Kalkulator Panjang Lengkok Sektor

Kalkulator Panjang Lengkok Sektor mengukur jarak melengkung di sepanjang lengkok sektor bulatan, daripada hirisan kecil hingga bulatan penuh. Ia menerima tujuh ukuran permulaan yang berbeza, jadi anda boleh menggunakan mana-mana nilai yang sudah anda ada. Ikuti langkah-langkah ini untuk mendapat jawapan yang betul dalam masa kurang seminit.

1. Pilih kaedah input. Pilih Jejari + Sudut Pusat, Diameter + Sudut Pusat, Lilitan Bulatan Penuh + Sudut Pusat, Luas Sektor + Jejari, Luas Sektor + Sudut Pusat, Panjang Perentas + Sudut Pusat, atau Jejari + Panjang Lengkok Diketahui. Medan input, label dan senarai unit berubah mengikut kaedah yang anda pilih.
2. Masukkan ukuran anda. Taipkan nilai dalam kotak input. Untuk kaedah luas, gunakan senarai unit kuasa dua (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Masukkan sudut pusat. Taipkan sudut dalam darjah atau radian menggunakan togol DEG/RAD, atau seret peluncur sudut dari 0° hingga 360°. Rajah langsung dan keputusan dikemas kini semasa anda menggerakkannya. Dalam kaedah Luas Sektor + Jejari dan Jejari + Panjang Lengkok Diketahui, sudut dikira daripada nilai anda.
4. Tetapkan sudut mula dan sudut akhir jika anda memerlukannya. Sapuan lalai bermula pada 0° dan berjalan melawan arah jam. Tukar sudut mula, sudut akhir atau arah untuk mengukur sektor di mana-mana bahagian bulatan. Sapuan, bukan kedudukan, yang menentukan panjang lengkok. Sudut mula dan akhir yang sama bermaksud lengkok sifar panjang, melainkan anda menggunakan pilihan bulatan penuh untuk satu pusingan lengkap.
5. Pilih unit input dan output. Kalkulator menukar input anda kepada unit dalaman yang konsisten, mengira, kemudian menukar jawapan kepada unit output anda. Nombor berubah mengikut unit; panjangnya tidak berubah.
6. Pilih ketepatan. Pilih 2, 4, 6 atau 8 tempat perpuluhan. Lalainya ialah 4. Kalkulator sentiasa menggunakan π berketepatan penuh secara dalaman dan membundarkan hanya hasil yang dipaparkan.
7. Klik Kira Sekarang. Keputusan utama ialah panjang lengkok sektor, bersama pengelasannya: sektor sudut sifar, sektor minor, semibulatan, sektor major, atau bulatan lengkap. Di bawahnya anda mendapat jejari, diameter, lilitan lengkap, lengkok pelengkap, panjang perentas, luas sektor, perimeter sektor, luas segmen bulatan, peratusan lengkok, kedua-dua bentuk sudut, dan perbandingan sektor minor lawan major.
8. Terokai rajah. Rajah sektor langsung melukis bulatan penuh, melorek sektor yang dipilih dengan warna emas, dan menandakan pusat O, garis jejari, perentas dan titik hujung. Gunakan togol untuk menunjukkan atau menyembunyikan garis jejari, perentas, titik pusat, penanda sudut dan sektor pelengkap.
9. Salin, cetak atau set semula. Gunakan Salin Keputusan untuk meletakkan jawapan pada papan klip anda, Cetak Ringkasan untuk laporan mudah, atau Set Semula untuk mengosongkan panel. Butang pratetap memuatkan contoh yang telah disahkan dengan serta-merta, dan butang pilih pantas melompat terus ke 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° atau 360°.

Cuba contoh. Jejari 6 dengan sudut 60° memberi lengkok 6.2831853072 unit. Jejari 8 dengan 90° memberi 12.5663706144 unit. Jejari 5 dengan 270° memberi lengkok sektor major 23.5619449019 unit. Diameter 14 dengan 120° memberi 14.6607657168 unit. Luas sektor 50 dengan jejari 10 memberi lengkok 10.0000000000 unit, dan jejari 4 dengan lengkok diketahui 6 unit memberi sudut 85.9436692696°.

Petua penting. Kekalkan unit sudut yang konsisten: 60° dan 1.0471975512 radian ialah sudut yang sama, tetapi 60 radian bukan 60°. Panjang lengkok ialah jarak melengkung sahaja; perentas ialah ukuran yang berbeza dan sentiasa lebih pendek, kecuali untuk lengkok sifar panjang. Jika anda memasukkan diameter, kalkulator membahagikannya dua untuk mencari jejari dahulu. Luas sektor bukan panjang lengkok: satu diukur dalam unit persegi dan satu lagi dalam unit biasa. Ukuran sifar atau negatif bukan sektor yang sah, jadi kalkulator menolaknya dan tidak menunjukkan jawapan yang mengelirukan.

Bulatan ialah set semua titik pada jarak tetap, iaitu jejari, dari titik pusat O. Sektor bulatan ialah kawasan berbentuk baji yang dipotong daripada bulatan oleh dua jejari dan lengkok di antaranya, seperti sepotong pai. Panjang lengkok sektor ialah jarak melengkung di sepanjang tepi luar baji itu, dari satu titik hujung jejari ke titik hujung yang lain, mengikut lengkung.

Bayangkan sepotong piza. Dua tepi potongan lurus ialah jejari, hujung yang tajam ialah pusat O, dan keraknya ialah lengkok. Panjang lengkok ialah panjang kerak itu. Garis lurus merentas hujung lebar hirisan, yang menyambungkan dua titik hujung kerak, ialah perentas, dan ia lebih pendek daripada kerak.

Setiap sektor mempunyai bahagian yang sama, diskalakan mengikut jejarinya. Pusat O ialah titik tetap. Jejari r berjalan dari O ke mana-mana titik pada bulatan. Sudut pusat θ ialah sudut di O antara dua jejari yang membatasi sektor, dan ia menentukan pecahan bulatan yang diliputi sektor itu. Lengkok ialah tepi melengkung. Perentas ialah garis lurus antara titik hujung lengkok. Luas sektor ialah kawasan di dalam dua jejari dan lengkok.

Dua jejari sentiasa membahagikan bulatan kepada dua sektor: yang lebih kecil, sektor minor, dan yang lebih besar, sektor major. Bersama-sama mereka membentuk bulatan lengkap. Sektor yang anda mahu bergantung pada masalah anda, dan kalkulator menunjukkan kedua-duanya, jadi anda tidak perlu meneka.

Panjang lengkok sektor ialah ukuran satu dimensi, iaitu panjang, jadi ia dilaporkan dalam unit biasa seperti cm, m atau inci. Ia bukan luas, dan ia bukan sudut. Membezakan ketiga-tiga kuantiti ini ialah langkah pertama untuk membuat setiap pengiraan sektor dengan betul.

Panjang lengkok sektor diperoleh terus daripada lilitan bulatan penuh. Lilitan bulatan lengkap ialah:

Sektor dengan sudut pusat θ meliputi pecahan θ / 360 daripada satu pusingan lengkap 360°, jadi lengkoknya ialah pecahan yang sama daripada lilitan:

Memudahkan memberi bentuk darjah bagi formula itu:

Apabila sudut diukur dalam radian, formulanya lebih mudah lagi, kerana radian ditakrifkan oleh jejari itu sendiri:

Setiap simbol dalam formula mempunyai makna yang tepat:

Kedua-dua bentuk memberi jawapan yang sama. Gunakan L = πrθ / 180 apabila sudut anda dalam darjah, dan L = rθ apabila ia dalam radian. Kalkulator menukar darjah kepada radian dahulu dan kemudian menggunakan L = rθ secara dalaman, itulah sebabnya kedua-dua mod sentiasa sepadan.

Menggunakan diameter dan bukannya jejari memberi bentuk kedua bagi formula yang sama. Oleh kerana d = 2r, maka r = d / 2, dan penggantian memberi L = dθ / 2 dalam radian, atau L = πdθ / 360 dalam darjah.

Jejari campur sudut pusat ialah cara paling terus untuk mencari panjang lengkok sektor. Contoh kerja di bawah menggunakan jejari 6 unit dan sudut pusat 60°.

1. Kenal pasti jejari. r = 6 unit.
2. Kenal pasti sudut pusat. θ = 60°.
3. Tukar darjah kepada radian. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radian.
4. Tulis formula panjang lengkok. L = rθ.
5. Gantikan nilai. L = 6 × π / 3.
6. Kira. L = 6.2831853072 unit.
7. Bundarkan mengikut keperluan. Kepada dua tempat perpuluhan, L = 6.28 unit.

Langkah yang sama berfungsi untuk mana-mana jejari dan sudut. Jejari 8 unit dengan 90° memberi L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unit. Jejari 5 unit dengan 270° memberi L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 unit. Jejari 1 unit dengan 60° memberi L = 1.0471975512 unit, iaitu tepat π / 3, satu semakan yang berguna: untuk r = 1, panjang lengkok sama dengan sudut dalam radian.

Peraturan pembundaran. Bundarkan hanya pada akhir. Jika anda menggantikan π dengan 3.14 sebelum mendarab, jejari 6 dengan 60° memberi 6.28 tepat secara kebetulan di sini, tetapi untuk jejari 8 dengan 90° ia memberi 12.56 dan bukannya 12.5663706144, ralat 0.0063706144. Ralat itu membesar mengikut jejari, jadi kekalkan ketepatan penuh sepanjang pengiraan dan bundarkan hanya hasil akhir yang dipaparkan.

Apabila anda tahu diameter dan bukannya jejari, bahagikan dua dahulu, kemudian gunakan formula yang sama. Contoh kerja di bawah menggunakan diameter 14 unit dan sudut pusat 120°.

1. Kenal pasti diameter. d = 14 unit.
2. Cari jejari. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 unit.
3. Kenal pasti sudut pusat. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radian.
4. Tulis formula. L = rθ, atau secara terus L = πdθ / 360.
5. Gantikan. L = 7 × 2.0943951024, atau L = π × 14 × 120 / 360.
6. Kira. L = 14.6607657168 unit.
7. Bundarkan mengikut keperluan. Kepada dua tempat perpuluhan, L = 14.66 unit.

Kedua-dua laluan sepadan tepat, yang merupakan semakan kendiri yang baik. Laluan jejari memberi 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Laluan diameter memberi π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Jika kedua-duanya tidak sepadan, diameter tidak dibahagi dua dengan betul.

Contoh lain: diameter 20 unit dengan 180° memberi r = 10 unit, jadi L = π × 10 = 31.4159265359 unit, lengkok semibulatan. Diameter 10 unit dengan 60° memberi r = 5 unit, jadi L = 5.2359877560 unit. Kesilapan paling biasa dalam pengiraan ini ialah lupa pembahagian dua dan menggunakan diameter seolah-olah ia jejari, yang menggandakan jawapan. Untuk d = 14, kesilapan itu memberi 29.3215314336 dan bukannya 14.6607657168.

Petua pengukuran. Diameter selalunya lebih mudah diukur dalam kehidupan sebenar berbanding jejari, kerana anda boleh mengukur terus merentas bulatan. Itulah sebabnya kalkulator menerima input diameter secara terus: ukur merentas, masukkan nilainya, dan kalkulator membahagikannya dua untuk anda.

Darjah ialah unit harian untuk sudut. Bulatan lengkap mengandungi 360°, jadi sudut pusat dalam darjah memberitahu anda terus pecahan bulatan penuh yang diliputi sektor anda. Sudut 90° meliputi satu perempat bulatan, 180° meliputi satu perdua, dan 270° meliputi tiga perempat.

Formula darjah ialah L = πrθ / 180, dengan θ dalam darjah. Ia datang daripada idea pecahan: θ / 360 daripada lilitan 2πr, yang dipermudahkan.

Contoh kerja. Jejari 8 unit, sudut 90°.

1. Kenal pasti nilai. r = 8 unit, θ = 90°.
2. Cari pecahan bulatan. 90 / 360 = 1 / 4, suku bulatan.
3. Tulis formula. L = πrθ / 180.
4. Gantikan. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Kira. L = 12.5663706144 unit.
6. Semak dengan lilitan. Lilitan penuh ialah 2π × 8 = 50.2654824574 unit, dan satu perempatnya ialah 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 unit. Kedua-duanya sepadan.

Lebih banyak contoh darjah dengan jejari 5 unit: 30° memberi L = 2.6179938780 unit, 45° memberi L = 3.9269908170 unit, 120° memberi L = 10.4719755120 unit, dan 270° memberi L = 23.5619449019 unit. Perhatikan bahawa menggandakan sudut menggandakan panjang lengkok untuk jejari yang sama, kerana panjang lengkok berkadar terus dengan sudut pusat.

Kesilapan darjah yang biasa. Memasukkan nilai darjah terus ke dalam L = rθ tanpa menukar memberi jawapan yang sangat salah. Untuk r = 5 dan 60°, pengiraan tanpa penukaran memberi 5 × 60 = 300, tetapi jawapan yang betul ialah 5.2359877560. Formula L = rθ memerlukan radian, jadi sama ada tukar dahulu atau gunakan bentuk darjah L = πrθ / 180.

Radian ialah sudut yang anda dapat apabila panjang lengkok sama dengan jejari. Jika anda membalut seutas tali yang panjangnya sama dengan jejari mengelilingi bulatan, sudut yang dicakupnya di pusat ialah tepat 1 radian. Bulatan lengkap mengandungi 2π radian, kira-kira 6.2831853072 radian, kerana lilitan penuh ialah 2πr dan membahagikan dengan r meninggalkan 2π.

Formula radian ialah L = rθ, formula panjang lengkok yang paling mudah. Ia tiada π di dalamnya, kerana π sudah berada di dalam ukuran radian bagi sudut itu.

Contoh kerja. Jejari 6 unit, sudut π / 3 radian (iaitu 60°).

1. Kenal pasti nilai. r = 6 unit, θ = π / 3 = 1.0471975512 radian.
2. Tulis formula. L = rθ.
3. Gantikan. L = 6 × 1.0471975512.
4. Kira. L = 6.2831853072 unit.
5. Semak dengan darjah. π / 3 radian ialah 60°, dan formula darjah memberi L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 unit. Kedua-duanya sepadan tepat.

Lebih banyak contoh radian: jejari 4 unit dengan θ = π / 2 radian memberi L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 unit. Jejari 10 unit dengan θ = π radian memberi L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 unit, lengkok semibulatan. Jejari 5 unit dengan θ = 1 radian memberi L = 5 unit, kerana lengkok sama dengan jejari apabila sudutnya 1 radian.

Mengapa radian diutamakan dalam matematik. Formula kalkulus untuk panjang lengkok, dan formula untuk perentas, sektor dan luas segmen di halaman ini, semuanya menggunakan radian. Darjah mudah untuk pengukuran harian, tetapi radian menjadikan matematiknya kemas, itulah sebabnya kalkulator menukar setiap sudut kepada radian sebelum ia mengira.

Panjang lengkok sektor dan luas sektor kedengaran serupa, tetapi ia mengukur perkara yang berbeza. Panjang lengkok ialah jarak melengkung satu dimensi, diukur dalam unit biasa. Luas sektor ialah kawasan dua dimensi, baji bulatan yang dipotong oleh dua jejari dan lengkok, diukur dalam unit persegi.

Formulanya kelihatan serupa, dan itulah sebabnya ia dikelirukan:

Luas sektor ialah panjang lengkok didarab dengan separuh jejari: A = ½ × r × L. Hubungan itu ialah semakan yang berguna. Untuk jejari 6 unit dan 60°, lengkoknya ialah 6.2831853072 unit, dan luas sektornya ialah ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 unit persegi.

Unit ialah petunjuknya. Jika jawapan anda sepatutnya panjang, unitnya ialah cm, m atau inci. Jika ia sepatutnya luas, unitnya ialah cm², m² atau inci persegi. Jawapan panjang lengkok dalam unit persegi, atau jawapan luas sektor dalam unit biasa, sudah tentu salah. Kalkulator memisahkan kedua-duanya dan melabelkan unit dengan jelas.

Semakan bulatan penuh. Pada 360°, sektor itu ialah seluruh bulatan, jadi luas sektor mestilah sama dengan πr². Untuk r = 6, π × 36 = 113.0973355292 unit persegi. Lengkok pada masa yang sama ialah lilitan penuh, 37.6991118431 unit. Kedua-duanya datang daripada jejari dan sudut yang sama, tetapi ia menjawab soalan yang berbeza.

Perimeter sektor ialah jarak mengelilingi seluruh sempadannya. Sektor yang betul mempunyai tiga bahagian sempadan: lengkok melengkung, jejari pertama dan jejari kedua. Jadi perimeter sektor ialah panjang lengkok campur dua kali jejari:

Di sini θ dalam radian. Dua sisi lurus masing-masing tepat sepanjang satu jejari, jadi ia menambah 2r kepada panjang lengkok melengkung.

Contoh kerja. Jejari 6 unit, sudut 60°. Lengkoknya ialah L = 6.2831853072 unit. Dua jejari menambah 2 × 6 = 12 unit. Perimeter sektor ialah P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 unit.

Lebih banyak contoh. Jejari 8 dengan 90°: lengkok 12.5663706144, perimeter 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 unit. Jejari 5 dengan 270°: lengkok 23.5619449019, perimeter 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 unit. Jejari 7 dengan 120°: lengkok 14.6607657168, perimeter 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 unit.

Dua kes khas. Untuk bulatan lengkap, 360°, tiada sisi jejari langsung dalam sempadan: perimeternya hanyalah lilitan, P = 2πr. Untuk r = 6, itu ialah 37.6991118431 unit, bukan 37.6991118431 + 12. Untuk sektor sudut sifar, 0°, geometrinya merosot: dua jejari bertindih dan lengkoknya sifar panjang, jadi jangan bentangkan perimeter sektor biasa untuknya. Kalkulator menganggap kes sudut sifar sebagai merosot dan tidak melaporkan nilai perimeter biasa.

Mengapa perbezaan ini penting. Jika anda memesan kemasan untuk panel berbentuk sektor, anda memerlukan perimeter, kerana kemasan berjalan di sepanjang lengkok dan kedua-dua tepi lurus. Jika anda hanya mengukur tepi melengkung, anda memerlukan panjang lengkok. Mencampuradukkan kedua-duanya ialah salah satu kesilapan sektor yang paling biasa, dan kalkulator menunjukkan kedua-dua nilai bersebelahan supaya perbezaannya sentiasa kelihatan.

Dua jejari membahagikan bulatan kepada dua sektor. Yang lebih kecil ialah sektor minor, dan yang lebih besar ialah sektor major. Kedua-duanya berkongsi dua jejari yang sama, dan bersama-sama mereka membentuk bulatan lengkap.

Sudut pusat menentukan yang mana satu. Sudut pusat di bawah 180° memberi sektor minor. Sudut pusat melebihi 180° memberi sektor major, dan sudutnya ialah sudut refleks, lebih besar daripada sudut lurus. Tepat 180° memberi semibulatan, yang bukan minor mahupun major: kedua-dua sektor adalah sama.

Minor dan major adalah pelengkap. Untuk sudut pusat yang lebih kecil θ, lengkok minor ialah Lminor = rθ dan lengkok major ialah Lmajor = r(2π - θ). Jumlahnya sentiasa lilitan lengkap, dan luas sektornya menambah kepada luas bulatan lengkap:

Contoh kerja. Jejari 6 unit, sudut yang lebih kecil 60°. Lengkok minor ialah L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unit, dan luas sektor minor ialah 18.8495559215 unit persegi. Lengkok major menggunakan sudut refleks 360° - 60° = 300°, jadi L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 unit, dan luas sektor major ialah 94.2477796077 unit persegi. Lengkoknya menambah kepada 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 unit, lilitan penuh, dan luasnya menambah kepada 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 unit persegi, luas bulatan penuh. Sektor minor ialah 16.67% daripada bulatan dan sektor major ialah 83.33%.

Contoh lain. Jejari 5 unit, sudut 270°. Ini sudah pun sektor major: L = 23.5619449019 unit dan luas sektornya ialah 58.9048622548 unit persegi. Sektor minor pelengkapnya menggunakan 90°: L = 7.8539816340 unit dan luasnya ialah 19.6349540849 unit persegi. Jumlahnya ialah 31.4159265359 unit, lilitan penuh 2π × 5.

Jangan kelirukan kedua-dua sudut. Kesilapan minor/major yang paling biasa ialah menggunakan sudut yang lebih kecil apabila masalah meminta sektor major, atau sebaliknya. Sentiasa semak sama ada sudut yang diberi kepada anda ialah yang lebih kecil atau yang refleks, dan ingat bahawa kalkulator menunjukkan kedua-dua sektor bersebelahan supaya anda boleh memilih sektor yang diperlukan masalah anda.

Sektor dan segmen bulatan ialah dua kawasan berbeza bagi bulatan, dan ia mudah dikelirukan kerana kedua-duanya melibatkan lengkok. Sektor dikelilingi oleh dua jejari dan satu lengkok. Segmen bulatan dikelilingi oleh satu perentas dan satu lengkok. Segmen ialah bahagian sektor yang terletak di luar perentas, jadi ia lebih kecil daripada sektor, kecuali dalam kes khas di bawah.

Formula menunjukkan perbezaannya dengan jelas:

Luas segmen ialah luas sektor tolak luas segi tiga antara dua jejari dan perentas. Di sini θ ialah sapuan pusat dalam radian, antara 0 dan 2π. Formula mengendalikan kedua-dua segmen minor dan major dengan betul: untuk lengkok minor ia memberi penutup kecil, dan untuk lengkok major ia memberi kawasan besar yang meliputi sebahagian besar bulatan.

Contoh kerja. Untuk r = 6 unit dan 60°, luas sektor ialah 18.8495559215 unit persegi dan luas segmen ialah ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 unit persegi. Segmen jauh lebih kecil daripada sektor, kerana segi tiga mengambil sebahagian besar baji. Untuk r = 8 dan 90°, segmennya ialah 18.2654824574 unit persegi. Untuk r = 5 dan 90°, segmennya ialah 7.1349540849 unit persegi.

Kes khas. Pada 180°, sin θ = 0, jadi luas segmen sama dengan luas sektor: ½ πr². Untuk r = 5, kedua-duanya ialah 39.2699081699 unit persegi, iaitu tepat separuh bulatan. Pada 270°, sin θ = -1, jadi segmen lebih besar daripada sektor: untuk r = 5, sektornya ialah 58.9048622548 unit persegi dan segmennya ialah 71.4048622548 unit persegi. Pada 360°, perentas hilang dan segmen ialah seluruh bulatan, πr².

Segmen lawan sektor, dalam satu ayat. Sektor ialah baji dari pusat. Segmen ialah penutup di luar perentas. Jika masalah anda melibatkan pusat, anda mahukan sektor. Jika ia hanya melibatkan lengkok dan perentasnya, anda mahukan segmen.

Panjang perentas dan panjang lengkok sektor kedua-duanya menyambungkan dua titik yang sama pada bulatan, tetapi ia mengambil laluan yang berbeza. Lengkok mengikut lengkung. Perentas memotong terus merentas. Lengkok hampir selalu lebih panjang.

Formula menunjukkan perbezaannya dengan jelas:

Perentas bergantung pada sinus separuh sudut, yang membesar lebih perlahan daripada sudut itu sendiri, jadi jurang antara lengkok dan perentas melebar apabila sudut membesar.

Tiga fakta daripada jadual ini patut diingati. Pada 30°, lengkok hanya kira-kira 1.15% lebih panjang daripada perentas, jadi untuk sudut kecil kedua-duanya hampir sama. Pada 180°, perentas ialah diameter, 10 unit, manakala lengkok ialah πr = 15.7079632679 unit. Pada 270°, perentas mengecil kembali kepada 7.0710678119 unit, sama seperti pada 90°, kerana perentas bergantung pada sudut yang lebih kecil antara titik hujung, manakala lengkok terus membesar mengikut sapuan.

Kes khas. Pada 60°, perentas sama tepat dengan jejari: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Untuk r = 6, perentas ialah 6 unit, dan jejari, perentas dan dua jejari membentuk segi tiga sama sisi. Ini semakan yang berguna dan kegemaran penggubal peperiksaan.

Mengapa ia penting. Jika anda memotong paip melengkung, anda memerlukan panjang lengkok. Jika anda mengukur jurang lurus antara dua titik pada bahagian bulatan, anda memerlukan perentas. Mencampuradukkan kedua-duanya ialah salah satu kesilapan bulatan yang paling biasa, dan kalkulator menunjukkan kedua-dua nilai bersama supaya perbezaannya sentiasa kelihatan.

Kadang-kadang jejari mahupun sudut tidak diberi. Kalkulator bekerja secara songsang daripada empat ukuran lain dengan menerbitkan nilai yang hilang dahulu, kemudian menggunakan L = rθ seperti biasa. Ketujuh-tujuh kaedah memberi jejari yang sama dan panjang lengkok yang sama untuk sektor yang sama, jadi anda boleh menggunakan mana-mana ukuran yang sebenarnya anda ada.

Daripada lilitan bulatan penuh. Lilitan penuh ialah C = 2πr, jadi r = C / (2π). Untuk C = 37.6991118431 unit, r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 unit. Kemudian lengkok sektor 60° ialah L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unit. Perhatikan jalan pintasnya: lengkok 60° ialah satu perenam lilitan, dan 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 unit.

Daripada panjang perentas. Formula perentas ialah c = 2r sin(θ / 2), jadi r = c / [2 sin(θ / 2)]. Untuk perentas 6 unit dengan sudut 60°, r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 unit. Kemudian L = 6.2831853072 unit. Input perentas hanya berfungsi apabila sudut betul-betul antara 0° dan 360°: pada 0° atau 360° perentasnya sifar dan tiada jejari dapat diperoleh semula, jadi kalkulator menolak sudut itu untuk kaedah ini.

Daripada luas sektor dan jejari. Luas sektor ialah A = ½r²θ, jadi θ = 2A / r². Untuk luas sektor 50 unit persegi dengan jejari 10 unit, θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Kemudian L = 10 × 1 = 10.0000000000 unit. Kaedah ini memerlukan luas sektor tidak lebih besar daripada luas bulatan penuh πr²: untuk r = 10, had itu ialah 314.1592653590 unit persegi, jadi luas melebihi itu ditolak.

Daripada luas sektor dan sudut. Disusun semula dengan cara yang sama, r = √(2A / θ) dengan θ dalam radian. Untuk luas sektor 18.8495559215 unit persegi dengan sudut 60°, θ = 1.0471975512 radian, jadi r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 unit. Kemudian L = 6.2831853072 unit. Kaedah ini memerlukan sudut selain luas, kerana luas sektor yang sama boleh datang daripada banyak gabungan jejari dan sudut.

Daripada jejari dan panjang lengkok diketahui. Sudutnya ialah θ = L / r. Untuk jejari 4 unit dan lengkok diketahui 6 unit, θ = 6 / 4 = 1.5 radian = 85.9436692696°. Kemudian luas sektor ialah A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 unit persegi, dan perimeternya ialah P = 6 + 8 = 14.0000000000 unit. Kaedah ini memerlukan lengkok tidak lebih panjang daripada lilitan lengkap 2πr: untuk r = 4, had itu ialah 25.1327412287 unit.

Input yang mana untuk digunakan. Gunakan mana-mana ukuran yang sebenarnya anda ada. Jika dua ukuran berbeza memberi jejari yang berbeza, salah satu ukuran itu salah, dan percanggahan itu patut disiasat sebelum mempercayai mana-mana jawapan.

Panjang lengkok sektor bukan latihan bilik darjah yang abstrak. Di mana-mana sahaja jarak melengkung pada bulatan perlu diukur, dipotong, dibina atau dilalui, formula yang sama digunakan.

Kejuruteraan mekanikal. Pembengkokan paip bermula dengan panjang lengkok: paip yang dibengkokkan melalui 90° dengan jejari bengkok 8 unit memerlukan 12.5663706144 unit paip untuk bengkokan itu sahaja. Kepingan logam yang digulung menjadi panel melengkung, profil gigi gear dan bentuk sesondol semuanya memerlukan panjang melengkung sebelum bahan dipotong. Tersilap akan membazirkan bahan atau meninggalkan bahagian yang pendek.

Seni bina dan pembinaan. Pintu berkubah, tingkap bulat, kubah dan tangga melengkung didimensikan mengikut lengkoknya. Lengkok semibulatan dengan jejari 10 unit memerlukan 31.4159265359 unit kemasan di sepanjang lengkung. Kanopi berbentuk sektor dengan jejari 6 unit dan sudut 60° memerlukan 6.2831853072 unit tepi di sepanjang lengkung dan 18.2831853072 unit di sekeliling seluruh sempadan.

Jalan raya dan trek. Selekoh jalan bulat, selekoh trek larian atau selekoh landasan kereta api disusun mengikut jejari dan sudut pusat. Panjang selekoh menentukan jumlah asfalt, panjang rel dan jarak yang dilalui kenderaan melalui selekoh. Selekoh 120° dengan jejari 7 unit panjangnya 14.6607657168 unit.

Piza dan pembahagian makanan. Hirisan piza ialah sektor. Jika piza mempunyai jejari 6 unit, satu hirisan yang dipotong pada 60° mempunyai panjang kerak 6.2831853072 unit dan luas 18.8495559215 unit persegi. Enam hirisan sedemikian membentuk seluruh piza, dan keraknya menambah kepada 37.6991118431 unit, lilitan penuh. Memotong hirisan yang sama ialah masalah pembahagian sektor: sudut yang sama memberi lengkok yang sama dan luas yang sama.

Jam, roda dan robotik. Jarum jam menyapu lengkok semasa masa berlalu. Roda yang bergolek di atas tanah meliputi jarak yang sama dengan lengkok yang dilaluinya. Lengan robot yang berputar pada sendi menggerakkan pencengkamnya di sepanjang lengkok bulatan, dan jarak yang dilaluinya ialah rθ, itulah sebabnya radian ialah unit semula jadi dalam robotik.

Grafik komputer dan CAD. Lengkung dalam model CAD, fon dan animasi dibina daripada lengkok bulatan. Panjang lengkok menentukan cara laluan alat dibahagikan, cara lengkung dipaparkan, dan sejauh mana objek bergerak di sepanjang laluan bulatan dalam animasi. Bahagian berbentuk sektor dalam CAD ditakrifkan tepat oleh jejari dan sudut yang digunakan kalkulator ini.

Nota tentang bentuk sebenar. Tidak setiap struktur melengkung ialah bulatan sempurna. Lengkok sebenar boleh berbentuk elips atau parabola, dan jalan sebenar menggunakan peralihan klotoid. Formula sektor di halaman ini digunakan tepat apabila lengkung itu lengkok bulatan yang benar, dan ia hanya penghampiran yang baik apabila lengkung itu hampir bulat. Sentiasa sahkan bentuknya sebelum menggunakan formula.

Kebanyakan jawapan salah dalam panjang lengkok sektor datang daripada senarai kecil kesilapan. Menyemak setiap satu mengambil masa beberapa saat dan menyelamatkan kebanyakan kesilapan.

1. Menggunakan darjah terus dalam formula radian. L = rθ memerlukan radian. Memasukkan 60° terus memberi 6 × 60 = 360 dan bukannya 6.2831853072. Tukar dahulu, atau gunakan L = πrθ / 180.
2. Mengelirukan jejari dengan diameter. Formula memerlukan r, bukan d. Menggunakan d = 14 sebagai jejari menggandakan jawapan: 29.3215314336 dan bukannya 14.6607657168 untuk sektor 120°. Bahagikan diameter dua dahulu.
3. Mengelirukan luas sektor dengan panjang lengkok. Luas sektor ialah kawasan dua dimensi dalam unit persegi. Panjang lengkok ialah jarak satu dimensi dalam unit biasa. Untuk r = 6 dan 60°, luas sektor ialah 18.8495559215 unit persegi dan lengkoknya ialah 6.2831853072 unit. Kuantiti berbeza, unit berbeza.
4. Mengelirukan perimeter sektor dengan panjang lengkok. Perimeter menambah dua sisi jejari: P = L + 2r. Untuk r = 6 dan 60°, lengkoknya ialah 6.2831853072 unit tetapi perimeternya ialah 18.2831853072 unit. Menggunakan perimeter apabila masalah meminta lengkok melebihkan jawapan sebanyak 12 unit.
5. Menggunakan sudut pusat yang salah. Masalah sektor mungkin memberi sudut antara perentas dan tangen, atau sudut terterap, dan bukannya sudut pusat. Sudut terterap ialah separuh sudut pusat untuk lengkok yang sama. Jika masalah memberi sudut terterap φ, sudut pusat ialah θ = 2φ, dan lengkoknya ialah L = r × 2φ. Menggunakan φ terus membahagi dua jawapan.
6. Mengelirukan sektor minor dan major. Sudut 270° memberi lengkok sektor major 23.5619449019 unit untuk r = 5. Menggunakan sudut yang lebih kecil 90° pula memberi 7.8539816340 unit, lengkok minor. Semak sektor yang diminta masalah itu.
7. Menggunakan formula perentas yang salah. Perentas ialah c = 2r sin(θ / 2), dengan separuh sudut di dalam sinus. Menggunakan sin(θ) pula memberi nilai yang salah: untuk r = 6 dan 60°, perentas yang betul ialah 6 unit, manakala 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 unit.
8. Mencampurkan unit ukuran linear dan kuasa dua. Jejari dalam cm dan sudut dalam darjah tidak mengapa, tetapi jawapannya keluar dalam cm. Luas sektor dalam cm² mesti ditukar dengan faktor kuasa dua: 1 m² ialah 10,000 cm², bukan 100 cm². Mencampurkan cm dan inci dalam satu pengiraan, atau lupa menukar unit output, memberi nombor dengan saiz yang salah. Tukar dahulu, kira kemudian.
9. Membundarkan π terlalu awal. Menggantikan π dengan 3.14 sebelum mendarab menimbulkan ralat yang membesar mengikut jejari. Kekalkan π berketepatan penuh sepanjang pengiraan dan bundarkan hanya hasil akhir yang dipaparkan.
10. Lupa menukar sudut kepada radian. Setiap formula sektor yang menggunakan θ tanpa 180 di dalamnya, termasuk luas sektor A = ½r²θ, perentas c = 2r sin(θ / 2), dan luas segmen A = ½r²(θ - sin θ), memerlukan θ dalam radian. Darjah hanya berfungsi dalam bentuk darjah bagi formula itu.

Semakan akhir yang menangkap kebanyakan kesilapan ini. Sahkan keputusan dengan lilitan. Lengkok mestilah antara 0 dan 2πr, ia mestilah lebih panjang daripada perentas, luas sektor mestilah antara 0 dan πr², dan lengkok minor campur major mestilah menambah kepada tepat 2πr. Jika mana-mana semakan itu gagal, salah satu daripada sepuluh kesilapan di atas ialah puncanya.

Enam contoh ini meliputi kaedah input utama kalkulator dan jenis sektor. Setiap satu dikira oleh enjin yang sama yang menggerakkan alat ini, dan setiap keputusan telah disahkan secara bebas.

Contoh 1: Sektor 60 darjah dengan jejari 6. Diberi r = 6 unit, θ = 60° = π / 3 radian. Panjang lengkok L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 unit. Diameter d = 12 unit. Perentas c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 unit. Luas sektor A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 unit persegi. Perimeter sektor P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 unit. Luas segmen ialah 3.2610986534 unit persegi. Lilitan lengkap C = 37.6991118431 unit.

Contoh 2: Sektor suku bulatan dengan jejari 8 dan 90°. Diberi r = 8 unit, θ = 90° = π / 2 radian. Panjang lengkok L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unit. Perentas c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 unit. Luas sektor A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 unit persegi. Perimeter sektor P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 unit. Luas segmen ialah 18.2654824574 unit persegi. Lengkok itu tepat satu perempat lilitan 50.2654824574 unit.

Contoh 3: Sektor major dengan jejari 5 dan 270°. Diberi r = 5 unit, θ = 270° = 3π / 2 radian. Panjang lengkok L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 unit. Perentas c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 unit. Luas sektor A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 unit persegi. Perimeter sektor P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 unit. Lengkok minor pelengkap, menggunakan 90°, ialah 7.8539816340 unit, dan luas sektor pelengkap ialah 19.6349540849 unit persegi. Dua lengkok itu menambah kepada 31.4159265359 unit, lilitan penuh.

Contoh 4: Sektor daripada diameter 14 dan 120°. Diberi d = 14 unit, θ = 120° = 2π / 3 radian. Jejari r = 14 / 2 = 7 unit. Panjang lengkok L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 unit. Perentas c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 unit. Luas sektor A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 unit persegi. Perimeter sektor P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 unit. Luas segmen ialah 30.0950576159 unit persegi.

Contoh 5: Sektor daripada luas 50 dan jejari 10. Diberi luas sektor A = 50 unit persegi, jejari r = 10 unit. Sudut pusat θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Panjang lengkok L = 10 × 1 = 10.0000000000 unit. Perentas c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 unit. Perimeter sektor P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 unit. Luas segmen ialah 7.9264507596 unit persegi. Lengkok pelengkap ialah 52.8318530718 unit.

Contoh 6: Sektor daripada jejari 4 dan panjang lengkok diketahui 6. Diberi r = 4 unit, L = 6 unit. Sudut pusat θ = 6 / 4 = 1.5 radian = 85.9436692696°. Luas sektor A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 unit persegi. Perentas c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 unit. Perimeter sektor P = 6 + 8 = 14.0000000000 unit. Luas segmen ialah 4.0200401072 unit persegi. Lengkok pelengkap ialah 19.1327412287 unit, dan luas sektor pelengkap ialah 38.2654824574 unit persegi.

Klik mana-mana butang pratetap dalam kalkulator untuk memuatkan salah satu contoh ini dan melihat penyelesaian langkah demi langkah yang penuh, rajah langsung, dan semua keputusan sekunder untuk input itu.