Máy tính độ dài cung với các bước

Độ dài cung là khoảng cách dọc theo đường cong giữa hai điểm. Đối với đường tròn, đó là độ dài của phần cong thuộc chu vi bị cắt bởi hai bán kính. Hãy hình dung một miếng bánh pizza. Mép vỏ bánh của miếng đó là một cung, và độ dài của nó chính là độ dài cung. Hai cạnh thẳng là các bán kính, và góc giữa chúng tại tâm được gọi là góc ở tâm.

Góc ở tâm quyết định cung của bạn chiếm bao nhiêu phần của đường tròn đầy đủ. Một đường tròn đầy đủ đo được 360 độ, hay 2π radian. Nếu góc ở tâm của bạn là 90 độ, cung của bạn là một phần tư chu vi. Nếu góc là 180 độ, cung là một nửa chu vi. Mối quan hệ tỉ lệ này là nền tảng của mọi công thức độ dài cung.

Cung có hai kích cỡ cho bất kỳ cặp điểm nào trên đường tròn. Cung nhỏ là đường ngắn hơn giữa các điểm, tương ứng với góc ở tâm nhỏ hơn 180 độ. Cung lớn là đường dài hơn đi vòng theo hướng còn lại, tương ứng với góc lớn hơn 180 độ. Trừ khi có quy định khác, các bài toán độ dài cung đều nói về cung nhỏ.

Một ví dụ đời thường đơn giản sẽ giúp ích. Giả sử một khu vườn hình tròn có bán kính 10 mét, và bạn muốn lắp viền dọc theo phần trải dài góc 90 độ tính từ tâm. Chu vi đầy đủ là 2π(10), khoảng 62.83 mét. Góc 90 độ là một phần tư đường tròn đầy đủ, vì vậy phần viền cần thiết khoảng 15.71 mét. Khoảng cách cong đó chính là độ dài cung.

Công thức độ dài cung phụ thuộc vào việc góc của bạn được đo bằng radian hay độ. Cả hai phiên bản đều diễn đạt cùng một ý tưởng: độ dài cung là một phần của chu vi đầy đủ, và phần đó được quyết định bởi góc ở tâm.

Khi góc θ tính bằng radian, công thức rất đơn giản:

s = rθ

Ở đây s là độ dài cung, r là bán kính, và θ là góc ở tâm tính bằng radian. Công thức này hoạt động gọn gàng như vậy vì radian được định nghĩa là góc cắt ra một cung có độ dài bằng bán kính. Góc 1 radian trên đường tròn bán kính 5 cho cung dài đúng 5 đơn vị. Đơn vị của s luôn khớp với đơn vị của r. Nếu bán kính tính bằng centimet, độ dài cung tính bằng centimet.

Khi góc tính bằng độ, công thức cần một hệ số chuyển đổi:

s = πrθ / 180

Ở đây θ là góc ở tâm tính bằng độ. Hệ số π/180 chuyển đổi độ sang radian một cách âm thầm, vì 180 độ bằng π radian. Vì vậy, chia cho 180 và nhân với π sẽ biến số đo độ của bạn thành số đo radian mà công thức thực sự cần.

Cả hai công thức đều xuất phát từ chu vi của đường tròn đầy đủ, C = 2πr. Một đường tròn đầy đủ tương ứng với góc ở tâm 2π radian hoặc 360 độ. Độ dài cung chiếm cùng một phần của chu vi như phần của góc ở tâm so với góc đầy đủ. Theo radian: s / (2πr) = θ / (2π), rút gọn thành s = rθ. Theo độ: s / (2πr) = θ / 360, rút gọn thành s = πrθ / 180.

Việc chuyển đổi giữa độ và radian rất đơn giản. Để đổi độ sang radian, nhân với π/180. Để đổi radian sang độ, nhân với 180/π. Ví dụ, 60 độ trở thành 60 × π/180 = π/3 radian, khoảng 1.047 radian. Góc 2 radian trở thành 2 × 180/π, khoảng 114.59 độ.

Bảng dưới đây tóm tắt các công thức chính để tra cứu nhanh.

Ví dụ 1: Góc Tính Bằng Độ

Tìm độ dài cung của đường tròn có bán kính 7 cm và góc ở tâm 60 độ.

Bước 1: Xác định các giá trị đã cho. Bán kính r là 7 cm và góc θ là 60 độ.

Bước 2: Chọn công thức đúng. Vì góc tính bằng độ, dùng s = πrθ / 180.

Bước 3: Thay các giá trị vào. Ta được s = π(7)(60) / 180.

Bước 4: Rút gọn. Phân số 60/180 rút gọn thành 1/3, vậy s = 7π/3 cm. Đây là đáp án chính xác.

Bước 5: Tìm giá trị thập phân gần đúng. Vì π xấp xỉ 3.14159, s xấp xỉ 7(3.14159)/3, bằng khoảng 7.33 cm.

Độ dài cung là đúng 7π/3 cm, hoặc xấp xỉ 7.33 cm.

Ví dụ 2: Góc Tính Bằng Radian

Tìm độ dài cung của đường tròn có bán kính 5 mét và góc ở tâm 1.2 radian.

Bước 1: Xác định các giá trị đã cho. Bán kính r là 5 m và góc θ là 1.2 radian.

Bước 2: Chọn công thức đúng. Vì góc tính bằng radian, dùng s = rθ.

Bước 3: Thay các giá trị vào. Ta được s = 5(1.2).

Bước 4: Nhân. Kết quả là s = 6 mét.

Độ dài cung là đúng 6 mét. Hãy chú ý công thức radian đơn giản hơn nhiều. Không phải xử lý π và không có phân số nào cần rút gọn. Đây là một lý do các nhà toán học và khoa học ưa dùng radian trong công việc lý thuyết.

Không phải đường cong nào cũng là một phần của đường tròn. Đối với một đường cong trơn tổng quát được mô tả bởi hàm y = f(x), độ dài cung giữa x = a và x = b được tìm bằng một tích phân:

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

Ở đây f'(x) là đạo hàm của hàm số. Công thức xuất phát từ một ý tưởng đơn giản. Chia đường cong thành nhiều đoạn thẳng nhỏ li ti. Mỗi đoạn có độ dài √((Δx)² + (Δy)²) theo định lý Pythagoras. Đưa Δx ra ngoài ta được √(1 + (Δy/Δx)²) Δx. Khi các đoạn trở nên vô cùng nhỏ, Δy/Δx trở thành đạo hàm f'(x), và tổng trở thành tích phân ở trên.

Đạo hàm quan trọng vì nó đo độ dốc của đường cong tại mỗi điểm. Một đoạn dốc đóng góp nhiều độ dài hơn đoạn bằng trên cùng một khoảng ngang. Hệ số √(1 + [f'(x)]²) đôi khi được gọi là hệ số co giãn cục bộ. Khi đường cong bằng, f'(x) bằng 0 và hệ số là 1, nghĩa là độ dài cung bằng khoảng cách ngang. Khi đường cong dốc, hệ số lớn hơn 1.

Các cận a và b đánh dấu nơi bạn bắt đầu và dừng đo dọc theo trục x. Điều quan trọng là đặt chúng đúng thứ tự, với a là giá trị nhỏ hơn. Đảo chúng sẽ đổi dấu kết quả.

Nhiều tích phân độ dài cung không thể tính được bằng các nguyên hàm sơ cấp. Trong những trường hợp đó, các phương pháp số như quy tắc Simpson hoặc quy tắc hình thang cho giá trị gần đúng chính xác. Máy tính trên trang này dùng tích phân số khi không có đáp án dạng ký hiệu và ghi rõ kết quả là giá trị gần đúng.

Ví Dụ Đã Giải: y = x^3/2 từ x = 0 đến x = 4

Tìm độ dài cung của đường cong y = x^3/2 trên khoảng [0, 4].

Bước 1: Tìm đạo hàm. Dùng quy tắc lũy thừa, f'(x) = (3/2)x^1/2.

Bước 2: Bình phương đạo hàm. [f'(x)]² = (9/4)x.

Bước 3: Thay vào công thức. L = ∫[0 to 4] √(1 + (9/4)x) dx.

Bước 4: Tính tích phân. Đặt u = 1 + (9/4)x, vậy du = (9/4)dx. Khi x = 0, u = 1. Khi x = 4, u = 10. Tích phân trở thành (4/9)∫[1 to 10] √u du = (4/9)(2/3)[u^3/2] từ 1 đến 10 = (8/27)(10^3/2 - 1).

Bước 5: Rút gọn. Vì 10^3/2 = 10√10 ≈ 31.62, L ≈ (8/27)(30.62) ≈ 9.07.

Độ dài cung chính xác là (8/27)(10√10 - 1), xấp xỉ 9.07 đơn vị.

Độ dài cung phản ứng với thay đổi của bán kính và góc theo cách có thể dự đoán. Vì công thức s = rθ là một tích đơn giản, mỗi biến số có tác động tỉ lệ trực tiếp.

Nếu bạn tăng gấp đôi bán kính trong khi giữ góc cố định, độ dài cung tăng gấp đôi. Cung 60 độ trên đường tròn bán kính 7 cm dài khoảng 7.33 cm. Trên đường tròn bán kính 14 cm, cùng góc 60 độ đó cắt ra cung khoảng 14.66 cm. Mọi điểm trên đường tròn lớn hơn đều cách tâm gấp đôi, vì vậy đường cong giữa cùng hai góc dài gấp đôi.

Nếu bạn tăng gấp đôi góc ở tâm trong khi giữ bán kính cố định, độ dài cung cũng tăng gấp đôi. Cung 30 độ trên đường tròn 10 cm khoảng 5.24 cm. Cung 60 độ trên cùng đường tròn khoảng 10.47 cm. Góc gấp đôi nghĩa là phần chu vi gấp đôi.

Một vòng quay hoàn chỉnh, 360 độ hay 2π radian, cho chu vi đầy đủ. Thay θ = 2π vào s = rθ cho s = 2πr, đúng công thức chu vi. Điều này xác nhận công thức nhất quán: ở góc tối đa, "cung" chính là toàn bộ đường tròn.

Dùng các thanh trượt trong sơ đồ tương tác để khám phá các mối quan hệ này. Kéo thanh trượt góc và xem cung được tô sáng lớn dần. Kéo thanh trượt bán kính và xem toàn bộ đường tròn mở rộng. Độ dài cung hiển thị cập nhật theo thời gian thực, củng cố các mối quan hệ tỉ lệ đã mô tả ở trên.

Độ dài cung xuất hiện trong nhiều tình huống thực tế nơi khoảng cách cong có ý nghĩa.

Đường chạy. Đường chạy 400 mét tiêu chuẩn có hai đoạn thẳng và hai đầu hình bán nguyệt. Nếu mỗi đầu bán nguyệt có bán kính 36.5 mét, phần cong của một đầu là một nửa chu vi: π(36.5), khoảng 114.67 mét. Cả hai đầu cùng nhau đóng góp khoảng 229.35 mét chạy cong. Các nhà thiết kế đường chạy dùng các phép tính này để đảm bảo mỗi làn có tổng khoảng cách đúng.

Bánh xe đạp. Bánh xe đạp có đường kính 70 cm thì bán kính 35 cm. Trong một vòng quay đầy đủ, một điểm trên lốp đi hết chu vi đầy đủ: 2π(35), khoảng 219.91 cm, hay khoảng 2.20 mét. Nếu bánh xe quay 100 vòng, xe đạp đi được khoảng 220 mét. Mối quan hệ giữa số vòng quay và quãng đường này chính là cách máy tính xe đạp ước tính tốc độ và quãng đường từ cảm biến bánh xe.

Vòm kiến trúc. Vòm bán nguyệt trên cửa ra vào có bán kính 1.5 mét. Độ dài cong của vòm là một nửa chu vi: π(1.5), khoảng 4.71 mét. Người thợ đặt mua nẹp cong cho vòm này cần số đo này để mua đúng lượng vật liệu.

Máy móc quay. Dây đai băng tải quấn nửa vòng quanh ròng rọc dẫn động bán kính 0.4 mét. Độ dài tiếp xúc giữa dây đai và ròng rọc là một cung bán nguyệt: π(0.4), khoảng 1.26 mét. Các kỹ sư dùng độ dài tiếp xúc này để tính ma sát và truyền công suất. Cung tiếp xúc dài hơn thường nghĩa là độ bám giữa dây đai và ròng rọc tốt hơn.

Một số lỗi thường gặp khiến cả học sinh lẫn người làm chuyên môn đều mắc phải. Biết trước chúng giúp bạn tránh được.

Lẫn lộn độ và radian. Đây là lỗi hay gặp nhất. Nếu góc của bạn là 60 độ nhưng bạn thay vào s = rθ, bạn được 60r thay vì πr/3 đúng. Luôn kiểm tra đơn vị góc trước khi chọn công thức. Khi nghi ngờ, hãy đổi sang radian trước.

Dùng đường kính thay cho bán kính. Các công thức cần bán kính. Nếu bạn được cho đường kính 14 cm, bán kính là 7 cm. Quên chia đôi đường kính sẽ làm đáp án của bạn tăng gấp đôi.

Quên đơn vị đo. Độ dài cung 7.33 chẳng có nghĩa gì nếu thiếu đơn vị. Nếu bán kính tính bằng centimet, độ dài cung tính bằng centimet. Mang đơn vị theo qua mọi bước.

Dùng sai công thức. Các công thức đường tròn s = rθ và s = πrθ/180 chỉ đúng cho cung tròn. Đối với các đường cong khác, bạn cần công thức vi tích phân có tích phân. Dùng công thức đường tròn cho parabol sẽ cho đáp án sai.

Nhầm độ dài cung với độ dài dây cung. Dây cung là đoạn thẳng nối hai đầu mút của cung. Nó luôn ngắn hơn cung (trừ các trường hợp tầm thường). Nếu bài toán hỏi khoảng cách cong, đừng tính khoảng cách đường thẳng.

Làm tròn quá sớm. Làm tròn các giá trị trung gian tạo ra sai số tích lũy qua phép tính. Giữ độ chính xác đầy đủ đến bước cuối cùng, rồi làm tròn đến số chữ số thập phân được yêu cầu.

Dùng sai cận tích phân. Trong công thức vi tích phân, các cận phải khớp với khoảng bạn đang đo. Đảo chúng sẽ đổi dấu. Dùng cận từ phần khác của bài toán sẽ cho đoạn sai.

Ba phép đo liên quan mô tả các khía cạnh khác nhau của vùng hình tròn. Hiểu từng cái sẽ tránh nhầm lẫn.

Độ dài cung đo khoảng cách cong dọc theo đường tròn giữa hai điểm. Công thức là s = rθ với θ tính bằng radian. Nó trả lời câu hỏi: bạn sẽ đi bao xa nếu đi theo đường cong?

Độ dài dây cung đo khoảng cách đường thẳng giữa cùng hai điểm. Công thức là c = 2r sin(θ/2) với θ tính bằng radian. Nó trả lời câu hỏi: các đầu mút cách nhau bao xa theo đường chim bay? Dây cung luôn ngắn hơn cung nhỏ tương ứng.

Diện tích hình quạt đo vùng hai chiều giới hạn bởi hai bán kính và cung giữa chúng, như một miếng bánh pizza. Công thức là A = (1/2)r²θ với θ tính bằng radian. Nó trả lời câu hỏi: miếng bánh chiếm bao nhiêu diện tích?

Bảng so sánh dưới đây tóm tắt các điểm khác nhau.

Lưu ý cả ba công thức đều cần θ tính bằng radian. Công thức diện tích hình quạt rất dễ sai khi dùng độ, vì không có phiên bản độ đơn giản. Hãy đổi sang radian trước.

Hãy thử các bài này, rồi kiểm tra đáp án của bạn bên dưới.

Bài 1 (độ). Một đường tròn có bán kính 12 cm và góc ở tâm 45 độ. Tìm độ dài cung.

Lời giải: Dùng s = πrθ/180 = π(12)(45)/180 = 3π ≈ 9.42 cm.

Bài 2 (radian). Một đường tròn có bán kính 8 m và góc ở tâm 2.5 radian. Tìm độ dài cung.

Lời giải: Dùng s = rθ = 8(2.5) = 20 m.

Bài 3 (đường kính). Một đường tròn có đường kính 20 inch và góc ở tâm 120 độ. Tìm độ dài cung.

Lời giải: Trước hết đổi đường kính thành bán kính: r = 20/2 = 10 inch. Rồi s = π(10)(120)/180 = 20π/3 ≈ 20.94 inch.

Bài 4 (thiếu bán kính). Một cung dài 15 cm chắn góc ở tâm 0.75 radian. Tìm bán kính.

Lời giải: Biến đổi s = rθ thành r = s/θ = 15/0.75 = 20 cm.

Bài 5 (vi tích phân). Tìm độ dài cung của y = (2/3)x^3/2 từ x = 0 đến x = 3.

Lời giải: Đạo hàm là f'(x) = x^1/2, vậy [f'(x)]² = x. Tích phân là L = ∫[0 to 3] √(1 + x) dx. Đặt u = 1 + x, du = dx. Khi x = 0, u = 1. Khi x = 3, u = 4. L = ∫[1 to 4] √u du = (2/3)[u^3/2] từ 1 đến 4 = (2/3)(8 - 1) = 14/3 ≈ 4.67.

Độ dài cung đo khoảng cách cong, dù dọc theo đường tròn hay đường cong tổng quát. Đối với đường tròn, dùng s = rθ khi góc tính bằng radian, hoặc s = πrθ/180 khi góc tính bằng độ. Đối với các đường cong khác được mô tả bởi y = f(x), dùng công thức tích phân L = ∫√(1 + [f'(x)]²)dx trên khoảng của bạn. Hãy cẩn thận với nhầm lẫn độ-radian, nhầm đường kính-bán kính và làm tròn sớm. Máy tính ở đầu trang này xử lý cả ba chế độ với quá trình tính từng bước đầy đủ. Nhập các giá trị của bạn, nghiên cứu các bước, và dùng kết quả một cách tự tin.