부채꼴 호 길이 계산기

부채꼴 호 길이 계산기는 작은 조각부터 완전한 원까지, 원형 부채꼴의 호를 따라 곡선 거리를 측정합니다. 일곱 가지 다른 시작 측정값을 받아들이므로 이미 가지고 있는 값을 그대로 사용할 수 있습니다. 1분 안에 정확한 답을 얻으려면 다음 단계를 따르세요.

1. 입력 방법을 선택하세요. 반지름 + 중심각, 지름 + 중심각, 전체 원 둘레 + 중심각, 부채꼴 넓이 + 반지름, 부채꼴 넓이 + 중심각, 현의 길이 + 중심각, 반지름 + 알려진 호 길이 중에서 고릅니다. 선택한 방법에 맞게 입력란, 라벨, 단위 목록이 바뀝니다.
2. 측정값을 입력하세요. 입력란에 값을 입력합니다. 넓이 방법에서는 제곱 단위 목록(mm², cm², m², km², in², ft², yd²)을 사용합니다.
3. 중심각을 입력하세요. DEG/RAD 토글을 이용해 도 또는 라디안 단위로 각도를 입력하거나, 각도 슬라이더를 0°에서 360°까지 드래그합니다. 슬라이더를 움직이면 실시간 도표와 결과가 함께 바뀝니다. 부채꼴 넓이 + 반지름 방법과 반지름 + 알려진 호 길이 방법에서는 입력한 값에서 각도를 역으로 구합니다.
4. 필요하면 시작각과 끝각을 설정하세요. 기본 휩쓸기는 0°에서 시작해 반시계 방향으로 진행합니다. 시작각, 끝각 또는 방향을 바꾸면 원 위의 어느 위치에 있는 부채꼴도 측정할 수 있습니다. 호 길이를 결정하는 것은 위치가 아니라 휩쓸기입니다. 시작각과 끝각이 같으면 호 길이가 0이며, 완전한 한 바퀴를 재는 전체 원 옵션을 사용할 때만 예외입니다.
5. 입력 단위와 출력 단위를 선택하세요. 계산기는 입력을 일관된 내부 단위로 변환한 뒤 계산하고, 답을 출력 단위로 변환합니다. 단위에 따라 숫자는 바뀌지만 길이는 바뀌지 않습니다.
6. 정밀도를 고르세요. 소수점 2자리, 4자리, 6자리, 8자리 중에서 고릅니다. 기본값은 4자리입니다. 계산기는 내부적으로 항상 완전한 정밀도의 π를 사용하고 표시되는 결과만 반올림합니다.
7. 지금 계산을 클릭하세요. 주요 결과는 부채꼴 호 길이이며, 분류도 함께 표시됩니다. 각도가 0인 부채꼴, 열부채꼴, 반원, 우부채꼴, 완전한 원 중 하나입니다. 그 아래에는 반지름, 지름, 전체 둘레, 여각 호, 현의 길이, 부채꼴 넓이, 부채꼴 둘레, 원형 활꼴 넓이, 호 비율, 두 가지 각도 형태, 열부채꼴과 우부채꼴 비교가 나옵니다.
8. 도표를 살펴보세요. 실시간 부채꼴 도표는 전체 원을 그리고 선택한 부채꼴을 금색으로 채우며 중심 O, 반지름 선, 현, 끝점을 표시합니다. 토글을 이용해 반지름 선, 현, 중심점, 각도 표시, 여각 부채꼴을 표시하거나 숨길 수 있습니다.
9. 복사, 인쇄 또는 초기화하세요. 결과 복사를 사용하면 답을 클립보드에 넣을 수 있고, 요약 인쇄는 간단한 보고서를 만들며, 초기화를 하면 패널이 지워집니다. 사전 설정 버튼은 검증된 예제를 즉시 불러오고, 빠른 선택 버튼은 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270°, 360°로 바로 이동합니다.

예제를 시도해 보세요. 반지름 6에 각도 60°이면 호는 6.2831853072 단위입니다. 반지름 8에 90°이면 12.5663706144 단위입니다. 반지름 5에 270°이면 우부채꼴 호는 23.5619449019 단위입니다. 지름 14에 120°이면 14.6607657168 단위입니다. 부채꼴 넓이 50에 반지름 10이면 호는 10.0000000000 단위이고, 반지름 4에 알려진 호 6이면 각도는 85.9436692696°입니다.

중요한 팁. 각도 단위를 일관되게 유지하세요. 60°와 1.0471975512 라디안은 같은 각도이지만, 60 라디안은 60°가 아닙니다. 호 길이는 곡선 거리만을 말합니다. 현은 다른 측정값이며 길이가 0인 호를 제외하고는 항상 더 짧습니다. 지름을 입력하면 계산기는 먼저 절반으로 나누어 반지름을 구합니다. 부채꼴 넓이는 호 길이가 아닙니다. 하나는 제곱 단위로, 다른 하나는 일반 단위로 잽니다. 0이나 음수 측정값은 유효한 부채꼴이 아니므로 계산기는 오해의 소지가 있는 답을 보여주는 대신 이를 거부합니다.

원은 중심점 O로부터 일정한 거리, 즉 반지름만큼 떨어진 모든 점의 집합입니다. 원형 부채꼴은 두 개의 반지름과 그 사이의 호가 원에서 잘라낸 쐐기 모양의 영역으로, 파이 한 조각과 같습니다. 부채꼴 호 길이는 그 쐐기의 바깥 가장자리를 따라 한 반지름 끝점에서 다른 반지름 끝점까지 곡선을 따라 잰 거리입니다.

피자 한 조각을 떠올려 보세요. 두 개의 곧은 자른 가장자리는 반지름이고, 뾰족한 끝은 중심 O이며, 크러스트가 호입니다. 호 길이는 크러스트의 길이입니다. 조각의 넓은 끝을 가로지르며 두 크러스트 끝점을 잇는 직선은 현이며, 크러스트보다 짧습니다.

모든 부채꼴은 반지름에 따라 크기가 달라질 뿐 같은 부분을 가집니다. 중심 O는 고정된 점입니다. 반지름 r은 O에서 원 위의 모든 점까지 이어집니다. 중심각 θ는 부채꼴을 경계 짓는 두 반지름 사이의 O에서의 각도이며, 부채꼴이 원의 어느 부분을 차지하는지 결정합니다. 호는 곡선 가장자리입니다. 현은 호 끝점 사이의 직선입니다. 부채꼴 넓이는 두 반지름과 호 안쪽의 영역입니다.

두 개의 반지름은 항상 원을 두 개의 부채꼴로 나눕니다. 더 작은 쪽이 열부채꼴이고, 더 큰 쪽이 우부채꼴입니다. 두 부채꼴을 합치면 완전한 원이 됩니다. 어느 쪽이 필요한지는 문제에 따라 다르며, 계산기는 두 쪽을 모두 보여주므로 추측할 필요가 없습니다.

부채꼴 호 길이는 1차원 측정값, 즉 길이이므로 cm, m, 인치 같은 일반 단위로 표시합니다. 넓이도 아니고 각도도 아닙니다. 이 세 가지 양을 구분하는 것이 모든 부채꼴 계산을 올바르게 하는 첫걸음입니다.

부채꼴 호 길이는 완전한 원의 둘레에서 바로 나옵니다. 완전한 원의 둘레는 다음과 같습니다.

중심각이 θ인 부채꼴은 완전한 360° 회전 중 θ / 360만큼을 차지하므로, 그 호는 둘레의 같은 비율입니다.

간단히 정리하면 도 단위 공식이 됩니다.

각도를 라디안으로 잴 때는 공식이 한층 더 간단해집니다. 라디안은 반지름 자체로 정의되기 때문입니다.

공식의 각 기호는 정확한 의미를 가집니다.

두 형태 모두 같은 답을 줍니다. 각도가 도 단위이면 L = πrθ / 180을 사용하고, 라디안 단위이면 L = rθ를 사용하세요. 계산기는 먼저 도를 라디안으로 변환한 뒤 내부적으로 L = rθ를 사용하므로 두 모드가 항상 일치합니다.

반지름 대신 지름을 사용하면 같은 공식의 두 번째 형태가 됩니다. d = 2r이므로 r = d / 2이고, 대입하면 라디안 단위로는 L = dθ / 2, 도 단위로는 L = πdθ / 360이 됩니다.

반지름에 중심각을 더하는 것이 부채꼴 호 길이를 구하는 가장 직접적인 방법입니다. 아래 풀이 예제는 반지름 6단위, 중심각 60°를 사용합니다.

1. 반지름을 확인합니다. r = 6 단위.
2. 중심각을 확인합니다. θ = 60°.
3. 도를 라디안으로 변환합니다. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 라디안.
4. 호 길이 공식을 씁니다. L = rθ.
5. 값을 대입합니다. L = 6 × π / 3.
6. 계산합니다. L = 6.2831853072 단위.
7. 필요하면 반올림합니다. 소수점 두 자리까지 반올림하면 L = 6.28 단위입니다.

같은 단계는 모든 반지름과 각도에 적용됩니다. 반지름 8단위에 90°이면 L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 단위입니다. 반지름 5단위에 270°이면 L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 단위입니다. 반지름 1단위에 60°이면 L = 1.0471975512 단위이며, 이는 정확히 π / 3과 같아 유용한 확인이 됩니다. r = 1일 때 호 길이는 라디안 단위의 각도와 같습니다.

반올림 규칙. 마지막에만 반올림하세요. 곱하기 전에 π를 3.14로 바꾸면 반지름 6에 60°인 경우 우연히 정확히 6.28이 나오지만, 반지름 8에 90°인 경우 12.5663706144 대신 12.56이 나와 0.0063706144의 오차가 생깁니다. 그 오차는 반지름과 함께 커지므로 계산 내내 완전한 정밀도를 유지하고 마지막에 표시되는 결과만 반올림하세요.

반지름 대신 지름을 알 때는 먼저 절반으로 나눈 뒤 같은 공식을 적용합니다. 아래 풀이 예제는 지름 14단위, 중심각 120°를 사용합니다.

1. 지름을 확인합니다. d = 14 단위.
2. 반지름을 구합니다. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 단위.
3. 중심각을 확인합니다. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 라디안.
4. 공식을 씁니다. L = rθ, 또는 직접 L = πdθ / 360.
5. 대입합니다. L = 7 × 2.0943951024, 또는 L = π × 14 × 120 / 360.
6. 계산합니다. L = 14.6607657168 단위.
7. 필요하면 반올림합니다. 소수점 두 자리까지 반올림하면 L = 14.66 단위입니다.

두 경로 모두 정확히 일치하므로 좋은 자기 점검이 됩니다. 반지름 경로는 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168을 주고, 지름 경로는 π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168을 줍니다. 두 값이 다르면 지름을 절반으로 나누는 과정에서 실수가 있었던 것입니다.

또 다른 예제입니다. 지름 20단위에 180°이면 r = 10 단위이므로 L = π × 10 = 31.4159265359 단위이며, 이는 반원 호입니다. 지름 10단위에 60°이면 r = 5 단위이므로 L = 5.2359877560 단위입니다. 이 계산에서 가장 흔한 실수는 2로 나누는 것을 잊고 지름을 반지름인 것처럼 사용하는 것으로, 답이 두 배가 됩니다. d = 14인 경우 그 실수는 14.6607657168 대신 29.3215314336을 줍니다.

측정 팁. 지름은 원을 가로질러 곧게 잴 수 있기 때문에 실제 생활에서 반지름보다 재기 쉬운 경우가 많습니다. 그래서 계산기는 지름 입력을 직접 받습니다. 가로질러 재서 입력하면 계산기가 절반으로 나누어 줍니다.

도는 각도의 일상적인 단위입니다. 완전한 원은 360°를 포함하므로 도 단위의 중심각은 부채꼴이 전체 원의 어느 부분을 차지하는지 직접 알려줍니다. 90°인 각도는 원의 4분의 1, 180°는 절반, 270°는 4분의 3을 차지합니다.

도 단위 공식은 L = πrθ / 180이며, 여기서 θ는 도 단위입니다. 이 공식은 비율 아이디어에서 나옵니다. 둘레 2πr의 θ / 360만큼을 간단히 정리한 것입니다.

풀이 예제. 반지름 8단위, 각도 90°.

1. 값을 확인합니다. r = 8 단위, θ = 90°.
2. 원의 어느 부분인지 구합니다. 90 / 360 = 1 / 4, 사분원입니다.
3. 공식을 씁니다. L = πrθ / 180.
4. 대입합니다. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. 계산합니다. L = 12.5663706144 단위.
6. 둘레와 비교해 확인합니다. 전체 둘레는 2π × 8 = 50.2654824574 단위이며, 그 4분의 1은 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 단위입니다. 두 값이 일치합니다.

반지름 5단위인 경우의 도 단위 예제는 다음과 같습니다. 30°이면 L = 2.6179938780 단위, 45°이면 L = 3.9269908170 단위, 120°이면 L = 10.4719755120 단위, 270°이면 L = 23.5619449019 단위입니다. 같은 반지름에서 각도를 두 배로 하면 호 길이도 두 배가 되는데, 이는 호 길이가 중심각에 정비례하기 때문입니다.

흔한 도 단위 실수. 변환 없이 도 값을 L = rθ에 그대로 넣으면 크게 틀린 답이 나옵니다. r = 5, 60°인 경우 변환하지 않은 계산은 5 × 60 = 300을 주지만 올바른 답은 5.2359877560입니다. 공식 L = rθ에는 라디안이 필요하므로 먼저 변환하거나 도 단위 형태 L = πrθ / 180을 사용하세요.

라디안은 호 길이가 반지름과 같아질 때 얻어지는 각도입니다. 반지름과 같은 길이의 실을 원 둘레에 감으면 중심에서 그 실이 만드는 각이 정확히 1 라디안입니다. 완전한 원은 약 6.2831853072 라디안인 2π 라디안을 포함하는데, 이는 전체 둘레가 2πr이고 r로 나누면 2π가 남기 때문입니다.

라디안 단위 공식은 L = rθ로, 가장 간단한 호 길이 공식입니다. π가 들어 있지 않은데, 이는 π가 이미 각도의 라디안 측정값 안에 들어 있기 때문입니다.

풀이 예제. 반지름 6단위, 각도 π / 3 라디안(60°와 같습니다).

1. 값을 확인합니다. r = 6 단위, θ = π / 3 = 1.0471975512 라디안.
2. 공식을 씁니다. L = rθ.
3. 대입합니다. L = 6 × 1.0471975512.
4. 계산합니다. L = 6.2831853072 단위.
5. 도 단위와 비교해 확인합니다. π / 3 라디안은 60°이며, 도 단위 공식은 L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 단위를 줍니다. 두 값이 정확히 일치합니다.

라디안 단위 예제는 더 있습니다. 반지름 4단위에 θ = π / 2 라디안이면 L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 단위입니다. 반지름 10단위에 θ = π 라디안이면 L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 단위이며, 이는 반원 호입니다. 반지름 5단위에 θ = 1 라디안이면 L = 5 단위인데, 이는 각도가 1 라디안일 때 호가 반지름과 같기 때문입니다.

수학에서 라디안을 선호하는 이유. 호 길이, 현, 부채꼴, 활꼴 넓이에 대한 미적분 공식은 모두 라디안을 사용합니다. 도는 일상적인 측정에 편리하지만 라디안은 수학을 깔끔하게 만들므로, 계산기는 계산하기 전에 모든 각도를 라디안으로 변환합니다.

부채꼴 호 길이와 부채꼴 넓이는 비슷하게 들리지만 서로 다른 것을 잽니다. 호 길이는 일반 단위로 재는 1차원 곡선 거리입니다. 부채꼴 넓이는 두 반지름과 호가 잘라낸 원의 쐐기인 2차원 영역으로, 제곱 단위로 잽니다.

두 공식이 비슷하게 생겨서 바로 그 때문에 혼동됩니다.

부채꼴 넓이는 호 길이에 반지름의 절반을 곱한 값입니다. A = ½ × r × L. 이 관계는 유용한 점검 방법입니다. 반지름 6단위, 60°인 경우 호는 6.2831853072 단위이고, 부채꼴 넓이는 ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 제곱 단위입니다.

단위가 단서입니다. 답이 길이라면 단위는 cm, m 또는 인치입니다. 답이 넓이라면 단위는 cm², m² 또는 제곱 인치입니다. 제곱 단위로 나온 호 길이 답이나 일반 단위로 나온 부채꼴 넓이 답은 확실히 틀렸습니다. 계산기는 두 값을 분리해 두고 단위를 명확히 표시합니다.

전체 원 점검. 360°에서는 부채꼴이 전체 원이 되므로 부채꼴 넓이는 πr²와 같아야 합니다. r = 6인 경우 π × 36 = 113.0973355292 제곱 단위입니다. 같은 때 호는 전체 둘레인 37.6991118431 단위입니다. 둘 다 같은 반지름과 각도에서 나오지만 서로 다른 질문에 답합니다.

부채꼴의 둘레는 그 경계를 따라 한 바퀴 도는 거리입니다. 제대로 된 부채꼴은 경계가 세 부분으로 이루어집니다. 곡선 호, 첫 번째 반지름, 두 번째 반지름입니다. 따라서 부채꼴 둘레는 호 길이에 반지름의 두 배를 더한 값입니다.

여기서 θ는 라디안 단위입니다. 두 직선 변은 각각 정확히 한 반지름 길이이므로 곡선 호 길이에 2r을 더합니다.

풀이 예제. 반지름 6단위, 각도 60°. 호는 L = 6.2831853072 단위입니다. 두 반지름은 2 × 6 = 12 단위를 더합니다. 부채꼴 둘레는 P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 단위입니다.

더 많은 예제. 반지름 8에 90°이면 호는 12.5663706144, 둘레는 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 단위입니다. 반지름 5에 270°이면 호는 23.5619449019, 둘레는 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 단위입니다. 반지름 7에 120°이면 호는 14.6607657168, 둘레는 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 단위입니다.

두 가지 특수한 경우. 완전한 원인 360°에서는 경계에 반지름 변이 전혀 없습니다. 둘레는 단순히 둘레, 즉 P = 2πr입니다. r = 6인 경우 37.6991118431 단위이며, 37.6991118431 + 12가 아닙니다. 각도가 0°인 부채꼴에서는 도형이 퇴화합니다. 두 반지름이 겹치고 호 길이가 0이므로 일반적인 부채꼴 둘레를 제시하지 마세요. 계산기는 각도가 0인 경우를 퇴화로 취급하고 일반적인 둘레 값을 보고하지 않습니다.

구분이 중요한 이유. 부채꼴 모양 패널용 트림을 주문한다면 둘레가 필요합니다. 트림이 호와 두 직선 가장자리를 따라가기 때문입니다. 곡선 가장자리만 잰다면 호 길이가 필요합니다. 두 값을 혼동하는 것은 가장 흔한 부채꼴 실수 중 하나이며, 계산기는 두 값을 나란히 보여주어 그 차이를 항상 확인할 수 있게 합니다.

두 개의 반지름은 원을 두 개의 부채꼴로 나눕니다. 더 작은 쪽이 열부채꼴이고, 더 큰 쪽이 우부채꼴입니다. 두 부채꼴은 같은 두 반지름을 공유하며, 합치면 완전한 원이 됩니다.

중심각이 어느 쪽인지 결정합니다. 180°보다 작은 중심각은 열부채꼴을 만듭니다. 180°보다 큰 중심각은 우부채꼴을 만들며, 그 각도는 평각보다 큰 우각입니다. 정확히 180°이면 반원이 되며, 열부채꼴도 우부채꼴도 아닙니다. 두 부채꼴이 같습니다.

열부채꼴과 우부채꼴은 여각 관계입니다. 더 작은 중심각을 θ라 하면 열호는 Lminor = rθ이고 우호는 Lmajor = r(2π - θ)입니다. 두 호의 합은 항상 완전한 둘레이며, 두 부채꼴 넓이의 합은 완전한 원의 넓이입니다.

풀이 예제. 반지름 6단위, 더 작은 각도 60°. 열호는 L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 단위이고, 열부채꼴 넓이는 18.8495559215 제곱 단위입니다. 우호는 우각 360° - 60° = 300°를 사용하므로 L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 단위이고, 우부채꼴 넓이는 94.2477796077 제곱 단위입니다. 호의 합은 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 단위로 전체 둘레이며, 넓이의 합은 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 제곱 단위로 전체 원의 넓이입니다. 열부채꼴은 원의 16.67%이고 우부채꼴은 83.33%입니다.

또 다른 예제. 반지름 5단위, 각도 270°. 이것은 이미 우부채꼴입니다. L = 23.5619449019 단위이고 부채꼴 넓이는 58.9048622548 제곱 단위입니다. 여각인 열부채꼴은 90°를 사용합니다. L = 7.8539816340 단위이고 넓이는 19.6349540849 제곱 단위입니다. 합은 31.4159265359 단위로, 전체 둘레 2π × 5입니다.

두 각도를 혼동하지 마세요. 가장 흔한 열부채꼴/우부채꼴 실수는 문제에서 우부채꼴을 요구하는데 더 작은 각도를 사용하거나 그 반대인 경우입니다. 주어진 각도가 더 작은 각도인지 우각인지 항상 확인하고, 계산기는 두 부채꼴을 나란히 보여주므로 문제에 필요한 쪽을 고를 수 있다는 점을 기억하세요.

부채꼴과 원형 활꼴은 원의 서로 다른 두 영역이며, 둘 다 호를 포함하기 때문에 혼동하기 쉽습니다. 부채꼴은 두 반지름과 호로 둘러싸입니다. 원형 활꼴은 현과 호로 둘러싸입니다. 활꼴은 현 너머에 있는 부채꼴의 부분이므로 아래 특수한 경우를 제외하고는 부채꼴보다 작습니다.

공식을 보면 차이가 분명합니다.

활꼴 넓이는 부채꼴 넓이에서 두 반지름과 현 사이의 삼각형 넓이를 뺀 값입니다. 여기서 θ는 0에서 2π 사이의 라디안 단위 중심 휩쓸기입니다. 이 공식은 열활꼴과 우활꼴을 모두 올바르게 처리합니다. 열호에서는 작은 뚜껑을, 우호에서는 원의 대부분을 차지하는 큰 영역을 줍니다.

풀이 예제. r = 6 단위, 60°인 경우 부채꼴 넓이는 18.8495559215 제곱 단위이고 활꼴 넓이는 ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 제곱 단위입니다. 삼각형이 쐐기의 대부분을 차지하므로 활꼴은 부채꼴보다 훨씬 작습니다. r = 8, 90°인 경우 활꼴은 18.2654824574 제곱 단위입니다. r = 5, 90°인 경우 활꼴은 7.1349540849 제곱 단위입니다.

특수한 경우. 180°에서는 sin θ = 0이므로 활꼴 넓이는 부채꼴 넓이와 같습니다. ½ πr²입니다. r = 5인 경우 둘 다 39.2699081699 제곱 단위로, 정확히 원의 절반입니다. 270°에서는 sin θ = -1이므로 활꼴이 부채꼴보다 큽니다. r = 5인 경우 부채꼴은 58.9048622548 제곱 단위이고 활꼴은 71.4048622548 제곱 단위입니다. 360°에서는 현이 사라지고 활꼴은 전체 원 πr²이 됩니다.

활꼴과 부채꼴을 한 줄로 정리하면. 부채꼴은 중심에서 시작하는 쐐기입니다. 활꼴은 현 너머의 뚜껑입니다. 문제에 중심이 관여하면 부채꼴이 필요하고, 호와 그 현만 관여하면 활꼴이 필요합니다.

현의 길이와 부채꼴 호 길이는 모두 원 위의 같은 두 점을 연결하지만 서로 다른 경로를 따릅니다. 호는 곡선을 따라갑니다. 현은 곧게 가로지릅니다. 호가 거의 항상 더 깁니다.

공식을 보면 차이가 분명합니다.

현은 각도 절반의 사인에 따라 달라지는데, 사인은 각도 자체보다 느리게 커지므로 각도가 커질수록 호와 현 사이의 간격이 넓어집니다.

표에서 기억할 만한 사실은 세 가지입니다. 30°에서는 호가 현보다 약 1.15%만 길어서 작은 각도에서는 두 값이 가깝습니다. 180°에서는 현이 지름인 10 단위이고 호는 πr = 15.7079632679 단위입니다. 270°에서는 현이 7.0710678119 단위로 다시 줄어들어 90°일 때와 같아지는데, 이는 현이 끝점 사이의 더 작은 각도에 따라 달라지는 반면 호는 휩쓸기와 함께 계속 커지기 때문입니다.

특수한 경우. 60°에서는 현이 반지름과 정확히 같습니다. c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. r = 6인 경우 현은 6 단위이며, 반지름, 현, 두 반지름이 정삼각형을 이룹니다. 이는 편리한 점검 방법이자 시험 출제자가 좋아하는 내용입니다.

중요한 이유. 곡선 파이프를 자른다면 호 길이가 필요합니다. 원형 부품 위의 두 점 사이의 직선 간격을 잰다면 현이 필요합니다. 두 값을 혼동하는 것은 가장 흔한 원 관련 실수 중 하나이며, 계산기는 두 값을 함께 보여주어 그 차이를 항상 확인할 수 있게 합니다.

반지름도 각도도 주어지지 않을 때가 있습니다. 계산기는 다른 네 가지 측정값에서 빠진 값을 먼저 구한 뒤 평소처럼 L = rθ를 적용해 거꾸로 계산합니다. 일곱 가지 방법 모두 같은 부채꼴에 대해 같은 반지름과 같은 호 길이를 주므로 실제로 가지고 있는 측정값을 사용하면 됩니다.

전체 원 둘레에서 구하기. 전체 둘레는 C = 2πr이므로 r = C / (2π)입니다. C = 37.6991118431 단위이면 r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 단위입니다. 그러면 60° 부채꼴 호는 L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 단위입니다. 지름길에 주목하세요. 60° 호는 둘레의 6분의 1이며, 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 단위입니다.

현의 길이에서 구하기. 현 공식은 c = 2r sin(θ / 2)이므로 r = c / [2 sin(θ / 2)]입니다. 현이 6 단위이고 각도가 60°이면 r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 단위입니다. 그러면 L = 6.2831853072 단위입니다. 현 입력은 각도가 0°와 360° 사이일 때만 가능합니다. 0°나 360°에서는 현이 0이 되어 반지름을 복원할 수 없으므로 계산기는 이 방법에서 그 각도를 거부합니다.

부채꼴 넓이와 반지름에서 구하기. 부채꼴 넓이는 A = ½r²θ이므로 θ = 2A / r²입니다. 부채꼴 넓이 50 제곱 단위, 반지름 10 단위인 경우 θ = 2 × 50 / 100 = 1 라디안 = 57.2957795131°입니다. 그러면 L = 10 × 1 = 10.0000000000 단위입니다. 이 방법은 부채꼴 넓이가 전체 원 넓이 πr²보다 크지 않아야 합니다. r = 10인 경우 그 한도는 314.1592653590 제곱 단위이므로 그보다 큰 넓이는 거부됩니다.

부채꼴 넓이와 각도에서 구하기. 같은 식을 정리하면 θ가 라디안 단위일 때 r = √(2A / θ)입니다. 부채꼴 넓이 18.8495559215 제곱 단위, 각도 60°인 경우 θ = 1.0471975512 라디안이므로 r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 단위입니다. 그러면 L = 6.2831853072 단위입니다. 이 방법은 넓이뿐 아니라 각도도 필요한데, 이는 같은 부채꼴 넓이가 여러 반지름과 각도 조합에서 나올 수 있기 때문입니다.

반지름과 알려진 호 길이에서 구하기. 각도는 θ = L / r입니다. 반지름 4단위, 알려진 호 6단위인 경우 θ = 6 / 4 = 1.5 라디안 = 85.9436692696°입니다. 그러면 부채꼴 넓이는 A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 제곱 단위이고, 둘레는 P = 6 + 8 = 14.0000000000 단위입니다. 이 방법은 호가 전체 둘레 2πr보다 길지 않아야 합니다. r = 4인 경우 그 한도는 25.1327412287 단위입니다.

어떤 입력을 사용할지. 실제로 가지고 있는 측정값을 사용하세요. 서로 다른 두 측정값이 서로 다른 반지름을 주면 측정값 중 하나가 틀린 것이며, 어느 답을 믿기 전에 그 불일치를 조사할 가치가 있습니다.

부채꼴 호 길이는 추상적인 교실 연습이 아닙니다. 원 위의 곡선 거리를 재고, 자르고, 만들고, 이동해야 하는 모든 곳에 같은 공식이 적용됩니다.

기계 공학. 파이프 굽힘은 호 길이에서 시작합니다. 굽힘 반지름이 8 단위인 90° 굽힘 파이프는 굽힘 부분만으로 12.5663706144 단위의 파이프가 필요합니다. 곡면 패널로 말리는 판금, 기어 이빨 윤곽, 캠 형상은 모두 재료를 자르기 전에 곡선 길이가 필요합니다. 틀리면 재료를 낭비하거나 부품이 짧아집니다.

건축과 건설. 아치형 출입문, 원형 창문, 돔, 곡선 계단은 호를 기준으로 치수가 정해집니다. 반지름 10 단위인 반원 아치는 곡선을 따라 31.4159265359 단위의 트림이 필요합니다. 반지름 6단위, 각도 60°인 부채꼴 모양 캐노피는 곡선을 따라 6.2831853072 단위의 가장자리 마감재가 필요하고 전체 경계로는 18.2831853072 단위가 필요합니다.

도로와 트랙. 원형 도로 곡선, 육상 트랙 굽이, 철도 곡선은 반지름과 중심각으로 배치합니다. 곡선의 길이가 아스팔트 양, 레일 길이, 차량이 굽이를 통과하며 이동하는 거리를 결정합니다. 반지름 7단위인 120° 곡선은 14.6607657168 단위 길이입니다.

피자와 음식 나누기. 피자 한 조각은 부채꼴입니다. 피자 반지름이 6 단위라면 60°로 자른 한 조각의 크러스트 길이는 6.2831853072 단위이고 넓이는 18.8495559215 제곱 단위입니다. 그런 조각 여섯 개가 전체 피자를 만들고, 크러스트를 합치면 37.6991118431 단위로 전체 둘레가 됩니다. 조각을 똑같이 자르는 것은 부채꼴 나누기 문제입니다. 각도가 같으면 호와 넓이가 같습니다.

시계, 바퀴, 로봇공학. 시계바늘은 시간이 지나며 호를 휩씁니다. 땅 위를 구르는 바퀴는 회전한 호와 같은 거리를 이동합니다. 관절을 중심으로 회전하는 로봇 팔은 그립퍼를 원호를 따라 이동시키며, 이동 거리는 rθ이므로 라디안이 로봇공학에서 자연스러운 단위입니다.

컴퓨터 그래픽스와 CAD. CAD 모델, 글꼴, 애니메이션의 곡선은 원호로 만들어집니다. 호의 길이가 도구 경로를 나누는 방식, 곡선을 렌더링하는 방식, 애니메이션에서 물체가 원형 경로를 따라 이동하는 거리를 결정합니다. CAD의 부채꼴 모양 부품은 이 계산기가 사용하는 반지름과 각도로 정확히 정의됩니다.

실제 모양에 대한 참고. 모든 곡선 구조가 완벽한 원은 아닙니다. 실제 아치는 타원이나 포물선일 수 있고, 실제 도로는 클로소이드 전이 구간을 사용합니다. 이 페이지의 부채꼴 공식은 곡선이 진정한 원호일 때 정확히 적용되며, 곡선이 원에 가까울 때만 좋은 근사가 됩니다. 공식을 적용하기 전에 모양을 항상 확인하세요.

부채꼴 호 길이에서 틀린 답의 대부분은 짧은 실수 목록에서 나옵니다. 각 항목을 확인하는 데는 몇 초밖에 걸리지 않으며 대부분의 실수를 막아줍니다.

1. 라디안 공식에 도를 그대로 사용하기. L = rθ에는 라디안이 필요합니다. 60°를 그대로 넣으면 6.2831853072 대신 6 × 60 = 360이 나옵니다. 먼저 변환하거나 L = πrθ / 180을 사용하세요.
2. 반지름과 지름 혼동하기. 공식에는 r이 필요하고 d가 아닙니다. d = 14를 반지름으로 사용하면 120° 부채꼴에서 14.6607657168 대신 29.3215314336으로 답이 두 배가 됩니다. 먼저 지름을 절반으로 나누세요.
3. 부채꼴 넓이와 호 길이 혼동하기. 부채꼴 넓이는 제곱 단위로 재는 2차원 영역입니다. 호 길이는 일반 단위로 재는 1차원 거리입니다. r = 6, 60°인 경우 부채꼴 넓이는 18.8495559215 제곱 단위이고 호는 6.2831853072 단위입니다. 서로 다른 양이며 단위도 다릅니다.
4. 부채꼴 둘레와 호 길이 혼동하기. 둘레는 두 반지름 변을 더합니다. P = L + 2r. r = 6, 60°인 경우 호는 6.2831853072 단위이지만 둘레는 18.2831853072 단위입니다. 문제에서 호를 요구하는데 둘레를 사용하면 답이 12 단위만큼 커집니다.
5. 잘못된 중심각 사용하기. 부채꼴 문제에서는 중심각 대신 현과 접선 사이의 각도나 원주각이 주어질 수 있습니다. 같은 호에 대한 원주각은 중심각의 절반입니다. 문제에서 원주각 φ가 주어지면 중심각은 θ = 2φ이고 호는 L = r × 2φ입니다. φ를 그대로 사용하면 답이 절반이 됩니다.
6. 열부채꼴과 우부채꼴 혼동하기. 270°인 각도는 r = 5인 경우 23.5619449019 단위의 우부채꼴 호를 줍니다. 대신 더 작은 각도 90°를 사용하면 7.8539816340 단위의 열호가 됩니다. 문제가 어느 부채꼴을 요구하는지 확인하세요.
7. 잘못된 현 공식 사용하기. 현은 c = 2r sin(θ / 2)이며, 사인 안에 각도의 절반이 들어갑니다. 대신 sin(θ)를 사용하면 틀린 값이 나옵니다. r = 6, 60°인 경우 올바른 현은 6 단위이지만 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 단위입니다.
8. 선형 단위와 제곱 단위 섞기. cm 단위의 반지름과 도 단위의 각도는 괜찮지만 답은 cm 단위로 나옵니다. cm² 단위의 부채꼴 넓이는 제곱 계수로 변환해야 합니다. 1 m²는 100 cm²가 아니라 10,000 cm²입니다. 한 계산에 cm와 인치를 섞거나 출력 단위 변환을 잊으면 크기가 틀린 숫자가 나옵니다. 먼저 변환하고 그다음 계산하세요.
9. π를 너무 일찍 반올림하기. 곱하기 전에 π를 3.14로 바꾸면 반지름과 함께 커지는 오차가 생깁니다. 계산 내내 완전한 정밀도의 π를 유지하고 마지막에 표시되는 결과만 반올림하세요.
10. 각도를 라디안으로 변환하는 것을 잊기. 180이 들어 있지 않은 채 θ를 사용하는 모든 부채꼴 공식은 부채꼴 넓이 A = ½r²θ, 현 c = 2r sin(θ / 2), 활꼴 넓이 A = ½r²(θ - sin θ)를 포함해 θ가 라디안 단위여야 합니다. 도는 공식의 도 단위 형태에서만 사용할 수 있습니다.

이 중 대부분을 잡아내는 마지막 점검. 둘레와 비교해 결과를 확인하세요. 호는 0에서 2πr 사이여야 하고, 현보다 길어야 하며, 부채꼴 넓이는 0에서 πr² 사이여야 하고, 열호와 우호의 합은 정확히 2πr이어야 합니다. 이 중 어느 하나라도 틀리면 위 열 가지 실수 중 하나가 원인입니다.

이 여섯 가지 예제는 계산기의 주요 입력 방법과 부채꼴 유형을 다룹니다. 각 예제는 도구를 구동하는 같은 엔진으로 계산했으며, 각 결과는 독립적으로 검증했습니다.

예제 1: 반지름 6, 60도 부채꼴. r = 6 단위, θ = 60° = π / 3 라디안이 주어집니다. 호 길이 L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 단위. 지름 d = 12 단위. 현 c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 단위. 부채꼴 넓이 A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 제곱 단위. 부채꼴 둘레 P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 단위. 활꼴 넓이는 3.2610986534 제곱 단위입니다. 전체 둘레 C = 37.6991118431 단위입니다.

예제 2: 반지름 8, 90°인 사분원 부채꼴. r = 8 단위, θ = 90° = π / 2 라디안이 주어집니다. 호 길이 L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 단위. 현 c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 단위. 부채꼴 넓이 A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 제곱 단위. 부채꼴 둘레 P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 단위. 활꼴 넓이는 18.2654824574 제곱 단위입니다. 호는 둘레 50.2654824574 단위의 정확히 4분의 1입니다.

예제 3: 반지름 5, 270°인 우부채꼴. r = 5 단위, θ = 270° = 3π / 2 라디안이 주어집니다. 호 길이 L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 단위. 현 c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 단위. 부채꼴 넓이 A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 제곱 단위. 부채꼴 둘레 P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 단위. 90°를 사용한 여각 열호는 7.8539816340 단위이고, 여각 부채꼴 넓이는 19.6349540849 제곱 단위입니다. 두 호의 합은 31.4159265359 단위로 전체 둘레입니다.

예제 4: 지름 14, 120°인 부채꼴. d = 14 단위, θ = 120° = 2π / 3 라디안이 주어집니다. 반지름 r = 14 / 2 = 7 단위. 호 길이 L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 단위. 현 c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 단위. 부채꼴 넓이 A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 제곱 단위. 부채꼴 둘레 P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 단위. 활꼴 넓이는 30.0950576159 제곱 단위입니다.

예제 5: 넓이 50, 반지름 10인 부채꼴. 부채꼴 넓이 A = 50 제곱 단위, 반지름 r = 10 단위가 주어집니다. 중심각 θ = 2 × 50 / 100 = 1 라디안 = 57.2957795131°. 호 길이 L = 10 × 1 = 10.0000000000 단위. 현 c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 단위. 부채꼴 둘레 P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 단위. 활꼴 넓이는 7.9264507596 제곱 단위입니다. 여각 호는 52.8318530718 단위입니다.

예제 6: 반지름 4, 알려진 호 길이 6인 부채꼴. r = 4 단위, L = 6 단위가 주어집니다. 중심각 θ = 6 / 4 = 1.5 라디안 = 85.9436692696°. 부채꼴 넓이 A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 제곱 단위. 현 c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 단위. 부채꼴 둘레 P = 6 + 8 = 14.0000000000 단위. 활꼴 넓이는 4.0200401072 제곱 단위입니다. 여각 호는 19.1327412287 단위이고, 여각 부채꼴 넓이는 38.2654824574 제곱 단위입니다.

계산기에서 사전 설정 버튼을 클릭하면 이 예제 중 하나를 불러와 해당 입력에 대한 전체 단계별 풀이, 실시간 도표, 모든 보조 결과를 볼 수 있습니다.