Kalkulator długości łuku elipsy

Kalkulator długości łuku elipsy mierzy długość łuku elipsy na podstawie jej dwóch półosi i dwóch kątów. Strona otwiera się z aktywnym panelem długości łuku elipsy, pokazującym wzór L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ. Wykonaj poniższe kroki, aby uzyskać poprawną odpowiedź w mniej niż minutę.

1. Wybierz sposób wprowadzania osi. Domyślnie używaj długości półosi (a, b). Jeśli zmierzyłeś(-aś) zamiast tego pełne osie, przełącz na długości pełnych osi, a kalkulator sam podzieli każdą wartość na pół.
2. Wprowadź półoś wielką (a). To najdłuższy promień elipsy, mierzony od środka do najdalszego punktu na obwodzie.
3. Wprowadź półoś małą (b). To najkrótszy promień, mierzony od środka do najbliższego punktu na obwodzie. Nie może być większy niż a.
4. Wprowadź kąt początkowy (θ₁) i kąt końcowy (θ₂). Użyj przełącznika DEG i RAD u góry panelu, aby dopasować go do swoich liczb. Domyślnie wybrane są stopnie.
5. Wybierz kierunek łuku. Kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara podąża za kątami w górę od θ₁ do θ₂. Kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara idzie w drugą stronę. Opcje najkrótszy i najdłuższy porównują obie fizyczne ścieżki i podają krótszą lub dłuższą z nich.
6. Wybierz jednostkę i dokładność. Jednostka oznacza odpowiedź, a dokładność określa, ile miejsc po przecinku pokaże wynik.
7. Kliknij Oblicz teraz. Kalkulator oblicza całkę długości łuku numerycznie i pokazuje wynik, pełny obwód, łuk dopełniający, procent obwodu oraz współrzędne obu punktów końcowych.
8. Skopiuj lub zresetuj. Użyj Skopiuj wynik, aby umieścić odpowiedź w schowku, lub Nastawić, aby wyczyścić panel. Łącze Zamień kąty początkowy i końcowy zamienia θ₁ i θ₂ jednym kliknięciem.

Wypróbuj przykład. Przyciski Ćwiartka elipsy, Połowa elipsy, Ćwiartka koła i Pełna elipsa wczytują natychmiast zweryfikowane wartości: a = 5, b = 3, od 0° do 90° daje 6.3817497158 jednostek, a ta sama elipsa od 0° do 360° daje pełny obwód, 25.5269988634 jednostek.

Ważne wskazówki. Podawaj a i b w tej samej jednostce. Wprowadzaj b nie większe niż a. Pamiętaj, że kąty są kątami parametrycznymi, mierzonymi od środka, a nie kątami mierzonymi wzdłuż obwodu. Jeśli kąt początkowy i końcowy są równe, długość łuku wynosi zero; dla pełnej elipsy użyj 0° do 360°.

Elipsa to krzywa zamknięta utworzona przez wszystkie punkty, których odległości od dwóch stałych punktów, ognisk, sumują się do tej samej stałej. Wygląda jak rozciągnięty okrąg: ma kierunek długi i kierunek krótki, ale jest idealnie gładka, bez żadnych narożników. Łuk to część tej krzywej między dwoma punktami na niej. Długość łuku to odległość, którą przebyłbyś, idąc wzdłuż krzywej od pierwszego punktu do drugiego.

Każdy punkt elipsy można opisać jednym kątem θ, zwanym kątem parametrycznym:

Tutaj a to półoś wielka, a b to półoś mała. Gdy θ rośnie od 0 do 2π radianów, punkt (x, y) opisuje całą elipsę dokładnie raz, zaczynając w punkcie (a, 0) i tam wracając. Łuk od θ₁ do θ₂ to część tego śladu między dwoma kątami.

Łuk eliptyczny różni się od łuku kołowego w jeden ważny sposób. Na okręgu każdy punkt znajduje się w tej samej odległości r od środka, więc długość łuku wynosi po prostu L = rθ. Na elipsie odległość od środka zmienia się podczas ruchu wzdłuż krzywej, więc zmienia się też prędkość, z jaką krzywa jest opisywana. Długość łuku zależy więc od kształtu elipsy, a nie tylko od zatoczonego kąta, i trzeba ją znaleźć przez całkowanie, a nie przez jedno mnożenie.

Dlatego właśnie długość łuku elipsy jest prawdziwym obliczeniem, a nie odczytem z tabeli. Kalkulator na tej stronie wykonuje to całkowanie numerycznie, z dużą dokładnością, dla dowolnej elipsy i dowolnej pary kątów.

Długość łuku elipsy między kątami parametrycznymi θ₁ i θ₂ wyraża całka oznaczona:

Każdy symbol we wzorze ma dokładne znaczenie:

Funkcja podcałkowa √(a² sin²θ + b² cos²θ) to prędkość, z jaką punkt (a cos θ, b sin θ) porusza się, gdy θ rośnie. Jest najmniejsza, równa b, przy θ = 0°, gdzie krzywa przecina oś wielką, i największa, równa a, przy θ = 90°, gdzie krzywa przecina oś małą. Całkowanie tej prędkości w przedziale kątów sumuje wszystkie drobne odcinki w całkowitą długość łuku.

Gdy a = b, elipsa jest okręgiem o promieniu r = a, funkcja podcałkowa staje się stałą r, a wzór upraszcza się do znanego L = rθ, przy θ w radianach. Ten szczególny przypadek to przydatna kontrola: każdy kalkulator elipsy musi odtwarzać wynik dla okręgu, gdy obie osie są równe.

Obliczanie długości łuku elipsy ręcznie przebiega w ośmiu krokach. Przykład rozwiązany poniżej wykorzystuje a = 5, b = 3, od 0° do 90°, ćwiartkę elipsy.

1. Określ półoś wielką. a = 5 jednostek.
2. Określ półoś małą. b = 3 jednostki.
3. Określ kąt początkowy. θ₁ = 0°.
4. Określ kąt końcowy. θ₂ = 90°.
5. W razie potrzeby przelicz stopnie na radiany. 0° = 0 radianów, a 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 radianów.
6. Zastosuj całkę długości łuku elipsy. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. Oblicz całkę numerycznie. Funkcja podcałkowa nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, więc użyj metody numerycznej, takiej jak adaptacyjna reguła Simpsona, która zawęża przedziały, aż odpowiedź się ustabilizuje.
8. Zinterpretuj ostateczną odpowiedź. L ≈ 6.3817497158 jednostek. Kalkulator na tej stronie zwraca tę samą wartość.

Aby zobaczyć, dlaczego potrzebne jest całkowanie numeryczne, spójrz na funkcję podcałkową przy trzech kątach:

Jeden krok Simpsona na całej ćwiartce daje (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169, co jest bliskie, ale niedokładne. Adaptacyjna reguła Simpsona dzieli przedział i oblicza ponownie, aż błąd spadnie poniżej tolerancji, zbiegając do 6.3817497158. Wniosek jest praktyczny: przybliżone oszacowanie numeryczne jest łatwe, ale wiarygodna odpowiedź wymaga metody, która sama sprawdza swoją dokładność, a właśnie to robi kalkulator.

Oś wielka to najdłuższa prosta przechodząca przez środek elipsy, biegnąca od jednej strony obwodu do drugiej. Oś mała to najkrótsza taka prosta, prostopadła do osi wielkiej. Półoś wielka a to połowa osi wielkiej: odległość od środka do obwodu wzdłuż długiego kierunku. Półoś mała b to połowa osi małej: odległość od środka do obwodu wzdłuż krótkiego kierunku.

Pomyłka pełnych osi z półosiami to najczęstszy błąd wprowadzania danych. Jeśli rysunek podaje pełną szerokość elipsy jako 10, półoś wielka wynosi a = 5, a nie 10. Wprowadzenie 10 jako a opisałoby elipsę dwukrotnie większą, a każda długość zwracana przez kalkulator byłaby podwojona. Kalkulator oferuje tryb pełnych osi dokładnie na tę sytuację: wprowadź pełne długości, a on podzieli je na pół przed obliczeniem.

Obie osie kontrolują też kształt. Gdy a i b są prawie równe, elipsa jest prawie okręgiem. Gdy b jest znacznie mniejsze niż a, elipsa jest długa i płaska, jak bieżnia widziana z boku. Stosunek b/a bywa nazywany proporcjami boków; mimośród e = √(1 − (b/a)²) mierzy to samo, przy czym e = 0 dla okręgu, a e bliskie 1 dla bardzo płaskiej elipsy. Dla a = 5 i b = 3, e = √(1 − 9/25) = 0.8.

Pełny obwód to długość całej krzywej zamkniętej, natomiast częściowa długość łuku to długość jednego jej kawałka. Obwód to szczególny przypadek wzoru na łuk przy θ₁ = 0° i θ₂ = 360°:

Współczynnik 4 pojawia się, ponieważ cztery ćwiartki elipsy są swoimi lustrzanymi odbiciami. Dla a = 5 i b = 3 obwód wynosi P ≈ 25.5269988634 jednostek. Tabela poniżej porównuje standardowe części tej elipsy.

Ćwiartka elipsy to dokładnie jedna czwarta obwodu, a połowa elipsy dokładnie połowa, ponieważ ćwiartki są lustrzanymi odbiciami. Ale ta symetria zachodzi tylko dla łuków, które zaczynają się i kończą na osiach. Dowolny obrót o 90° nie jest jedną czwartą obwodu: na większej elipsie o a = 10 i b = 6 łuk od 30° do 120° mierzy 14.4818404027 jednostek, dokładnie dwa razy więcej niż wartość dla elipsy o a = 5 i b = 3, a przykład rozwiązany w dalszej części tego przewodnika pokazuje, że ten obrót o 90° stanowi 28.3657% obwodu większej elipsy. Nigdy nie zakładaj, że obrót o 90° równa się P/4, chyba że biegnie od jednej osi do następnej.

Kalkulator podaje obie liczby przy każdym obliczeniu: długość łuku, o którą pytasz, i pełny obwód, do którego należy, wraz z łukiem dopełniającym (resztą elipsy) i procentem obwodu, który pokrywa Twój łuk.

Długość łuku elipsy nie ma dokładnego wzoru zbudowanego ze zwykłych funkcji. Całka ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ to niezupełna całka eliptyczna drugiego rodzaju, zapisywana E(φ, k), gdzie φ to kąt, a k = √(1 − (b/a)²) to mimośród. Łuk od θ₁ do θ₂ wynosi a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)). Dla a = 5 i b = 3, k = 0.8, a ćwiartka elipsy to 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158.

Całki eliptyczne są dobrze poznane, ale nie są elementarne: żadna kombinacja wielomianów, pierwiastków, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych nie oblicza ich w postaci zamkniętej. Dlatego każde praktyczne obliczenie elipsy wykorzystuje całkowanie numeryczne. Adaptacyjna reguła Simpsona, której używa ten kalkulator, to dobry wybór, ponieważ zawęża przedziały tam, gdzie funkcja podcałkowa zmienia się najszybciej, i zatrzymuje się, gdy wynik ustabilizuje się w granicach tolerancji.

Tylko dla pełnego obwodu istnieje też słynne przybliżenie Srinivasy Ramanujana:

Dla a = 5 i b = 3, h = 0.0625, a wzór Ramanujana daje P ≈ 25.5269988628, co zgadza się z dokładnym obwodem numerycznym 25.5269988634 do dziewięciu miejsc po przecinku. Jest niezwykle dokładny dla elips, które nie są skrajnie płaskie. Ale to przybliżenie dotyczy tylko całego obwodu: nie można go obciąć, aby otrzymać częściowy łuk, więc nigdy nie używaj go jako zamiennika całki łuku. Kalkulator pokazuje wartość Ramanujana w swoich krokach wyłącznie jako edukacyjne porównanie obok wyniku numerycznego.

Używaj całkowania numerycznego, gdy odpowiedź ma znaczenie, a wzoru Ramanujana tylko jako szybkiej kontroli pełnego obwodu. Jeśli oba wyniki różnią się więcej niż o kilka miejsc po przecinku, zaufaj całkowaniu numerycznemu i sprawdź dane wejściowe.

Wzór na koło L = rθ działa, ponieważ każdy punkt okręgu znajduje się w tej samej odległości r od środka, więc prędkość wzdłuż krzywej jest stała. Na elipsie prędkość się zmienia: dla a = 5 i b = 3 waha się od 3 na końcach osi wielkiej do 5 na końcach osi małej. Jeden promień nie może oddać tej zmienności, więc wzór na koło daje błędną odpowiedź dla każdej elipsy, która nie jest okręgiem.

Porównaj łuk o 90° na trzech kształtach o tym samym nominalnym rozmiarze:

Użycie r = 5 we wzorze na koło zawyża ćwiartkę łuku elipsy o około 23%, gdy b = 3, i o około 11%, gdy b = 4. Błąd maleje, gdy elipsa zbliża się do okręgu, i rośnie, gdy się spłaszcza, dokładnie tak, jak można się spodziewać: wzór na koło jest granicą wzoru na elipsę, gdy b zbliża się do a, a nie jego ogólnym zamiennikiem.

Kalkulator nigdy nie używa wzoru na koło dla elipsy. Całkuje dokładną funkcję podcałkową elipsy i tylko gdy a = b, całkowanie to sprowadza się do L = rθ, co kalkulator sprawdza również wewnętrznie jako kontrolę spójności.

Dwa punkty na elipsie dzielą krzywą na dwa łuki: jeden biegnący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i jeden biegnący zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Nie są lustrzanymi odbiciami, ponieważ elipsa nie jest okręgiem, więc oba łuki mają różne długości. Krótszy z nich to najkrótsza droga wzdłuż krzywej między punktami; dłuższy to reszta elipsy.

Weź a = 5, b = 3, z punktami końcowymi przy 0° i 120°:

Obie długości sumują się do pełnego obwodu, 25.5269988634, jak muszą, skoro razem pokrywają całą elipsę. Najkrótszy łuk ma 8.9253958986, a najdłuższy 16.6016029648. Zauważ, że podział kątowy to 120° wobec 240°, stosunek jeden do dwóch, podczas gdy podział długości to w przybliżeniu 35% wobec 65%: długości nie podążają za kątami, ponieważ krzywa porusza się szybciej w pobliżu osi małej niż w pobliżu osi wielkiej.

Dlatego właśnie kalkulator mierzy obie ścieżki rzeczywistym całkowaniem, zamiast porównywać kąty. Porównanie różnic kątowych dałoby błędnego zwycięzcę, gdy elipsa jest daleka od okręgu. Wybierz Najkrótszy łuk fizyczny, gdy potrzebujesz krótszej trasy, na przykład najkrótszego przebiegu kabla między dwoma punktami eliptycznej ramy, a Najdłuższy łuk fizyczny, gdy potrzebujesz reszty krzywej.

Kąty parametryczne na elipsie zawijają się: 360° to ten sam punkt co 0°, a 370° to ten sam punkt co 10°. Kalkulator obsługuje to zawijanie za Ciebie, ale warto znać reguły, którymi się kieruje.

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara oznacza, że kąt rośnie od θ₁ do θ₂, przechodząc w razie potrzeby przez 360°. Łuk od 350° do 10° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przebywa 20° przez 0°, a nie 340° wstecz. Dla a = 5 i b = 3 ten łuk mierzy 1.0565175692 jednostek, tyle samo co łuk od −10° do 10°.

Zgodnie z ruchem wskazówek zegara oznacza, że kąt maleje od θ₁ do θ₂. Łuk od 10° do 350° zgodnie z ruchem wskazówek zegara to ten sam łuk 20° przez 0°, podczas gdy ta sama para przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przebyłaby 340° długą drogą dookoła.

Równe kąty dają łuk o zerowej długości. Jeśli θ₁ i θ₂ są takie same, punkt początkowy i końcowy pokrywają się i nie ma między nimi łuku. Dla pełnej elipsy wprowadź zamiast tego 0° do 360°: to jeden pełny obrót, a kalkulator zwraca cały obwód.

Kąty ujemne są dozwolone i oznaczają te same punkty co ich dodatnie odpowiedniki: −30° to ten sam punkt co 330°. Kalkulator normalizuje każdy kąt do zakresu od 0° do 360° przed całkowaniem, więc −30° do 30° i 330° do 30° dają tę samą odpowiedź.

Radiany podlegają tym samym regułom, przy czym 2π zastępuje 360°. Przełącz przełącznik DEG i RAD przed wpisaniem wartości w radianach, ponieważ 1.57 radiana i 1.57 stopnia opisują bardzo różne łuki.

Kilka przedziałów kątowych pojawia się tak często, że zasługują na własne nazwy. Tabela poniżej wymienia je dla elipsy a = 5, b = 3 oraz dla okręgu o promieniu 5, wszystkie zweryfikowane przez kalkulator.

Koło (a = b). Elipsa staje się okręgiem, funkcja podcałkowa staje się stałym promieniem, a L = rθ, przy θ w radianach. Ćwiartka koła o promieniu 5 to 5 × π/2 = 7.853981634, a pełny obwód to 2πr = 31.4159265359.

Bardzo wydłużone elipsy. Gdy b jest znacznie mniejsze niż a, elipsa jest prawie płaskim odcinkiem opisywanym tam i z powrotem. Obwód zbliża się do 4a, a ćwiartka łuku zbliża się do a. Dla a = 10 i b = 1 ćwiartka łuku wynosi 10.1599354503, tylko nieco więcej niż samo a.

Bardzo płaskie elipsy. Ta sama idea działa w drugą stronę: łuk skupia się w pobliżu końców osi wielkiej, gdzie krzywa skręca gwałtownie, a całkowanie numeryczne musi tam zawężać przedziały. Adaptacyjna reguła Simpsona robi to automatycznie.

Przeprowadź pełny przykład przy a = 10, b = 6, od θ₁ = 30° do θ₂ = 120°. To obrót o 90°, który nie zaczyna się na osi, więc sprawdza każdą część metody.

1. Przelicz kąty. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 radianów. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 radianów.
2. Zapisz całkę. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. Próbkuj funkcję podcałkową. Przy 30° wynosi ona √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509. W punkcie środkowym 75° wynosi ona ≈ 9.7832925399. Przy 120° wynosi ona √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899.
4. Oszacuj z grubsza. Wartość w punkcie środkowym pomnożona przez szerokość przedziału, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, to przybliżone oszacowanie. Zawiera zawyżenie, ponieważ funkcja podcałkowa nie jest stała.
5. Całkuj dokładnie. Adaptacyjna reguła Simpsona zawęża przedział, aż odpowiedź się ustabilizuje, dając L ≈ 14.4818404027 jednostek.
6. Sprawdź punkty końcowe. Punkt początkowy to (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3). Punkt końcowy to (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152). Kalkulator pokazuje oba punkty przy każdym wyniku.
7. Porównaj z obwodem. Pełny obwód wynosi P ≈ 51.0539977268, więc ten łuk stanowi 28.3657% elipsy, mimo że zatacza 90°. Przybliżenie Ramanujana daje 51.0539977256, zgadzając się do dziewięciu miejsc po przecinku.

Kluczowa lekcja kryje się w kroku 7: obrót o 90° nie jest jedną czwartą obwodu, chyba że biegnie od jednej osi do następnej. Tutaj te same 90° kąta pokrywa tylko 28.3657% krzywej, ponieważ obrót przecina oś małą, gdzie krzywa porusza się najszybciej, i omija powolny odcinek w pobliżu osi wielkiej.

Długość łuku elipsy to nie tylko ćwiczenie szkolne. Pojawia się wszędzie tam, gdzie eliptyczny kształt trzeba zmierzyć, wyciąć lub zbudować.

Inżynieria mechaniczna. Eliptyczne koła zębate, krzywki i mechanizmy dźwigniowe poruszają się po eliptycznych torach. Znajomość długości łuku między dwoma kątami krzywki mówi inżynierowi, jak daleko przesuwa się popychacz, co ustala taktowanie mechanizmu.

Architektura. Eliptyczne łuki, kopuły i dziedzińce wymagają dokładnych pomiarów obwodu i częściowych łuków, zanim zamówi się kamień lub stal. Łuk obejmujący tylko część elipsy wymaga długości łuku tej części, a nie całego obwodu.

Produkcja i obróbka CNC. Frezarka CNC wycinająca eliptyczną kieszeń lub eliptyczny kołnierz podąża za krzywą małymi krokami. Całkowita długość ścieżki narzędzia pochodzi z całki łuku i określa czas obróbki oraz zużycie narzędzia.

Eliptyczne tory i konstrukcje. Bieżnie, welodromy i eliptyczne rury mierzy się długościami łuków. Kolano rury wyginające się przez część elipsy wymaga długości łuku zakrętu, aby przyciąć materiał na wymiar.

CAD i rysunek techniczny. Elipsy to podstawowe elementy w oprogramowaniu CAD, a ich długości łuków trafiają do wymiarowania, obliczeń powierzchni i zestawień materiałowych dla wykończeń i obrzeży.

Fizyka i edukacja geometryczna. Orbity planet to elipsy, a odległość, którą planeta przebywa wzdłuż orbity między dwoma kątami, to długość łuku elipsy. Ta sama całka pojawia się w optyce, gdzie eliptyczne zwierciadła skupiają światło, oraz w badaniach samych całek eliptycznych.

Większość błędów w długości łuku elipsy wynika z traktowania elipsy jak koła lub z pomylenia danych wejściowych. Uważaj na tych siedem.

1. Używanie wzoru na koło dla elipsy. L = rθ działa tylko, gdy a = b. Dla a = 5 i b = 3 zawyża ćwiartkę łuku o około 23%.
2. Mylenie pełnych osi z półosiami. Jeśli pełna szerokość wynosi 10, to a = 5. Wprowadzenie 10 jako a podwaja każdą długość zwracaną przez kalkulator. Użyj trybu pełnych osi, jeśli zmierzyłeś(-aś) pełne długości.
3. Zapominanie o przeliczeniu stopni na radiany. Wzory używają radianów. Kąt 90 wprowadzony jako radiany to ponad czternaście pełnych obrotów, a nie ćwierć obrotu. Sprawdź przełącznik DEG i RAD przed wpisaniem.
4. Używanie niewłaściwej konwencji kątów. Kąty tutaj to kąty parametryczne mierzone od środka, x = a cos θ, y = b sin θ. Nie są one kątem biegunowym punktu, który różni się poza osiami.
5. Ignorowanie ścieżek zgodnych i przeciwnych do ruchu wskazówek zegara. Dwa punkty wyznaczają dwa łuki, a nie są one równe na elipsie. Wybierz kierunek, który naprawdę masz na myśli, lub użyj opcji najkrótszego i najdłuższego, aby zobaczyć oba.
6. Zakładanie, że ćwiartka elipsy to zawsze jedna czwarta obwodu. Zachodzi to tylko dla łuków biegnących od jednej osi do następnej. Obrót o 90° od 30° do 120° to 28.3657% jego obwodu, a nie 25%.
7. Traktowanie przybliżenia Ramanujana jako dokładnego wzoru na częściowy łuk. Wzór Ramanujana przybliża cały obwód. Nie mówi nic o częściowym łuku i nigdy nie wolno go skalować ułamkiem kąta, aby go oszacować.

Użyj tej tabeli jako szybkiej kontroli własnych obliczeń. Wszystkie wartości zostały utworzone przez kalkulator na tej stronie.

Ostatni wiersz pokazuje, jak zachowuje się bardzo płaska elipsa: przy a = 10 i b = 1 ćwiartka łuku jest tylko nieco dłuższa niż samo a, a obwód jest tylko nieco większy niż 4a = 40. Gdy b kurczy się ku zeru, elipsa zapada się w odcinek opisywany tam i z powrotem, a jej obwód zbliża się do 4a.

Trzymaj te wzory razem do szybkiego wglądu. Obejmują one każde obliczenie na tej stronie.

Kąty w tych wzorach podane są w radianach. Aby przeliczyć, pomnóż stopnie przez π/180. Wiersz Ramanujana to przybliżenie tylko dla całego obwodu, natomiast wiersze całek są dokładne i są obliczane numerycznie przez kalkulator.