Калькулятор длины дуги эллипса

Калькулятор длины дуги эллипса измеряет длину дуги эллипса по двум его полуосям и двум углам. Страница открывается с активной панелью «Длина дуги эллипса», где показана формула L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ. Выполните следующие шаги, чтобы получить правильный ответ менее чем за минуту.

1. Выберите способ ввода осей. По умолчанию используются длины полуосей (a, b). Если вы измерили полные оси, переключитесь на ввод полных осей, и калькулятор сам разделит каждое значение пополам.
2. Введите большую полуось (a). Это самый длинный радиус эллипса, измеренный от центра до самой дальней точки границы.
3. Введите малую полуось (b). Это самый короткий радиус, измеренный от центра до ближайшей точки границы. Она не должна быть больше a.
4. Введите начальный угол (θ₁) и конечный угол (θ₂). Используйте переключатель DEG и RAD вверху панели, чтобы он соответствовал вашим числам. По умолчанию используются градусы.
5. Выберите направление дуги. Против часовой стрелки означает движение от θ₁ к θ₂ с ростом угла. По часовой стрелке означает движение в другую сторону. Варианты «Кратчайшая физическая дуга» и «Длиннейшая физическая дуга» сравнивают оба физических пути и показывают более короткий или более длинный из них.
6. Выберите единицу измерения и точность. Единица подписывает ответ, а точность задаёт, сколько знаков после запятой покажет результат.
7. Нажмите «Рассчитайте сейчас». Калькулятор численно вычисляет интеграл длины дуги и показывает результат, полный периметр, дополнительную дугу, процент от периметра и координаты обеих конечных точек.
8. Скопируйте или сбросьте. Используйте «Копировать результат», чтобы поместить ответ в буфер обмена, или «Сбросить», чтобы очистить панель. Ссылка «Поменять местами начальный и конечный углы» меняет θ₁ и θ₂ местами одним нажатием.

Попробуйте пример. Кнопки «Четверть эллипса», «Половина эллипса», «Четверть окружности» и «Полный эллипс» мгновенно загружают проверенные значения: a = 5, b = 3, от 0° до 90° даёт 6.3817497158 единиц, а тот же эллипс от 0° до 360° даёт полный периметр, 25.5269988634 единиц.

Важные советы. Держите a и b в одной единице измерения. Вводите b не больше a. Помните, что углы являются параметрическими углами, измеренными от центра, а не углами, измеренными вдоль границы. Если начальный и конечный углы равны, длина дуги равна нулю; для полного эллипса используйте от 0° до 360°.

Эллипс это замкнутая кривая, образованная всеми точками, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, фокусов, одинакова. Он похож на растянутую окружность: у него есть длинное направление и короткое направление, но он идеально гладкий, без углов. Дуга это часть этой кривой между двумя точками на ней. Длина дуги это расстояние, которое вы прошли бы, идя вдоль кривой от первой точки до второй.

Каждую точку эллипса можно описать одним углом θ, который называется параметрическим углом:

Здесь a это большая полуось, а b малая полуось. Когда θ изменяется от 0 до 2π радиана, точка (x, y) описывает весь эллипс ровно один раз, начиная в точке (a, 0) и возвращаясь в неё. Дуга от θ₁ до θ₂ это часть этого пути между двумя углами.

Дуга эллипса отличается от дуги окружности одним важным свойством. На окружности каждая точка находится на одинаковом расстоянии r от центра, поэтому длина дуги просто равна L = rθ. На эллипсе расстояние от центра меняется по мере движения вдоль кривой, поэтому меняется и скорость, с которой описывается кривая. Длина дуги зависит от формы эллипса, а не только от пройденного угла, и её нужно находить интегрированием, а не одним умножением.

Именно поэтому длина дуги эллипса это настоящее вычисление, а не поиск по таблице. Калькулятор на этой странице выполняет это интегрирование численно, с высокой точностью, для любого эллипса и любой пары углов.

Длина дуги эллипса между параметрическими углами θ₁ и θ₂ задаётся определённым интегралом:

Каждый символ в формуле имеет точное значение:

Подынтегральное выражение √(a² sin²θ + b² cos²θ) это скорость, с которой точка (a cos θ, b sin θ) движется при росте θ. Она наименьшая и равна b при θ = 0°, где кривая пересекает большую ось, и наибольшая и равна a при θ = 90°, где кривая пересекает малую ось. Интегрирование этой скорости по интервалу угла складывает все крошечные отрезки в общую длину дуги.

Когда a = b, эллипс становится окружностью радиуса r = a, подынтегральное выражение становится постоянной r, и формула сводится к знакомой L = rθ, где θ в радианах. Этот частный случай полезен для проверки: любой калькулятор эллипса должен воспроизводить результат для окружности, когда две оси равны.

Вычисление длины дуги эллипса вручную проходит в восемь шагов. В разобранном ниже примере используются a = 5, b = 3, от 0° до 90°, четверть эллипса.

1. Определите большую полуось. a = 5 единиц.
2. Определите малую полуось. b = 3 единицы.
3. Определите начальный угол. θ₁ = 0°.
4. Определите конечный угол. θ₂ = 90°.
5. Переведите градусы в радианы, когда это нужно. 0° = 0 радиан, а 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 радиана.
6. Примените интеграл длины дуги эллипса. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. Вычислите интеграл численно. У подынтегрального выражения нет элементарной первообразной, поэтому используйте численный метод, например адаптивное правило Симпсона, которое уточняет свои интервалы, пока ответ не станет устойчивым.
8. Истолкуйте окончательный ответ. L ≈ 6.3817497158 единиц. Калькулятор на этой странице возвращает то же значение.

Чтобы понять, зачем нужно численное интегрирование, посмотрите на подынтегральное выражение при трёх углах:

Один шаг Симпсона по всей четверти даёт (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169, что близко, но не точно. Адаптивное правило Симпсона продолжает делить интервал и пересчитывать, пока погрешность не упадёт ниже его допуска, сходясь к 6.3817497158. Практический урок таков: грубую численную оценку получить легко, но надёжный ответ требует метода, который сам проверяет свою точность, и именно это делает калькулятор.

Большая ось это самая длинная прямая через центр эллипса, идущая от одной стороны границы до другой. Малая ось это самая короткая такая прямая, перпендикулярная большой оси. Большая полуось a это половина большой оси: расстояние от центра до границы вдоль длинного направления. Малая полуось b это половина малой оси: расстояние от центра до границы вдоль короткого направления.

Путаница полных осей с полуосями это самая частая ошибка ввода. Если на чертеже полная ширина эллипса равна 10, то большая полуось равна a = 5, а не 10. Ввод 10 в качестве a описал бы эллипс вдвое большего размера, и каждая длина, которую возвращает калькулятор, удвоилась бы. Калькулятор предлагает режим полных осей именно для этого случая: введите полные длины, и он разделит их пополам перед вычислением.

Две оси также определяют форму. Когда a и b почти равны, эллипс почти окружность. Когда b намного меньше a, эллипс длинный и плоский, как беговая дорожка, если смотреть на неё сбоку. Отношение b/a иногда называют относительным сжатием; эксцентриситет e = √(1 − (b/a)²) измеряет то же самое: e = 0 для окружности и e близко к 1 для очень плоского эллипса. Для a = 5 и b = 3, e = √(1 − 9/25) = 0.8.

Полный периметр это длина всей замкнутой кривой, а длина частичной дуги это длина одного её куска. Периметр это частный случай формулы дуги при θ₁ = 0° и θ₂ = 360°:

Множитель 4 появляется потому, что четыре четверти эллипса являются зеркальными отражениями друг друга. Для a = 5 и b = 3 периметр равен P ≈ 25.5269988634 единиц. В таблице ниже сравниваются стандартные части этого эллипса.

Четверть эллипса это ровно четверть периметра, а половина эллипса ровно половина, потому что четверти являются зеркальными отражениями. Но эта симметрия действует только для дуг, которые начинаются и заканчиваются на осях. Произвольный размах в 90° не равен четверти периметра: дуга от 30° до 120° на большем эллипсе равна 14.4818404027 единиц, а разобранный пример далее в этом руководстве показывает размах в 90°, который составляет 28.3657% его периметра. Никогда не считайте, что размах в 90° равен P/4, если он не идёт от одной оси до соседней.

Калькулятор показывает оба числа для каждого вычисления: длину дуги, которую вы запросили, и полный периметр, к которому она принадлежит, вместе с дополнительной дугой (остальной частью эллипса) и процентом периметра, который покрывает ваша дуга.

Длина дуги эллипса не имеет точной формулы, построенной из обычных функций. Интеграл ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ это неполный эллиптический интеграл второго рода, записываемый как E(φ, k), где φ это угол, а k = √(1 − (b/a)²) это эксцентриситет. Дуга от θ₁ до θ₂ равна a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)). Для a = 5 и b = 3, k = 0.8, а четверть эллипса равна 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158.

Эллиптические интегралы хорошо изучены, но они не элементарны: никакая комбинация многочленов, корней, экспонент и тригонометрических функций не вычисляет их в замкнутой форме. Именно поэтому в каждом практическом вычислении для эллипса используется численное интегрирование. Адаптивное правило Симпсона, которое использует этот калькулятор, хороший выбор, потому что оно уточняет интервалы там, где подынтегральное выражение меняется быстрее всего, и останавливается, когда результат становится устойчивым в пределах его допуска.

Только для полного периметра существует также знаменитое приближение Шринивасы Рамануджана:

Для a = 5 и b = 3, h = 0.0625, и формула Рамануджана даёт P ≈ 25.5269988628, что совпадает с точным численным периметром 25.5269988634 до девяти знаков после запятой. Она удивительно точна для эллипсов, которые не являются чрезвычайно плоскими. Но это приближение только для всего периметра: его нельзя урезать, чтобы получить частичную дугу, поэтому никогда не используйте его вместо интеграла дуги. Калькулятор показывает значение Рамануджана в своих шагах только как учебное сравнение рядом с численным результатом.

Используйте численное интегрирование всегда, когда ответ имеет значение, а формулу Рамануджана только как быструю проверку полного периметра. Если они расходятся больше чем на несколько знаков после запятой, доверяйте численному интегрированию и проверьте входные данные.

Формула окружности L = rθ работает, потому что каждая точка окружности находится на одинаковом расстоянии r от центра, поэтому скорость вдоль кривой постоянна. На эллипсе скорость меняется: при a = 5 и b = 3 она изменяется от 3 на концах большой оси до 5 на концах малой оси. Один радиус не может отразить это изменение, поэтому формула окружности даёт неверный ответ для любого эллипса, который не является окружностью.

Сравните дугу в 90° на трёх фигурах одинакового номинального размера:

Использование r = 5 в формуле окружности завышает четверть дуги эллипса примерно на 23%, когда b = 3, и примерно на 11%, когда b = 4. Погрешность уменьшается по мере того, как эллипс приближается к окружности, и растёт по мере его уплощения, чего и следовало ожидать: формула окружности это предел формулы эллипса при b, стремящемся к a, а не общая её замена.

Калькулятор никогда не использует формулу окружности для эллипса. Он интегрирует точное подынтегральное выражение эллипса, и только когда a = b, это интегрирование сводится к L = rθ, что калькулятор также проверяет внутри как проверку согласованности.

Две точки на эллипсе делят кривую на две дуги: одну против часовой стрелки и одну по часовой стрелке. Они не являются зеркальными отражениями, потому что эллипс не окружность, поэтому две дуги имеют разную длину. Более короткая из них это кратчайший путь вдоль кривой между точками; более длинная это остальная часть эллипса.

Возьмите a = 5, b = 3, с конечными точками при 0° и 120°:

Две длины в сумме дают полный периметр, 25.5269988634, как и должно быть, поскольку вместе они покрывают весь эллипс. Кратчайшая дуга равна 8.9253958986, а длиннейшая равна 16.6016029648. Заметьте, что угловое разделение составляет 120° против 240°, то есть один к двум, а разделение длин примерно 35% против 65%: длины не следуют за углами, потому что кривая движется быстрее вблизи малой оси, чем вблизи большой оси.

Именно поэтому калькулятор измеряет оба пути настоящим интегрированием, а не сравнивает углы. Сравнение угловых разностей дало бы неверного победителя всякий раз, когда эллипс далёк от окружности. Выбирайте «Кратчайшая физическая дуга», когда нужен более короткий маршрут, например кратчайшая прокладка кабеля между двумя точками эллиптической рамы, и «Длиннейшая физическая дуга», когда нужна остальная часть кривой.

Параметрические углы на эллипсе замыкаются в круг: 360° это та же точка, что и 0°, а 370° та же точка, что и 10°. Калькулятор сам учитывает этот переход, но полезно знать правила, которым он следует.

Против часовой стрелки означает, что угол растёт от θ₁ до θ₂, переходя через 360°, когда это нужно. Дуга от 350° до 10° против часовой стрелки проходит 20° через 0°, а не 340° назад. Для a = 5 и b = 3 эта дуга равна 1.0565175692 единиц, столько же, сколько дуга от −10° до 10°.

По часовой стрелке означает, что угол убывает от θ₁ до θ₂. Дуга от 10° до 350° по часовой стрелке это та же дуга в 20° через 0°, а та же пара против часовой стрелки прошла бы 340° длинным путём вокруг.

Равные углы дают дугу нулевой длины. Если θ₁ и θ₂ совпадают, начальная и конечная точки совпадают, и между ними нет дуги. Для полного эллипса введите вместо этого от 0° до 360°: это один полный оборот, и калькулятор возвращает весь периметр.

Отрицательные углы допускаются и означают те же точки, что и их положительные эквиваленты: −30° это та же точка, что и 330°. Калькулятор приводит каждый угол в диапазон от 0° до 360° перед интегрированием, поэтому от −30° до 30° и от 330° до 30° дают один и тот же ответ.

Радианы следуют тем же правилам, с 2π вместо 360°. Переключите переключатель DEG и RAD перед вводом значений в радианах, поскольку 1.57 радиана и 1.57 градуса описывают очень разные дуги.

Несколько угловых интервалов встречаются так часто, что заслуживают собственных названий. В таблице ниже они перечислены для эллипса a = 5, b = 3 и для окружности радиуса 5, все проверены калькулятором.

Окружность (a = b). Эллипс становится окружностью, подынтегральное выражение становится постоянным радиусом, и L = rθ, где θ в радианах. Четверть окружности радиуса 5 равна 5 × π/2 = 7.853981634, а полная длина окружности равна 2πr = 31.4159265359.

Очень вытянутые эллипсы. Когда b намного меньше a, эллипс почти превращается в плоский отрезок, пройденный туда и обратно. Периметр приближается к 4a, а четверть дуги приближается к a. Для a = 10 и b = 1 четверть дуги равна 10.1599354503, лишь немного больше самого a.

Очень плоские эллипсы. Та же идея действует в другую сторону: дуга сосредоточена вблизи концов большой оси, где кривая резко поворачивает, и численное интегрирование должно уточнять свои интервалы там. Адаптивное правило Симпсона делает это автоматически.

Разберите полный пример с a = 10, b = 6, от θ₁ = 30° до θ₂ = 120°. Это размах в 90°, который не начинается на оси, поэтому он проверяет каждую часть метода.

1. Переведите углы. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 радиана. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 радиана.
2. Запишите интеграл. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. Возьмите значения подынтегрального выражения. При 30° оно равно √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509. В середине при 75° оно ≈ 9.7832925399. При 120° оно равно √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899.
4. Оцените грубо. Значение в середине, умноженное на ширину интервала, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, это грубая оценка. Она завышает, потому что подынтегральное выражение не постоянно.
5. Проинтегрируйте точно. Адаптивное правило Симпсона уточняет интервал, пока ответ не станет устойчивым, давая L ≈ 14.4818404027 единиц.
6. Проверьте конечные точки. Начальная точка равна (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3). Конечная точка равна (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152). Калькулятор показывает обе точки при каждом результате.
7. Сравните с периметром. Полный периметр равен P ≈ 51.0539977268, поэтому эта дуга составляет 28.3657% эллипса, хотя она охватывает 90°. Приближение Рамануджана даёт 51.0539977256, совпадая до девяти знаков после запятой.

Ключевой урок в шаге 7: размах в 90° не равен четверти периметра, если он не идёт от одной оси до соседней. Здесь те же 90° угла покрывают только 28.3657% кривой, потому что размах пересекает малую ось, где кривая движется быстрее всего, и пропускает медленный участок вблизи большой оси.

Длина дуги эллипса это не только классное упражнение. Она встречается везде, где эллиптическую форму нужно измерить, разрезать или построить.

Машиностроение. Эллиптические шестерни, кулачки и рычажные механизмы движутся по эллиптическим траекториям. Знание длины дуги между двумя углами кулачка говорит инженеру, как далеко перемещается толкатель, а это задаёт время работы механизма.

Архитектура. Эллиптические арки, купола и дворы требуют точных измерений периметра и частичных дуг ещё до заказа камня или стали. Арка, охватывающая только часть эллипса, требует длины дуги этой части, а не всего периметра.

Производство и обработка на станках с ЧПУ. Фрезерный станок с ЧПУ, вырезающий эллиптический карман или эллиптический фланец, следует по кривой малыми шагами. Общая длина траектории инструмента берётся из интеграла дуги, и она определяет время обработки и износ инструмента.

Эллиптические дорожки и конструкции. Беговые дорожки, велодромы и эллиптические трубы измеряются длинами дуг. Колено трубы, изгибающееся через часть эллипса, требует длины дуги изгиба, чтобы отрезать материал по размеру.

САПР и техническое черчение. Эллипсы это базовые объекты в программах САПР, и их длины дуг используются при простановке размеров, вычислении площадей и составлении ведомостей материалов для отделки и кромок.

Физика и обучение геометрии. Орбиты планет это эллипсы, и расстояние, которое планета проходит по своей орбите между двумя углами, это длина дуги эллипса. Тот же интеграл встречается в оптике, где эллиптические зеркала фокусируют свет, и при изучении самих эллиптических интегралов.

Большинство ошибок в длине дуги эллипса возникает из-за того, что эллипс рассматривают как окружность или путают входные данные. Следите за этими семью ошибками.

1. Использование формулы окружности для эллипса. L = rθ работает только при a = b. При a = 5 и b = 3 она завышает четверть дуги примерно на 23%.
2. Путаница полных осей с полуосями. Если полная ширина равна 10, то a = 5. Ввод 10 в качестве a удваивает каждую длину, которую возвращает калькулятор. Используйте режим полных осей, если вы измерили полные длины.
3. Забывчивость перевести градусы в радианы. В формулах используются радианы. Угол 90, введённый как радианы, это больше четырнадцати полных оборотов, а не четверть оборота. Проверьте переключатель DEG и RAD перед вводом.
4. Использование неверного соглашения об углах. Углы здесь это параметрические углы, измеренные от центра, x = a cos θ, y = b sin θ. Они не являются полярным углом точки, который отличается от них везде, кроме осей.
5. Игнорирование разницы между путями по часовой стрелке и против неё. Две точки определяют две дуги, и на эллипсе они не равны. Выберите направление, которое вы действительно имеете в виду, или используйте варианты кратчайшей и длиннейшей дуги, чтобы увидеть обе.
6. Предположение, что четверть эллипса всегда равна четверти периметра. Это верно только для дуг, идущих от одной оси до соседней. Размах в 90° от 30° до 120° составляет 28.3657% его периметра, а не 25%.
7. Восприятие приближения Рамануджана как точной формулы частичной дуги. Формула Рамануджана приближает весь периметр. Она ничего не говорит о частичной дуге, и её никогда нельзя уменьшать пропорционально доле угла, чтобы оценить дугу.

Используйте эту таблицу как быструю проверку своих вычислений. Все значения получены с помощью калькулятора на этой странице.

Последняя строка показывает, как ведёт себя очень плоский эллипс: при a = 10 и b = 1 четверть дуги лишь немного длиннее самого a, а периметр лишь немного больше 4a = 40. Когда b стремится к нулю, эллипс сжимается к отрезку, пройденному туда и обратно, а его периметр приближается к 4a.

Держите эти формулы вместе для быстрой справки. Они охватывают все вычисления на этой странице.

Углы в этих формулах выражены в радианах. Для перевода умножьте градусы на π/180. Строка Рамануджана это приближение только для всего периметра, а строки с интегралами точны и вычисляются калькулятором численно.