Calculadora de comprimento de arco de elipse

A Calculadora de Comprimento de Arco de Elipse mede o comprimento de um arco em uma elipse a partir de seus dois semieixos e de dois ângulos. A página abre com o painel Comprimento de Arco de Elipse ativo, mostrando a fórmula L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ. Siga estes passos para obter uma resposta correta em menos de um minuto.

1. Escolha como os eixos são inseridos. Use os comprimentos dos semieixos (a, b) por padrão. Se você mediu os eixos completos, mude para os comprimentos dos eixos completos e a calculadora divide cada valor pela metade para você.
2. Insira o semieixo maior (a). Este é o maior raio da elipse, medido do centro até o ponto mais distante na borda.
3. Insira o semieixo menor (b). Este é o menor raio, medido do centro até o ponto mais próximo na borda. Ele não pode ser maior que a.
4. Insira o ângulo inicial (θ₁) e o ângulo final (θ₂). Use o seletor DEG e RAD na parte superior do painel para combinar com os seus números. Graus é o padrão.
5. Escolha a direção do arco. Sentido anti-horário segue os ângulos para cima, de θ₁ até θ₂. Sentido horário vai pelo outro caminho. Mais curto e mais longo comparam os dois caminhos físicos e informam o mais curto ou o mais longo.
6. Escolha uma unidade e uma precisão. A unidade rotula a resposta; a precisão define quantas casas decimais o resultado mostra.
7. Clique em Calcule agora. A calculadora avalia a integral do comprimento de arco numericamente e mostra o resultado, o perímetro completo, o arco complementar, a porcentagem do perímetro e as coordenadas dos dois extremos.
8. Copie ou redefina. Use Copiar resultado para colocar a resposta na área de transferência, ou Redefinir para limpar o painel. O link Trocar ângulos inicial e final troca θ₁ e θ₂ com um clique.

Experimente um exemplo. Os botões Quarto de Elipse, Metade da Elipse, Quarto de Círculo e Elipse Completa carregam valores verificados instantaneamente: a = 5, b = 3, de 0° a 90° dá 6.3817497158 unidades, e a mesma elipse de 0° a 360° dá o perímetro completo, 25.5269988634 unidades.

Dicas importantes. Mantenha a e b na mesma unidade. Insira b no máximo igual a a. Lembre-se de que os ângulos são ângulos paramétricos, medidos a partir do centro, e não ângulos medidos ao longo da borda. Se os ângulos inicial e final forem iguais, o comprimento do arco é zero; use 0° a 360° para uma elipse completa.

Uma elipse é uma curva fechada formada por todos os pontos cujas distâncias a dois pontos fixos, os focos, somam sempre a mesma constante. Ela parece um círculo esticado: tem uma direção longa e uma direção curta, mas é perfeitamente suave, sem cantos. Um arco é uma parte dessa curva entre dois pontos sobre ela. O comprimento de arco é a distância que você percorreria se caminhasse ao longo da curva do primeiro ponto até o segundo.

Cada ponto de uma elipse pode ser descrito com um único ângulo θ, chamado de ângulo paramétrico:

Aqui a é o semieixo maior e b é o semieixo menor. Quando θ vai de 0 a 2π radianos, o ponto (x, y) percorre toda a elipse exatamente uma vez, começando em (a, 0) e voltando para lá. Um arco de θ₁ a θ₂ é a parte desse percurso entre os dois ângulos.

Um arco elíptico difere de um arco circular em um ponto importante. Em um círculo, cada ponto está à mesma distância r do centro, então o comprimento do arco é simplesmente L = rθ. Em uma elipse, a distância ao centro muda conforme você se move ao longo da curva, então a velocidade com que a curva é percorrida também muda. O comprimento do arco, portanto, depende da forma da elipse, e não apenas do ângulo varrido, e precisa ser encontrado por integração, e não por uma única multiplicação.

É por isso que o comprimento de arco de elipse é um cálculo de verdade, e não uma consulta. A calculadora desta página realiza essa integração numericamente, com alta precisão, para qualquer elipse e qualquer par de ângulos.

O comprimento de arco de uma elipse entre os ângulos paramétricos θ₁ e θ₂ é dado por uma integral definida:

Cada símbolo da fórmula tem um significado preciso:

O integrando √(a² sin²θ + b² cos²θ) é a velocidade com que o ponto (a cos θ, b sin θ) se move conforme θ aumenta. Ele é menor, igual a b, em θ = 0°, onde a curva cruza o eixo maior, e maior, igual a a, em θ = 90°, onde a curva cruza o eixo menor. Integrar essa velocidade ao longo do intervalo de ângulos soma todos os pequenos segmentos no comprimento total do arco.

Quando a = b, a elipse é um círculo de raio r = a, o integrando se torna a constante r, e a fórmula se reduz à conhecida L = rθ, com θ em radianos. Esse caso especial é uma verificação útil: qualquer calculadora de elipse deve reproduzir o resultado do círculo quando os dois eixos são iguais.

Calcular o comprimento de arco de uma elipse à mão segue oito passos. O exemplo resolvido abaixo usa a = 5, b = 3, de 0° a 90°, um quarto de elipse.

1. Identifique o semieixo maior. a = 5 unidades.
2. Identifique o semieixo menor. b = 3 unidades.
3. Determine o ângulo inicial. θ₁ = 0°.
4. Determine o ângulo final. θ₂ = 90°.
5. Converta graus para radianos quando necessário. 0° = 0 radianos e 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 radianos.
6. Aplique a integral do comprimento de arco de elipse. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. Avalie a integral numericamente. O integrando não tem primitiva elementar, então use um método numérico como a regra de Simpson adaptativa, que refina seus intervalos até a resposta ficar estável.
8. Interprete a resposta final. L ≈ 6.3817497158 unidades. A calculadora desta página retorna o mesmo valor.

Para ver por que a integração numérica é necessária, observe o integrando em três ângulos:

Um único passo de Simpson em todo o quarto dá (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169, que é próximo, mas não exato. A regra de Simpson adaptativa continua dividindo o intervalo e reavaliando até o erro ficar abaixo de sua tolerância, convergindo para 6.3817497158. A lição é prática: uma estimativa numérica aproximada é fácil, mas uma resposta confiável precisa de um método que verifique sua própria precisão, que é o que a calculadora faz.

O eixo maior é a linha reta mais longa que passa pelo centro da elipse, indo de um lado da borda ao outro. O eixo menor é a linha mais curta desse tipo, perpendicular ao eixo maior. O semieixo maior a é metade do eixo maior: a distância do centro até a borda ao longo da direção longa. O semieixo menor b é metade do eixo menor: a distância do centro até a borda ao longo da direção curta.

Confundir eixos completos com semieixos é o erro de entrada mais comum. Se um desenho dá a largura completa de uma elipse como 10, o semieixo maior é a = 5, e não 10. Inserir 10 como a descreveria uma elipse duas vezes maior, e cada comprimento retornado pela calculadora seria dobrado. A calculadora oferece um modo de eixo completo exatamente para essa situação: insira os comprimentos completos e ela os divide pela metade antes de calcular.

Os dois eixos também controlam a forma. Quando a e b são quase iguais, a elipse é quase um círculo. Quando b é muito menor que a, a elipse é longa e achatada, como uma pista de corrida vista de lado. A razão b/a às vezes é chamada de proporção; a excentricidade e = √(1 − (b/a)²) mede a mesma ideia, com e = 0 para um círculo e e próximo de 1 para uma elipse muito achatada. Para a = 5 e b = 3, e = √(1 − 9/25) = 0.8.

O perímetro completo é o comprimento de toda a curva fechada, enquanto o comprimento de arco parcial é o comprimento de um pedaço dela. O perímetro é o caso especial da fórmula de arco com θ₁ = 0° e θ₂ = 360°:

O fator 4 aparece porque os quatro quadrantes de uma elipse são imagens espelhadas uns dos outros. Para a = 5 e b = 3, o perímetro é P ≈ 25.5269988634 unidades. A tabela abaixo compara os pedaços padrão dessa elipse.

Um quarto de elipse é exatamente um quarto do perímetro, e metade da elipse é exatamente metade, porque os quadrantes são imagens espelhadas. Mas essa simetria só vale para arcos que começam e terminam nos eixos. Uma varredura arbitrária de 90° não é um quarto do perímetro: em uma elipse maior com a = 10 e b = 6, o arco de 30° a 120° mede 14.4818404027 unidades, exatamente o dobro do valor para a elipse com a = 5 e b = 3, e o exemplo resolvido mais adiante neste guia mostra que essa varredura de 90° é 28.3657% do perímetro da elipse maior. Nunca suponha que uma varredura de 90° equivale a P/4, a menos que ela vá de um eixo ao próximo.

A calculadora informa os dois números em cada cálculo: o comprimento de arco que você pediu e o perímetro completo ao qual ele pertence, junto com o arco complementar (o restante da elipse) e a porcentagem do perímetro que seu arco cobre.

O comprimento de arco de elipse não tem uma fórmula exata construída a partir de funções comuns. A integral ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ é uma integral elíptica incompleta de segundo tipo, escrita E(φ, k), onde φ é o ângulo e k = √(1 − (b/a)²) é a excentricidade. O arco de θ₁ a θ₂ é a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)). Para a = 5 e b = 3, k = 0.8, e o quarto de elipse é 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158.

As integrais elípticas são bem compreendidas, mas não são elementares: nenhuma combinação de polinômios, raízes, exponenciais e funções trigonométricas as avalia em forma fechada. É por isso que todo cálculo prático de elipse usa integração numérica. A regra de Simpson adaptativa, que esta calculadora usa, é uma boa escolha porque refina os intervalos onde o integrando muda mais rápido e para quando o resultado fica estável dentro de sua tolerância.

Apenas para o perímetro completo, há também uma famosa aproximação de Srinivasa Ramanujan:

Para a = 5 e b = 3, h = 0.0625, e a fórmula de Ramanujan dá P ≈ 25.5269988628, que concorda com o perímetro numérico exato 25.5269988634 até a nona casa decimal. Ela é notavelmente precisa para elipses que não são extremamente achatadas. Mas é uma aproximação apenas para o perímetro inteiro: ela não pode ser reduzida para dar um arco parcial, então nunca a use como substituto da integral de arco. A calculadora mostra o valor de Ramanujan em seus passos apenas como uma comparação educativa ao lado do resultado numérico.

Use a integração numérica sempre que a resposta importar, e use Ramanujan apenas como uma verificação rápida de sanidade em um perímetro completo. Se os dois discordarem além de algumas casas decimais, confie na integração numérica e verifique as entradas.

A fórmula do círculo L = rθ funciona porque cada ponto de um círculo está à mesma distância r do centro, então a velocidade ao longo da curva é constante. Em uma elipse, a velocidade varia: para a = 5 e b = 3, ela vai de 3 nas extremidades do eixo maior a 5 nas extremidades do eixo menor. Um único raio não consegue captar essa variação, então a fórmula do círculo dá a resposta errada para qualquer elipse que não seja um círculo.

Compare um arco de 90° em três formas com o mesmo tamanho nominal:

Usar r = 5 na fórmula do círculo superestima o arco de quarto de elipse em cerca de 23% quando b = 3, e em cerca de 11% quando b = 4. O erro diminui conforme a elipse se aproxima de um círculo e cresce conforme ela se achata, que é exatamente o esperado: a fórmula do círculo é o limite da fórmula da elipse quando b se aproxima de a, e não um substituto geral para ela.

A calculadora nunca usa a fórmula do círculo para uma elipse. Ela integra o integrando exato da elipse, e somente quando a = b essa integração se reduz a L = rθ, o que a calculadora também verifica internamente como uma checagem de consistência.

Dois pontos em uma elipse dividem a curva em dois arcos: um no sentido anti-horário e outro no sentido horário. Eles não são imagens espelhadas, porque a elipse não é um círculo, então os dois arcos têm comprimentos diferentes. O mais curto é o caminho mais curto ao longo da curva entre os pontos; o mais longo é o restante da elipse.

Considere a = 5, b = 3, com extremos em 0° e 120°:

Os dois comprimentos somam o perímetro completo, 25.5269988634, como devem, já que juntos cobrem toda a elipse. O arco mais curto é 8.9253958986 e o mais longo é 16.6016029648. Observe que a divisão angular é 120° contra 240°, uma proporção de um para dois, enquanto a divisão de comprimentos é de aproximadamente 35% contra 65%: os comprimentos não seguem os ângulos, porque a curva se move mais rápido perto do eixo menor do que perto do eixo maior.

É por isso que a calculadora mede os dois caminhos por integração real, em vez de comparar ângulos. Comparar diferenças angulares daria o vencedor errado sempre que a elipse estivesse longe de ser circular. Escolha Arco físico mais curto quando precisar da rota mais curta, por exemplo a passagem de cabo mais curta entre dois pontos em uma estrutura elíptica, e Arco físico mais longo quando precisar do restante da curva.

Os ângulos paramétricos em uma elipse dão a volta: 360° é o mesmo ponto que 0°, e 370° é o mesmo ponto que 10°. A calculadora lida com essa volta para você, mas ajuda conhecer as regras que ela segue.

Sentido anti-horário significa que o ângulo aumenta de θ₁ a θ₂, passando por 360° quando necessário. Um arco de 350° a 10° no sentido anti-horário percorre 20° passando por 0°, e não 340° para trás. Para a = 5 e b = 3, esse arco mede 1.0565175692 unidades, o mesmo que o arco de −10° a 10°.

Sentido horário significa que o ângulo diminui de θ₁ a θ₂. Um arco de 10° a 350° no sentido horário é o mesmo arco de 20° passando por 0°, enquanto o mesmo par no sentido anti-horário percorreria 340° pelo caminho longo.

Ângulos iguais dão um arco de comprimento zero. Se θ₁ e θ₂ forem iguais, os pontos inicial e final coincidem e não há arco entre eles. Para uma elipse completa, insira 0° a 360°: isso é uma volta completa, e a calculadora retorna todo o perímetro.

Ângulos negativos são permitidos e significam os mesmos pontos que seus equivalentes positivos: −30° é o mesmo ponto que 330°. A calculadora normaliza cada ângulo para o intervalo de 0° a 360° antes de integrar, então −30° a 30° e 330° a 30° dão a mesma resposta.

Radianos seguem as mesmas regras, com 2π no lugar de 360°. Mude o seletor DEG e RAD antes de digitar valores em radianos, pois 1.57 radianos e 1.57 graus descrevem arcos muito diferentes.

Alguns intervalos de ângulos aparecem com tanta frequência que merecem seus próprios nomes. A tabela abaixo os lista para a elipse a = 5, b = 3 e para um círculo de raio 5, todos verificados pela calculadora.

Círculo (a = b). A elipse se torna um círculo, o integrando se torna o raio constante, e L = rθ, com θ em radianos. Um quarto de círculo de raio 5 é 5 × π/2 = 7.853981634, e a circunferência completa é 2πr = 31.4159265359.

Elipses muito alongadas. Quando b é muito menor que a, a elipse é quase um segmento de reta plano percorrido de ida e volta. O perímetro se aproxima de 4a, e o arco de quarto se aproxima de a. Para a = 10 e b = 1, o arco de quarto é 10.1599354503, apenas um pouco mais que o próprio a.

Elipses muito achatadas. A mesma ideia se aplica na outra direção: o arco se concentra perto das extremidades do eixo maior, onde a curva vira bruscamente, e a integração numérica precisa refinar seus intervalos ali. A regra de Simpson adaptativa lida com isso automaticamente.

Resolva um exemplo completo com a = 10, b = 6, de θ₁ = 30° a θ₂ = 120°. Esta é uma varredura de 90° que não começa em um eixo, então ela testa cada parte do método.

1. Converta os ângulos. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 radianos. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 radianos.
2. Escreva a integral. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. Calcule o integrando em alguns pontos. Em 30°, ele é √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509. No ponto médio, 75°, ele é ≈ 9.7832925399. Em 120°, ele é √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899.
4. Estime aproximadamente. O valor do ponto médio vezes a largura do intervalo, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, é uma estimativa aproximada. Ela superestima porque o integrando não é constante.
5. Integre com precisão. A regra de Simpson adaptativa refina o intervalo até a resposta ficar estável, dando L ≈ 14.4818404027 unidades.
6. Verifique os extremos. O ponto inicial é (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3). O ponto final é (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152). A calculadora mostra os dois pontos em cada resultado.
7. Compare com o perímetro. O perímetro completo é P ≈ 51.0539977268, então este arco é 28.3657% da elipse, embora varra 90°. A aproximação de Ramanujan dá 51.0539977256, concordando até a nona casa decimal.

A lição principal está no passo 7: uma varredura de 90° não é um quarto do perímetro, a menos que vá de um eixo ao próximo. Aqui, os mesmos 90° de ângulo cobrem apenas 28.3657% da curva, porque a varredura cruza o eixo menor, onde a curva se move mais rápido, e perde o trecho lento perto do eixo maior.

O comprimento de arco de elipse não é apenas um exercício de sala de aula. Ele aparece onde quer que uma forma elíptica precise ser medida, cortada ou construída.

Engenharia mecânica. Engrenagens elípticas, cames e articulações se movem ao longo de trajetórias elípticas. Conhecer o comprimento de arco entre dois ângulos de came diz a um engenheiro o quanto um seguidor se desloca, o que define o tempo do mecanismo.

Arquitetura. Arcos elípticos, cúpulas e pátios precisam de medidas exatas de perímetro e de arco parcial antes que a pedra ou o aço seja encomendado. Um arco que abrange apenas parte de uma elipse precisa do comprimento de arco dessa parte, e não do perímetro inteiro.

Manufatura e usinagem CNC. Uma fresadora CNC que corta um bolso elíptico ou um flange elíptico segue a curva em pequenos passos. O comprimento total do caminho da ferramenta vem da integral de arco, e ele determina o tempo de usinagem e o desgaste da ferramenta.

Pistas e estruturas elípticas. Pistas de corrida, velódromos e tubos elípticos são medidos em comprimentos de arco. Um cotovelo de tubo que dobra ao longo de parte de uma elipse precisa do comprimento de arco da dobra para cortar o material no tamanho certo.

CAD e desenho técnico. Elipses são entidades básicas em softwares de CAD, e seus comprimentos de arco entram no dimensionamento, nos cálculos de área e nos comprimentos de lista de materiais para acabamentos e bordas.

Educação em física e geometria. Órbitas planetárias são elipses, e a distância que um planeta percorre ao longo de sua órbita entre dois ângulos é um comprimento de arco de elipse. A mesma integral aparece em óptica, onde espelhos elípticos focalizam a luz, e no estudo das próprias integrais elípticas.

A maioria dos erros no comprimento de arco de elipse vem de tratar a elipse como um círculo ou de confundir as entradas. Fique atento a estes sete.

1. Usar a fórmula do círculo para uma elipse. L = rθ só funciona quando a = b. Para a = 5 e b = 3, ela superestima um arco de quarto em cerca de 23%.
2. Confundir eixos completos com semieixos. Se a largura completa é 10, então a = 5. Inserir 10 como a dobra cada comprimento retornado pela calculadora. Use o modo de eixo completo se você mediu os comprimentos completos.
3. Esquecer de converter graus em radianos. As fórmulas usam radianos. Um ângulo de 90 inserido como radianos é mais de quatorze voltas completas, e não um quarto de volta. Verifique o seletor DEG e RAD antes de digitar.
4. Usar a convenção de ângulo errada. Os ângulos aqui são ângulos paramétricos medidos a partir do centro, x = a cos θ, y = b sin θ. Eles não são o ângulo polar do ponto, que difere, exceto nos eixos.
5. Ignorar os caminhos horário e anti-horário. Dois pontos definem dois arcos, e eles não são iguais em uma elipse. Escolha a direção que você realmente quer, ou use as opções de mais curto e mais longo para ver os dois.
6. Supor que um quarto de elipse é sempre um quarto do perímetro. Isso só vale para arcos que vão de um eixo ao próximo. Uma varredura de 90° de 30° a 120° é 28.3657% de seu perímetro, e não 25%.
7. Tratar a aproximação de Ramanujan como uma fórmula exata de arco parcial. A fórmula de Ramanujan aproxima o perímetro inteiro. Ela não diz nada sobre um arco parcial e nunca deve ser reduzida por uma fração de ângulo para estimar um.

Use esta tabela como uma verificação rápida para seus próprios cálculos. Todos os valores foram produzidos pela calculadora desta página.

A última linha mostra como uma elipse muito achatada se comporta: com a = 10 e b = 1, o arco de quarto é apenas um pouco maior que o próprio a, e o perímetro é apenas um pouco maior que 4a = 40. Quando b diminui em direção a zero, a elipse se reduz a um segmento de reta percorrido de ida e volta, e seu perímetro se aproxima de 4a.

Mantenha estas fórmulas juntas para consulta rápida. Elas cobrem todos os cálculos desta página.

Os ângulos nestas fórmulas estão em radianos. Para converter, multiplique os graus por π/180. A linha de Ramanujan é uma aproximação apenas para o perímetro inteiro, enquanto as linhas de integral são exatas e são avaliadas numericamente pela calculadora.