Kalkulator Panjang Arka Elips

Kalkulator Panjang Arka Elips mengukur panjang arka pada elips daripada dua paksi seminya dan dua sudutnya. Halaman dibuka dengan panel Panjang Arka Elips yang aktif, menunjukkan formula L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ. Ikuti langkah-langkah ini untuk mendapat jawapan yang betul dalam masa kurang seminit.

1. Pilih cara paksi dimasukkan. Gunakan panjang paksi semi (a, b) secara lalai. Jika anda mengukur paksi penuh sebaliknya, tukar kepada panjang paksi penuh dan kalkulator akan membahagikan setiap nilai kepada dua untuk anda.
2. Masukkan paksi semi-major (a). Ini ialah jejari terpanjang elips, diukur dari pusat ke titik terjauh pada sempadan.
3. Masukkan paksi semi-minor (b). Ini ialah jejari terpendek, diukur dari pusat ke titik terdekat pada sempadan. Ia tidak boleh lebih besar daripada a.
4. Masukkan sudut mula (θ₁) dan sudut tamat (θ₂). Gunakan togol DEG dan RAD di bahagian atas panel untuk memadankan nombor anda. Darjah ialah lalai.
5. Pilih arah arka. Lawan arah jam mengikuti sudut menaik dari θ₁ ke θ₂. Mengikut arah jam pergi ke arah bertentangan. Terpendek dan terpanjang membandingkan kedua-dua laluan fizikal dan melaporkan yang lebih pendek atau lebih panjang.
6. Pilih unit dan ketepatan. Unit melabelkan jawapan; ketepatan menetapkan bilangan tempat perpuluhan yang ditunjukkan hasil.
7. Klik Kira Sekarang. Kalkulator menilai kamiran panjang arka secara berangka dan menunjukkan hasil, perimeter penuh, arka pelengkap, peratusan perimeter, dan koordinat kedua-dua titik hujung.
8. Salin atau tetapkan semula. Gunakan Salin Keputusan untuk meletakkan jawapan pada papan klip anda, atau Tetapkan Semula untuk mengosongkan panel. Pautan Tukar Sudut Mula dan Tamat menukar θ₁ dan θ₂ dalam satu klik.

Cuba contoh. Butang Suku Elips, Separuh Elips, Suku Bulatan, dan Elips Lengkap memuatkan nilai yang disahkan serta-merta: a = 5, b = 3, dari 0° hingga 90° memberikan 6.3817497158 unit, dan elips yang sama dari 0° hingga 360° memberikan perimeter penuh, 25.5269988634 unit.

Petua penting. Kekalkan a dan b dalam unit yang sama. Masukkan b tidak lebih besar daripada a. Ingat bahawa sudut-sudut itu ialah sudut parametrik, diukur dari pusat, bukan sudut yang diukur sepanjang sempadan. Jika sudut mula dan sudut tamat adalah sama, panjang arka ialah sifar; gunakan 0° hingga 360° untuk elips lengkap.

Elips ialah lengkung tertutup yang dibentuk oleh semua titik yang jaraknya ke dua titik tetap, iaitu fokus, apabila dijumlahkan memberikan pemalar yang sama. Ia kelihatan seperti bulatan yang diregangkan: ia mempunyai arah yang panjang dan arah yang pendek, tetapi ia licin sempurna, tanpa bucu. Arka ialah sebahagian daripada lengkung itu antara dua titik padanya. Panjang arka ialah jarak yang anda lalui jika anda berjalan sepanjang lengkung dari titik pertama ke titik kedua.

Setiap titik pada elips boleh dihuraikan dengan satu sudut θ, yang dipanggil sudut parametrik:

Di sini a ialah paksi semi-major dan b ialah paksi semi-minor. Apabila θ berjalan dari 0 hingga 2π radian, titik (x, y) menjejaki seluruh elips tepat sekali, bermula di (a, 0) dan kembali ke situ. Arka dari θ₁ hingga θ₂ ialah bahagian jejakan itu antara kedua-dua sudut.

Arka elips berbeza daripada arka bulatan dalam satu hal penting. Pada bulatan, setiap titik berada pada jarak r yang sama dari pusat, jadi panjang arka hanyalah L = rθ. Pada elips, jarak dari pusat berubah apabila anda bergerak mengelilingi lengkung, jadi kelajuan jejakan lengkung itu turut berubah. Panjang arka oleh itu bergantung pada bentuk elips, bukan hanya pada sudut yang disapu, dan ia mesti dicari melalui pengamiran dan bukan melalui satu pendaraban.

Itulah sebabnya panjang arka elips ialah pengiraan sebenar dan bukan sekadar carian. Kalkulator pada halaman ini melaksanakan pengamiran itu secara berangka, dengan ketepatan tinggi, untuk sebarang elips dan sebarang pasangan sudut.

Panjang arka elips antara sudut parametrik θ₁ dan θ₂ diberikan oleh kamiran tentu:

Setiap simbol dalam formula mempunyai makna yang tepat:

Pengamiran √(a² sin²θ + b² cos²θ) ialah kelajuan titik (a cos θ, b sin θ) bergerak apabila θ bertambah. Ia paling kecil, bersamaan dengan b, pada θ = 0°, di mana lengkung melintasi paksi major, dan paling besar, bersamaan dengan a, pada θ = 90°, di mana lengkung melintasi paksi minor. Mengamirkan kelajuan itu merentas selang sudut menjumlahkan semua segmen kecil menjadi jumlah panjang arka.

Apabila a = b, elips itu ialah bulatan berjejari r = a, pengamiran menjadi pemalar r, dan formula runtuh kepada L = rθ yang biasa, dengan θ dalam radian. Kes khas itu ialah semakan yang berguna: mana-mana kalkulator elips mesti menghasilkan semula hasil bulatan apabila kedua-dua paksi adalah sama.

Mengira panjang arka elips dengan tangan mengikut lapan langkah. Contoh kerja di bawah menggunakan a = 5, b = 3, dari 0° hingga 90°, iaitu suku elips.

1. Kenal pasti paksi semi-major. a = 5 unit.
2. Kenal pasti paksi semi-minor. b = 3 unit.
3. Tentukan sudut mula. θ₁ = 0°.
4. Tentukan sudut tamat. θ₂ = 90°.
5. Tukar darjah kepada radian apabila perlu. 0° = 0 radian dan 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 radian.
6. Gunakan kamiran panjang arka elips. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. Nilai kamiran secara berangka. Pengamiran tiada antiterbitan asas, jadi gunakan kaedah berangka seperti petua Simpson adaptif, yang menghaluskan selangnya sehingga jawapannya stabil.
8. Tafsir jawapan akhir. L ≈ 6.3817497158 unit. Kalkulator pada halaman ini mengembalikan nilai yang sama.

Untuk melihat mengapa pengamiran berangka diperlukan, lihat pengamiran pada tiga sudut:

Satu langkah Simpson merentas seluruh suku memberikan (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169, yang hampir tetapi tidak tepat. Petua Simpson adaptif terus membahagikan selang dan menilai semula sehingga ralat jatuh di bawah toleransinya, menumpu kepada 6.3817497158. Pengajarannya praktikal: anggaran berangka kasar adalah mudah, tetapi jawapan yang boleh dipercayai memerlukan kaedah yang menyemak ketepatannya sendiri, dan itulah yang dilakukan oleh kalkulator.

Paksi major ialah garis lurus terpanjang melalui pusat elips, berjalan dari satu sisi sempadan ke sisi yang lain. Paksi minor ialah garis terpendek sedemikian, berserenjang dengan paksi major. Paksi semi-major a ialah separuh paksi major: jarak dari pusat ke sempadan sepanjang arah yang panjang. Paksi semi-minor b ialah separuh paksi minor: jarak dari pusat ke sempadan sepanjang arah yang pendek.

Mengelirukan paksi penuh dengan paksi semi ialah kesilapan input yang paling biasa. Jika lukisan memberikan lebar penuh elips sebagai 10, paksi semi-major ialah a = 5, bukan 10. Memasukkan 10 sebagai a akan menghuraikan elips dua kali lebih besar, dan setiap panjang yang dikembalikan kalkulator akan berganda. Kalkulator menawarkan mod paksi penuh untuk situasi ini: masukkan panjang penuh, dan ia akan membahagikannya kepada dua sebelum mengira.

Kedua-dua paksi juga mengawal bentuk. Apabila a dan b hampir sama, elips hampir menjadi bulatan. Apabila b jauh lebih kecil daripada a, elips itu panjang dan rata, seperti trek larian dilihat dari sisi. Nisbah b/a kadangkala dipanggil nisbah aspek; kesipian e = √(1 − (b/a)²) mengukur idea yang sama, dengan e = 0 untuk bulatan dan e hampir 1 untuk elips yang sangat rata. Untuk a = 5 dan b = 3, e = √(1 − 9/25) = 0.8.

Perimeter lengkap ialah panjang seluruh lengkung tertutup, manakala panjang arka separa ialah panjang satu bahagiannya. Perimeter ialah kes khas formula arka dengan θ₁ = 0° dan θ₂ = 360°:

Faktor 4 muncul kerana keempat-empat sukuan elips ialah imej cermin antara satu sama lain. Untuk a = 5 dan b = 3, perimeter ialah P ≈ 25.5269988634 unit. Jadual di bawah membandingkan bahagian piawai elips itu.

Suku elips ialah tepat satu perempat perimeter, dan separuh elips tepat separuh, kerana sukuan-sukuan itu ialah imej cermin. Tetapi simetri itu hanya berlaku untuk arka yang bermula dan berakhir pada paksi. Sapuan 90° yang sewenang-wenangnya bukan satu perempat perimeter: pada elips yang lebih besar dengan a = 10 dan b = 6, arka dari 30° hingga 120° berukuran 14.4818404027 unit, tepat dua kali ganda nilai bagi elips dengan a = 5 dan b = 3, dan contoh kerja kemudian dalam panduan ini menunjukkan bahawa sapuan 90° ini merupakan 28.3657% daripada perimeter elips yang lebih besar itu. Jangan sekali-kali menganggap sapuan 90° bersamaan dengan P/4 melainkan ia berjalan dari satu paksi ke paksi seterusnya.

Kalkulator melaporkan kedua-dua nombor untuk setiap pengiraan: panjang arka yang anda minta, dan perimeter lengkap yang dimilikinya, bersama-sama dengan arka pelengkap (bahagian elips yang selebihnya) dan peratusan perimeter yang diliputi arka anda.

Panjang arka elips tiada formula tepat yang dibina daripada fungsi biasa. Kamiran ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ ialah kamiran eliptik tak lengkap jenis kedua, ditulis E(φ, k), di mana φ ialah sudut dan k = √(1 − (b/a)²) ialah kesipian. Arka dari θ₁ hingga θ₂ ialah a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)). Untuk a = 5 dan b = 3, k = 0.8, dan suku elips ialah 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158.

Kamiran eliptik difahami dengan baik, tetapi ia bukan asas: tiada gabungan polinomial, punca, eksponen, dan fungsi trigonometri menilainya dalam bentuk tertutup. Itulah sebabnya setiap pengiraan elips praktikal menggunakan pengamiran berangka. Petua Simpson adaptif, yang digunakan kalkulator ini, ialah pilihan yang baik kerana ia menghaluskan selang di mana pengamiran berubah paling cepat dan berhenti apabila hasilnya stabil dalam toleransinya.

Untuk perimeter lengkap sahaja, terdapat juga penghampiran terkenal oleh Srinivasa Ramanujan:

Untuk a = 5 dan b = 3, h = 0.0625, dan formula Ramanujan memberikan P ≈ 25.5269988628, yang bersetuju dengan perimeter berangka tepat 25.5269988634 hingga sembilan tempat perpuluhan. Ia sangat tepat untuk elips yang tidak terlalu rata. Tetapi ia ialah penghampiran untuk seluruh perimeter sahaja: ia tidak boleh dipotong untuk memberikan arka separa, jadi jangan sekali-kali menggunakannya sebagai pengganti kamiran arka. Kalkulator menunjukkan nilai Ramanujan dalam langkah-langkahnya semata-mata sebagai perbandingan pendidikan di samping hasil berangka.

Gunakan pengamiran berangka apabila jawapannya penting, dan gunakan Ramanujan hanya sebagai semakan kewarasan pantas pada perimeter penuh. Jika kedua-duanya tidak bersetuju melebihi beberapa tempat perpuluhan, percayai pengamiran berangka dan semak input.

Formula bulatan L = rθ berfungsi kerana setiap titik pada bulatan berada pada jarak r yang sama dari pusat, jadi kelajuan sepanjang lengkung adalah malar. Pada elips kelajuan berubah-ubah: untuk a = 5 dan b = 3 ia berjulat dari 3 di hujung paksi major hingga 5 di hujung paksi minor. Satu jejari tidak dapat menangkap perubahan itu, jadi formula bulatan memberikan jawapan yang salah untuk sebarang elips yang bukan bulatan.

Bandingkan arka 90° pada tiga bentuk dengan saiz nominal yang sama:

Menggunakan r = 5 dalam formula bulatan melebihkan anggaran arka suku elips kira-kira 23% apabila b = 3, dan kira-kira 11% apabila b = 4. Ralat mengecil apabila elips menghampiri bulatan dan membesar apabila ia merata, tepat seperti yang dijangkakan: formula bulatan ialah had formula elips apabila b menghampiri a, bukan pengganti umumnya.

Kalkulator tidak sekali-kali menggunakan formula bulatan untuk elips. Ia mengamir pengamiran elips yang tepat, dan hanya apabila a = b pengamiran itu berkurang kepada L = rθ, yang turut disahkan kalkulator secara dalaman sebagai semakan ketekalan.

Dua titik pada elips membahagikan lengkung kepada dua arka: satu mengikut lawan arah jam dan satu lagi mengikut arah jam. Ia bukan imej cermin, kerana elips bukan bulatan, jadi kedua-dua arka mempunyai panjang yang berbeza. Yang lebih pendek ialah laluan terpendek sepanjang lengkung antara titik-titik itu; yang lebih panjang ialah bahagian elips yang selebihnya.

Ambil a = 5, b = 3, dengan titik hujung pada 0° dan 120°:

Kedua-dua panjang itu dijumlahkan menjadi perimeter penuh, 25.5269988634, sebagaimana mestinya, kerana bersama-sama ia meliputi seluruh elips. Arka terpendek ialah 8.9253958986 dan yang terpanjang ialah 16.6016029648. Perhatikan bahawa pembahagian sudut ialah 120° berbanding 240°, nisbah satu kepada dua, manakala pembahagian panjang kira-kira 35% berbanding 65%: panjang tidak mengikut sudut, kerana lengkung bergerak lebih laju berhampiran paksi minor berbanding berhampiran paksi major.

Itulah sebabnya kalkulator mengukur kedua-dua laluan melalui pengamiran sebenar dan bukan dengan membandingkan sudut. Membandingkan perbezaan sudut akan memberikan pemenang yang salah apabila elips jauh daripada bulatan. Pilih Arka fizikal terpendek apabila anda memerlukan laluan yang lebih pendek, contohnya laluan kabel terpendek antara dua titik pada rangka elips, dan Arka fizikal terpanjang apabila anda memerlukan bahagian lengkung yang selebihnya.

Sudut parametrik pada elips membalut: 360° ialah titik yang sama dengan 0°, dan 370° ialah titik yang sama dengan 10°. Kalkulator mengendalikan balutan itu untuk anda, tetapi ia membantu untuk mengetahui peraturan yang diikutinya.

Lawan arah jam bermaksud sudut bertambah dari θ₁ hingga θ₂, membalut melepasi 360° apabila perlu. Arka dari 350° hingga 10° lawan arah jam bergerak 20° melalui 0°, bukan 340° ke belakang. Untuk a = 5 dan b = 3 arka itu berukuran 1.0565175692 unit, sama seperti arka dari −10° hingga 10°.

Mengikut arah jam bermaksud sudut berkurang dari θ₁ hingga θ₂. Arka dari 10° hingga 350° mengikut arah jam ialah arka 20° yang sama melalui 0°, manakala pasangan yang sama lawan arah jam akan bergerak 340° melalui jalan yang panjang.

Sudut yang sama memberikan arka sifar panjang. Jika θ₁ dan θ₂ adalah sama, titik mula dan titik tamat bertepatan dan tiada arka antara keduanya. Untuk elips lengkap, masukkan 0° hingga 360° sebaliknya: itu ialah satu pusingan penuh, dan kalkulator mengembalikan seluruh perimeter.

Sudut negatif dibenarkan dan bermaksud titik yang sama dengan setara positifnya: −30° ialah titik yang sama dengan 330°. Kalkulator menormalkan setiap sudut ke dalam julat 0° hingga 360° sebelum mengamirkan, jadi −30° hingga 30° dan 330° hingga 30° memberikan jawapan yang sama.

Radian mengikut peraturan yang sama dengan 2π menggantikan 360°. Tukar togol DEG dan RAD sebelum menaip nilai radian, kerana 1.57 radian dan 1.57 darjah menghuraikan arka yang sangat berbeza.

Beberapa selang sudut muncul begitu kerap sehingga ia layak mendapat nama sendiri. Jadual di bawah menyenaraikannya untuk elips a = 5, b = 3 dan untuk bulatan berjejari 5, semuanya disahkan oleh kalkulator.

Bulatan (a = b). Elips menjadi bulatan, pengamiran menjadi pemalar jejari, dan L = rθ dengan θ dalam radian. Suku bulatan berjejari 5 ialah 5 × π/2 = 7.853981634, dan lilitan penuh ialah 2πr = 31.4159265359.

Elips yang sangat memanjang. Apabila b jauh lebih kecil daripada a, elips hampir menjadi segmen garis rata yang dijejak keluar dan balik. Perimeter menghampiri 4a, dan arka suku menghampiri a. Untuk a = 10 dan b = 1, arka suku ialah 10.1599354503, hanya sedikit lebih daripada a sendiri.

Elips yang sangat rata. Idea yang sama terpakai ke arah yang bertentangan: arka tertumpu berhampiran hujung paksi major, di mana lengkung membelok dengan tajam, dan pengamiran berangka mesti menghaluskan selangnya di situ. Petua Simpson adaptif mengendalikannya secara automatik.

Lalui contoh lengkap dengan a = 10, b = 6, dari θ₁ = 30° hingga θ₂ = 120°. Ini ialah sapuan 90° yang tidak bermula pada paksi, jadi ia menguji setiap bahagian kaedah.

1. Tukar sudut. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 radian. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 radian.
2. Tulis kamiran. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. Sampel pengamiran. Pada 30° ia ialah √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509. Pada titik tengah 75° ia ialah ≈ 9.7832925399. Pada 120° ia ialah √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899.
4. Anggar secara kasar. Nilai titik tengah didarab lebar selang, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, ialah anggaran kasar. Ia terlebih anggar kerana pengamiran bukan pemalar.
5. Kamirkan dengan tepat. Petua Simpson adaptif menghaluskan selang sehingga jawapannya stabil, memberikan L ≈ 14.4818404027 unit.
6. Semak titik hujung. Titik mula ialah (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3). Titik tamat ialah (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152). Kalkulator menunjukkan kedua-dua titik dengan setiap hasil.
7. Bandingkan dengan perimeter. Perimeter penuh ialah P ≈ 51.0539977268, jadi arka ini ialah 28.3657% daripada elips, walaupun ia menyapu 90°. Penghampiran Ramanujan memberikan 51.0539977256, bersetuju hingga sembilan tempat perpuluhan.

Pengajaran utama terdapat pada langkah 7: sapuan 90° bukan satu perempat perimeter melainkan ia berjalan dari satu paksi ke paksi seterusnya. Di sini 90° sudut yang sama hanya meliputi 28.3657% daripada lengkung, kerana sapuan itu melintasi paksi minor, di mana lengkung bergerak paling laju, dan terlepas regangan perlahan berhampiran paksi major.

Panjang arka elips bukan hanya latihan bilik darjah. Ia muncul di mana-mana bentuk elips perlu diukur, dipotong, atau dibina.

Kejuruteraan mekanikal. Gear elips, sesondol, dan pautan semuanya bergerak sepanjang laluan elips. Mengetahui panjang arka antara dua sudut sesondol memberitahu jurutera sejauh mana pengikut bergerak, yang menetapkan pemasaan mekanisme.

Seni bina. Gerbang elips, kubah, dan halaman memerlukan ukuran perimeter tepat dan arka separa sebelum batu atau keluli dipesan. Gerbang yang hanya merentangi sebahagian elips memerlukan panjang arka bahagian itu, bukan seluruh perimeter.

Pembuatan dan pemesinan CNC. Mesin CNC yang memotong poket elips atau bebibir elips mengikut lengkung dalam langkah kecil. Jumlah panjang laluan alat datang daripada kamiran arka, dan ia menentukan masa pemesinan dan haus alat.

Trek dan struktur elips. Trek larian, velodrom, dan paip elips diukur dalam panjang arka. Siku paip yang membengkok melalui sebahagian elips memerlukan panjang arka bengkokan untuk memotong bahan mengikut saiz.

CAD dan lukisan teknikal. Elips ialah entiti asas dalam perisian CAD, dan panjang arkanya dimasukkan ke dalam pendimensian, pengiraan luas, dan panjang senarai bahan untuk kemasan dan tepi.

Fizik dan pendidikan geometri. Orbit planet ialah elips, dan jarak yang dilalui planet sepanjang orbitnya antara dua sudut ialah panjang arka elips. Kamiran yang sama muncul dalam optik, di mana cermin elips memfokuskan cahaya, dan dalam kajian kamiran eliptik itu sendiri.

Kebanyakan ralat dalam panjang arka elips berpunca daripada menganggap elips seperti bulatan atau daripada mencampurkan input. Perhatikan tujuh perkara ini.

1. Menggunakan formula bulatan untuk elips. L = rθ hanya berfungsi apabila a = b. Untuk a = 5 dan b = 3 ia melebihkan anggaran arka suku kira-kira 23%.
2. Mengelirukan paksi penuh dengan paksi semi. Jika lebar penuh ialah 10, maka a = 5. Memasukkan 10 sebagai a menggandakan setiap panjang yang dikembalikan kalkulator. Gunakan mod paksi penuh jika anda mengukur panjang penuh.
3. Lupa menukar darjah kepada radian. Formula menggunakan radian. Sudut 90 yang dimasukkan sebagai radian ialah lebih daripada empat belas pusingan penuh, bukan suku pusingan. Semak togol DEG dan RAD sebelum menaip.
4. Menggunakan konvensyen sudut yang salah. Sudut di sini ialah sudut parametrik yang diukur dari pusat, x = a cos θ, y = b sin θ. Ia bukan sudut kutub titik itu, yang berbeza kecuali pada paksi.
5. Mengabaikan laluan mengikut arah jam lawan lawan arah jam. Dua titik mentakrifkan dua arka, dan ia tidak sama pada elips. Pilih arah yang sebenarnya anda maksudkan, atau gunakan pilihan terpendek dan terpanjang untuk melihat kedua-duanya.
6. Menganggap suku elips sentiasa satu perempat perimeter. Itu hanya berlaku untuk arka yang berjalan dari satu paksi ke paksi seterusnya. Sapuan 90° dari 30° hingga 120° ialah 28.3657% daripada perimeternya, bukan 25%.
7. Menganggap penghampiran Ramanujan sebagai formula arka separa yang tepat. Formula Ramanujan menghampirkan seluruh perimeter. Ia tidak menyatakan apa-apa tentang arka separa, dan ia tidak boleh diskalakan mengikut pecahan sudut untuk menganggarkan satu arka.

Gunakan jadual ini sebagai semakan pantas untuk pengiraan anda sendiri. Semua nilai dihasilkan oleh kalkulator pada halaman ini.

Baris terakhir menunjukkan cara elips yang sangat rata berkelakuan: dengan a = 10 dan b = 1, arka suku hanya sedikit lebih panjang daripada a sendiri, dan perimeter hanya sedikit lebih daripada 4a = 40. Apabila b mengecil menghampiri sifar, elips runtuh ke arah segmen garis yang dijejak keluar dan balik, dan perimeternya menghampiri 4a.

Simpan formula ini bersama-sama untuk rujukan pantas. Ia merangkumi setiap pengiraan pada halaman ini.

Sudut dalam formula ini adalah dalam radian. Untuk menukar, darabkan darjah dengan π/180. Baris Ramanujan ialah penghampiran untuk seluruh perimeter sahaja, manakala baris kamiran adalah tepat dan dinilai secara berangka oleh kalkulator.