दीर्घवृत्त चाप लंबाई कैलकुलेटर

दीर्घवृत्त चाप लंबाई कैलकुलेटर किसी दीर्घवृत्त पर चाप की लंबाई उसके दो अर्ध-अक्षों और दो कोणों से मापता है। पृष्ठ दीर्घवृत्त चाप लंबाई पैनल के सक्रिय होने के साथ खुलता है, जिसमें सूत्र L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ दिखता है। एक मिनट से भी कम में सही उत्तर पाने के लिए इन चरणों का पालन करें।

1. चुनें कि अक्ष कैसे दर्ज किए जाएँ। डिफ़ॉल्ट रूप से अर्ध-अक्ष लंबाइयाँ (a, b) उपयोग करें। यदि आपने इसके बजाय पूर्ण अक्ष मापे हैं, तो पूर्ण-अक्ष लंबाइयों पर जाएँ और कैलकुलेटर प्रत्येक मान को आपके लिए आधा कर देगा।
2. अर्ध-दीर्घ अक्ष (a) दर्ज करें। यह दीर्घवृत्त की सबसे लंबी त्रिज्या है, जो केंद्र से सीमा पर सबसे दूर के बिंदु तक मापी जाती है।
3. अर्ध-लघु अक्ष (b) दर्ज करें। यह सबसे छोटी त्रिज्या है, जो केंद्र से सीमा पर सबसे निकट के बिंदु तक मापी जाती है। यह a से बड़ी नहीं होनी चाहिए।
4. आरंभ कोण (θ₁) और अंत कोण (θ₂) दर्ज करें। अपने अंकों से मेल खाने के लिए पैनल के ऊपर DEG और RAD टॉगल का उपयोग करें। डिग्री डिफ़ॉल्ट हैं।
5. चाप की दिशा चुनें। वामावर्त दिशा में कोण θ₁ से θ₂ तक बढ़ते हुए चलते हैं। दक्षिणावर्त दिशा दूसरी ओर जाती है। सबसे छोटा और सबसे लंबा विकल्प दोनों भौतिक पथों की तुलना करते हैं और छोटे या बड़े पथ की जानकारी देते हैं।
6. इकाई और सटीकता चुनें। इकाई उत्तर पर लेबल लगाती है; सटीकता तय करती है कि परिणाम कितने दशमलव स्थानों तक दिखेगा।
7. अभी गणना करें पर क्लिक करें। कैलकुलेटर चाप-लंबाई समाकलन का संख्यात्मक मूल्यांकन करता है और परिणाम, पूर्ण परिमाप, पूरक चाप, परिमाप का प्रतिशत और दोनों समापन बिंदुओं के निर्देशांक दिखाता है।
8. कॉपी करें या रीसेट करें। उत्तर को क्लिपबोर्ड पर रखने के लिए परिणाम कॉपी करें का उपयोग करें, या पैनल साफ़ करने के लिए रीसेट करें का उपयोग करें। आरंभ और अंत कोण बदलें लिंक एक क्लिक में θ₁ और θ₂ की अदला-बदली कर देता है।

एक उदाहरण आज़माएँ। चतुर्थांश दीर्घवृत्त, अर्ध दीर्घवृत्त, चतुर्थांश वृत्त और पूर्ण दीर्घवृत्त बटन सत्यापित मान तुरंत लोड करते हैं: a = 5, b = 3, 0° से 90° तक 6.3817497158 इकाइयाँ मिलती हैं, और वही दीर्घवृत्त 0° से 360° तक पूर्ण परिमाप, 25.5269988634 इकाइयाँ देता है।

महत्वपूर्ण सुझाव। a और b को एक ही इकाई में रखें। b को a से बड़ा न दर्ज करें। याद रखें कि कोण प्राचलिक कोण हैं, जो केंद्र से मापे जाते हैं, न कि सीमा के साथ मापे गए कोण। यदि आरंभ और अंत कोण बराबर हैं, तो चाप की लंबाई शून्य होती है; पूर्ण दीर्घवृत्त के लिए 0° से 360° तक उपयोग करें।

दीर्घवृत्त एक बंद वक्र है जो उन सभी बिंदुओं से बनता है जिनकी दो स्थिर बिंदुओं, नाभियों, से दूरियों का योग समान अचर होता है। यह खिंचे हुए वृत्त जैसा दिखता है: इसकी एक लंबी दिशा और एक छोटी दिशा होती है, लेकिन यह पूरी तरह चिकना होता है, इसमें कोई कोना नहीं होता। चाप उस वक्र का एक भाग है जो उस पर स्थित दो बिंदुओं के बीच होता है। चाप की लंबाई वह दूरी है जो आप वक्र के साथ पहले बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलने पर तय करेंगे।

दीर्घवृत्त पर हर बिंदु को एक ही कोण θ से वर्णित किया जा सकता है, जिसे प्राचलिक कोण कहते हैं:

यहाँ a अर्ध-दीर्घ अक्ष है और b अर्ध-लघु अक्ष है। जैसे-जैसे θ 0 से 2π रेडियन तक चलता है, बिंदु (x, y) पूरे दीर्घवृत्त को ठीक एक बार अनुरेखित करता है, (a, 0) से शुरू होकर वहीं लौटता है। θ₁ से θ₂ तक का चाप उस अनुरेखण का दो कोणों के बीच का भाग है।

दीर्घवृत्तीय चाप वृत्तीय चाप से एक महत्वपूर्ण तरीके से भिन्न होता है। वृत्त पर हर बिंदु केंद्र से समान दूरी r पर होता है, इसलिए चाप की लंबाई केवल L = rθ होती है। दीर्घवृत्त पर केंद्र से दूरी वक्र के साथ चलते हुए बदलती है, इसलिए वक्र को अनुरेखित करने की गति भी बदलती है। इसलिए चाप की लंबाई केवल तय किए गए कोण पर नहीं, बल्कि दीर्घवृत्त के आकार पर निर्भर करती है, और इसे एक ही गुणन से नहीं, समाकलन से निकालना पड़ता है।

इसीलिए दीर्घवृत्त की चाप लंबाई एक वास्तविक गणना है, न कि कोई तालिका-खोज। इस पृष्ठ पर कैलकुलेटर वह समाकलन किसी भी दीर्घवृत्त और कोणों के किसी भी युग्म के लिए उच्च सटीकता से संख्यात्मक रूप से करता है।

θ₁ और θ₂ प्राचलिक कोणों के बीच दीर्घवृत्त की चाप लंबाई एक निश्चित समाकलन से दी जाती है:

सूत्र में हर प्रतीक का एक सटीक अर्थ है:

समाकल्य √(a² sin²θ + b² cos²θ) वह गति है जिससे बिंदु (a cos θ, b sin θ) θ के बढ़ने पर चलता है। यह सबसे छोटी, b के बराबर, θ = 0° पर होती है, जहाँ वक्र दीर्घ अक्ष को पार करता है, और सबसे बड़ी, a के बराबर, θ = 90° पर होती है, जहाँ वक्र लघु अक्ष को पार करता है। उस गति का कोण अंतराल पर समाकलन करने से सभी छोटे-छोटे खंड जुड़कर कुल चाप लंबाई बन जाते हैं।

जब a = b होता है, तो दीर्घवृत्त त्रिज्या r = a वाला वृत्त बन जाता है, समाकल्य अचर r बन जाता है, और सूत्र परिचित L = rθ में बदल जाता है, जिसमें θ रेडियन में होता है। यह विशेष स्थिति एक उपयोगी जाँच है: किसी भी दीर्घवृत्त कैलकुलेटर को दोनों अक्षों के बराबर होने पर वृत्त का परिणाम देना ही चाहिए।

हाथ से दीर्घवृत्त की चाप लंबाई निकालने में आठ चरण होते हैं। नीचे दिया गया हल किया गया उदाहरण a = 5, b = 3, 0° से 90° तक, एक चतुर्थांश दीर्घवृत्त का उपयोग करता है।

1. अर्ध-दीर्घ अक्ष पहचानें। a = 5 इकाइयाँ।
2. अर्ध-लघु अक्ष पहचानें। b = 3 इकाइयाँ।
3. आरंभ कोण निर्धारित करें। θ₁ = 0°।
4. अंत कोण निर्धारित करें। θ₂ = 90°।
5. आवश्यकता होने पर डिग्री को रेडियन में बदलें। 0° = 0 रेडियन और 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 रेडियन।
6. दीर्घवृत्त चाप लंबाई समाकलन लागू करें। L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ।
7. समाकलन का संख्यात्मक मूल्यांकन करें। समाकल्य का कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज नहीं होता, इसलिए अनुकूली सिम्पसन नियम जैसी संख्यात्मक विधि का उपयोग करें, जो उत्तर स्थिर होने तक अपने अंतरालों को परिष्कृत करती रहती है।
8. अंतिम उत्तर की व्याख्या करें। L ≈ 6.3817497158 इकाइयाँ। इस पृष्ठ पर कैलकुलेटर वही मान देता है।

संख्यात्मक समाकलन की आवश्यकता क्यों है, यह समझने के लिए तीन कोणों पर समाकल्य देखें:

पूरे चतुर्थांश पर एक ही सिम्पसन चरण (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169 देता है, जो करीब है लेकिन सटीक नहीं। अनुकूली सिम्पसन नियम अंतराल को बाँटता रहता है और तब तक पुनः मूल्यांकन करता है जब तक त्रुटि उसकी सहनशीलता से नीचे न आ जाए, और 6.3817497158 पर अभिसरित होता है। सबक व्यावहारिक है: मोटा संख्यात्मक अनुमान आसान है, लेकिन भरोसेमंद उत्तर के लिए ऐसी विधि चाहिए जो अपनी सटीकता स्वयं जाँचे, और कैलकुलेटर यही करता है।

दीर्घ अक्ष केंद्र से होकर जाने वाली सबसे लंबी सीधी रेखा है, जो सीमा के एक ओर से दूसरी ओर तक जाती है। लघु अक्ष सबसे छोटी ऐसी रेखा है, जो दीर्घ अक्ष के लंबवत होती है। अर्ध-दीर्घ अक्ष a दीर्घ अक्ष का आधा है: लंबी दिशा में केंद्र से सीमा तक की दूरी। अर्ध-लघु अक्ष b लघु अक्ष का आधा है: छोटी दिशा में केंद्र से सीमा तक की दूरी।

पूर्ण अक्षों को अर्ध-अक्षों से भ्रमित करना सबसे आम इनपुट त्रुटि है। यदि किसी आरेख में दीर्घवृत्त की पूर्ण चौड़ाई 10 दी गई है, तो अर्ध-दीर्घ अक्ष a = 5 है, न कि 10। 10 को a के रूप में दर्ज करने पर दोगुना बड़ा दीर्घवृत्त बनेगा, और कैलकुलेटर द्वारा दी गई हर लंबाई दोगुनी हो जाएगी। कैलकुलेटर ठीक इसी स्थिति के लिए पूर्ण-अक्ष मोड देता है: पूर्ण लंबाइयाँ दर्ज करें, और वह गणना से पहले उन्हें आधा कर देता है।

दोनों अक्ष आकार को भी नियंत्रित करते हैं। जब a और b लगभग बराबर होते हैं, तो दीर्घवृत्त लगभग वृत्त होता है। जब b, a से बहुत छोटा होता है, तो दीर्घवृत्त लंबा और चपटा होता है, जैसे किनारे से देखा गया दौड़ने का ट्रैक। अनुपात b/a को कभी-कभी आस्पेक्ट अनुपात कहा जाता है; उत्केंद्रता e = √(1 − (b/a)²) उसी विचार को मापती है, जिसमें वृत्त के लिए e = 0 और बहुत चपटे दीर्घवृत्त के लिए e, 1 के करीब होता है। a = 5 और b = 3 के लिए, e = √(1 − 9/25) = 0.8।

पूर्ण परिमाप पूरे बंद वक्र की लंबाई है, जबकि आंशिक चाप लंबाई उसके एक टुकड़े की लंबाई है। परिमाप चाप सूत्र की विशेष स्थिति है, जिसमें θ₁ = 0° और θ₂ = 360° होते हैं:

गुणक 4 इसलिए आता है क्योंकि दीर्घवृत्त के चारों चतुर्थांश एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होते हैं। a = 5 और b = 3 के लिए, परिमाप P ≈ 25.5269988634 इकाइयाँ है। नीचे दी गई तालिका उस दीर्घवृत्त के मानक टुकड़ों की तुलना करती है।

चतुर्थांश दीर्घवृत्त परिमाप का ठीक एक चौथाई है, और अर्ध दीर्घवृत्त ठीक आधा है, क्योंकि चतुर्थांश दर्पण प्रतिबिंब होते हैं। लेकिन यह सममिति केवल उन चापों पर लागू होती है जो अक्षों पर शुरू और समाप्त होते हैं। कोई मनमाना 90° विस्तार परिमाप का एक चौथाई नहीं होता: a = 10 और b = 6 वाले एक बड़े दीर्घवृत्त पर, 30° से 120° तक का चाप 14.4818404027 इकाइयाँ मापता है, जो a = 5 और b = 3 वाले दीर्घवृत्त के मान का ठीक दोगुना है, और इस मार्गदर्शिका में आगे दिया गया हल किया गया उदाहरण दिखाता है कि यह 90° विस्तार बड़े दीर्घवृत्त के परिमाप का 28.3657% है। कभी यह न मानें कि 90° का विस्तार P/4 के बराबर है, जब तक कि वह एक अक्ष से अगले अक्ष तक न जाता हो।

कैलकुलेटर हर गणना के लिए दोनों संख्याएँ बताता है: वह चाप लंबाई जो आपने माँगी, और वह पूर्ण परिमाप जिससे वह संबंधित है, साथ में पूरक चाप (दीर्घवृत्त का शेष भाग) और आपके चाप द्वारा कवर किया गया परिमाप का प्रतिशत।

दीर्घवृत्त की चाप लंबाई का कोई सटीक सूत्र साधारण फलनों से नहीं बनता। समाकलन ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ द्वितीय प्रकार का अपूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकलन है, जिसे E(φ, k) लिखा जाता है, जहाँ φ कोण है और k = √(1 − (b/a)²) उत्केंद्रता है। θ₁ से θ₂ तक का चाप a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)) होता है। a = 5 और b = 3 के लिए, k = 0.8 है, और चतुर्थांश दीर्घवृत्त 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158 है।

दीर्घवृत्तीय समाकलन अच्छी तरह समझे जाते हैं, लेकिन वे प्रारंभिक नहीं हैं: बहुपदों, मूलों, घातांकीय और त्रिकोणमितीय फलनों का कोई संयोजन उन्हें बंद रूप में नहीं निकालता। इसीलिए हर व्यावहारिक दीर्घवृत्त गणना में संख्यात्मक समाकलन का उपयोग होता है। अनुकूली सिम्पसन नियम, जिसका यह कैलकुलेटर उपयोग करता है, एक अच्छा विकल्प है क्योंकि यह उन अंतरालों को परिष्कृत करता है जहाँ समाकल्य सबसे तेज़ी से बदलता है, और तब रुकता है जब परिणाम उसकी सहनशीलता के भीतर स्थिर हो जाता है।

केवल पूर्ण परिमाप के लिए, श्रीनिवास रामानुजन का एक प्रसिद्ध सन्निकटन भी है:

a = 5 और b = 3 के लिए, h = 0.0625 है, और रामानुजन का सूत्र P ≈ 25.5269988628 देता है, जो सटीक संख्यात्मक परिमाप 25.5269988634 से नौ दशमलव स्थानों तक मेल खाता है। यह उन दीर्घवृत्तों के लिए उल्लेखनीय रूप से सटीक है जो अत्यधिक चपटे नहीं हैं। लेकिन यह केवल पूरे परिमाप के लिए एक सन्निकटन है: इसे काटकर आंशिक चाप नहीं निकाला जा सकता, इसलिए इसे चाप समाकलन के विकल्प के रूप में कभी उपयोग न करें। कैलकुलेटर रामानुजन मान को अपने चरणों में केवल संख्यात्मक परिणाम के बगल में एक शैक्षिक तुलना के रूप में दिखाता है।

जब भी उत्तर मायने रखता हो, संख्यात्मक समाकलन का उपयोग करें, और रामानुजन को केवल पूर्ण परिमाप की त्वरित जाँच के रूप में उपयोग करें। यदि दोनों कुछ दशमलव स्थानों से अधिक भिन्न हों, तो संख्यात्मक समाकलन पर भरोसा करें और इनपुट जाँचें।

वृत्त सूत्र L = rθ इसलिए काम करता है क्योंकि वृत्त पर हर बिंदु केंद्र से समान दूरी r पर होता है, इसलिए वक्र के साथ गति अचर रहती है। दीर्घवृत्त पर गति बदलती है: a = 5 और b = 3 के लिए यह दीर्घ अक्ष के सिरों पर 3 से लेकर लघु अक्ष के सिरों पर 5 तक होती है। एक ही त्रिज्या उस बदलाव को नहीं समेट सकती, इसलिए वृत्त सूत्र किसी भी ऐसे दीर्घवृत्त के लिए गलत उत्तर देता है जो वृत्त नहीं है।

समान नाममात्र आकार वाली तीन आकृतियों पर 90° के चाप की तुलना करें:

r = 5 को वृत्त सूत्र में उपयोग करने पर b = 3 होने पर दीर्घवृत्त के चतुर्थांश चाप का अनुमान लगभग 23% अधिक हो जाता है, और b = 4 होने पर लगभग 11% अधिक। त्रुटि घटती है जैसे-जैसे दीर्घवृत्त वृत्त के करीब आता है, और बढ़ती है जैसे-जैसे वह चपटा होता है, जो ठीक वैसा ही है जैसी अपेक्षा होगी: वृत्त सूत्र दीर्घवृत्त सूत्र की सीमा है जब b, a के करीब पहुँचता है, न कि उसका सामान्य विकल्प।

कैलकुलेटर दीर्घवृत्त के लिए कभी वृत्त सूत्र का उपयोग नहीं करता। यह सटीक दीर्घवृत्त समाकल्य का समाकलन करता है, और केवल जब a = b होता है, तब वह समाकलन L = rθ में बदल जाता है, जिसे कैलकुलेटर आंतरिक रूप से संगति जाँच के रूप में भी सत्यापित करता है।

दीर्घवृत्त पर दो बिंदु वक्र को दो चापों में बाँटते हैं: एक वामावर्त जाने वाला और एक दक्षिणावर्त जाने वाला। वे एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब नहीं होते, क्योंकि दीर्घवृत्त वृत्त नहीं है, इसलिए दोनों चापों की लंबाइयाँ भिन्न होती हैं। छोटा चाप बिंदुओं के बीच वक्र के साथ सबसे छोटा पथ है; लंबा चाप दीर्घवृत्त का शेष भाग है।

a = 5, b = 3 लें, जिनके समापन बिंदु 0° और 120° पर हैं:

दोनों लंबाइयाँ जुड़कर पूर्ण परिमाप, 25.5269988634 बनती हैं, जैसा कि होना ही चाहिए, क्योंकि मिलकर वे पूरे दीर्घवृत्त को कवर करती हैं। सबसे छोटा चाप 8.9253958986 है और सबसे लंबा 16.6016029648 है। ध्यान दें कि कोणीय विभाजन 120° बनाम 240°, एक-दो का अनुपात है, जबकि लंबाई का विभाजन लगभग 35% बनाम 65% है: लंबाइयाँ कोणों का अनुसरण नहीं करतीं, क्योंकि वक्र लघु अक्ष के पास दीर्घ अक्ष के पास की तुलना में तेज़ी से चलता है।

इसीलिए कैलकुलेटर दोनों पथों को कोणों की तुलना करके नहीं, वास्तविक समाकलन से मापता है। कोणीय अंतरों की तुलना करने पर गलत विजेता मिलेगा, जब भी दीर्घवृत्त वृत्त से बहुत दूर हो। जब आपको छोटा मार्ग चाहिए, जैसे दीर्घवृत्ताकार फ्रेम पर दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटी केबल, तो सबसे छोटा भौतिक चाप चुनें, और जब आपको वक्र का शेष भाग चाहिए, तो सबसे लंबा भौतिक चाप चुनें।

दीर्घवृत्त पर प्राचलिक कोण लपेटते हैं: 360° वही बिंदु है जो 0° है, और 370° वही बिंदु है जो 10° है। कैलकुलेटर वह लपेट आपके लिए संभालता है, लेकिन यह जानना मददगार है कि वह किन नियमों का पालन करता है।

वामावर्त का अर्थ है कि कोण θ₁ से θ₂ तक बढ़ता है, आवश्यकता होने पर 360° से आगे लपेटता हुआ। 350° से 10° तक वामावर्त चाप 0° से होकर 20° चलता है, न कि 340° पीछे। a = 5 और b = 3 के लिए वह चाप 1.0565175692 इकाइयाँ मापता है, जो −10° से 10° तक के चाप के समान है।

दक्षिणावर्त का अर्थ है कि कोण θ₁ से θ₂ तक घटता है। 10° से 350° तक दक्षिणावर्त चाप 0° से होकर वही 20° का चाप है, जबकि वही युग्म वामावर्त 340° लंबा रास्ता तय करेगा।

बराबर कोण शून्य लंबाई का चाप देते हैं। यदि θ₁ और θ₂ समान हैं, तो आरंभ और अंत बिंदु एक ही होते हैं और उनके बीच कोई चाप नहीं होता। पूर्ण दीर्घवृत्त के लिए इसके बजाय 0° से 360° तक दर्ज करें: वह एक पूर्ण परिक्रमण है, और कैलकुलेटर पूरा परिमाप देता है।

ऋणात्मक कोण अनुमत हैं और उनके धनात्मक समकक्षों के समान बिंदुओं का अर्थ रखते हैं: −30° वही बिंदु है जो 330° है। कैलकुलेटर समाकलन से पहले हर कोण को 0° से 360° की सीमा में सामान्यीकृत करता है, इसलिए −30° से 30° तक और 330° से 30° तक समान उत्तर देते हैं।

रेडियन उन्हीं नियमों का पालन करते हैं, जिनमें 360° के स्थान पर 2π होता है। रेडियन मान टाइप करने से पहले DEG और RAD टॉगल बदलें, क्योंकि 1.57 रेडियन और 1.57 डिग्री बहुत भिन्न चापों को दर्शाते हैं।

कुछ कोण अंतराल इतनी बार आते हैं कि उनके अपने नाम होने चाहिए। नीचे दी गई तालिका उन्हें दीर्घवृत्त a = 5, b = 3 और त्रिज्या 5 वाले वृत्त के लिए सूचीबद्ध करती है, जो सभी कैलकुलेटर द्वारा सत्यापित हैं।

वृत्त (a = b)। दीर्घवृत्त वृत्त बन जाता है, समाकल्य अचर त्रिज्या बन जाता है, और L = rθ होता है, जिसमें θ रेडियन में होता है। त्रिज्या 5 वाला चतुर्थांश वृत्त 5 × π/2 = 7.853981634 होता है, और पूर्ण परिधि 2πr = 31.4159265359 होती है।

बहुत लंबे दीर्घवृत्त। जब b, a से बहुत छोटा होता है, तो दीर्घवृत्त लगभग एक चपटी रेखा खंड बन जाता है, जिसे आगे और पीछे अनुरेखित किया जाता है। परिमाप 4a के करीब पहुँचता है, और चतुर्थांश चाप a के करीब पहुँचता है। a = 10 और b = 1 के लिए, चतुर्थांश चाप 10.1599354503 है, जो a से केवल थोड़ा अधिक है।

बहुत चपटे दीर्घवृत्त। वही विचार दूसरी दिशा में लागू होता है: चाप दीर्घ अक्ष के सिरों के पास केंद्रित होता है, जहाँ वक्र तीखा मोड़ लेता है, और संख्यात्मक समाकलन को वहाँ अपने अंतरालों को परिष्कृत करना पड़ता है। अनुकूली सिम्पसन नियम इसे स्वचालित रूप से संभालता है।

a = 10, b = 6, θ₁ = 30° से θ₂ = 120° तक के साथ एक पूर्ण उदाहरण हल करें। यह एक 90° विस्तार है जो अक्ष पर शुरू नहीं होता, इसलिए यह विधि के हर भाग की जाँच करता है।

1. कोण बदलें। 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 रेडियन। 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 रेडियन।
2. समाकलन लिखें। L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ।
3. समाकल्य का नमूना लें। 30° पर यह √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509 है। मध्यबिंदु 75° पर यह ≈ 9.7832925399 है। 120° पर यह √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899 है।
4. मोटा अनुमान लगाएँ। मध्यबिंदु मान गुणा अंतराल चौड़ाई, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, एक मोटा अनुमान है। यह अधिक अनुमान लगाता है क्योंकि समाकल्य अचर नहीं है।
5. सटीक समाकलन करें। अनुकूली सिम्पसन नियम अंतराल को तब तक परिष्कृत करता है जब तक उत्तर स्थिर न हो जाए, जिससे L ≈ 14.4818404027 इकाइयाँ मिलती हैं।
6. समापन बिंदु जाँचें। आरंभ बिंदु (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3) है। अंत बिंदु (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152) है। कैलकुलेटर हर परिणाम के साथ दोनों बिंदु दिखाता है।
7. परिमाप से तुलना करें। पूर्ण परिमाप P ≈ 51.0539977268 है, इसलिए यह चाप दीर्घवृत्त का 28.3657% है, भले ही यह 90° तय करता हो। रामानुजन का सन्निकटन 51.0539977256 देता है, जो नौ दशमलव स्थानों तक मेल खाता है।

मुख्य सबक चरण 7 में है: 90° का विस्तार परिमाप का एक चौथाई नहीं होता, जब तक कि वह एक अक्ष से अगले अक्ष तक न जाए। यहाँ कोण के समान 90° वक्र का केवल 28.3657% कवर करते हैं, क्योंकि विस्तार लघु अक्ष को पार करता है, जहाँ वक्र सबसे तेज़ चलता है, और दीर्घ अक्ष के पास धीमे हिस्से को छोड़ देता है।

दीर्घवृत्त की चाप लंबाई केवल कक्षा का अभ्यास नहीं है। यह हर जगह आती है जहाँ किसी दीर्घवृत्ताकार आकार को मापना, काटना या बनाना होता है।

यांत्रिक अभियांत्रिकी। दीर्घवृत्ताकार गियर, कैम और लिंकेज सभी दीर्घवृत्ताकार पथों पर चलते हैं। दो कैम कोणों के बीच चाप की लंबाई जानने से अभियन्ता को पता चलता है कि अनुयायी कितनी दूर चलता है, जिससे तंत्र का समय निर्धारित होता है।

वास्तुकला। दीर्घवृत्ताकार मेहराबों, गुंबदों और आंगनों को पत्थर या इस्पात मँगाने से पहले सटीक परिमाप और आंशिक-चाप माप की आवश्यकता होती है। एक मेहराब जो दीर्घवृत्त के केवल एक भाग तक फैलता है, उसे उस भाग की चाप लंबाई चाहिए, न कि पूरा परिमाप।

विनिर्माण और CNC मशीनिंग। एक CNC मिल जो दीर्घवृत्ताकार पॉकेट या दीर्घवृत्ताकार फ्लैंज काटती है, वक्र का छोटे चरणों में अनुसरण करती है। कुल टूल पथ लंबाई चाप समाकलन से आती है, और यह मशीनिंग समय और टूल घिसाव निर्धारित करती है।

दीर्घवृत्ताकार ट्रैक और संरचनाएँ। दौड़ने के ट्रैक, वेलोड्रोम और दीर्घवृत्ताकार पाइप चाप लंबाइयों में मापे जाते हैं। एक पाइप मोड़ जो दीर्घवृत्त के एक भाग से मुड़ता है, उसे सामग्री को आकार में काटने के लिए मोड़ की चाप लंबाई चाहिए।

CAD और तकनीकी आरेखण। दीर्घवृत्त CAD सॉफ़्टवेयर में बुनियादी इकाइयाँ हैं, और उनकी चाप लंबाइयाँ आयाम निर्धारण, क्षेत्रफल गणना और ट्रिम व किनारी के लिए सामग्री-सूची लंबाइयों में जाती हैं।

भौतिकी और ज्यामिति शिक्षा। ग्रहों की कक्षाएँ दीर्घवृत्त हैं, और ग्रह दो कोणों के बीच अपनी कक्षा के साथ जो दूरी तय करता है, वह दीर्घवृत्त चाप लंबाई है। वही समाकलन प्रकाशिकी में आता है, जहाँ दीर्घवृत्ताकार दर्पण प्रकाश को केंद्रित करते हैं, और स्वयं दीर्घवृत्तीय समाकलनों के अध्ययन में भी।

दीर्घवृत्त की चाप लंबाई में अधिकांश त्रुटियाँ दीर्घवृत्त को वृत्त जैसा मानने या इनपुट मिलाने से आती हैं। इन सात पर ध्यान दें।

1. दीर्घवृत्त के लिए वृत्त सूत्र का उपयोग करना। L = rθ केवल तभी काम करता है जब a = b हो। a = 5 और b = 3 के लिए यह चतुर्थांश चाप का अनुमान लगभग 23% अधिक लगाता है।
2. पूर्ण अक्षों को अर्ध-अक्षों से भ्रमित करना। यदि पूर्ण चौड़ाई 10 है, तो a = 5 है। 10 को a के रूप में दर्ज करने पर कैलकुलेटर द्वारा दी गई हर लंबाई दोगुनी हो जाती है। यदि आपने पूर्ण लंबाइयाँ मापी हैं, तो पूर्ण-अक्ष मोड का उपयोग करें।
3. डिग्री को रेडियन में बदलना भूल जाना। सूत्र रेडियन का उपयोग करते हैं। 90 का कोण रेडियन के रूप में दर्ज करने पर चौथाई मोड़ नहीं, बल्कि चौदह से अधिक पूर्ण परिक्रमण होते हैं। टाइप करने से पहले DEG और RAD टॉगल जाँचें।
4. गलत कोण परंपरा का उपयोग करना। यहाँ कोण प्राचलिक कोण हैं, जो केंद्र से मापे जाते हैं, x = a cos θ, y = b sin θ। वे बिंदु के ध्रुवीय कोण नहीं हैं, जो अक्षों को छोड़कर भिन्न होता है।
5. दक्षिणावर्त बनाम वामावर्त पथों की अनदेखी करना। दो बिंदु दो चाप परिभाषित करते हैं, और वे दीर्घवृत्त पर बराबर नहीं होते। वह दिशा चुनें जिसका आप वास्तव में अर्थ रखते हैं, या दोनों देखने के लिए सबसे छोटा और सबसे लंबा विकल्प उपयोग करें।
6. यह मान लेना कि चतुर्थांश दीर्घवृत्त हमेशा परिमाप का एक-चौथाई होता है। यह केवल उन चापों पर लागू होता है जो एक अक्ष से अगले अक्ष तक जाते हैं। 30° से 120° तक 90° का विस्तार उसके परिमाप का 28.3657% है, 25% नहीं।
7. रामानुजन के सन्निकटन को सटीक आंशिक-चाप सूत्र मानना। रामानुजन का सूत्र पूरे परिमाप का सन्निकटन करता है। यह आंशिक चाप के बारे में कुछ नहीं कहता, और इसका अनुमान लगाने के लिए इसे कोण अंश से कभी छोटा नहीं करना चाहिए।

अपनी गणनाओं की त्वरित जाँच के लिए इस तालिका का उपयोग करें। सभी मान इस पृष्ठ पर कैलकुलेटर द्वारा बनाए गए थे।

अंतिम पंक्ति दिखाती है कि बहुत चपटा दीर्घवृत्त कैसे व्यवहार करता है: a = 10 और b = 1 होने पर, चतुर्थांश चाप स्वयं a से केवल थोड़ा लंबा होता है, और परिमाप 4a = 40 से केवल थोड़ा अधिक होता है। जब b शून्य की ओर सिकुड़ता है, तो दीर्घवृत्त आगे और पीछे अनुरेखित रेखा खंड की ओर ढह जाता है, और उसका परिमाप 4a के करीब पहुँचता है।

त्वरित संदर्भ के लिए इन सूत्रों को साथ रखें। ये इस पृष्ठ पर हर गणना को कवर करते हैं।

इन सूत्रों में कोण रेडियन में होते हैं। बदलने के लिए, डिग्री को π/180 से गुणा करें। रामानुजन वाली पंक्ति केवल पूरे परिमाप के लिए एक सन्निकटन है, जबकि समाकलन वाली पंक्तियाँ सटीक हैं और कैलकुलेटर द्वारा संख्यात्मक रूप से मूल्यांकित की जाती हैं।