扇形弧長計算機

扇形弧長計算機は、小さな一切れから完全な円まで、円の扇形の弧に沿った曲線の距離を測ります。7種類の異なる出発測定値に対応しているので、すでに分かっている値のどれからでも使えます。次の手順に従えば、1分以内に正しい答えが得られます。

1. 入力方法を選びます。半径 + 中心角、直径 + 中心角、円全体の円周 + 中心角、扇形の面積 + 半径、扇形の面積 + 中心角、弦の長さ + 中心角、半径 + 既知の弧長のいずれかを選びます。入力欄、そのラベル、単位リストは、選んだ方法に合わせて変わります。
2. 測定値を入力します。入力欄に値を入力します。面積を使う方法では、二乗単位のリスト(mm²、cm²、m²、km²、in²、ft²、yd²)を使います。
3. 中心角を入力します。DEG/RAD 切替を使って度またはラジアンで角度を入力するか、角度スライダーを 0° から 360° までドラッグします。動かすとライブ図と結果が更新されます。扇形の面積 + 半径と半径 + 既知の弧長の方法では、角度は入力した値から求められます。
4. 必要に応じて開始角と終了角を設定します。既定の掃引は 0° から始まり反時計回りに進みます。開始角、終了角、方向を変えると、円上のどこでも扇形を測れます。弧長を決めるのは掃引であって位置ではありません。開始角と終了角が同じ場合は、完全な一回転を選ぶ場合を除き、弧長ゼロを意味します。
5. 入力単位と出力単位を選びます。計算機は入力を一貫した内部単位に変換して計算し、答えを出力単位に変換します。単位によって数値は変わりますが、長さは変わりません。
6. 精度を選びます。小数点以下 2、4、6、8 桁から選びます。既定は 4 桁です。計算機は内部では常に完全精度の π を使い、表示される結果だけを丸めます。
7. 「今すぐ計算」をクリックします。主な結果は扇形の弧長で、その分類(角度ゼロの扇形、劣扇形、半円、優扇形、完全な円)とともに表示されます。その下には、半径、直径、円全体の円周、補弧、弦の長さ、扇形の面積、扇形の周囲長、弓形の面積、弧の割合、両方の角度形式、劣扇形と優扇形の比較が表示されます。
8. 図を確認します。ライブ扇形図は円全体を描き、選んだ扇形を金色で塗りつぶし、中心 O、半径線、弦、端点をマークします。切替を使って、半径線、弦、中心点、角度マーカー、補扇形の表示と非表示を切り替えられます。
9. コピー、印刷、リセットができます。「結果をコピー」で答えをクリップボードに置き、「概要を印刷」で簡単なレポートを作成し、「リセット」でパネルをクリアします。プリセットボタンは検証済みの例を即座に読み込み、クイック選択ボタンは 45°、60°、90°、120°、180°、270°、360° に直接ジャンプします。

例を試してみましょう。半径 6、角度 60° の場合、弧は 6.2831853072 単位です。半径 8、90° の場合、12.5663706144 単位です。半径 5、270° の場合、優扇形の弧は 23.5619449019 単位です。直径 14、120° の場合、14.6607657168 単位です。扇形の面積 50、半径 10 の場合、弧は 10.0000000000 単位で、半径 4、既知の弧 6 単位の場合、角度は 85.9436692696° です。

重要なヒントです。角度の単位を一貫させましょう。60° と 1.0471975512 ラジアンは同じ角度ですが、60 ラジアンは 60° ではありません。弧長は曲線の距離だけです。弦は別の測定値で、弧長ゼロの場合を除き常に短くなります。直径を入力すると、計算機はまずそれを半分にして半径を求めます。扇形の面積は弧長ではありません。一方は平方単位、もう一方は普通の単位で測られます。ゼロまたは負の測定値は有効な扇形ではないため、計算機は誤解を招く答えを表示する代わりにそれを拒否します。

円とは、中心点 O から一定の距離、つまり半径だけ離れたすべての点の集合です。円の扇形とは、二つの半径とその間の弧によって円から切り取られたくさび形の領域で、パイの一切れのような形です。扇形の弧長とは、そのくさびの外側の縁に沿った曲線の距離で、一方の半径の端点からもう一方の半径の端点まで、曲線に沿って測ったものです。

ピザの一切れを思い浮かべてください。二つのまっすぐな切り口が半径、とがった先端が中心 O、クラストが弧です。弧長はクラストの長さです。一切れの広い端を横切って二つのクラスト端点を結ぶ直線が弦で、クラストより短くなります。

すべての扇形は、半径によって大きさが変わるだけで、同じ部分からできています。中心 O は固定された点です。半径 r は O から円上の任意の点まで伸びます。中心角 θ は、扇形を囲む二つの半径の間の、O における角度で、扇形が円のどれだけの割合を占めるかを決めます。弧は曲線の縁です。弦は弧の端点同士を結ぶ直線です。扇形の面積は、二つの半径と弧の内側の領域です。

二つの半径は常に円を二つの扇形に分けます。小さい方が劣扇形、大きい方が優扇形です。合わせると完全な円になります。どちらが必要かは問題によって決まります。計算機は両方を表示するので、推測する必要はありません。

扇形の弧長は一次元の測定値、つまり長さなので、cm、m、インチのような普通の単位で表されます。面積ではなく、角度でもありません。この三つの量を区別することが、扇形の計算をすべて正しく行う第一歩です。

扇形の弧長は、完全な円の円周から直接導かれます。完全な円の円周は次のとおりです。

中心角 θ の扇形は、完全な 360° の回転のうち θ / 360 の割合を占めるので、その弧は円周の同じ割合になります。

整理すると、度数法の公式が得られます。

角度をラジアンで測ると、公式はさらに簡単になります。ラジアンは半径そのものによって定義されるからです。

公式の各記号には、正確な意味があります。

どちらの形でも同じ答えが得られます。角度が度数で与えられている場合は L = πrθ / 180 を、ラジアンの場合は L = rθ を使います。計算機はまず度数をラジアンに変換してから、内部では L = rθ を使うため、二つのモードは常に一致します。

半径の代わりに直径を使うと、同じ公式の別の形が得られます。d = 2r なので r = d / 2 であり、代入するとラジアンでは L = dθ / 2、度数では L = πdθ / 360 となります。

半径と中心角が分かっている場合が、扇形の弧長を求める最も直接的な方法です。以下の計算例では、半径 6 単位、中心角 60° を使います。

1. 半径を確認します。r = 6 単位です。
2. 中心角を確認します。θ = 60° です。
3. 度数をラジアンに変換します。θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 ラジアンです。
4. 弧長の公式を書きます。L = rθ です。
5. 値を代入します。L = 6 × π / 3 です。
6. 計算します。L = 6.2831853072 単位です。
7. 必要に応じて丸めます。小数点以下 2 桁では、L = 6.28 単位です。

同じ手順は、どんな半径と角度にも使えます。半径 8 単位、90° の場合、L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 単位です。半径 5 単位、270° の場合、L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 単位です。半径 1 単位、60° の場合、L = 1.0471975512 単位で、これはちょうど π / 3 です。便利な確認方法です。r = 1 の場合、弧長はラジアンでの角度と等しくなります。

丸めのルールです。丸めるのは最後だけにします。掛ける前に π を 3.14 に置き換えると、半径 6、60° の場合はたまたま 6.28 と正確に一致しますが、半径 8、90° の場合は 12.5663706144 ではなく 12.56 となり、0.0063706144 の誤差が出ます。この誤差は半径とともに大きくなるので、計算の間は完全な精度を保ち、最後に表示される結果だけを丸めます。

半径の代わりに直径が分かっている場合は、まずそれを半分にしてから同じ公式を適用します。以下の計算例では、直径 14 単位、中心角 120° を使います。

1. 直径を確認します。d = 14 単位です。
2. 半径を求めます。r = d / 2 = 14 / 2 = 7 単位です。
3. 中心角を確認します。θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 ラジアンです。
4. 公式を書きます。L = rθ、または直接 L = πdθ / 360 です。
5. 代入します。L = 7 × 2.0943951024、または L = π × 14 × 120 / 360 です。
6. 計算します。L = 14.6607657168 単位です。
7. 必要に応じて丸めます。小数点以下 2 桁では、L = 14.66 単位です。

二つの方法は正確に一致するので、よい自己チェックになります。半径を使う方法では 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168 です。直径を使う方法では π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168 です。二つが一致しなければ、直径を正しく半分にできていません。

もう一つの例です。直径 20 単位、180° の場合、r = 10 単位なので、L = π × 10 = 31.4159265359 単位で、半円の弧です。直径 10 単位、60° の場合、r = 5 単位なので、L = 5.2359877560 単位です。この計算で最も多い誤りは、2 で割るのを忘れて直径を半径のように使ってしまうことで、答えが 2 倍になります。d = 14 の場合、その誤りでは 14.6607657168 ではなく 29.3215314336 となります。

測定のヒントです。直径は半径より実生活で測りやすいことがよくあります。円をまっすぐ横切って測れるからです。だからこそ計算機は直径の入力を直接受け付けます。横切って測り、入力すれば、計算機が半分にしてくれます。

度数は角度の日常的な単位です。完全な円は 360° なので、度数での中心角は、扇形が完全な円のどれだけの割合を占めるかを直接教えてくれます。90° の角度は円の 4 分の 1、180° は半分、270° は 4 分の 3 を占めます。

度数法の公式は L = πrθ / 180 で、θ は度数です。これは割合の考え方から来ています。円周 2πr のうち θ / 360 の割合を、整理したものです。

計算例です。半径 8 単位、角度 90° です。

1. 値を確認します。r = 8 単位、θ = 90° です。
2. 円の割合を求めます。90 / 360 = 1 / 4、つまり四分円です。
3. 公式を書きます。L = πrθ / 180 です。
4. 代入します。L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2 です。
5. 計算します。L = 12.5663706144 単位です。
6. 円周と照らし合わせます。円全体の円周は 2π × 8 = 50.2654824574 単位で、その 4 分の 1 は 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 単位です。二つは一致します。

半径 5 単位での度数の例をさらに挙げます。30° では L = 2.6179938780 単位、45° では L = 3.9269908170 単位、120° では L = 10.4719755120 単位、270° では L = 23.5619449019 単位です。同じ半径では、角度を 2 倍にすると弧長も 2 倍になることに注目してください。弧長は中心角に正比例するからです。

よくある度数の誤りです。度数の値を変換せずにそのまま L = rθ に入れると、大きく間違った答えになります。r = 5、60° の場合、変換しない計算では 5 × 60 = 300 となりますが、正しい答えは 5.2359877560 です。公式 L = rθ にはラジアンが必要なので、まず変換するか、度数法の L = πrθ / 180 を使います。

ラジアンとは、弧長が半径と等しくなるときの角度です。半径と等しい長さのひもを円に巻き付けると、中心におけるその角度がちょうど 1 ラジアンです。完全な円は 2π ラジアン、約 6.2831853072 ラジアンを含みます。円全体の円周は 2πr で、r で割ると 2π が残るからです。

ラジアン法の公式は L = rθ で、最も簡単な弧長の公式です。π が含まれていないのは、π がすでに角度のラジアン測度の中に入っているからです。

計算例です。半径 6 単位、角度 π / 3 ラジアン(60° に相当)です。

1. 値を確認します。r = 6 単位、θ = π / 3 = 1.0471975512 ラジアンです。
2. 公式を書きます。L = rθ です。
3. 代入します。L = 6 × 1.0471975512 です。
4. 計算します。L = 6.2831853072 単位です。
5. 度数と照らし合わせます。π / 3 ラジアンは 60° で、度数法では L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 単位となります。二つは正確に一致します。

ラジアンの例をさらに挙げます。半径 4 単位、θ = π / 2 ラジアンの場合、L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 単位です。半径 10 単位、θ = π ラジアンの場合、L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 単位で、半円の弧です。半径 5 単位、θ = 1 ラジアンの場合、L = 5 単位です。角度が 1 ラジアンのとき、弧は半径と等しくなるからです。

数学でラジアンが好まれる理由です。弧長の微積分の公式や、このページの弦、扇形、弓形の面積の公式は、すべてラジアンを使います。度数は日常の測定には便利ですが、ラジアンは数学をすっきりさせるため、計算機は計算前にすべての角度をラジアンに変換します。

扇形の弧長と扇形の面積は似て聞こえますが、測るものが違います。弧長は一次元の曲線の距離で、普通の単位で測ります。扇形の面積は二次元の領域、つまり二つの半径と弧によって切り取られた円のくさびで、平方単位で測ります。

公式は似ているため、まさにそれが混同の原因です。

扇形の面積は、弧長に半径の半分を掛けたものです。A = ½ × r × L です。この関係は便利なチェックになります。半径 6 単位、60° の場合、弧は 6.2831853072 単位で、扇形の面積は ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 平方単位です。

単位が手がかりです。答えが長さであるべきなら、単位は cm、m、インチです。面積であるべきなら、単位は cm²、m²、平方インチです。弧長の答えが平方単位になっていたり、扇形の面積の答えが普通の単位になっていたりすれば、確実に間違っています。計算機はこの二つを別々に保ち、単位をはっきりと表示します。

完全な円でのチェックです。360° では扇形は円全体になるので、扇形の面積は πr² と等しくなければなりません。r = 6 の場合、π × 36 = 113.0973355292 平方単位です。同時に弧は円全体の円周、37.6991118431 単位です。どちらも同じ半径と角度から得られますが、答える質問が違います。

扇形の周囲長とは、その境界を一周する距離です。正しい扇形には三つの境界部分があります。曲線の弧、最初の半径、2 番目の半径です。したがって扇形の周囲長は、弧長に半径の 2 倍を加えたものになります。

ここで θ はラジアンです。二つの直線の辺はそれぞれちょうど半径 1 本分の長さなので、曲線の弧長に 2r を加えます。

計算例です。半径 6 単位、角度 60° です。弧は L = 6.2831853072 単位です。二つの半径は 2 × 6 = 12 単位を加えます。扇形の周囲長は P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 単位です。

さらに例を挙げます。半径 8、90° の場合、弧は 12.5663706144 で、周囲長は 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 単位です。半径 5、270° の場合、弧は 23.5619449019 で、周囲長は 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 単位です。半径 7、120° の場合、弧は 14.6607657168 で、周囲長は 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 単位です。

二つの特別な場合です。完全な円、360° の場合、境界には半径の辺がまったくありません。周囲長は単に円周、P = 2πr です。r = 6 の場合、37.6991118431 単位で、37.6991118431 + 12 ではありません。角度ゼロの扇形、0° の場合、図形は退化します。二つの半径は重なり、弧の長さはゼロなので、通常の扇形の周囲長を示してはいけません。計算機は角度ゼロの場合を退化したものとして扱い、通常の周囲長の値を報告しません。

この区別が重要な理由です。扇形のパネル用の縁取りを注文する場合、縁取りは弧と両方の直線の縁に沿って走るため、周囲長が必要です。曲線の縁だけを測る場合は、弧長が必要です。この二つを混同することは、最も多い扇形の誤りの一つで、計算機は両方の値を並べて表示するので、違いは常に目に見えます。

二つの半径は円を二つの扇形に分けます。小さい方が劣扇形、大きい方が優扇形です。同じ二つの半径を共有し、合わせると完全な円になります。

中心角がどちらかを決めます。180° 未満の中心角は劣扇形になります。180° を超える中心角は優扇形になり、その角度は直角より大きい優角です。ちょうど 180° の場合は半円で、劣扇形でも優扇形でもありません。両方の扇形は等しくなります。

劣扇形と優扇形は補い合います。小さい方の中心角を θ とすると、劣弧は Lminor = rθ、優弧は Lmajor = r(2π - θ) です。その合計は常に完全な円周になり、扇形の面積の合計は完全な円の面積になります。

計算例です。半径 6 単位、小さい方の角度 60° です。劣弧は L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 単位で、劣扇形の面積は 18.8495559215 平方単位です。優弧は優角 360° - 60° = 300° を使うので、L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 単位で、優扇形の面積は 94.2477796077 平方単位です。弧の合計は 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 単位で、円全体の円周になり、面積の合計は 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 平方単位で、円全体の面積になります。劣扇形は円の 16.67%、優扇形は 83.33% です。

もう一つの例です。半径 5 単位、角度 270° です。これはすでに優扇形です。L = 23.5619449019 単位で、扇形の面積は 58.9048622548 平方単位です。補いの劣扇形は 90° を使います。L = 7.8539816340 単位で、面積は 19.6349540849 平方単位です。合計は 31.4159265359 単位で、円全体の円周 2π × 5 です。

二つの角度を混同しないでください。劣扇形と優扇形で最も多い誤りは、問題が優扇形を求めているのに小さい方の角度を使ったり、その逆をしたりすることです。与えられた角度が小さい方か優角かを常に確認し、計算機は両方の扇形を並べて表示するので、問題に必要な方を選べることを覚えておいてください。

扇形と弓形は円の二つの異なる領域で、どちらも弧を含むため混同しやすいものです。扇形は二つの半径と弧で囲まれます。弓形は弦と弧で囲まれます。弓形は扇形のうち弦の向こう側にある部分なので、以下の特別な場合を除き、扇形より小さくなります。

公式を見ると違いがはっきりします。

弓形の面積は、扇形の面積から二つの半径と弦の間の三角形の面積を引いたものです。ここで θ はラジアンでの中心の掃引で、0 から 2π の間です。この公式は劣弓形と優弓形の両方を正しく扱います。劣弧の場合は小さいキャップを、優弧の場合は円の大部分を占める大きい領域を与えます。

計算例です。r = 6 単位、60° の場合、扇形の面積は 18.8495559215 平方単位で、弓形の面積は ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 平方単位です。弓形は扇形よりはるかに小さいのは、三角形がくさびの大部分を占めるからです。r = 8、90° の場合、弓形は 18.2654824574 平方単位です。r = 5、90° の場合、弓形は 7.1349540849 平方単位です。

特別な場合です。180° では sin θ = 0 なので、弓形の面積は扇形の面積と等しくなります。½ πr² です。r = 5 の場合、どちらも 39.2699081699 平方単位で、ちょうど円の半分です。270° では sin θ = -1 なので、弓形は扇形より大きくなります。r = 5 の場合、扇形は 58.9048622548 平方単位で、弓形は 71.4048622548 平方単位です。360° では弦が消え、弓形は円全体、πr² となります。

弓形と扇形を一言でまとめると、扇形は中心からのくさびです。弓形は弦の向こう側のキャップです。問題に中心が関わる場合は扇形が必要です。弧とその弦だけが関わる場合は弓形が必要です。

弦の長さと扇形の弧長は、どちらも円上の同じ二点を結びますが、通る経路が違います。弧は曲線に沿います。弦はまっすぐ横切ります。弧はほぼ常に長くなります。

公式を見ると違いがはっきりします。

弦は角度の半分のサインに依存し、サインは角度そのものよりゆっくりと大きくなるため、角度が大きくなるにつれて弧と弦の差は広がります。

表から覚えておくべき三つの事実があります。30° では、弧は弦より約 1.15% だけ長いので、小さい角度では二つは近くなります。180° では、弦は直径の 10 単位ですが、弧は πr = 15.7079632679 単位です。270° では、弦は 7.0710678119 単位まで縮み、90° の場合と同じになります。弦は端点間の小さい方の角度に依存するのに対し、弧は掃引とともに増え続けるからです。

特別な場合です。60° では、弦は半径とちょうど等しくなります。c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r です。r = 6 の場合、弦は 6 単位で、半径、弦、二つの半径が正三角形をなします。これは便利なチェックで、試験問題でも好まれます。

なぜ重要かです。曲がったパイプを切る場合は、弧長が必要です。円形の部品上の二点間のまっすぐな隙間を測る場合は、弦が必要です。この二つを混同することは、最も多い円の誤りの一つで、計算機は両方の値を一緒に表示するので、違いは常に目に見えます。

半径も角度も与えられていない場合もあります。計算機は他の四つの測定値から逆向きに計算し、まず不足している値を求めてから、通常どおり L = rθ を適用します。七つの方法はすべて、同じ扇形に対して同じ半径と同じ弧長を与えるので、実際に分かっている測定値のどれを使ってもかまいません。

円全体の円周から。円全体の円周は C = 2πr なので、r = C / (2π) です。C = 37.6991118431 単位の場合、r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 単位です。すると 60° の扇形の弧は L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 単位です。近道に気づいてください。60° の弧は円周の 6 分の 1 で、37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 単位です。

弦の長さから。弦の公式は c = 2r sin(θ / 2) なので、r = c / [2 sin(θ / 2)] です。弦 6 単位、角度 60° の場合、r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 単位です。すると L = 6.2831853072 単位です。弦の入力は、角度が 0° と 360° の間の場合にのみ使えます。0° または 360° では弦はゼロで、半径を回復できないため、この方法では計算機はその角度を拒否します。

扇形の面積と半径から。扇形の面積は A = ½r²θ なので、θ = 2A / r² です。扇形の面積 50 平方単位、半径 10 単位の場合、θ = 2 × 50 / 100 = 1 ラジアン = 57.2957795131° です。すると L = 10 × 1 = 10.0000000000 単位です。この方法では、扇形の面積が円全体の面積 πr² 以下である必要があります。r = 10 の場合、その上限は 314.1592653590 平方単位なので、それを超える面積は拒否されます。

扇形の面積と角度から。同じように並べ替えると、θ をラジアンとして r = √(2A / θ) となります。扇形の面積 18.8495559215 平方単位、角度 60° の場合、θ = 1.0471975512 ラジアンなので、r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 単位です。すると L = 6.2831853072 単位です。この方法では、面積だけでなく角度も必要です。同じ扇形の面積は、半径と角度の多くの組み合わせから生まれるからです。

半径と既知の弧長から。角度は θ = L / r です。半径 4 単位、既知の弧 6 単位の場合、θ = 6 / 4 = 1.5 ラジアン = 85.9436692696° です。すると扇形の面積は A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 平方単位で、周囲長は P = 6 + 8 = 14.0000000000 単位です。この方法では、弧が完全な円周 2πr 以下である必要があります。r = 4 の場合、その上限は 25.1327412287 単位です。

どの入力を使うか。実際に分かっている測定値を使います。二つの異なる測定値が異なる半径を与える場合、どちらかの測定値が間違っており、どちらの答えを信じる前に、その不一致を調べる価値があります。

扇形の弧長は、抽象的な教室の練習問題ではありません。円上の曲線の距離を測ったり、切ったり、作ったり、移動したりする場所ならどこでも、同じ公式が適用されます。

機械工学。パイプの曲げは弧長から始まります。曲げ半径 8 単位で 90° に曲げられたパイプは、曲げ部分だけで 12.5663706144 単位のパイプが必要です。曲面パネルに巻かれた板金、歯車の歯の形状、カムの形状はすべて、材料を切る前に曲線の長さを必要とします。間違えると材料を無駄にしたり、部品が短くなったりします。

建築と建設。アーチ状の出入口、円形の窓、ドーム、曲線の階段は、その弧によって寸法が決まります。半径 10 単位の半円アーチは、曲線に沿って 31.4159265359 単位の縁取りが必要です。半径 6 単位、角度 60° の扇形の天蓋は、曲線に沿って 6.2831853072 単位の縁取りが必要で、境界全体では 18.2831853072 単位です。

道路と線路。円形の道路のカーブ、陸上競技場のトラックのカーブ、鉄道のカーブは、半径と中心角によって配置されます。カーブの長さが、アスファルトの量、レールの長さ、車両がカーブを通って移動する距離を決めます。半径 7 単位の 120° のカーブは、14.6607657168 単位の長さです。

ピザと食品の取り分け。ピザの一切れは扇形です。ピザの半径が 6 単位の場合、60° で切った一切れのクラストの長さは 6.2831853072 単位で、面積は 18.8495559215 平方単位です。このような一切れが六つでピザ全体になり、そのクラストの合計は 37.6991118431 単位で、円全体の円周です。等しい一切れに切ることは扇形の分割問題です。等しい角度は等しい弧と等しい面積を与えます。

時計、車輪、ロボット工学。時計の針は時間が経つにつれて弧を描きます。地面を転がる車輪は、回転する弧と等しい距離を進みます。関節を中心に回転するロボットアームは、グリッパーを円弧に沿って動かし、移動する距離は rθ です。そのためラジアンはロボット工学における自然な単位です。

コンピュータグラフィックスと CAD。CAD モデル、フォント、アニメーションの曲線は円弧から作られます。弧の長さが、ツールパスの分割方法、曲線の描画方法、アニメーションで物体が円形の経路に沿ってどれだけ移動するかを決めます。CAD の扇形の部品は、まさにこの計算機が使う半径と角度によって定義されます。

実際の形状についての注意です。すべての曲線構造が完全な円というわけではありません。実際のアーチは楕円や放物線になることがあり、実際の道路はクロソイド遷移を使います。このページの扇形の公式は、曲線が真の円弧である場合に正確に適用され、曲線が円に近い場合にのみよい近似となります。公式を適用する前に、必ず形状を確認してください。

扇形弧長の間違った答えのほとんどは、少数の誤りのリストから生まれます。それぞれをチェックするのに数秒しかかからず、ほとんどの誤りを防げます。

1. ラジアンの公式に度数を直接使うこと。L = rθ にはラジアンが必要です。60° をそのまま入れると、6.2831853072 ではなく 6 × 60 = 360 となります。まず変換するか、L = πrθ / 180 を使います。
2. 半径と直径を混同すること。公式には r が必要で、d ではありません。d = 14 を半径として使うと、答えが 2 倍になります。120° の扇形では 14.6607657168 ではなく 29.3215314336 となります。まず直径を半分にします。
3. 扇形の面積と弧長を混同すること。扇形の面積は平方単位の二次元の領域です。弧長は普通の単位の一次元の距離です。r = 6、60° の場合、扇形の面積は 18.8495559215 平方単位で、弧は 6.2831853072 単位です。異なる量、異なる単位です。
4. 扇形の周囲長と弧長を混同すること。周囲長は二つの半径の辺を加えます。P = L + 2r です。r = 6、60° の場合、弧は 6.2831853072 単位ですが、周囲長は 18.2831853072 単位です。問題が弧を求めているのに周囲長を使うと、答えは 12 単位大きくなります。
5. 間違った中心角を使うこと。扇形の問題では、中心角の代わりに、弦と接線の間の角度や円周角が与えられる場合があります。同じ弧に対する円周角は、中心角の半分です。問題が円周角 φ を与える場合、中心角は θ = 2φ で、弧は L = r × 2φ です。φ を直接使うと答えが半分になります。
6. 劣扇形と優扇形を混同すること。270° の角度は、r = 5 の場合、23.5619449019 単位の優扇形の弧を与えます。代わりに小さい方の角度 90° を使うと、7.8539816340 単位の劣弧となります。問題がどちらの扇形を求めているか確認してください。
7. 間違った弦の公式を使うこと。弦は c = 2r sin(θ / 2) で、サインの中には角度の半分が入ります。代わりに sin(θ) を使うと間違った値になります。r = 6、60° の場合、正しい弦は 6 単位ですが、2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 単位です。
8. 直線の測定単位と二乗の測定単位を混ぜること。cm 単位の半径と度数単位の角度は問題ありませんが、答えは cm で出ます。cm² 単位の扇形の面積は、二乗の係数で変換しなければなりません。1 m² は 100 cm² ではなく 10,000 cm² です。一つの計算で cm とインチを混ぜたり、出力単位の変換を忘れたりすると、大きさの間違った数値になります。まず変換し、次に計算します。
9. π を早すぎる段階で丸めること。掛ける前に π を 3.14 に置き換えると、半径とともに大きくなる誤差が生じます。計算の間は完全精度の π を保ち、最後に表示される結果だけを丸めます。
10. 角度をラジアンに変換し忘れること。180 を含まない形で θ を使う扇形の公式はすべて、扇形の面積 A = ½r²θ、弦 c = 2r sin(θ / 2)、弓形の面積 A = ½r²(θ - sin θ) を含め、θ がラジアンであることを必要とします。度数が使えるのは、公式の度数法の形だけです。

これらのほとんどを防ぐ最後のチェックです。結果を円周と照らし合わせて確認します。弧は 0 から 2πr の間でなければならず、弦より長くなければならず、扇形の面積は 0 から πr² の間でなければならず、劣弧と優弧の合計はちょうど 2πr にならなければなりません。これらのチェックのいずれかが失敗すれば、上記の十の誤りのいずれかが原因です。

この六つの例は、計算機の主な入力方法と扇形の種類を網羅しています。それぞれはツールを動かす同じエンジンで計算されており、それぞれの結果は独立して検証されています。

例 1: 半径 6 の 60 度の扇形。r = 6 単位、θ = 60° = π / 3 ラジアンが与えられます。弧長 L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 単位です。直径 d = 12 単位です。弦 c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 単位です。扇形の面積 A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 平方単位です。扇形の周囲長 P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 単位です。弓形の面積は 3.2610986534 平方単位です。円全体の円周 C = 37.6991118431 単位です。

例 2: 半径 8、90° の四分円の扇形。r = 8 単位、θ = 90° = π / 2 ラジアンが与えられます。弧長 L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 単位です。弦 c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 単位です。扇形の面積 A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 平方単位です。扇形の周囲長 P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 単位です。弓形の面積は 18.2654824574 平方単位です。弧は円周 50.2654824574 単位のちょうど 4 分の 1 です。

例 3: 半径 5、270° の優扇形。r = 5 単位、θ = 270° = 3π / 2 ラジアンが与えられます。弧長 L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 単位です。弦 c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 単位です。扇形の面積 A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 平方単位です。扇形の周囲長 P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 単位です。90° を使った補いの劣弧は 7.8539816340 単位で、補いの扇形の面積は 19.6349540849 平方単位です。二つの弧の合計は 31.4159265359 単位で、円全体の円周です。

例 4: 直径 14、120° からの扇形。d = 14 単位、θ = 120° = 2π / 3 ラジアンが与えられます。半径 r = 14 / 2 = 7 単位です。弧長 L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 単位です。弦 c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 単位です。扇形の面積 A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 平方単位です。扇形の周囲長 P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 単位です。弓形の面積は 30.0950576159 平方単位です。

例 5: 面積 50、半径 10 からの扇形。扇形の面積 A = 50 平方単位、半径 r = 10 単位が与えられます。中心角 θ = 2 × 50 / 100 = 1 ラジアン = 57.2957795131° です。弧長 L = 10 × 1 = 10.0000000000 単位です。弦 c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 単位です。扇形の周囲長 P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 単位です。弓形の面積は 7.9264507596 平方単位です。補弧は 52.8318530718 単位です。

例 6: 半径 4、既知の弧長 6 からの扇形。r = 4 単位、L = 6 単位が与えられます。中心角 θ = 6 / 4 = 1.5 ラジアン = 85.9436692696° です。扇形の面積 A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 平方単位です。弦 c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 単位です。扇形の周囲長 P = 6 + 8 = 14.0000000000 単位です。弓形の面積は 4.0200401072 平方単位です。補弧は 19.1327412287 単位で、補いの扇形の面積は 38.2654824574 平方単位です。

計算機のプリセットボタンをクリックすると、これらの例のいずれかを読み込み、その入力に対する詳細な段階的解法、ライブ図、すべての副次的な結果を見ることができます。