Máy tính độ dài cung hình quạt

Máy tính độ dài cung hình quạt đo khoảng cách cong dọc theo cung của một hình quạt tròn, từ một lát nhỏ đến toàn bộ hình tròn. Công cụ chấp nhận bảy phép đo khởi đầu khác nhau, vì vậy bạn có thể dùng bất kỳ giá trị nào mình đã có. Hãy làm theo các bước sau để có đáp án đúng trong chưa đầy một phút.

1. Chọn phương pháp nhập liệu. Chọn Bán kính + Góc ở tâm, Đường kính + Góc ở tâm, Chu vi hình tròn đầy đủ + Góc ở tâm, Diện tích hình quạt + Bán kính, Diện tích hình quạt + Góc ở tâm, Độ dài dây cung + Góc ở tâm, hoặc Bán kính + Độ dài cung đã biết. Các trường nhập liệu, nhãn và danh sách đơn vị sẽ thay đổi theo phương pháp bạn chọn.
2. Nhập số đo của bạn. Gõ giá trị vào ô nhập liệu. Đối với các phương pháp dùng diện tích, hãy dùng danh sách đơn vị bình phương (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Nhập góc ở tâm. Gõ góc theo độ hoặc radian bằng nút chuyển DEG/RAD, hoặc kéo thanh trượt góc từ 0° đến 360°. Sơ đồ trực tiếp và kết quả sẽ cập nhật khi bạn di chuyển thanh trượt. Trong các phương pháp Diện tích hình quạt + Bán kính và Bán kính + Độ dài cung đã biết, góc được tính ra từ các giá trị của bạn.
4. Đặt góc bắt đầu và góc kết thúc nếu bạn cần. Quét mặc định bắt đầu ở 0° và chạy ngược chiều kim đồng hồ. Thay đổi góc bắt đầu, góc kết thúc hoặc hướng để đo một hình quạt ở bất kỳ vị trí nào trên hình tròn. Độ quét, chứ không phải vị trí, quyết định độ dài cung. Góc bắt đầu và góc kết thúc giống hệt nhau nghĩa là cung có độ dài bằng 0, trừ khi bạn dùng tùy chọn hình tròn đầy đủ cho một vòng quay hoàn chỉnh.
5. Chọn đơn vị nhập và đơn vị xuất. Máy tính chuyển đổi dữ liệu nhập của bạn sang một đơn vị nội bộ nhất quán, tính toán, rồi chuyển đáp án sang đơn vị xuất của bạn. Con số thay đổi theo đơn vị, còn độ dài thì không.
6. Chọn độ chính xác. Chọn 2, 4, 6 hoặc 8 chữ số thập phân. Mặc định là 4. Máy tính luôn dùng π với độ chính xác đầy đủ ở bên trong và chỉ làm tròn kết quả hiển thị.
7. Nhấn Tính ngay. Kết quả chính là độ dài cung hình quạt, kèm theo phân loại: hình quạt góc 0, hình quạt nhỏ, nửa hình tròn, hình quạt lớn hoặc hình tròn đầy đủ. Bên dưới, bạn nhận được bán kính, đường kính, chu vi đầy đủ, cung bù, độ dài dây cung, diện tích hình quạt, chu vi hình quạt, diện tích hình viên phân, phần trăm cung, cả hai dạng góc, và phép so sánh hình quạt nhỏ với hình quạt lớn.
8. Khám phá sơ đồ. Sơ đồ hình quạt trực tiếp vẽ toàn bộ hình tròn, tô vàng hình quạt đã chọn, và đánh dấu tâm O, các đường bán kính, dây cung và các điểm mút. Dùng các nút bật tắt để hiện hoặc ẩn các đường bán kính, dây cung, điểm tâm, dấu góc và hình quạt bù.
9. Sao chép, in hoặc đặt lại. Dùng Sao chép kết quả để đưa đáp án vào bộ nhớ tạm, In tóm tắt để có một báo cáo đơn giản, hoặc Đặt lại để xóa bảng. Các nút cài đặt sẵn tải ngay các ví dụ đã kiểm chứng, và các nút chọn nhanh nhảy thẳng tới 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° hoặc 360°.

Thử một ví dụ. Bán kính 6 với góc 60° cho cung dài 6.2831853072 đơn vị. Bán kính 8 với 90° cho 12.5663706144 đơn vị. Bán kính 5 với 270° cho cung hình quạt lớn dài 23.5619449019 đơn vị. Đường kính 14 với 120° cho 14.6607657168 đơn vị. Diện tích hình quạt 50 với bán kính 10 cho cung dài 10.0000000000 đơn vị, và bán kính 4 với cung đã biết dài 6 đơn vị cho góc 85.9436692696°.

Mẹo quan trọng. Giữ đơn vị góc nhất quán: 60° và 1.0471975512 radian là cùng một góc, nhưng 60 radian không phải là 60°. Độ dài cung chỉ là khoảng cách cong, dây cung là một phép đo khác và luôn ngắn hơn, trừ cung có độ dài bằng 0. Nếu bạn nhập đường kính, máy tính sẽ chia đôi để tìm bán kính trước. Diện tích hình quạt không phải là độ dài cung: một cái đo bằng đơn vị bình phương và cái còn lại đo bằng đơn vị thường. Số đo bằng 0 hoặc âm không phải là hình quạt hợp lệ, vì vậy máy tính sẽ từ chối thay vì hiển thị một đáp án gây hiểu lầm.

Hình tròn là tập hợp mọi điểm cách một điểm cố định, gọi là tâm O, một khoảng không đổi gọi là bán kính. Hình quạt tròn là vùng có dạng hình nêm được cắt ra từ một hình tròn bởi hai bán kính và cung nằm giữa chúng, giống như một lát bánh. Độ dài cung hình quạt là khoảng cách cong dọc theo mép ngoài của hình nêm đó, từ đầu mút của một bán kính đến đầu mút của bán kính còn lại, men theo đường cong.

Hãy hình dung một lát bánh pizza. Hai mép cắt thẳng là các bán kính, đầu nhọn là tâm O, và phần vỏ bánh là cung. Độ dài cung là độ dài của phần vỏ bánh. Đường thẳng nối hai đầu mút của phần vỏ, chạy ngang qua đầu rộng của lát bánh, là dây cung, và nó ngắn hơn phần vỏ bánh.

Mọi hình quạt đều có các bộ phận giống nhau, được thu phóng theo bán kính của nó. Tâm O là điểm cố định. Bán kính r chạy từ O đến bất kỳ điểm nào trên hình tròn. Góc ở tâm θ là góc tại O giữa hai bán kính giới hạn hình quạt, và nó quyết định hình quạt chiếm bao nhiêu phần của hình tròn. Cung là mép cong. Dây cung là đường thẳng nối hai đầu mút của cung. Diện tích hình quạt là vùng nằm trong hai bán kính và cung.

Hai bán kính luôn chia một hình tròn thành hai hình quạt: hình nhỏ hơn, gọi là hình quạt nhỏ, và hình lớn hơn, gọi là hình quạt lớn. Gộp lại chúng tạo thành hình tròn đầy đủ. Bạn muốn hình nào tùy thuộc vào bài toán của bạn, và máy tính hiển thị cả hai, vì vậy bạn không bao giờ phải đoán.

Độ dài cung hình quạt là một phép đo một chiều, một độ dài, vì vậy nó được báo cáo bằng đơn vị thường như cm, m hoặc inch. Nó không phải là diện tích, và cũng không phải là góc. Giữ ba đại lượng này tách biệt là bước đầu tiên để tính đúng mọi phép tính về hình quạt.

Độ dài cung hình quạt suy ra trực tiếp từ chu vi của một hình tròn đầy đủ. Chu vi của một hình tròn đầy đủ là:

Một hình quạt có góc ở tâm θ chiếm phần θ / 360 của một vòng quay đầy đủ 360°, vì vậy cung của nó chiếm cùng phần đó của chu vi:

Rút gọn ta được dạng công thức theo độ:

Khi góc được đo bằng radian, công thức còn đơn giản hơn, vì radian được định nghĩa dựa trên chính bán kính:

Mỗi ký hiệu trong các công thức có một ý nghĩa chính xác:

Cả hai dạng đều cho cùng một đáp án. Dùng L = πrθ / 180 khi góc của bạn tính bằng độ, và L = rθ khi góc tính bằng radian. Máy tính chuyển đổi độ sang radian trước rồi dùng L = rθ ở bên trong, đó là lý do hai chế độ luôn cho kết quả trùng nhau.

Dùng đường kính thay cho bán kính cho ra một dạng thứ hai của cùng một công thức. Vì d = 2r, nên r = d / 2, và thay vào ta được L = dθ / 2 theo radian, hoặc L = πdθ / 360 theo độ.

Bán kính cộng với góc ở tâm là cách trực tiếp nhất để tìm độ dài cung hình quạt. Ví dụ minh họa dưới đây dùng bán kính 6 đơn vị và góc ở tâm 60°.

1. Xác định bán kính. r = 6 đơn vị.
2. Xác định góc ở tâm. θ = 60°.
3. Đổi độ sang radian. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radian.
4. Viết công thức độ dài cung. L = rθ.
5. Thay các giá trị vào. L = 6 × π / 3.
6. Tính toán. L = 6.2831853072 đơn vị.
7. Làm tròn khi cần. Đến hai chữ số thập phân, L = 6.28 đơn vị.

Các bước tương tự áp dụng cho bất kỳ bán kính và góc nào. Bán kính 8 đơn vị với 90° cho L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 đơn vị. Bán kính 5 đơn vị với 270° cho L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 đơn vị. Bán kính 1 đơn vị với 60° cho L = 1.0471975512 đơn vị, chính xác bằng π / 3, một cách kiểm tra hữu ích: với r = 1, độ dài cung bằng góc tính bằng radian.

Quy tắc làm tròn. Chỉ làm tròn ở cuối. Nếu bạn thay π bằng 3.14 trước khi nhân, bán kính 6 với 60° cho 6.28 chính xác một cách may mắn ở đây, nhưng với bán kính 8 và 90° nó cho 12.56 thay vì 12.5663706144, sai lệch 0.0063706144. Sai số đó tăng theo bán kính, vì vậy hãy giữ độ chính xác đầy đủ trong suốt quá trình tính toán và chỉ làm tròn kết quả hiển thị cuối cùng.

Khi bạn biết đường kính thay vì bán kính, hãy chia đôi nó trước, rồi áp dụng cùng một công thức. Ví dụ minh họa dưới đây dùng đường kính 14 đơn vị và góc ở tâm 120°.

1. Xác định đường kính. d = 14 đơn vị.
2. Tìm bán kính. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 đơn vị.
3. Xác định góc ở tâm. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radian.
4. Viết công thức. L = rθ, hoặc trực tiếp L = πdθ / 360.
5. Thay số vào. L = 7 × 2.0943951024, hoặc L = π × 14 × 120 / 360.
6. Tính toán. L = 14.6607657168 đơn vị.
7. Làm tròn khi cần. Đến hai chữ số thập phân, L = 14.66 đơn vị.

Cả hai cách đều cho kết quả giống hệt nhau, đó là một cách tự kiểm tra tốt. Cách dùng bán kính cho 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Cách dùng đường kính cho π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Nếu hai cách không khớp, đường kính đã không được chia đôi đúng.

Một ví dụ khác: đường kính 20 đơn vị với 180° cho r = 10 đơn vị, nên L = π × 10 = 31.4159265359 đơn vị, cung của nửa hình tròn. Đường kính 10 đơn vị với 60° cho r = 5 đơn vị, nên L = 5.2359877560 đơn vị. Lỗi thường gặp nhất trong phép tính này là quên chia cho hai và dùng đường kính như thể nó là bán kính, khiến đáp án gấp đôi. Với d = 14, lỗi đó cho 29.3215314336 thay vì 14.6607657168.

Mẹo đo đạc. Đường kính thường dễ đo trong thực tế hơn bán kính, vì bạn có thể đo thẳng qua hình tròn. Đó là lý do máy tính chấp nhận nhập đường kính trực tiếp: đo ngang qua, nhập vào, và máy tính sẽ chia đôi giúp bạn.

Độ là đơn vị góc thông dụng hằng ngày. Một hình tròn đầy đủ chứa 360°, vì vậy góc ở tâm tính bằng độ cho bạn biết trực tiếp hình quạt của bạn chiếm bao nhiêu phần của hình tròn đầy đủ. Góc 90° chiếm một phần tư hình tròn, 180° chiếm một nửa, và 270° chiếm ba phần tư.

Công thức theo độ là L = πrθ / 180, trong đó θ tính bằng độ. Nó xuất phát từ ý tưởng về phần: θ / 360 của chu vi 2πr, rút gọn lại.

Ví dụ minh họa. Bán kính 8 đơn vị, góc 90°.

1. Xác định các giá trị. r = 8 đơn vị, θ = 90°.
2. Tìm phần của hình tròn. 90 / 360 = 1 / 4, một phần tư hình tròn.
3. Viết công thức. L = πrθ / 180.
4. Thay số vào. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Tính toán. L = 12.5663706144 đơn vị.
6. Kiểm tra với chu vi. Chu vi đầy đủ là 2π × 8 = 50.2654824574 đơn vị, và một phần tư của nó là 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 đơn vị. Hai kết quả trùng nhau.

Thêm các ví dụ theo độ với bán kính 5 đơn vị: 30° cho L = 2.6179938780 đơn vị, 45° cho L = 3.9269908170 đơn vị, 120° cho L = 10.4719755120 đơn vị, và 270° cho L = 23.5619449019 đơn vị. Lưu ý rằng gấp đôi góc sẽ gấp đôi độ dài cung với cùng một bán kính, vì độ dài cung tỉ lệ thuận trực tiếp với góc ở tâm.

Lỗi thường gặp với độ. Đưa thẳng giá trị độ vào L = rθ mà không đổi đơn vị sẽ cho đáp án sai rất lớn. Với r = 5 và 60°, phép tính không đổi đơn vị cho 5 × 60 = 300, nhưng đáp án đúng là 5.2359877560. Công thức L = rθ cần radian, vì vậy hãy đổi đơn vị trước hoặc dùng dạng theo độ L = πrθ / 180.

Radian là góc bạn nhận được khi độ dài cung bằng bán kính. Nếu bạn quấn một sợi dây dài bằng bán kính quanh hình tròn, góc mà nó chắn tại tâm chính xác là 1 radian. Một hình tròn đầy đủ chứa 2π radian, khoảng 6.2831853072 radian, vì chu vi đầy đủ là 2πr và chia cho r còn lại 2π.

Công thức theo radian là L = rθ, công thức độ dài cung đơn giản nhất. Nó không chứa π, vì π đã nằm sẵn trong số đo radian của góc.

Ví dụ minh họa. Bán kính 6 đơn vị, góc π / 3 radian (tức là 60°).

1. Xác định các giá trị. r = 6 đơn vị, θ = π / 3 = 1.0471975512 radian.
2. Viết công thức. L = rθ.
3. Thay số vào. L = 6 × 1.0471975512.
4. Tính toán. L = 6.2831853072 đơn vị.
5. Kiểm tra với độ. π / 3 radian là 60°, và công thức theo độ cho L = π × 6 × 60 / 180 = 6.2831853072 đơn vị. Hai kết quả trùng nhau chính xác.

Thêm các ví dụ theo radian: bán kính 4 đơn vị với θ = π / 2 radian cho L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 đơn vị. Bán kính 10 đơn vị với θ = π radian cho L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 đơn vị, cung của nửa hình tròn. Bán kính 5 đơn vị với θ = 1 radian cho L = 5 đơn vị, vì cung bằng bán kính khi góc là 1 radian.

Tại sao radian được ưa chuộng trong toán học. Các công thức vi phân cho độ dài cung, và các công thức tính dây cung, diện tích hình quạt và diện tích hình viên phân trên trang này, đều dùng radian. Độ tiện cho việc đo đạc hằng ngày, nhưng radian làm cho toán học trở nên gọn gàng, đó là lý do máy tính chuyển mọi góc sang radian trước khi tính toán.

Độ dài cung hình quạt và diện tích hình quạt nghe có vẻ giống nhau, nhưng chúng đo những thứ khác nhau. Độ dài cung là một khoảng cách cong một chiều, đo bằng đơn vị thường. Diện tích hình quạt là một vùng hai chiều, hình nêm của hình tròn được cắt ra bởi hai bán kính và cung, đo bằng đơn vị bình phương.

Các công thức trông giống nhau, và đó chính là lý do chúng hay bị nhầm lẫn:

Diện tích hình quạt bằng độ dài cung nhân với một nửa bán kính: A = ½ × r × L. Mối liên hệ đó là một cách kiểm tra hữu ích. Với bán kính 6 đơn vị và 60°, cung dài 6.2831853072 đơn vị, và diện tích hình quạt là ½ × 6 × 6.2831853072 = 18.8495559215 đơn vị vuông.

Đơn vị là dấu hiệu nhận biết. Nếu đáp án của bạn phải là một độ dài, đơn vị là cm, m hoặc inch. Nếu nó phải là một diện tích, đơn vị là cm², m² hoặc inch vuông. Một đáp án độ dài cung tính bằng đơn vị vuông, hoặc một đáp án diện tích hình quạt tính bằng đơn vị thường, chắc chắn là sai. Máy tính giữ hai đại lượng tách biệt và ghi rõ đơn vị.

Kiểm tra với hình tròn đầy đủ. Ở 360°, hình quạt là toàn bộ hình tròn, vì vậy diện tích hình quạt phải bằng πr². Với r = 6, π × 36 = 113.0973355292 đơn vị vuông. Cung cùng lúc đó là chu vi đầy đủ, 37.6991118431 đơn vị. Cả hai đều xuất phát từ cùng một bán kính và góc, nhưng chúng trả lời những câu hỏi khác nhau.

Chu vi của một hình quạt là khoảng cách đi hết vòng quanh biên của nó. Một hình quạt đúng nghĩa có ba đoạn biên: cung cong, bán kính thứ nhất và bán kính thứ hai. Vì vậy chu vi hình quạt bằng độ dài cung cộng với hai lần bán kính:

Ở đây θ tính bằng radian. Hai cạnh thẳng mỗi cạnh dài đúng bằng một bán kính, vì vậy chúng cộng thêm 2r vào độ dài cung cong.

Ví dụ minh họa. Bán kính 6 đơn vị, góc 60°. Cung dài L = 6.2831853072 đơn vị. Hai bán kính cộng thêm 2 × 6 = 12 đơn vị. Chu vi hình quạt là P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 đơn vị.

Thêm ví dụ. Bán kính 8 với 90°: cung 12.5663706144, chu vi 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 đơn vị. Bán kính 5 với 270°: cung 23.5619449019, chu vi 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 đơn vị. Bán kính 7 với 120°: cung 14.6607657168, chu vi 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 đơn vị.

Hai trường hợp đặc biệt. Đối với một hình tròn đầy đủ, 360°, biên hoàn toàn không có cạnh bán kính nào: chu vi đơn giản là chu vi hình tròn, P = 2πr. Với r = 6, đó là 37.6991118431 đơn vị, không phải 37.6991118431 + 12. Đối với hình quạt góc 0, 0°, hình học bị suy biến: hai bán kính trùng nhau và cung có độ dài bằng 0, vì vậy đừng trình bày một chu vi hình quạt thông thường cho nó. Máy tính coi trường hợp góc 0 là suy biến và không báo cáo giá trị chu vi thông thường.

Tại sao sự phân biệt này quan trọng. Nếu bạn đang đặt viền trang trí cho một tấm panel hình quạt, bạn cần chu vi, vì viền chạy dọc theo cung và cả hai cạnh thẳng. Nếu bạn chỉ đo mép cong, bạn cần độ dài cung. Nhầm lẫn hai đại lượng này là một trong những lỗi hình quạt thường gặp nhất, và máy tính hiển thị cả hai giá trị cạnh nhau để sự khác biệt luôn được thấy rõ.

Hai bán kính chia một hình tròn thành hai hình quạt. Hình nhỏ hơn là hình quạt nhỏ, và hình lớn hơn là hình quạt lớn. Chúng dùng chung hai bán kính, và gộp lại chúng tạo thành hình tròn đầy đủ.

Góc ở tâm quyết định hình nào là hình nào. Góc ở tâm nhỏ hơn 180° cho hình quạt nhỏ. Góc ở tâm lớn hơn 180° cho hình quạt lớn, và góc của nó là góc phản xạ, lớn hơn một góc bẹt. Đúng 180° cho nửa hình tròn, không phải hình quạt nhỏ cũng không phải hình quạt lớn: cả hai hình quạt đều bằng nhau.

Hình quạt nhỏ và hình quạt lớn bù nhau. Với góc ở tâm nhỏ hơn là θ, cung nhỏ là Lminor = rθ và cung lớn là Lmajor = r(2π - θ). Tổng của chúng luôn là chu vi đầy đủ, và diện tích hình quạt của chúng cộng lại thành diện tích hình tròn đầy đủ:

Ví dụ minh họa. Bán kính 6 đơn vị, góc nhỏ hơn 60°. Cung nhỏ là L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 đơn vị, và diện tích hình quạt nhỏ là 18.8495559215 đơn vị vuông. Cung lớn dùng góc phản xạ 360° - 60° = 300°, nên L = 6 × 5π / 3 = 31.4159265359 đơn vị, và diện tích hình quạt lớn là 94.2477796077 đơn vị vuông. Các cung cộng lại thành 6.2831853072 + 31.4159265359 = 37.6991118431 đơn vị, chu vi đầy đủ, và các diện tích cộng lại thành 18.8495559215 + 94.2477796077 = 113.0973355292 đơn vị vuông, diện tích hình tròn đầy đủ. Hình quạt nhỏ chiếm 16.67% hình tròn và hình quạt lớn chiếm 83.33%.

Một ví dụ khác. Bán kính 5 đơn vị, góc 270°. Đây đã là hình quạt lớn: L = 23.5619449019 đơn vị và diện tích hình quạt là 58.9048622548 đơn vị vuông. Hình quạt nhỏ bù của nó dùng 90°: L = 7.8539816340 đơn vị và diện tích là 19.6349540849 đơn vị vuông. Tổng là 31.4159265359 đơn vị, chu vi đầy đủ 2π × 5.

Đừng nhầm lẫn hai góc. Lỗi hình quạt nhỏ/lớn thường gặp nhất là dùng góc nhỏ hơn khi bài toán hỏi hình quạt lớn, hoặc ngược lại. Luôn kiểm tra xem góc bạn được cho là góc nhỏ hơn hay góc phản xạ, và nhớ rằng máy tính hiển thị cả hai hình quạt cạnh nhau để bạn có thể chọn hình mà bài toán cần.

Hình quạt và hình viên phân là hai vùng khác nhau của một hình tròn, và chúng dễ bị nhầm lẫn vì cả hai đều liên quan đến một cung. Hình quạt được bao bởi hai bán kính và một cung. Hình viên phân được bao bởi một dây cung và một cung. Hình viên phân là phần của hình quạt nằm ngoài dây cung, vì vậy nó nhỏ hơn hình quạt, trừ các trường hợp đặc biệt dưới đây.

Các công thức cho thấy sự khác biệt rõ ràng:

Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt trừ đi diện tích tam giác nằm giữa hai bán kính và dây cung. Ở đây θ là góc quét ở tâm tính bằng radian, từ 0 đến 2π. Công thức xử lý đúng cả hình viên phân nhỏ và hình viên phân lớn: với cung nhỏ nó cho phần chỏm nhỏ, và với cung lớn nó cho vùng lớn bao phủ hầu hết hình tròn.

Ví dụ minh họa. Với r = 6 đơn vị và 60°, diện tích hình quạt là 18.8495559215 đơn vị vuông và diện tích hình viên phân là ½ × 36 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 3.2610986534 đơn vị vuông. Hình viên phân nhỏ hơn nhiều so với hình quạt, vì tam giác chiếm phần lớn hình nêm. Với r = 8 và 90°, hình viên phân là 18.2654824574 đơn vị vuông. Với r = 5 và 90°, hình viên phân là 7.1349540849 đơn vị vuông.

Trường hợp đặc biệt. Ở 180°, sin θ = 0, vì vậy diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt: ½ πr². Với r = 5, cả hai đều là 39.2699081699 đơn vị vuông, chính xác là một nửa hình tròn. Ở 270°, sin θ = -1, vì vậy hình viên phân lớn hơn hình quạt: với r = 5, hình quạt là 58.9048622548 đơn vị vuông và hình viên phân là 71.4048622548 đơn vị vuông. Ở 360°, dây cung biến mất và hình viên phân là toàn bộ hình tròn, πr².

Hình viên phân và hình quạt, trong một câu. Hình quạt là hình nêm tính từ tâm. Hình viên phân là phần chỏm nằm ngoài dây cung. Nếu bài toán của bạn liên quan đến tâm, bạn cần hình quạt. Nếu nó chỉ liên quan đến cung và dây cung của nó, bạn cần hình viên phân.

Độ dài dây cung và độ dài cung hình quạt đều nối cùng hai điểm trên một hình tròn, nhưng chúng đi theo những đường khác nhau. Cung men theo đường cong. Dây cung cắt thẳng qua. Cung hầu như luôn dài hơn.

Các công thức cho thấy sự khác biệt rõ ràng:

Dây cung phụ thuộc vào sin của một nửa góc, tăng chậm hơn chính góc, vì vậy khoảng cách giữa cung và dây cung càng lớn khi góc tăng.

Ba điều từ bảng đáng ghi nhớ. Ở 30°, cung chỉ dài hơn dây cung khoảng 1.15%, vì vậy với góc nhỏ hai đại lượng gần nhau. Ở 180°, dây cung là đường kính, 10 đơn vị, trong khi cung là πr = 15.7079632679 đơn vị. Ở 270°, dây cung co lại còn 7.0710678119 đơn vị, giống như ở 90°, vì dây cung phụ thuộc vào góc nhỏ hơn giữa hai đầu mút, trong khi cung tiếp tục tăng theo độ quét.

Trường hợp đặc biệt. Ở 60°, dây cung bằng chính xác bán kính: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Với r = 6, dây cung dài 6 đơn vị, và bán kính, dây cung cùng hai bán kính tạo thành một tam giác đều. Đây là một cách kiểm tra tiện lợi và là bài tủ của người ra đề thi.

Tại sao điều này quan trọng. Nếu bạn đang cắt một ống cong, bạn cần độ dài cung. Nếu bạn đang đo khoảng cách thẳng giữa hai điểm trên một chi tiết hình tròn, bạn cần dây cung. Nhầm lẫn hai đại lượng này là một trong những lỗi hình tròn thường gặp nhất, và máy tính hiển thị cả hai giá trị cùng nhau để sự khác biệt luôn được thấy rõ.

Đôi khi cả bán kính lẫn góc đều không được cho. Máy tính làm ngược từ bốn phép đo khác bằng cách suy ra giá trị còn thiếu trước, rồi áp dụng L = rθ như thường lệ. Cả bảy phương pháp đều cho cùng một bán kính và cùng một độ dài cung cho cùng một hình quạt, vì vậy bạn có thể dùng bất kỳ phép đo nào mình thực sự có.

Từ chu vi hình tròn đầy đủ. Chu vi đầy đủ là C = 2πr, nên r = C / (2π). Với C = 37.6991118431 đơn vị, r = 37.6991118431 / 6.2831853072 = 6 đơn vị. Sau đó cung của hình quạt 60° là L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 đơn vị. Lưu ý cách tính tắt: cung 60° là một phần sáu chu vi, và 37.6991118431 / 6 = 6.2831853072 đơn vị.

Từ độ dài dây cung. Công thức dây cung là c = 2r sin(θ / 2), nên r = c / [2 sin(θ / 2)]. Với dây cung dài 6 đơn vị và góc 60°, r = 6 / (2 × sin 30°) = 6 / (2 × 0.5) = 6 đơn vị. Sau đó L = 6.2831853072 đơn vị. Nhập dây cung chỉ hoạt động khi góc nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0° đến 360°: ở 0° hoặc 360° dây cung bằng 0 và không thể khôi phục bán kính, vì vậy máy tính từ chối các góc đó đối với phương pháp này.

Từ diện tích hình quạt và bán kính. Diện tích hình quạt là A = ½r²θ, nên θ = 2A / r². Với diện tích hình quạt 50 đơn vị vuông và bán kính 10 đơn vị, θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Sau đó L = 10 × 1 = 10.0000000000 đơn vị. Phương pháp này cần diện tích hình quạt không lớn hơn diện tích hình tròn đầy đủ πr²: với r = 10, giới hạn đó là 314.1592653590 đơn vị vuông, vì vậy diện tích vượt quá giới hạn sẽ bị từ chối.

Từ diện tích hình quạt và góc. Biến đổi tương tự, r = √(2A / θ) với θ tính bằng radian. Với diện tích hình quạt 18.8495559215 đơn vị vuông và góc 60°, θ = 1.0471975512 radian, nên r = √(2 × 18.8495559215 / 1.0471975512) = √(36) = 6 đơn vị. Sau đó L = 6.2831853072 đơn vị. Phương pháp này cần cả góc lẫn diện tích, vì cùng một diện tích hình quạt có thể đến từ nhiều tổ hợp bán kính và góc khác nhau.

Từ bán kính và độ dài cung đã biết. Góc là θ = L / r. Với bán kính 4 đơn vị và cung đã biết dài 6 đơn vị, θ = 6 / 4 = 1.5 radian = 85.9436692696°. Sau đó diện tích hình quạt là A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 đơn vị vuông, và chu vi là P = 6 + 8 = 14.0000000000 đơn vị. Phương pháp này cần cung không dài hơn chu vi đầy đủ 2πr: với r = 4, giới hạn đó là 25.1327412287 đơn vị.

Nên dùng dữ liệu nhập nào. Hãy dùng bất kỳ phép đo nào bạn thực sự có. Nếu hai phép đo khác nhau cho ra hai bán kính khác nhau, một trong hai phép đo đã sai, và sự không khớp đó đáng được kiểm tra trước khi tin vào đáp án nào.

Độ dài cung hình quạt không phải là một bài tập trừu tượng trong lớp học. Bất cứ nơi nào cần đo, cắt, xây dựng hoặc di chuyển một khoảng cách cong trên hình tròn, cùng một công thức đều áp dụng.

Kỹ thuật cơ khí. Uốn ống bắt đầu từ độ dài cung: một ống uốn qua 90° với bán kính uốn 8 đơn vị cần 12.5663706144 đơn vị ống chỉ riêng cho đoạn uốn. Tấm kim loại cuộn thành panel cong, biên dạng răng bánh răng và hình dạng cam đều cần độ dài cong trước khi cắt vật liệu. Tính sai sẽ lãng phí vật liệu hoặc làm chi tiết bị thiếu.

Kiến trúc và xây dựng. Cửa vòm, cửa sổ tròn, mái vòm và cầu thang cong được định kích thước theo các cung của chúng. Một vòm nửa hình tròn có bán kính 10 đơn vị cần 31.4159265359 đơn vị viền trang trí dọc theo đường cong. Một mái che hình quạt có bán kính 6 đơn vị và góc 60° cần 6.2831853072 đơn vị viền dọc theo đường cong và 18.2831853072 đơn vị quanh toàn bộ biên.

Đường sá và đường đua. Một khúc cua tròn trên đường, một đoạn cong của đường chạy, hoặc một khúc cua đường sắt được bố trí theo bán kính và góc ở tâm. Độ dài của đoạn cong quyết định lượng nhựa đường, độ dài đường ray, và quãng đường một phương tiện đi qua khúc cua. Một khúc cua 120° với bán kính 7 đơn vị dài 14.6607657168 đơn vị.

Bánh pizza và chia khẩu phần ăn. Một lát bánh pizza là một hình quạt. Nếu một chiếc bánh pizza có bán kính 6 đơn vị, một lát cắt ở 60° có phần vỏ dài 6.2831853072 đơn vị và diện tích 18.8495559215 đơn vị vuông. Sáu lát như vậy tạo thành toàn bộ chiếc bánh, và các phần vỏ của chúng cộng lại thành 37.6991118431 đơn vị, chu vi đầy đủ. Cắt các lát bằng nhau là một bài toán chia hình quạt: các góc bằng nhau cho các cung bằng nhau và các diện tích bằng nhau.

Đồng hồ, bánh xe và robot. Kim đồng hồ quét một cung khi thời gian trôi qua. Một bánh xe lăn trên mặt đất bao phủ một quãng đường bằng cung mà nó quay qua. Một cánh tay robot quay quanh một khớp di chuyển đầu kẹp của nó dọc theo một cung tròn, và quãng đường nó đi được là rθ, đó là lý do radian là đơn vị tự nhiên trong ngành robot.

Đồ họa máy tính và CAD. Các đường cong trong mô hình CAD, phông chữ và hoạt hình được xây dựng từ các cung tròn. Độ dài của một cung quyết định cách một đường chạy dao được chia nhỏ, cách một đường cong được vẽ, và một vật thể di chuyển bao xa dọc theo một đường tròn trong hoạt hình. Một chi tiết hình quạt trong CAD được xác định chính xác bằng bán kính và góc mà máy tính này dùng.

Lưu ý về hình dạng thực. Không phải mọi kết cấu cong đều là một hình tròn hoàn hảo. Các vòm thực có thể là hình elip hoặc parabol, và đường thực dùng các đoạn chuyển tiếp clothoid. Các công thức hình quạt trên trang này áp dụng chính xác khi đường cong là một cung tròn thực sự, và chúng chỉ là một phép xấp xỉ tốt khi đường cong gần với hình tròn. Luôn xác nhận hình dạng trước khi áp dụng công thức.

Hầu hết các đáp án sai về độ dài cung hình quạt đều đến từ một danh sách nhỏ các lỗi. Kiểm tra từng lỗi chỉ mất vài giây và tránh được hầu hết các sai sót.

1. Dùng độ trực tiếp trong công thức radian. L = rθ cần radian. Đưa thẳng 60° vào cho 6 × 60 = 360 thay vì 6.2831853072. Hãy đổi đơn vị trước, hoặc dùng L = πrθ / 180.
2. Nhầm bán kính với đường kính. Công thức cần r, không phải d. Dùng d = 14 làm bán kính sẽ gấp đôi đáp án: 29.3215314336 thay vì 14.6607657168 đối với hình quạt 120°. Hãy chia đôi đường kính trước.
3. Nhầm diện tích hình quạt với độ dài cung. Diện tích hình quạt là một vùng hai chiều tính bằng đơn vị vuông. Độ dài cung là một khoảng cách một chiều tính bằng đơn vị thường. Với r = 6 và 60°, diện tích hình quạt là 18.8495559215 đơn vị vuông và cung dài 6.2831853072 đơn vị. Hai đại lượng khác nhau, đơn vị khác nhau.
4. Nhầm chu vi hình quạt với độ dài cung. Chu vi cộng thêm hai cạnh bán kính: P = L + 2r. Với r = 6 và 60°, cung dài 6.2831853072 đơn vị nhưng chu vi là 18.2831853072 đơn vị. Dùng chu vi khi bài toán hỏi độ dài cung sẽ làm đáp án lớn hơn 12 đơn vị.
5. Dùng sai góc ở tâm. Một bài toán về hình quạt có thể cho góc giữa dây cung và một tiếp tuyến, hoặc một góc nội tiếp, thay vì góc ở tâm. Góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm chắn cùng một cung. Nếu bài toán cho góc nội tiếp φ, góc ở tâm là θ = 2φ, và cung là L = r × 2φ. Dùng thẳng φ sẽ làm đáp án chỉ còn một nửa.
6. Nhầm hình quạt nhỏ với hình quạt lớn. Góc 270° cho cung hình quạt lớn dài 23.5619449019 đơn vị với r = 5. Dùng góc nhỏ hơn 90° thay vào cho 7.8539816340 đơn vị, cung nhỏ. Hãy kiểm tra bài toán hỏi hình quạt nào.
7. Dùng sai công thức dây cung. Dây cung là c = 2r sin(θ / 2), với một nửa góc nằm trong hàm sin. Dùng sin(θ) thay vào cho giá trị sai: với r = 6 và 60°, dây cung đúng là 6 đơn vị, trong khi 2 × 6 × sin(60°) = 10.3923048454 đơn vị.
8. Trộn lẫn đơn vị tuyến tính và đơn vị bình phương. Bán kính tính bằng cm và góc tính bằng độ thì ổn, nhưng đáp án ra bằng cm. Diện tích hình quạt tính bằng cm² phải được đổi bằng hệ số bình phương: 1 m² bằng 10,000 cm², không phải 100 cm². Trộn cm với inch trong một phép tính, hoặc quên đổi đơn vị xuất, sẽ cho một con số có kích thước sai. Hãy đổi đơn vị trước, tính toán sau.
9. Làm tròn π quá sớm. Thay π bằng 3.14 trước khi nhân sẽ tạo ra sai số tăng theo bán kính. Hãy giữ π với độ chính xác đầy đủ trong suốt quá trình tính toán và chỉ làm tròn kết quả hiển thị cuối cùng.
10. Quên đổi góc sang radian. Mọi công thức hình quạt dùng θ mà không có số 180 trong đó, bao gồm diện tích hình quạt A = ½r²θ, dây cung c = 2r sin(θ / 2), và diện tích hình viên phân A = ½r²(θ - sin θ), đều cần θ tính bằng radian. Độ chỉ dùng được trong các dạng công thức theo độ.

Một lần kiểm tra cuối bắt được hầu hết các lỗi này. Hãy kiểm chứng kết quả với chu vi. Cung phải nằm trong khoảng từ 0 đến 2πr, nó phải dài hơn dây cung, diện tích hình quạt phải nằm trong khoảng từ 0 đến πr², và cung nhỏ cộng cung lớn phải bằng chính xác 2πr. Nếu bất kỳ kiểm tra nào trong số đó không đạt, một trong mười lỗi trên là nguyên nhân.

Sáu ví dụ này bao quát các phương pháp nhập chính và các loại hình quạt của máy tính. Mỗi ví dụ được tính bằng cùng một bộ máy vận hành công cụ, và mỗi kết quả đã được kiểm chứng độc lập.

Ví dụ 1: Hình quạt 60 độ với bán kính 6. Cho r = 6 đơn vị, θ = 60° = π / 3 radian. Độ dài cung L = 6 × π / 3 = 6.2831853072 đơn vị. Đường kính d = 12 đơn vị. Dây cung c = 2 × 6 × sin(30°) = 6 đơn vị. Diện tích hình quạt A = ½ × 36 × π / 3 = 18.8495559215 đơn vị vuông. Chu vi hình quạt P = 6.2831853072 + 12 = 18.2831853072 đơn vị. Diện tích hình viên phân là 3.2610986534 đơn vị vuông. Chu vi đầy đủ C = 37.6991118431 đơn vị.

Ví dụ 2: Hình quạt một phần tư hình tròn với bán kính 8 và 90°. Cho r = 8 đơn vị, θ = 90° = π / 2 radian. Độ dài cung L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 đơn vị. Dây cung c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 đơn vị. Diện tích hình quạt A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 đơn vị vuông. Chu vi hình quạt P = 12.5663706144 + 16 = 28.5663706144 đơn vị. Diện tích hình viên phân là 18.2654824574 đơn vị vuông. Cung dài đúng bằng một phần tư chu vi 50.2654824574 đơn vị.

Ví dụ 3: Hình quạt lớn với bán kính 5 và 270°. Cho r = 5 đơn vị, θ = 270° = 3π / 2 radian. Độ dài cung L = 5 × 3π / 2 = 23.5619449019 đơn vị. Dây cung c = 2 × 5 × sin(135°) = 7.0710678119 đơn vị. Diện tích hình quạt A = ½ × 25 × 3π / 2 = 58.9048622548 đơn vị vuông. Chu vi hình quạt P = 23.5619449019 + 10 = 33.5619449019 đơn vị. Cung nhỏ bù, dùng 90°, dài 7.8539816340 đơn vị, và diện tích hình quạt bù là 19.6349540849 đơn vị vuông. Hai cung cộng lại thành 31.4159265359 đơn vị, chu vi đầy đủ.

Ví dụ 4: Hình quạt từ đường kính 14 và 120°. Cho d = 14 đơn vị, θ = 120° = 2π / 3 radian. Bán kính r = 14 / 2 = 7 đơn vị. Độ dài cung L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 đơn vị. Dây cung c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 đơn vị. Diện tích hình quạt A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 đơn vị vuông. Chu vi hình quạt P = 14.6607657168 + 14 = 28.6607657168 đơn vị. Diện tích hình viên phân là 30.0950576159 đơn vị vuông.

Ví dụ 5: Hình quạt từ diện tích 50 và bán kính 10. Cho diện tích hình quạt A = 50 đơn vị vuông, bán kính r = 10 đơn vị. Góc ở tâm θ = 2 × 50 / 100 = 1 radian = 57.2957795131°. Độ dài cung L = 10 × 1 = 10.0000000000 đơn vị. Dây cung c = 2 × 10 × sin(0.5) = 9.5885107721 đơn vị. Chu vi hình quạt P = 10.0000000000 + 20 = 30.0000000000 đơn vị. Diện tích hình viên phân là 7.9264507596 đơn vị vuông. Cung bù dài 52.8318530718 đơn vị.

Ví dụ 6: Hình quạt từ bán kính 4 và độ dài cung đã biết 6. Cho r = 4 đơn vị, L = 6 đơn vị. Góc ở tâm θ = 6 / 4 = 1.5 radian = 85.9436692696°. Diện tích hình quạt A = ½ × 16 × 1.5 = 12.0000000000 đơn vị vuông. Dây cung c = 2 × 4 × sin(0.75) = 5.4531100802 đơn vị. Chu vi hình quạt P = 6 + 8 = 14.0000000000 đơn vị. Diện tích hình viên phân là 4.0200401072 đơn vị vuông. Cung bù dài 19.1327412287 đơn vị, và diện tích hình quạt bù là 38.2654824574 đơn vị vuông.

Nhấn bất kỳ nút cài đặt sẵn nào trong máy tính để tải một trong các ví dụ này và xem lời giải từng bước đầy đủ, sơ đồ trực tiếp, cùng mọi kết quả phụ cho dữ liệu nhập đó.