Калкулатор за дължина на дъга на елипса

Калкулаторът за дължина на дъга на елипса измерва дължината на дъга върху елипса по двете ѝ полуоси и два ъгъла. Страницата се отваря с активен панел за дължина на дъга на елипса, който показва формулата L = ∫_θ1^θ₂ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ. Следвайте тези стъпки, за да получите верен отговор за по-малко от минута.

1. Изберете как се въвеждат осите. По подразбиране използвайте дължини на полуосите (a, b). Ако вместо това сте измерили пълните оси, превключете на дължини на пълни оси и калкулаторът ще раздели всяка стойност на две вместо вас.
2. Въведете голямата полуос (a). Това е най-дългият радиус на елипсата, измерен от центъра до най-далечната точка на границата.
3. Въведете малката полуос (b). Това е най-късият радиус, измерен от центъра до най-близката точка на границата. Той не трябва да е по-голям от a.
4. Въведете началния ъгъл (θ₁) и крайния ъгъл (θ₂). Използвайте превключвателя DEG и RAD в горната част на панела, за да съответства на вашите числа. Градусите са по подразбиране.
5. Изберете посока на дъгата. Обратно на часовниковата стрелка следва ъглите нагоре от θ₁ до θ₂. По часовниковата стрелка върви в другата посока. Най-къса и най-дълга сравняват двата физически пътя и съобщават по-късия или по-дългия.
6. Изберете мерна единица и точност. Единицата обозначава отговора; точността задава колко знака след десетичната запетая показва резултатът.
7. Щракнете върху Изчислете сега. Калкулаторът изчислява интеграла за дължина на дъгата числено и показва резултата, пълната обиколка, допълнителната дъга, процента от обиколката и координатите на двете крайни точки.
8. Копирайте или нулирайте. Използвайте Копиране на резултата, за да поставите отговора в клипборда, или Нулиране, за да изчистите панела. Връзката за размяна на началния и крайния ъгъл разменя θ₁ и θ₂ с едно щракване.

Опитайте с пример. Бутоните Четвърт елипса, Половина елипса, Четвърт окръжност и Пълна елипса зареждат мигновено проверени стойности: a = 5, b = 3, от 0° до 90° дава 6.3817497158 единици, а същата елипса от 0° до 360° дава пълната обиколка, 25.5269988634 единици.

Важни съвети. Поддържайте a и b в една и съща мерна единица. Въвеждайте b не по-голямо от a. Помнете, че ъглите са параметрични ъгли, измерени от центъра, а не ъгли, измерени по границата. Ако началният и крайният ъгъл са равни, дължината на дъгата е нула; използвайте 0° до 360° за пълна елипса.

Елипсата е затворена крива, образувана от всички точки, чиито разстояния до две фиксирани точки, фокусите, се събират до една и съща константа. Тя изглежда като разтегната окръжност: има дълга посока и къса посока, но е съвършено гладка, без ъгли. Дъгата е част от тази крива между две точки върху нея. Дължината на дъгата е разстоянието, което бихте изминали, ако вървите по кривата от първата точка до втората.

Всяка точка от елипсата може да се опише с един ъгъл θ, наречен параметричен ъгъл:

Тук a е голямата полуос, а b е малката полуос. Когато θ преминава от 0 до 2π радиана, точката (x, y) очертава цялата елипса точно веднъж, като започва от (a, 0) и се връща там. Дъга от θ₁ до θ₂ е частта от това очертаване между двата ъгъла.

Дъгата на елипса се различава от дъгата на окръжност по един важен начин. Върху окръжност всяка точка е на едно и също разстояние r от центъра, така че дължината на дъгата е просто L = rθ. Върху елипса разстоянието от центъра се променя, докато се движите по кривата, така че скоростта, с която се очертава кривата, също се променя. Дължината на дъгата следователно зависи от формата на елипсата, а не само от обхванатия ъгъл, и трябва да се намери чрез интегриране, а не чрез едно умножение.

Затова дължината на дъга на елипса е истинско изчисление, а не справка в таблица. Калкулаторът на тази страница извършва това интегриране числено, с висока точност, за всяка елипса и всяка двойка ъгли.

Дължината на дъга на елипса между параметричните ъгли θ₁ и θ₂ се дава от определен интеграл:

Всеки символ във формулата има точно значение:

Подынтегралната функция √(a² sin²θ + b² cos²θ) е скоростта, с която точката (a cos θ, b sin θ) се движи, докато θ расте. Тя е най-малка, равна на b, при θ = 0°, където кривата пресича голямата ос, и най-голяма, равна на a, при θ = 90°, където кривата пресича малката ос. Интегрирането на тази скорост върху ъгловия интервал събира всички малки отсечки в общата дължина на дъгата.

Когато a = b, елипсата е окръжност с радиус r = a, подынтегралната функция става константата r и формулата се свежда до познатата L = rθ, като θ е в радиани. Този специален случай е полезна проверка: всеки калкулатор за елипса трябва да възпроизведе резултата за окръжност, когато двете оси са равни.

Изчисляването на дължина на дъга на елипса на ръка следва осем стъпки. Разработеният пример по-долу използва a = 5, b = 3, от 0° до 90°, четвърт елипса.

1. Определете голямата полуос. a = 5 единици.
2. Определете малката полуос. b = 3 единици.
3. Определете началния ъгъл. θ₁ = 0°.
4. Определете крайния ъгъл. θ₂ = 90°.
5. Преобразувайте градусите в радиани, когато е необходимо. 0° = 0 радиана, а 90° = π/2 ≈ 1.5707963268 радиана.
6. Приложете интеграла за дължина на дъга на елипса. L = ∫₀^π/2 √(25 sin²θ + 9 cos²θ) dθ.
7. Изчислете интеграла числено. Подынтегралната функция няма елементарна първообразна, затова използвайте числен метод като адаптивното правило на Симпсън, което уточнява интервалите си, докато отговорът стане стабилен.
8. Изтълкувайте крайния отговор. L ≈ 6.3817497158 единици. Калкулаторът на тази страница връща същата стойност.

За да видите защо е необходимо числено интегриране, погледнете подынтегралната функция при три ъгъла:

Една стъпка на Симпсън върху цялата четвърт дава (π/4)/3 × (3 + 4 × 4.1231056256 + 5) ≈ 6.4121012169, което е близо, но не е точно. Адаптивното правило на Симпсън продължава да разделя интервала и да преизчислява, докато грешката падне под допустимата граница, схождайки се към 6.3817497158. Урокът е практически: грубата числена оценка е лесна, но надеждният отговор изисква метод, който сам проверява точността си, а именно това прави калкулаторът.

Голямата ос е най-дългата права линия през центъра на елипсата, която минава от едната страна на границата до другата. Малката ос е най-късата такава линия, перпендикулярна на голямата ос. Голямата полуос a е половината от голямата ос: разстоянието от центъра до границата по дългата посока. Малката полуос b е половината от малката ос: разстоянието от центъра до границата по късата посока.

Объркването на пълните оси с полуосите е най-честата грешка при въвеждане. Ако чертеж дава пълната ширина на елипсата като 10, голямата полуос е a = 5, а не 10. Въвеждането на 10 като a би описало елипса, два пъти по-голяма, и всяка дължина, която калкулаторът връща, би се удвоила. Калкулаторът предлага режим на пълни оси точно за този случай: въведете пълните дължини и той ще ги раздели на две, преди да изчисли.

Двете оси определят и формата. Когато a и b са почти равни, елипсата е почти окръжност. Когато b е много по-малко от a, елипсата е дълга и плоска, като бягаща писта, гледана отстрани. Отношението b/a понякога се нарича съотношение на страните; ексцентрицитетът e = √(1 − (b/a)²) измерва същото, като e = 0 за окръжност и e, близко до 1, за много плоска елипса. За a = 5 и b = 3, e = √(1 − 9/25) = 0.8.

Пълната обиколка е дължината на цялата затворена крива, докато частичната дължина на дъга е дължината на едно нейно парче. Обиколката е специалният случай на формулата за дъга с θ₁ = 0° и θ₂ = 360°:

Множителят 4 се появява, защото четирите квадранта на елипсата са огледални образи един на друг. За a = 5 и b = 3 обиколката е P ≈ 25.5269988634 единици. Таблицата по-долу сравнява стандартните части на тази елипса.

Четвърт елипса е точно една четвърт от обиколката, а половина елипса е точно една половина, защото квадрантите са огледални образи. Но тази симетрия важи само за дъги, които започват и свършват върху осите. Произволен обхват от 90° не е една четвърт от обиколката: върху по-голяма елипса с a = 10 и b = 6 дъгата от 30° до 120° е с дължина 14.4818404027 единици, точно двойно повече от стойността за елипсата с a = 5 и b = 3, а разработеният пример по-нататък в това ръководство показва, че този обхват от 90° е 28.3657% от обиколката на по-голямата елипса. Никога не приемайте, че обхват от 90° е равен на P/4, освен ако не върви от една ос до следващата.

Калкулаторът съобщава и двете числа при всяко изчисление: дължината на дъгата, която сте поискали, и пълната обиколка, към която тя принадлежи, заедно с допълнителната дъга (останалата част от елипсата) и процента от обиколката, който вашата дъга покрива.

Дължината на дъга на елипса няма точна формула, изградена от обикновени функции. Интегралът ∫ √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ е непълен елиптичен интеграл от втори род, записван E(φ, k), където φ е ъгълът, а k = √(1 − (b/a)²) е ексцентрицитетът. Дъгата от θ₁ до θ₂ е a × (E(θ₂, k) − E(θ₁, k)). За a = 5 и b = 3, k = 0.8, а четвърт елипсата е 5 × E(π/2, 0.8) = 5 × 1.2763499432 = 6.3817497158.

Елиптичните интеграли са добре изучени, но не са елементарни: никоя комбинация от полиноми, корени, експоненти и тригонометрични функции не ги изчислява в затворена форма. Затова всяко практическо изчисление за елипса използва числено интегриране. Адаптивното правило на Симпсън, което използва този калкулатор, е добър избор, защото уточнява интервалите, където подынтегралната функция се променя най-бързо, и спира, когато резултатът стане стабилен в рамките на допустимата грешка.

Само за пълната обиколка съществува и известното приближение на Сриниваса Рамануджан:

За a = 5 и b = 3, h = 0.0625, и формулата на Рамануджан дава P ≈ 25.5269988628, което съвпада с точната числена обиколка 25.5269988634 до девет знака след десетичната запетая. Тя е забележително точна за елипси, които не са изключително плоски. Но тя е приближение само за цялата обиколка: не може да се сведе, за да даде частична дъга, така че никога не я използвайте като заместител на интеграла за дъга. Калкулаторът показва стойността на Рамануджан в стъпките си само като учебно сравнение до числения резултат.

Използвайте числено интегриране винаги, когато отговорът има значение, а Рамануджан само като бърза проверка на пълна обиколка. Ако двете се различават отвъд няколко знака след десетичната запетая, доверете се на численото интегриране и проверете входните данни.

Формулата за окръжност L = rθ работи, защото всяка точка от окръжността е на едно и също разстояние r от центъра, така че скоростта по кривата е постоянна. Върху елипса скоростта се променя: за a = 5 и b = 3 тя варира от 3 в краищата на голямата ос до 5 в краищата на малката ос. Един-единствен радиус не може да улови тази промяна, така че формулата за окръжност дава грешен отговор за всяка елипса, която не е окръжност.

Сравнете дъга от 90° върху три фигури с еднакъв номинален размер:

Използването на r = 5 във формулата за окръжност надценява дъгата на четвърт елипса с около 23%, когато b = 3, и с около 11%, когато b = 4. Грешката намалява, когато елипсата се приближава до окръжност, и расте, когато се сплесква, което е точно това, което бихте очаквали: формулата за окръжност е границата на формулата за елипса, когато b се приближава до a, а не общ неин заместител.

Калкулаторът никога не използва формулата за окръжност за елипса. Той интегрира точната подынтегрална функция на елипсата и само когато a = b, това интегриране се свежда до L = rθ, което калкулаторът също проверява вътрешно като проверка за съгласуваност.

Две точки върху елипса разделят кривата на две дъги: една, която върви обратно на часовниковата стрелка, и една, която върви по часовниковата стрелка. Те не са огледални образи, защото елипсата не е окръжност, така че двете дъги имат различна дължина. По-късата е най-краткият път по кривата между точките; по-дългата е останалата част от елипсата.

Вземете a = 5, b = 3, с крайни точки при 0° и 120°:

Двете дължини се събират до пълната обиколка, 25.5269988634, както трябва, тъй като заедно покриват цялата елипса. Най-късата дъга е 8.9253958986, а най-дългата е 16.6016029648. Забележете, че ъгловото разделяне е 120° срещу 240°, съотношение едно към две, докато разделянето на дължините е приблизително 35% срещу 65%: дължините не следват ъглите, защото кривата се движи по-бързо близо до малката ос, отколкото близо до голямата ос.

Затова калкулаторът измерва и двата пътя чрез действително интегриране, вместо да сравнява ъгли. Сравняването на ъгловите разлики би дало грешен победител винаги, когато елипсата е далеч от окръжност. Изберете Най-къса физическа дъга, когато ви трябва по-краткият маршрут, например най-късото кабелно трасе между две точки върху елиптична рамка, и Най-дълга физическа дъга, когато ви трябва останалата част от кривата.

Параметричните ъгли върху елипса се завъртат: 360° е същата точка като 0°, а 370° е същата точка като 10°. Калкулаторът обработва това преминаване вместо вас, но е полезно да знаете правилата, които следва.

Обратно на часовниковата стрелка означава, че ъгълът нараства от θ₁ до θ₂, като преминава през 360°, когато е необходимо. Дъга от 350° до 10° обратно на часовниковата стрелка изминава 20° през 0°, а не 340° назад. За a = 5 и b = 3 тази дъга е с дължина 1.0565175692 единици, колкото дъгата от −10° до 10°.

По часовниковата стрелка означава, че ъгълът намалява от θ₁ до θ₂. Дъга от 10° до 350° по часовниковата стрелка е същата дъга от 20° през 0°, докато същата двойка обратно на часовниковата стрелка би изминала 340° по дългия път.

Равни ъгли дават дъга с нулева дължина. Ако θ₁ и θ₂ са еднакви, началната и крайната точка съвпадат и между тях няма дъга. За пълна елипса въведете вместо това 0° до 360°: това е едно пълно завъртане и калкулаторът връща цялата обиколка.

Отрицателните ъгли са позволени и означават същите точки като положителните им еквиваленти: −30° е същата точка като 330°. Калкулаторът нормализира всеки ъгъл в диапазона от 0° до 360°, преди да интегрира, така че −30° до 30° и 330° до 30° дават един и същ отговор.

Радианите следват същите правила, като 2π заема мястото на 360°. Превключете превключвателя DEG и RAD, преди да въведете стойности в радиани, тъй като 1.57 радиана и 1.57 градуса описват много различни дъги.

Няколко ъглови интервала се срещат толкова често, че заслужават собствени имена. Таблицата по-долу ги изброява за елипсата a = 5, b = 3 и за окръжност с радиус 5, всички проверени от калкулатора.

Окръжност (a = b). Елипсата става окръжност, подынтегралната функция става постоянният радиус, а L = rθ, като θ е в радиани. Четвърт окръжност с радиус 5 е 5 × π/2 = 7.853981634, а пълната обиколка е 2πr = 31.4159265359.

Много издължени елипси. Когато b е много по-малко от a, елипсата е почти плоска отсечка, очертана напред и назад. Обиколката се приближава до 4a, а дъгата на четвърт се приближава до a. За a = 10 и b = 1 дъгата на четвърт е 10.1599354503, само малко повече от самото a.

Много плоски елипси. Същата идея важи и в другата посока: дъгата се съсредоточава близо до краищата на голямата ос, където кривата се завърта рязко, и численото интегриране трябва да уточнява интервалите си там. Адаптивното правило на Симпсън се справя с това автоматично.

Разгледайте пълен пример с a = 10, b = 6, от θ₁ = 30° до θ₂ = 120°. Това е обхват от 90°, който не започва върху ос, така че проверява всяка част от метода.

1. Преобразувайте ъглите. 30° = π/6 ≈ 0.5235987756 радиана. 120° = 2π/3 ≈ 2.0943951024 радиана.
2. Запишете интеграла. L = ∫_0.5235987756^2.0943951024 √(100 sin²θ + 36 cos²θ) dθ.
3. Вземете проби от подынтегралната функция. При 30° тя е √(100 × 0.25 + 36 × 0.75) = √52 ≈ 7.2111025509. В средната точка 75° тя е ≈ 9.7832925399. При 120° тя е √(100 × 0.75 + 36 × 0.25) = √84 ≈ 9.1651513899.
4. Оценете приблизително. Стойността в средната точка, умножена по ширината на интервала, 9.7832925399 × 1.5707963268 ≈ 15.3675599856, е груба оценка. Тя надценява, защото подынтегралната функция не е постоянна.
5. Интегрирайте точно. Адаптивното правило на Симпсън уточнява интервала, докато отговорът стане стабилен, давайки L ≈ 14.4818404027 единици.
6. Проверете крайните точки. Началната точка е (10 cos 30°, 6 sin 30°) = (8.660254, 3). Крайната точка е (10 cos 120°, 6 sin 120°) = (−5, 5.196152). Калкулаторът показва и двете точки при всеки резултат.
7. Сравнете с обиколката. Пълната обиколка е P ≈ 51.0539977268, така че тази дъга е 28.3657% от елипсата, въпреки че обхваща 90°. Приближението на Рамануджан дава 51.0539977256, съвпадайки до девет знака след десетичната запетая.

Ключовият урок е в стъпка 7: обхват от 90° не е една четвърт от обиколката, освен ако не върви от една ос до следващата. Тук същите 90° ъгъл покриват само 28.3657% от кривата, защото обхватът пресича малката ос, където кривата се движи най-бързо, и пропуска бавния участък близо до голямата ос.

Дължината на дъга на елипса не е само класно упражнение. Тя се появява навсякъде, където елиптична форма трябва да се измери, изреже или построи.

Машинно инженерство. Елиптични зъбни колела, гърбици и лостови механизми се движат по елиптични пътища. Познаването на дължината на дъгата между два ъгъла на гърбица казва на инженера колко далеч се придвижва последователят, което задава времето на механизма.

Архитектура. Елиптични арки, куполи и дворове се нуждаят от точни измервания на обиколката и частичните дъги, преди да се поръчат камък или стомана. Арка, която обхваща само част от елипса, се нуждае от дължината на дъгата на тази част, а не от цялата обиколка.

Производство и CNC обработка. CNC фреза, която реже елиптичен джоб или елиптичен фланец, следва кривата на малки стъпки. Общата дължина на пътя на инструмента идва от интеграла за дъга и определя времето за обработка и износването на инструмента.

Елиптични писти и конструкции. Бягащи писти, велодруми и елиптични тръби се измерват в дължини на дъги. Тръбно коляно, което се огъва през част от елипса, се нуждае от дължината на дъгата на огъването, за да се изреже материалът по размер.

CAD и техническо чертане. Елипсите са основни обекти в CAD софтуера, а дължините на дъгите им влизат в оразмеряването, изчисленията на площ и дължините в спецификациите за облицовка и кантове.

Физика и обучение по геометрия. Планетарните орбити са елипси, а разстоянието, което една планета изминава по орбитата си между два ъгъла, е дължина на дъга на елипса. Същият интеграл се появява в оптиката, където елиптичните огледала фокусират светлината, и в изучаването на самите елиптични интеграли.

Повечето грешки при дължина на дъга на елипса идват от третирането на елипсата като окръжност или от объркване на входните данни. Внимавайте за тези седем.

1. Използване на формулата за окръжност за елипса. L = rθ работи само когато a = b. За a = 5 и b = 3 тя надценява дъгата на четвърт с около 23%.
2. Объркване на пълните оси с полуосите. Ако пълната ширина е 10, тогава a = 5. Въвеждането на 10 като a удвоява всяка дължина, която калкулаторът връща. Използвайте режима на пълни оси, ако сте измерили пълните дължини.
3. Забравяне да преобразувате градусите в радиани. Формулите използват радиани. Ъгъл от 90, въведен като радиани, е повече от четиринадесет пълни завъртания, а не четвърт оборот. Проверете превключвателя DEG и RAD, преди да пишете.
4. Използване на грешното споразумение за ъгли. Ъглите тук са параметрични ъгли, измерени от центъра, x = a cos θ, y = b sin θ. Те не са полярният ъгъл на точката, който се различава, освен върху осите.
5. Пренебрегване на посоките по и обратно на часовниковата стрелка. Две точки определят две дъги и те не са равни върху елипса. Изберете посоката, която действително имате предвид, или използвайте опциите за най-къса и най-дълга, за да видите и двете.
6. Предполагане, че четвърт елипса винаги е една четвърт от обиколката. Това важи само за дъги, които вървят от една ос до следващата. Обхват от 90° от 30° до 120° е 28.3657% от обиколката си, а не 25%.
7. Третиране на приближението на Рамануджан като точна формула за частична дъга. Формулата на Рамануджан приближава цялата обиколка. Тя не казва нищо за частична дъга и никога не трябва да се мащабира надолу с ъглова дроб, за да се оцени такава.

Използвайте тази таблица като бърза проверка за собствените си изчисления. Всички стойности са получени от калкулатора на тази страница.

Последният ред показва как се държи много плоска елипса: при a = 10 и b = 1 дъгата на четвърт е само малко по-дълга от самото a, а обиколката е само малко повече от 4a = 40. Когато b намалява към нула, елипсата се свива към отсечка, очертана напред и назад, а обиколката ѝ се приближава до 4a.

Дръжте тези формули заедно за бърза справка. Те покриват всяко изчисление на тази страница.

Ъглите в тези формули са в радиани. За да преобразувате, умножете градусите по π/180. Редът на Рамануджан е приближение само за цялата обиколка, докато интегралните редове са точни и се изчисляват числено от калкулатора.