Калкулатор за дължина на дъгата

Първокласен математически инструмент за изчисляване на точни дължини на дъги на окръжности, криви и параметрични уравнения с визуална обратна връзка на живо.

Безплатно за ползване ·Без регистрация ·Работи във вашия браузър

Формула за дължина на дъгата
L=r⋅θL = r \cdot \theta
0°360°
Показване на диаграмата
◯
Инструмент за окръжност

Радиус и ъгъл, с лице на сектор и хорда.
∫
Параметрични

Криви x(t) и y(t) върху произволен интервал.
ρ
Полярен инструмент

Криви, зададени като r(θ) в полярна форма.
ƒ
Пълни стъпки

Декартова дължина на дъга с показани всички стъпки.
◊
3D пространство

Пространствени криви x(t), y(t) и z(t).
Σ
Правило на Симпсън

Числено интегриране с правилото на Симпсън.
△
Трапецовидно правило

Числено интегриране, трапецовидно правило.
⋯
От точки

Дължина на път през координатни точки.
Дъга на елипса

Дължина на дъга на всяка елипса по нейните оси и ъгли.
Дъга на парабола

Дължина на дъга на всяка парабола по нейното уравнение.
Дъга на полукръг

Дължина на дъгата на всеки полукръг по радиус или диаметър.
Дъга на сектор

Дължина на дъга на кръгов сектор по радиус и ъгъл.
Правило на средните точки

Дължина на дъга по правилото на средните точки, с правоъгълници и проверки на грешката.
Бърза навигация Изчисли онлайнМетодиРъководство за формулатаРешени примериГрадуси срещу радианиГрешкиПриложенияЧЗВ
Методи

Методи на калкулатора за дължина на дъга

Калкулаторът по-горе има седем режима. Всеки отговаря на стандартен входен формат от математическия анализ. Изберете режима, чиито входни данни приличат на вашата задача.

РежимНеобходими входни данниКога да се използва
ОкръжностРадиус r, централен ъгъл θОкръжности, сектори, колела, дъги
ДекартовФункция y = f(x), интервал [a, b]Графики на функции
Параметриченx(t), y(t), интервал [a, b]Траектории, цикли, вертикални криви
Поляренr(θ), ъглов интервал [α, β]Спирали, кардиоиди, полярни графики
Численf(x), интервал, подразделения nИнтеграли без затворена форма
ТочкиСписък с координати (x, y)GPS тракове, извадкови данни
3Dx(t), y(t), z(t), интервал [a, b]Пространствени криви, винтови линии

Дължина на дъга от окръжност

Въведете радиуса r и централния ъгъл θ. Инструментът изчислява дължината на дъгата с L = rθ и от същите две входни стойности отчита също лицето на сектора и дължината на хордата. Превключвайте между градуси и радиани с бутона DEG/RAD.

\( L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians}) \)

Декартови криви

Въведете функция y = f(x) плюс началната и крайната стойност на x: a и b. Калкулаторът диференцира функцията, построява подинтегралната функция и изчислява определения интеграл числено с показани пълни стъпки. За пълното извеждане опитайте калкулатора за дължина на дъга със стъпки.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
Декартова крива y = f(x) с подчертан сегмент на дължината на дъгата между a и b и показан диференциален елемент ds

Параметрични криви

Въведете x(t) и y(t) с интервала на параметъра. Този режим подхожда на траектории, описани чрез движение във времето, при които никоя координата не е пряка функция на другата. За отделен инструмент вижте параметричния калкулатор за дължина на дъга.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Полярни криви

Въведете r като функция на θ с интервала на ъгъла. Идеално за спирали, кардиоиди и други криви, които най-естествено се записват в полярна форма. Наличен е и самостоятелен полярен калкулатор за дължина на дъга.

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

Числено интегриране

Въведете f(x), интервала и броя на подинтервалите n, след което изберете правилото на Симпсън или трапецовидното правило. Този режим е полезен, когато интегралът за дължина на дъга няма елементарна първообразна или когато искате да сравните числени методи. Отделните калкулатори за правилото на Симпсън и трапецовидното правило показват пълното решение.

Координатни точки

Поставете или напишете списък от точки (x, y). Калкулаторът сумира праволинейните разстояния между последователните точки, което приближава дължината на пътя през извадкови данни като GPS следи. Вижте и отделния инструмент дължина на дъга от точки.

\( L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_{i})^{2} + (\Delta y_{i})^{2}} \)

3D криви

Въведете x(t), y(t) и z(t) с интервала на параметъра, за да измерите дължината на пространствена крива, например спирала или 3D траектория. Отделният 3D калкулатор за дължина на дъга предлага същото изчисление на собствена страница.

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
Ръководство за формулата

Формула за дължина на дъга

Всяка формула за дължина на дъга по-долу измерва една и съща идея: сумиране на съвсем малки прави отсечки по кривата. Правилната формула зависи от това как е описана кривата.

Окръжност с подчертана дъга, показваща радиуса r, централния ъгъл theta и дължината на дъгата L, илюстрираща формулата L = r по theta

Окръжност: L = rθ

\( L = r\theta \)

Тук r е радиусът, а θ е централният ъгъл в радиани. Дължината на дъгата носи същата единица като r: радиус в метри дава дължина на дъгата в метри. Това е най-простият случай, защото окръжността има постоянна кривина.

Декартова: интеграл от √(1 + (dy/dx)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)

Използвайте, когато кривата е y = f(x) между x = a и x = b. Членът dy/dx е наклонът; където кривата е стръмна, всяко dx допринася с повече дължина. Границите a и b са стойности на x, а не позиции на дъгата.

Параметрична: интеграл от √((dx/dt)² + (dy/dt)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Използвайте, когато x и y са функции на параметъра t, като t върви от a до b. Това обхваща криви, които се зациклят или вървят вертикално, където y не може да се запише като функция на x.

Полярна: интеграл от √(r² + (dr/dθ)²)

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)

Използвайте, когато кривата е r = r(θ) с θ от α до β. Членът r² отчита кръговото обхождане, докато (dr/dθ)² отчита радиалната промяна.

3D: интеграл от √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²)

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)

Естественото разширение на параметричната формула в три измерения: добавете квадрата на z-скоростта под корена.

Окръжност, сравняваща извитата дължина на дъгата L с правата дължина на хордата c между същите две крайни точки

Дължината на дъгата L следва кривата; дължината на хордата c пресича направо. Дъгата винаги е по-дълга, освен в граничния случай на нулев ъгъл.

Указания

Как да използвате калкулатора за дължина на дъга

  1. 01Изберете режима, който отговаря на вашите данни: Окръжност, Декартова, Параметрична, Полярна, Числена, Точки или 3D.
  2. 02Въведете стойностите. За окръжност напишете радиуса и централния ъгъл. За криви напишете функцията и границите на интервала.
  3. 03Задайте мерната единица на ъгъла (режим на окръжност): изберете DEG за градуси или RAD за радиани с превключвателя над калкулатора.
  4. 04Прочетете резултата. Дължината на дъгата се появява със стъпка по стъпка решение. Режимът на окръжност показва също лицето на сектора и дължината на хордата.
  5. 05Опитайте пример с бутона "Try Example" във всеки режим, за да видите правилно форматирани входни данни, преди да напишете свои.
Решени примери

Примери за изчисляване на дължина на дъга

Всеки пример по-долу е решен изцяло, за да можете да проверите всяка стъпка.

Пример 1: Дъга на окръжност от радиус и градуси

Дадено: радиус r = 5 cm, централен ъгъл θ = 60°.

Формула: L = rθ, с θ в радиани.

\( \theta = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \)

Заместване: L = 5 × 1.0472.

Отговор: L ≈ 5.236 cm.

Пример 2: Дъга на окръжност от радиус и радиани

Дадено: радиус r = 10 m, централен ъгъл θ = 1.5 rad.

Формула: L = rθ.

Заместване: L = 10 × 1.5 = 15.

Отговор: L = 15 m. Не е нужно преобразуване, защото ъгълът вече е в радиани.

Пример 3: Декартова крива y = x² от 0 до 1

Дадено: y = x², интервал [0, 1].

Формула: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.

\( \frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx \)
\( L = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|2x + \sqrt{1+4x^{2}}\right| \right]_{0}^{1} \)

Изчисление: при x = 1 скобата е равна на (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789; при x = 0 е равна на 0.

Отговор: L ≈ 1.4789 единици.

Пример 4: Параметрична четвърт окръжност

Дадено: x = 3cos t, y = 3sin t, t от 0 до π/2.

Формула: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

\( \frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t \)
\( \sqrt{9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{\pi/2} 3\,dt = \frac{3\pi}{2} \)

Отговор: L = 3π/2 ≈ 4.7124 единици, което съвпада с известната четвърт обиколка на окръжност с радиус 3.

Мерни единици за ъгъл

Градуси срещу радиани

Градусите делят пълния оборот на 360 части; радианите измерват ъгъла чрез дължината на дъгата върху единичната окръжност, като пълният оборот е равен на 2π радиана (около 6.2832). Двете единици описват едни и същи ъгли: 180° се равняват на π радиана, 90° се равняват на π/2 радиана, а 1 радиан е около 57.2958°.

Единицата е важна, защото формулата за окръжност L = rθ е вярна само когато θ е в радиани. Въвеждането на 90 градуса като 90 радиана би надценило дъгата около 57.3 пъти. Превключвателят DEG/RAD на калкулатора преобразува вместо вас, но винаги проверявайте два пъти коя единица използва вашата задача, преди да се доверите на резултата.

Два полукръга един до друг, сравняващи градусните деления (0, 90, 180 градуса) с радианните деления (0, pi върху 2, pi), показващи, че 180 градуса се равняват на pi радиана
Съвети за точност

Чести грешки при дължина на дъга

Повечето грешни отговори идват от грешки в подготовката, а не от самата формула. Проверете този списък, преди да се доверите на резултат.

Използване на градуси в L = rθ

Формулата за окръжност изисква радиани. Въвеждането на 90 вместо π/2 надува отговора около 57 пъти. Използвайте превключвателя DEG/RAD или първо преобразувайте.

Въвеждане на диаметър вместо радиус

L = rθ използва радиуса. Ако задачата ви дава диаметъра, първо го разделете наполовина, иначе отговорът ви ще бъде точно два пъти по-голям от верния.

Грешни граници на интегриране

За y = f(x) границите са стойности на x; в параметричен режим те са стойности на t; в полярен са ъгли. Размяната им измерва грешен сегмент.

Грешна формула за вида крива

Полярната крива изисква полярната формула с нейния член r², а параметричната крива изисква и двете производни. Изберете режима, който отговаря на записа на вашата крива.

Твърде малко числени подинтервали

Правилото на Симпсън и трапецовидното правило се подобряват с нарастване на n. Ако две изпълнения с различно n видимо не съвпадат, увеличавайте n, докато резултатът се стабилизира.

Приемане на приближенията за точни

Численото интегриране и сумирането точка по точка са приближения. Те се доближават до истинската дължина, но не са точни тъждества като L = rθ за окръжности.

Реални случаи на употреба

Приложения на дължината на дъга

Геометрия

Намиране на обиколки на кръгови сектори, дължини на извити граници и разстояния по дъги в строителни разпределения.

Инженерство

Оценка на дължини на кабели и ремъци около ролки, допуски за огъване на тръби и материал за извити детайли.

Физика

Изчисляване на изминати разстояния по извити траектории и свързване на позицията на дъгата с ъгловото движение.

Архитектура

Измерване на извити фасади, сводести отвори и разстояния по криволичещи пътеки от планови чертежи.

Роботика

Изчисляване на изминатото разстояние на върха на роботизирана ръка по програмирана извита траектория за планиране на време и разход на енергия.

Математически анализ

Упражняване на съставяне и изчисляване на интеграли за дължина на дъга, класическото приложение на интегрирането в геометрията.

Компютърна графика

Параметризиране на криви чрез дължината на дъгата за анимация с постоянна скорост и равномерно семплиране по траектории.

ЧЗВ

Често задавани въпроси за дължината на дъга

Какво е калкулатор за дължина на дъга?

Калкулаторът за дължина на дъга измерва разстоянието по крива между две точки. Въвеждате дефиницията на кривата (например радиус и ъгъл или функция с граници на интервал) и той връща дължината, обикновено със стъпка по стъпка решение.

Как да изчисля дължината на дъга?

За окръжност умножете радиуса по централния ъгъл в радиани (L = rθ). За други криви използвайте съответната интегрална формула или въведете функцията в калкулатора по-горе и изберете правилния режим.

Каква е формулата за дължина на дъга?

Формулата за окръжност е L = rθ. Декартовите криви използват L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, параметричните криви използват L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt, полярните криви използват L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ, а 3D кривите добавят z-члена под корена.

Мога ли да изчисля дължината на дъга без радиус?

За окръжности ви трябва радиусът (или диаметърът, който е два пъти радиусът). За общи криви радиус изобщо не ви трябва: декартовият, параметричният, полярният режим и режимът с точки работят от функции или координати.

Да използвам ли градуси или радиани?

Използвайте радиани във формулата L = rθ. Ако ъгълът ви е в градуси, първо преобразувайте (радиани = градуси × π/180) или използвайте превключвателя DEG/RAD на калкулатора, който прави преобразуването автоматично.

Каква е разликата между дължина на дъга и дължина на хорда?

Дължината на дъгата следва кривата; дължината на хордата е правата линия между крайните точки на дъгата. Хордата винаги е по-къса (c = 2r·sin(θ/2) за окръжност). Вижте сравнителната диаграма в раздела за формулата по-горе.

Как да изчисля дължината на дъга на параметрична крива?

Въведете x(t) и y(t) с интервала на параметъра в режим Параметрична. Калкулаторът изчислява ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt върху вашия интервал и показва стъпките.

Може ли дължината на дъга да се изчислява в 3D?

Да. Въведете x(t), y(t) и z(t) в 3D режима. Формулата разширява параметричната версия с производната по z: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.

Каква мерна единица използва отговорът?

Резултатът използва същата мерна единица за дължина като вашите входни данни. Ако радиусът е в сантиметри, дължината на дъгата е в сантиметри. Самите ъгли са безразмерни, след като бъдат преобразувани в радиани.

Защо моят числен резултат леко се различава от точната стойност?

Числените методи (на Симпсън, трапецовидният) приближават интеграла. Увеличете броя на подинтервалите n за по-близък резултат и сравнете с известен случай, за да потвърдите настройките си.