Калкулатор за дължина на дъга на сектор

Калкулаторът за дължина на дъга на сектор измерва извитото разстояние по дъгата на кръгов сектор, от малък отрязък до пълния кръг. Той приема седем различни начални измервания, така че можете да използвате стойността, която вече имате. Следвайте тези стъпки, за да получите верен отговор за по-малко от минута.

1. Изберете метода на въвеждане. Изберете Радиус + централен ъгъл, Диаметър + централен ъгъл, Обиколка на пълен кръг + централен ъгъл, Лице на сектор + радиус, Лице на сектор + централен ъгъл, Дължина на хорда + централен ъгъл или Радиус + известна дължина на дъга. Полетата за въвеждане, етикетите и списъците с единици се променят според избрания метод.
2. Въведете вашето измерване. Напишете стойността в полето за въвеждане. За методите с лице използвайте списъка с квадратни единици (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Въведете централния ъгъл. Напишете ъгъла в градуси или радиани с превключвателя DEG/RAD или плъзнете плъзгача за ъгъл от 0° до 360°. Диаграмата на живо и резултатът се обновяват, докато го местите. При методите Лице на сектор + радиус и Радиус + известна дължина на дъга ъгълът се изчислява от вашите стойности.
4. Задайте началния и крайния ъгъл, ако ви трябват. По подразбиране обхождането започва от 0° и върви обратно на часовниковата стрелка. Променете началния ъгъл, крайния ъгъл или посоката, за да измерите сектор навсякъде по кръга. Обхождането, а не позицията, определя дължината на дъгата. Еднакви начален и краен ъгъл означават дъга с нулева дължина, освен ако използвате опцията за пълен кръг за пълен оборот.
5. Изберете входни и изходни единици. Калкулаторът преобразува вашия вход в последователна вътрешна единица, изчислява, после преобразува отговора във вашата изходна единица. Числото се променя с единицата, дължината не.
6. Изберете точност. Изберете 2, 4, 6 или 8 знака след десетичната запетая. По подразбиране е 4. Калкулаторът винаги използва π с пълна точност вътрешно и закръгля само показания резултат.
7. Кликнете върху Изчисли сега. Основният резултат е дължината на дъгата на сектора с нейната класификация: сектор с нулев ъгъл, малък сектор, полукръг, голям сектор или пълен кръг. Под него получавате радиуса, диаметъра, пълната обиколка, допълнителната дъга, дължината на хордата, лицето на сектора, периметъра на сектора, лицето на кръговия сегмент, процента на дъгата, двете форми на ъгъла и сравнението между малък и голям сектор.
8. Разгледайте диаграмата. Диаграмата на живо на сектора чертае пълния кръг, оцветява избрания сектор в златно и отбелязва центъра O, линиите на радиуса, хордата и крайните точки. Използвайте превключвателите, за да покажете или скриете линиите на радиуса, хордата, централната точка, маркера за ъгъл и допълнителния сектор.
9. Копирайте, отпечатайте или нулирайте. Използвайте Копиране на резултата, за да поставите отговора в клипборда, Отпечатване на обобщение за прост отчет или Нулиране, за да изчистите панела. Бутоните с готови примери зареждат проверени примери мигновено, а бутоните за бърз избор преминават направо към 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° или 360°.

Опитайте пример. Радиус 6 с ъгъл 60° дава дъга от 6.2831853072 единици. Радиус 8 с 90° дава 12.5663706144 единици. Радиус 5 с 270° дава дъга на голям сектор от 23.5619449019 единици. Диаметър 14 с 120° дава 14.6607657168 единици. Лице на сектор 50 с радиус 10 дава дъга от 10.0000000000 единици, а радиус 4 с известна дъга от 6 единици дава ъгъл от 85.9436692696°.

Важни съвети. Поддържайте единицата на ъгъла последователна: 60° и 1.0471975512 радиана са един и същ ъгъл, но 60 радиана не са 60°. Дължината на дъгата е само извитото разстояние; хордата е различно измерване и винаги е по-къса, освен при дъга с нулева дължина. Ако въведете диаметър, калкулаторът го разделя наполовина, за да намери първо радиуса. Лицето на сектора не е дължина на дъга: едното се измерва в квадратни единици, а другото в обикновени единици. Нулево или отрицателно измерване не е валиден сектор, затова калкулаторът го отхвърля, вместо да показва подвеждащ отговор.

Окръжността е множеството от всички точки на фиксирано разстояние, радиуса, от централна точка O. Кръговият сектор е клиновидната област, изрязана от кръга от два радиуса и дъгата между тях, като парче от пай. Дължината на дъгата на сектора е извитото разстояние по външния ръб на този клин, от едната крайна точка на радиуса до другата, следвайки кривата.

Представете си парче пица. Двата прави разреза са радиусите, заостреният край е центърът O, а кората е дъгата. Дължината на дъгата е дължината на кората. Правата линия през широкия край на парчето, съединяваща двете крайни точки на кората, е хордата и тя е по-къса от кората.

Всеки сектор има същите части, мащабирани според радиуса му. Центърът O е фиксираната точка. Радиусът r върви от O до всяка точка на окръжността. Централният ъгъл θ е ъгълът при O между двата радиуса, които ограничават сектора, и той решава каква част от кръга покрива секторът. Дъгата е извитият ръб. Хордата е правата линия между крайните точки на дъгата. Лицето на сектора е областта вътре в двата радиуса и дъгата.

Два радиуса винаги разделят кръга на два сектора: по-малкия, малкия сектор, и по-големия, големия сектор. Заедно те образуват пълния кръг. Кой от тях ви трябва, зависи от вашата задача, а калкулаторът показва и двата, така че никога не се налага да гадаете.

Дължината на дъгата на сектора е едномерно измерване, дължина, затова се отчита в обикновени единици като cm, m или инчове. Тя не е лице и не е ъгъл. Разграничаването на тези три величини е първата стъпка към верни изчисления на всеки сектор.

Дължината на дъгата на сектора идва направо от обиколката на пълния кръг. Обиколката на пълен кръг е:

Сектор с централен ъгъл θ покрива частта θ / 360 от пълен оборот от 360°, затова неговата дъга е същата част от обиколката:

Опростяването дава градусната форма на формулата:

Когато ъгълът се измерва в радиани, формулата е още по-проста, защото радианът се определя чрез самия радиус:

Всеки символ във формулите има точно значение:

И двете форми дават един и същ отговор. Използвайте L = πrθ / 180, когато ъгълът ви е в градуси, и L = rθ, когато е в радиани. Калкулаторът първо преобразува градусите в радиани и после използва L = rθ вътрешно, затова двата режима винаги съвпадат.

Използването на диаметъра вместо радиуса дава втора форма на същата формула. Тъй като d = 2r, то r = d / 2 и заместването дава L = dθ / 2 в радиани или L = πdθ / 360 в градуси.

Радиусът плюс централният ъгъл е най-прекият начин да намерите дължината на дъга на сектор. Разработеният пример по-долу използва радиус от 6 единици и централен ъгъл от 60°.

1. Определете радиуса. r = 6 единици.
2. Определете централния ъгъл. θ = 60°.
3. Преобразувайте градусите в радиани. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 радиана.
4. Запишете формулата за дължина на дъга. L = rθ.
5. Заместете стойностите. L = 6 × π / 3.
6. Изчислете. L = 6.2831853072 единици.
7. Закръглете при нужда. До два знака след десетичната запетая, L = 6.28 единици.

Същите стъпки работят за всеки радиус и ъгъл. Радиус от 8 единици с 90° дава L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 единици. Радиус от 5 единици с 270° дава L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 единици. Радиус от 1 единица с 60° дава L = 1.0471975512 единици, което е точно π / 3, полезна проверка: при r = 1 дължината на дъгата е равна на ъгъла в радиани.

Правило за закръгляне. Закръгляйте само накрая. Ако замените π с 3.14 преди умножението, радиус от 6 с 60° дава 6.28 точно по случайност тук, но при радиус от 8 с 90° дава 12.56 вместо 12.5663706144, грешка от 0.0063706144. Тази грешка расте с радиуса, затова пазете пълната точност през цялото изчисление и закръгляйте само крайния показан резултат.

Когато знаете диаметъра вместо радиуса, първо го разделете наполовина, после приложете същата формула. Разработеният пример по-долу използва диаметър от 14 единици и централен ъгъл от 120°.

1. Определете диаметъра. d = 14 единици.
2. Намерете радиуса. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 единици.
3. Определете централния ъгъл. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 радиана.
4. Запишете формулата. L = rθ или направо L = πdθ / 360.
5. Заместете. L = 7 × 2.0943951024 или L = π × 14 × 120 / 360.
6. Изчислете. L = 14.6607657168 единици.
7. Закръглете при нужда. До два знака след десетичната запетая, L = 14.66 единици.

И двата пътя съвпадат точно, което е добра самопроверка. Пътят през радиуса дава 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Пътят през диаметъра дава π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Ако двата не съвпадат, диаметърът не е разделен наполовина правилно.

Друг пример: диаметър от 20 единици със 180° дава r = 10 единици, значи L = π × 10 = 31.4159265359 единици, дъгата на полукръга. Диаметър от 10 единици с 60° дава r = 5 единици, значи L = 5.2359877560 единици. Най-честата грешка при това изчисление е да забравите делението на две и да използвате диаметъра, сякаш е радиус, което удвоява отговора. При d = 14 тази грешка дава 29.3215314336 вместо 14.6607657168.

Съвет за измерване. Диаметрите често се измерват по-лесно в реалния живот от радиусите, защото можете да измерите направо през кръга. Затова калкулаторът приема въвеждане на диаметър направо: измерете напречно, въведете го и калкулаторът го разделя наполовина вместо вас.

Градусите са ежедневната единица за ъгли. Пълният кръг съдържа 360°, затова централният ъгъл в градуси ви казва направо каква част от пълния кръг покрива вашият сектор. Ъгъл от 90° покрива една четвърт от кръга, 180° покрива една половина, а 270° покрива три четвърти.

Градусната формула е L = πrθ / 180, където θ е в градуси. Тя идва от идеята за частта: θ / 360 от обиколката 2πr, опростено.

Разработен пример. Радиус 8 единици, ъгъл 90°.

1. Определете стойностите. r = 8 единици, θ = 90°.
2. Намерете частта от кръга. 90 / 360 = 1 / 4, четвърт кръг.
3. Запишете формулата. L = πrθ / 180.
4. Заместете. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Изчислете. L = 12.5663706144 единици.
6. Проверете спрямо обиколката. Пълната обиколка е 2π × 8 = 50.2654824574 единици, а една четвърт от нея е 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 единици. Двете съвпадат.

Още примери в градуси с радиус от 5 единици: 30° дава L = 2.6179938780 единици, 45° дава L = 3.9269908170 единици, 120° дава L = 10.4719755120 единици, а 270° дава L = 23.5619449019 единици. Забележете, че удвояването на ъгъла удвоява дължината на дъгата при същия радиус, защото дължината на дъгата е право пропорционална на централния ъгъл.

Честа грешка с градуси. Поставянето на градусна стойност направо в L = rθ без преобразуване дава силно грешен отговор. При r = 5 и 60° непреобразуваното изчисление дава 5 × 60 = 300, а верният отговор е 5.2359877560. Формулата L = rθ се нуждае от радиани, затова или първо преобразувайте, или използвайте градусната форма L = πrθ / 180.

Радианът е ъгълът, който получавате, когато дължината на дъгата е равна на радиуса. Ако увиете парче връв, равно на радиуса, около кръга, ъгълът, който то обхваща при центъра, е точно 1 радиан. Пълният кръг съдържа 2π радиана, около 6.2831853072 радиана, защото пълната обиколка е 2πr и делението на r оставя 2π.

Радианната формула е L = rθ, най-простата формула за дължина на дъга. В нея няма π, защото π вече е вътре в радианната мярка на ъгъла.

Разработен пример. Радиус 6 единици, ъгъл π / 3 радиана (което е 60°).

1. Определете стойностите. r = 6 единици, θ = π / 3 = 1.0471975512 радиана.
2. Запишете формулата. L = rθ.
3. Заместете. L = 6 × 1.0471975512.
4. Изчислете. L = 6.2831853072 единици.
5. Проверете спрямо градусите. π / 3 радиана са 60°, а градусната формула дава L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 единици. Двете съвпадат точно.

Още примери в радиани: радиус от 4 единици с θ = π / 2 радиана дава L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 единици. Радиус от 10 единици с θ = π радиана дава L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 единици, дъгата на полукръга. Радиус от 5 единици с θ = 1 радиан дава L = 5 единици, защото дъгата е равна на радиуса, когато ъгълът е 1 радиан.

Защо радианите са предпочитани в математиката. Формулите от математическия анализ за дължина на дъга, както и формулите за хорда, сектор и лице на сегмент на тази страница, използват радиани. Градусите са удобни за ежедневно измерване, но радианите правят математиката чиста, затова калкулаторът преобразува всеки ъгъл в радиани, преди да изчисли.

Дължината на дъгата на сектора и лицето на сектора звучат сходно, но измерват различни неща. Дължината на дъгата е едномерно извито разстояние, измервано в обикновени единици. Лицето на сектора е двумерна област, клинът на кръга, изрязан от два радиуса и дъгата, измервано в квадратни единици.

Формулите изглеждат сходно, което е точно причината да се бъркат:

Лицето на сектора е дължината на дъгата, умножена по половината от радиуса: A = ½ × r × L. Тази връзка е полезна проверка. При радиус от 6 единици и 60° дъгата е 6.2831853072 единици, а лицето на сектора е ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 квадратни единици.

Единиците са подсказката. Ако отговорът ви трябва да е дължина, единицата е cm, m или инчове. Ако трябва да е лице, единицата е cm², m² или квадратни инчове. Отговор за дължина на дъга в квадратни единици или отговор за лице на сектор в обикновени единици със сигурност е грешен. Калкулаторът държи двете отделно и обозначава единиците ясно.

Проверка с пълен кръг. При 360° секторът е целият кръг, затова лицето на сектора трябва да е равно на πr². При r = 6, π × 36 = 113.0973355292 квадратни единици. Дъгата по същото време е пълната обиколка, 37.6991118431 единици. И двете идват от същия радиус и ъгъл, но отговарят на различни въпроси.

Периметърът на сектора е разстоянието по цялата му граница. Правилният сектор има три гранични части: извитата дъга, първия радиус и втория радиус. Значи периметърът на сектора е дължината на дъгата плюс два пъти радиуса:

Тук θ е в радиани. Двете прави страни са всяка точно по един радиус дълги, затова добавят 2r към извитата дължина на дъгата.

Разработен пример. Радиус 6 единици, ъгъл 60°. Дъгата е L = 6.2831853072 единици. Двата радиуса добавят 2 × 6 = 12 единици. Периметърът на сектора е P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 единици.

Още примери. Радиус 8 с 90°: дъга 12.5663706144, периметър 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 единици. Радиус 5 с 270°: дъга 23.5619449019, периметър 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 единици. Радиус 7 със 120°: дъга 14.6607657168, периметър 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 единици.

Два специални случая. При пълен кръг, 360°, в границата изобщо няма страни радиус: периметърът е просто обиколката, P = 2πr. При r = 6 това е 37.6991118431 единици, а не 37.6991118431 + 12. При сектор с нулев ъгъл, 0°, геометрията е изродена: двата радиуса съвпадат и дъгата има нулева дължина, затова не представяйте обикновен периметър на сектор за него. Калкулаторът третира случая с нулев ъгъл като изроден и не отчита нормална стойност за периметър.

Защо разликата има значение. Ако поръчвате кант за панел с форма на сектор, ви трябва периметърът, защото кантът върви по дъгата и по двата прави ръба. Ако измервате само извития ръб, ви трябва дължината на дъгата. Объркването на двете е една от най-честите грешки при сектори, а калкулаторът показва и двете стойности една до друга, така че разликата винаги е видима.

Два радиуса разделят кръга на два сектора. По-малкият е малкият сектор, а по-големият е големият сектор. Те споделят същите два радиуса и заедно образуват пълния кръг.

Централният ъгъл решава кой е кой. Централен ъгъл под 180° дава малък сектор. Централен ъгъл над 180° дава голям сектор, а неговият ъгъл е изпъкнал ъгъл, по-голям от изправен ъгъл. Точно 180° дава полукръг, който не е нито малък, нито голям: двата сектора са равни.

Малкият и големият са допълващи се. При по-малък централен ъгъл θ малката дъга е Lminor = rθ, а голямата дъга е Lmajor = r(2π - θ). Сумата им винаги е пълната обиколка, а лицата на секторите им се събират до лицето на пълния кръг:

Разработен пример. Радиус 6 единици, по-малък ъгъл 60°. Малката дъга е L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 единици, а лицето на малкия сектор е 18.8495559215 квадратни единици. Голямата дъга използва изпъкналия ъгъл 360° - 60° = 300°, значи L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 единици, а лицето на големия сектор е 94.2477796077 квадратни единици. Дъгите се събират до 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 единици, пълната обиколка, а лицата се събират до 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 квадратни единици, лицето на пълния кръг. Малкият сектор е 16.67% от кръга, а големият сектор е 83.33%.

Друг пример. Радиус 5 единици, ъгъл 270°. Това вече е големият сектор: L = 23.5619449019 единици, а лицето на сектора е 58.9048622548 квадратни единици. Неговият допълващ малък сектор използва 90°: L = 7.8539816340 единици, а лицето е 19.6349540849 квадратни единици. Сумата е 31.4159265359 единици, пълната обиколка 2π × 5.

Не бъркайте двата ъгъла. Най-честата грешка между малък и голям сектор е да използвате по-малкия ъгъл, когато задачата иска големия сектор, или обратно. Винаги проверявайте дали ъгълът, който ви е даден, е по-малкият или изпъкналият, и помнете, че калкулаторът показва и двата сектора един до друг, за да можете да изберете този, който ви трябва за задачата.

Секторът и кръговият сегмент са две различни области на кръга и лесно се бъркат, защото и двете включват дъга. Секторът е ограден от два радиуса и дъга. Кръговият сегмент е ограден от хорда и дъга. Сегментът е частта от сектора, която лежи отвъд хордата, затова е по-малък от сектора, освен в специалните случаи по-долу.

Формулите показват разликата ясно:

Лицето на сегмента е лицето на сектора минус триъгълното лице между двата радиуса и хордата. Тук θ е централното обхождане в радиани, между 0 и 2π. Формулата обработва правилно и малките, и големите сегменти: при малка дъга дава малката шапка, а при голяма дъга дава голямата област, която покрива по-голямата част от кръга.

Разработени примери. При r = 6 единици и 60° лицето на сектора е 18.8495559215 квадратни единици, а лицето на сегмента е ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 квадратни единици. Сегментът е много по-малък от сектора, защото триъгълникът заема по-голямата част от клина. При r = 8 и 90° сегментът е 18.2654824574 квадратни единици. При r = 5 и 90° сегментът е 7.1349540849 квадратни единици.

Специални случаи. При 180° sin θ = 0, затова лицето на сегмента е равно на лицето на сектора: ½ πr². При r = 5 и двете са 39.2699081699 квадратни единици, което е точно половината от кръга. При 270° sin θ = -1, затова сегментът е по-голям от сектора: при r = 5 секторът е 58.9048622548 квадратни единици, а сегментът е 71.4048622548 квадратни единици. При 360° хордата изчезва и сегментът е целият кръг, πr².

Сегмент срещу сектор, с едно изречение. Секторът е клинът от центъра. Сегментът е шапката отвъд хордата. Ако задачата ви включва центъра, искате сектора. Ако включва само дъгата и нейната хорда, искате сегмента.

Дължината на хордата и дължината на дъгата на сектора свързват едни и същи две точки на окръжността, но вървят по различни пътища. Дъгата следва кривата. Хордата пресича направо. Дъгата почти винаги е по-дълга.

Формулите показват разликата ясно:

Хордата зависи от синуса на половината от ъгъла, който расте по-бавно от самия ъгъл, затова разликата между дъга и хорда се увеличава с нарастването на ъгъла.

Три факта от таблицата си струва да се запомнят. При 30° дъгата е само около 1.15% по-дълга от хордата, затова при малки ъгли двете са близки. При 180° хордата е диаметърът, 10 единици, докато дъгата е πr = 15.7079632679 единици. При 270° хордата се свива обратно до 7.0710678119 единици, колкото при 90°, защото хордата зависи от по-малкия ъгъл между крайните точки, докато дъгата продължава да расте с обхождането.

Специален случай. При 60° хордата е точно равна на радиуса: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. При r = 6 хордата е 6 единици, а радиусът, хордата и двата радиуса образуват равностранен триъгълник. Това е удобна проверка и любима на съставителите на изпити.

Защо има значение. Ако режете извита тръба, ви трябва дължината на дъгата. Ако измервате правото разстояние между две точки върху кръгла част, ви трябва хордата. Объркването им е една от най-честите грешки при кръгове, а калкулаторът показва и двете стойности заедно, така че разликата винаги е видима.

Понякога не са дадени нито радиусът, нито ъгълът. Калкулаторът работи назад от четири други измервания, като първо извежда липсващата стойност, после прилага L = rθ както обикновено. И седемте метода дават един и същ радиус и една и съща дължина на дъга за един и същ сектор, затова можете да използвате измерването, което действително имате.

От обиколка на пълен кръг. Пълната обиколка е C = 2πr, значи r = C / (2π). При C = 37.6991118431 единици, r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 единици. После дъгата на сектор от 60° е L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 единици. Забележете прекия път: дъга от 60° е една шеста от обиколката, а 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 единици.

От дължина на хорда. Формулата за хорда е c = 2r sin(θ / 2), значи r = c / [2 sin(θ / 2)]. При хорда от 6 единици с ъгъл 60°, r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 единици. После L = 6.2831853072 единици. Въвеждането на хорда работи само когато ъгълът е строго между 0° и 360°: при 0° или 360° хордата е нула и не може да се възстанови радиус, затова калкулаторът отхвърля тези ъгли за този метод.

От лице на сектор и радиус. Лицето на сектора е A = ½r²θ, значи θ = 2A / r². При лице на сектор от 50 квадратни единици с радиус от 10 единици, θ = 2 × 50 / 100 = 1 радиан = 57.2957795131°. После L = 10 × 1 = 10.0000000000 единици. Този метод изисква лицето на сектора да не е по-голямо от лицето на пълния кръг πr²: при r = 10 тази граница е 314.1592653590 квадратни единици, затова лице над нея се отхвърля.

От лице на сектор и ъгъл. Пренаредено по същия начин, r = √(2A / θ), като θ е в радиани. При лице на сектор от 18.8495559215 квадратни единици с ъгъл 60°, θ = 1.0471975512 радиана, значи r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 единици. После L = 6.2831853072 единици. Този метод се нуждае от ъгъла, както и от лицето, защото едно и също лице на сектор може да дойде от много комбинации на радиус и ъгъл.

От радиус и известна дължина на дъга. Ъгълът е θ = L / r. При радиус от 4 единици и известна дъга от 6 единици, θ = 6 / 4 = 1.5 радиана = 85.9436692696°. После лицето на сектора е A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 квадратни единици, а периметърът е P = 6 + 8 = 14.0000000000 единици. Този метод изисква дъгата да не е по-дълга от пълната обиколка 2πr: при r = 4 тази граница е 25.1327412287 единици.

Кой вход да използвате. Използвайте измерването, което действително имате. Ако две различни измервания дават различни радиуси, едното от измерванията е грешно и това несъответствие си струва да се проучи, преди да се доверите на който и да е отговор.

Дължината на дъгата на сектора не е абстрактно упражнение от класната стая. Навсякъде, където извито разстояние върху кръг трябва да се измери, изреже, построи или измине, важи същата формула.

Машинно инженерство. Огъването на тръби започва с дължината на дъгата: тръба, огъната през 90° с радиус на огъване от 8 единици, се нуждае от 12.5663706144 единици тръба само за огъването. Ламарина, навита в извита плоскост, профил на зъб на зъбно колело и форма на гърбица се нуждаят от извитата дължина, преди материалът да се изреже. Грешката тук пилее материал или оставя частта къса.

Архитектура и строителство. Сводести врати, кръгли прозорци, куполи и извити стълбища се оразмеряват по техните дъги. Полукръгла арка с радиус от 10 единици се нуждае от 31.4159265359 единици кант по кривата. Навес с форма на сектор с радиус от 6 единици и ъгъл 60° се нуждае от 6.2831853072 единици кант по кривата и 18.2831853072 единици около цялата граница.

Пътища и писти. Кръгъл пътен завой, завой на писта за бягане или железопътен завой се полагат по радиус и централен ъгъл. Дължината на завоя решава количеството асфалт, дължината на релсата и разстоянието, което превозното средство изминава през завоя. Завой от 120° с радиус от 7 единици е дълъг 14.6607657168 единици.

Пица и порциониране на храна. Парчето пица е сектор. Ако пицата има радиус от 6 единици, едно парче, отрязано на 60°, има дължина на кората 6.2831853072 единици и лице 18.8495559215 квадратни единици. Шест такива парчета правят цялата пица, а корите им се събират до 37.6991118431 единици, пълната обиколка. Рязането на равни парчета е задача за разделяне на сектор: равните ъгли дават равни дъги и равни лица.

Часовници, колела и роботика. Стрелка на часовник обхожда дъга с течение на времето. Колело, което се търкаля по земята, покрива разстояние, равно на дъгата, през която се завърта. Роботска ръка, която се върти около става, движи своя захват по кръгова дъга, а изминатото разстояние е rθ, затова радианите са естествената единица в роботиката.

Компютърна графика и CAD. Кривите в CAD модели, шрифтове и анимации се строят от кръгови дъги. Дължината на дъгата решава как се разделя траекторията на инструмента, как се изобразява кривата и колко далеч се движи обект по кръгов път в анимация. Част с форма на сектор в CAD се определя точно от радиуса и ъгъла, които използва този калкулатор.

Бележка за реалните форми. Не всяка извита конструкция е съвършен кръг. Реалните арки могат да са елиптични или параболични, а реалните пътища използват клотоидни преходи. Формулите за сектор на тази страница важат точно, когато кривата е истинска кръгова дъга, и са добро приближение само когато кривата е близка до кръгова. Винаги потвърждавайте формата, преди да приложите формулата.

Повечето грешни отговори при дължина на дъга на сектор идват от малък списък с грешки. Проверката за всяка от тях отнема секунди и спестява повечето грешки.

1. Използване на градуси направо в радианната формула. L = rθ се нуждае от радиани. Поставянето на 60° направо дава 6 × 60 = 360 вместо 6.2831853072. Първо преобразувайте или използвайте L = πrθ / 180.
2. Объркване на радиус с диаметър. Формулата се нуждае от r, а не от d. Използването на d = 14 като радиус удвоява отговора: 29.3215314336 вместо 14.6607657168 при сектор от 120°. Първо разделете диаметъра наполовина.
3. Объркване на лице на сектор с дължина на дъга. Лицето на сектора е двумерна област в квадратни единици. Дължината на дъгата е едномерно разстояние в обикновени единици. При r = 6 и 60° лицето на сектора е 18.8495559215 квадратни единици, а дъгата е 6.2831853072 единици. Различни величини, различни единици.
4. Объркване на периметър на сектор с дължина на дъга. Периметърът добавя две страни радиус: P = L + 2r. При r = 6 и 60° дъгата е 6.2831853072 единици, но периметърът е 18.2831853072 единици. Използването на периметъра, когато задачата иска дъгата, надценява отговора с 12 единици.
5. Използване на грешен централен ъгъл. Задача за сектор може да дава ъгъла между хордата и допирателна или вписан ъгъл вместо централния ъгъл. Вписаният ъгъл е половината от централния ъгъл за същата дъга. Ако задачата дава вписан ъгъл φ, централният ъгъл е θ = 2φ, а дъгата е L = r × 2φ. Използването на φ направо намалява отговора наполовина.
6. Объркване на малък и голям сектор. Ъгъл от 270° дава дъга на голям сектор от 23.5619449019 единици при r = 5. Използването на по-малкия ъгъл 90° вместо това дава 7.8539816340 единици, малката дъга. Проверете кой сектор иска задачата.
7. Използване на грешна формула за хорда. Хордата е c = 2r sin(θ / 2), като половината от ъгъла е вътре в синуса. Използването на sin(θ) вместо това дава грешна стойност: при r = 6 и 60° верната хорда е 6 единици, докато 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 единици.
8. Смесване на линейни и квадратни мерни единици. Радиус в cm и ъгъл в градуси е добре, но отговорът излиза в cm. Лице на сектор в cm² трябва да се преобразува с квадратния коефициент: 1 m² е 10,000 cm², а не 100 cm². Смесването на cm и инчове в едно изчисление или забравянето да преобразувате изходната единица дава число с грешен размер. Първо преобразувайте, после изчислявайте.
9. Закръгляне на π твърде рано. Замяната на π с 3.14 преди умножението въвежда грешка, която расте с радиуса. Пазете π с пълна точност през изчислението и закръгляйте само крайния показан резултат.
10. Забравяне да преобразувате ъгъла в радиани. Всяка формула за сектор, която използва θ без 180 в нея, включително лицето на сектора A = ½r²θ, хордата c = 2r sin(θ / 2) и лицето на сегмента A = ½r²(θ - sin θ), се нуждае от θ в радиани. Градусите работят само в градусните форми на формулите.

Последна проверка, която хваща повечето от тях. Проверете резултата спрямо обиколката. Дъгата трябва да е между 0 и 2πr, трябва да е по-дълга от хордата, лицето на сектора трябва да е между 0 и πr², а малката плюс голямата дъга трябва да се събират до точно 2πr. Ако някоя от тези проверки се провали, една от десетте грешки по-горе е причината.

Тези шест примера покриват основните методи на въвеждане на калкулатора и видовете сектори. Всеки от тях се изчислява от същия двигател, който задвижва инструмента, а всеки резултат е проверен независимо.

Пример 1: Сектор от 60 градуса с радиус 6. Дадено r = 6 единици, θ = 60° = π / 3 радиана. Дължина на дъга L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 единици. Диаметър d = 12 единици. Хорда c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 единици. Лице на сектор A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 квадратни единици. Периметър на сектор P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 единици. Лицето на сегмента е 3.2610986534 квадратни единици. Пълна обиколка C = 37.6991118431 единици.

Пример 2: Сектор четвърт кръг с радиус 8 и 90°. Дадено r = 8 единици, θ = 90° = π / 2 радиана. Дължина на дъга L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 единици. Хорда c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 единици. Лице на сектор A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 квадратни единици. Периметър на сектор P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 единици. Лицето на сегмента е 18.2654824574 квадратни единици. Дъгата е точно една четвърт от обиколката 50.2654824574 единици.

Пример 3: Голям сектор с радиус 5 и 270°. Дадено r = 5 единици, θ = 270° = 3π / 2 радиана. Дължина на дъга L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 единици. Хорда c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 единици. Лице на сектор A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 квадратни единици. Периметър на сектор P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 единици. Допълнителната малка дъга, използвайки 90°, е 7.8539816340 единици, а допълнителното лице на сектора е 19.6349540849 квадратни единици. Двете дъги се събират до 31.4159265359 единици, пълната обиколка.

Пример 4: Сектор от диаметър 14 и 120°. Дадено d = 14 единици, θ = 120° = 2π / 3 радиана. Радиус r = 14 / 2 = 7 единици. Дължина на дъга L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 единици. Хорда c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 единици. Лице на сектор A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 квадратни единици. Периметър на сектор P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 единици. Лицето на сегмента е 30.0950576159 квадратни единици.

Пример 5: Сектор от лице 50 и радиус 10. Дадено лице на сектор A = 50 квадратни единици, радиус r = 10 единици. Централен ъгъл θ = 2 × 50 / 100 = 1 радиан = 57.2957795131°. Дължина на дъга L = 10 × 1 = 10.0000000000 единици. Хорда c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 единици. Периметър на сектор P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 единици. Лицето на сегмента е 7.9264507596 квадратни единици. Допълнителната дъга е 52.8318530718 единици.

Пример 6: Сектор от радиус 4 и известна дължина на дъга 6. Дадено r = 4 единици, L = 6 единици. Централен ъгъл θ = 6 / 4 = 1.5 радиана = 85.9436692696°. Лице на сектор A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 квадратни единици. Хорда c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 единици. Периметър на сектор P = 6 + 8 = 14.0000000000 единици. Лицето на сегмента е 4.0200401072 квадратни единици. Допълнителната дъга е 19.1327412287 единици, а допълнителното лице на сектора е 38.2654824574 квадратни единици.

Кликнете върху който и да е бутон с готов пример в калкулатора, за да заредите един от тези примери и да видите пълното решение стъпка по стъпка, диаграмата на живо и всички вторични резултати за това въвеждане.