها. ويسرد الجدول أدناه تلك الحالات للقطع الناقص a = 5 و b = 3 ولدائرة نصف قطرها 5، وكلها موثقة بالحاسبة.

الدائرة (a = b). يصبح القطع الناقص دائرة، وتصبح الدالة المتكاملة نصف القطر الثابت، ويكون L = rθ مع θ بالراديان. وربع دائرة نصف قطرها 5 يساوي 5 × π/2 = 7.853981634، والمحيط الكامل يساوي 2πr = 31.4159265359.

القطوع الناقصة الممدودة جداً. عندما يكون b أصغر بكثير من a، يصبح القطع الناقص قريباً من قطعة مستقيمة مسطحة تُرسم ذهاباً وإياباً. ويقترب المحيط من 4a، ويقترب قوس الربع من a. وبالنسبة إلى a = 10 و b = 1، يكون قوس الربع 10.1599354503، أي أكبر بقليل فقط من a نفسه.

القطوع الناقصة المسطحة جداً. تنطبق الفكرة نفسها في الاتجاه الآخر: يتركز القوس قرب طرفي المحور الأكبر، حيث ينعطف المنحنى بشدة، ويجب أن يدقق التكامل العددي فتراته هناك. وتتولى قاعدة سيمبسون التكيفية ذلك تلقائياً.

تتبع مثالاً كاملاً مع a = 10 و b = 6، من θ₁ = 30° إلى θ₂ = 120°. وهو مسح 90° لا يبدأ على محور، لذا يختبر كل جزء من الطريقة.

1. حوّل الزاويتين. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 راديان. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 راديان.
2. اكتب التكامل. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. عيّن الدالة المتكاملة. عند 30° تكون √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509. وعند نقطة المنتصف 75° تكون ≈ 9.7832925399. وعند 120° تكون √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899.
4. قدّر تقريبياً. قيمة نقطة المنتصف مضروبة في عرض الفترة، 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856، تقدير تقريبي. وهو يبالغ لأن الدالة المتكاملة ليست ثابتة.
5. كامل بدقة. تدقق قاعدة سيمبسون التكيفية الفترة حتى تستقر الإجابة، معطية L ≈ 14.4818404027 وحدة.
6. تحقق من نقطتي النهاية. نقطة البداية هي (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3). ونقطة النهاية هي (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152). وتعرض الحاسبة النقطتين مع كل نتيجة.
7. قارن مع المحيط. المحيط الكامل هو P ≈ 51.0539977268، لذا يشكل هذا القوس 28.3657% من القطع الناقص، مع أنه يمسح 90°. ويعطي تقريب رامانوجان 51.0539977256، متفقاً حتى تسعة منازل عشرية.

الدرس الرئيسي في الخطوة 7: فمسح 90° ليس ربع المحيط ما لم يمتد من محور إلى المحور التالي. وهنا تغطي 90° نفسها من الزاوية 28.3657% فقط من المنحنى، لأن المسح يعبر المحور الأصغر، حيث يتحرك المنحنى بأسرع ما يكون، ويفوته الامتداد البطيء قرب المحور الأكبر.

طول قوس القطع الناقص ليس تمريناً صفياً فحسب. بل يظهر أينما وجب قياس شكل إهليجي أو قطعه أو بناؤه.

الهندسة الميكانيكية. التروس الإهليجية والكامات والوصلات تتحرك كلها على مسارات إهليجية. ومعرفة طول القوس بين زاويتي كامة تخبر المهندس بالمسافة التي يقطعها التابع، وهو ما يحدد توقيت الآلية.

العمارة. الأقواس الإهليجية والقباب والساحات تحتاج قياسات دقيقة للمحيط والأقواس الجزئية قبل طلب الحجر أو الفولاذ. فقوس يمتد على جزء فقط من قطع ناقص يحتاج طول قوس ذلك الجزء، لا المحيط كله.

التصنيع والتشغيل بالتحكم الرقمي. ماكينة التفريز ذات التحكم الرقمي التي تقطع جيباً إهليجياً أو شفة إهليجية تتبع المنحنى بخطوات صغيرة. ويأتي طول مسار الأداة الكلي من تكامل القوس، وهو يحدد زمن التشغيل وتآكل الأداة.

المضامير والمنشآت الإهليجية. مضامير الجري والفيلودرومات والأنابيب الإهليجية تُقاس بأطوال الأقواس. فكوع أنبوب ينحني عبر جزء من قطع ناقص يحتاج طول قوس الانحناء لقص المادة بالمقاس الصحيح.

التصميم بمساعدة الحاسوب والرسم الفني. القطوع الناقصة كيانات أساسية في برامج CAD، وتدخل أطوال أقواسها في الأبعاد وحسابات المساحات وأطوال الزخارف والحواف في قوائم المواد.

الفيزياء وتعليم الهندسة. مدارات الكواكب قطوع ناقصة، والمسافة التي يقطعها كوكب على مداره بين زاويتين هي طول قوس قطع ناقص. ويظهر التكامل نفسه في البصريات، حيث تركز المرايا الإهليجية الضوء، وفي دراسة التكاملات الإهليجية نفسها.

معظم الأخطاء في طول قوس القطع الناقص تأتي من معاملة القطع الناقص كدائرة أو من الخلط بين المدخلات. انتبه لهذه الأخطاء السبعة.

1. استخدام صيغة الدائرة للقطع الناقص. L = rθ تنجح فقط عندما يكون a = b. وبالنسبة إلى a = 5 و b = 3 تبالغ في تقدير قوس الربع بنحو 23%.
2. الخلط بين المحورين الكاملين ونصفي المحورين. إذا كان العرض الكامل 10، فإن a = 5. وإدخال 10 على أنه a يضاعف كل طول تعيده الحاسبة. استخدم وضع المحور الكامل إذا قست الطولين الكاملين.
3. نسيان تحويل الدرجات إلى راديان. الصيغ تستخدم الراديان. فزاوية 90 تُدخل على أنها راديان فتعني أكثر من أربعة عشر دورة كاملة، لا ربع دورة. تحقق من مفتاح DEG و RAD قبل الكتابة.
4. استخدام اصطلاح الزاوية الخطأ. الزوايا هنا زوايا بارامترية تُقاس من المركز، x = a cos θ و y = b sin θ. وهي ليست الزاوية القطبية للنقطة، التي تختلف إلا على المحورين.
5. تجاهل مساري عقارب الساعة وعكسها. نقطتان تحددان قوسين، وهما غير متساويين على القطع الناقص. اختر الاتجاه الذي تعنيه فعلاً، أو استخدم خياري الأقصر والأطول لرؤية كليهما.
6. افتراض أن ربع القطع الناقص هو دائماً ربع المحيط. وهذا ينطبق فقط على الأقواس التي تمتد من محور إلى المحور التالي. فمسح 90° من 30° إلى 120° يشكل 28.3657% من محيطه، لا 25%.
7. معاملة تقريب رامانوجان كصيغة دقيقة للقوس الجزئي. تقرّب صيغة رامانوجان المحيط الكامل. وهي لا تقول شيئاً عن قوس جزئي، ويجب ألا تُصغّر أبداً بنسبة كسر الزاوية لتقدير قوس جزئي.

استخدم هذا الجدول كفحص سريع لحساباتك. جميع القيم أنتجتها الحاسبة في هذه الصفحة.

يعرض الصف الأخير سلوك قطع ناقص مسطح جداً: مع a = 10 و b = 1، يكون قوس الربع أطول بقليل فقط من a نفسه، والمحيط أكبر بقليل فقط من 4a = 40. وعندما يتقلص b نحو الصفر، ينهار القطع الناقص نحو قطعة مستقيمة تُرسم ذهاباً وإياباً، ويقترب محيطه من 4a.

احتفظ بهذه الصيغ معاً للرجوع السريع إليها. فهي تغطي كل عملية حسابية في هذه الصفحة.

الزوايا في هذه الصيغ بالراديان. وللتحويل، اضرب الدرجات في π/180. وسطر رامانوجان تقريب للمحيط الكامل فقط، بينما سطور التكامل دقيقة وتقيّمها الحاسبة عددياً.