Kalkulator Panjang Busur dengan Langkah

Panjang busur adalah jarak sepanjang kurva di antara dua titik. Untuk lingkaran, ini adalah panjang bagian melengkung dari keliling yang dipotong oleh dua jari-jari. Bayangkan sepotong pizza. Tepi kerak potongan itu adalah sebuah busur, dan panjangnya adalah panjang busur. Dua tepi lurusnya adalah jari-jari, dan sudut di antara keduanya di pusat disebut sudut pusat.

Sudut pusat menentukan berapa pecahan dari lingkaran penuh yang diwakili busur Anda. Lingkaran penuh berukuran 360 derajat, atau 2π radian. Jika sudut pusat Anda 90 derajat, busur Anda adalah seperempat keliling. Jika sudutnya 180 derajat, busurnya setengah keliling. Hubungan proporsional ini adalah fondasi setiap rumus panjang busur.

Busur hadir dalam dua ukuran untuk setiap pasangan titik pada lingkaran. Busur minor adalah jalur yang lebih pendek di antara kedua titik, sesuai dengan sudut pusat kurang dari 180 derajat. Busur mayor adalah jalur yang lebih panjang mengelilingi sisi lain, sesuai dengan sudut lebih dari 180 derajat. Kecuali dinyatakan lain, soal panjang busur merujuk pada busur minor.

Contoh sederhana sehari-hari membantu. Misalkan sebuah taman melingkar memiliki jari-jari 10 meter, dan Anda ingin memasang pembatas di sepanjang bagian yang membentang sudut 90 derajat dari pusat. Keliling penuhnya adalah 2π(10), sekitar 62.83 meter. Sudut 90 derajat adalah seperempat lingkaran penuh, sehingga pembatas yang dibutuhkan sekitar 15.71 meter. Jarak melengkung itu adalah panjang busur.

Rumus panjang busur bergantung pada apakah sudut Anda diukur dalam radian atau derajat. Kedua versi mengungkapkan gagasan yang sama: panjang busur adalah pecahan dari keliling penuh, dan pecahan itu ditentukan oleh sudut pusat.

Ketika sudut θ dalam radian, rumusnya sederhana:

s = rθ

Di sini s adalah panjang busur, r adalah jari-jari, dan θ adalah sudut pusat dalam radian. Rumus ini bekerja begitu rapi karena radian didefinisikan sebagai sudut yang memotong busur yang panjangnya sama dengan jari-jari. Sudut 1 radian pada lingkaran berjari-jari 5 menghasilkan busur tepat 5 satuan. Satuan s selalu cocok dengan satuan r. Jika jari-jari dalam sentimeter, panjang busur dalam sentimeter.

Ketika sudut dalam derajat, rumus membutuhkan faktor konversi:

s = πrθ / 180

Di sini θ adalah sudut pusat dalam derajat. Faktor π/180 mengubah derajat menjadi radian di balik layar, karena 180 derajat sama dengan π radian. Jadi membagi dengan 180 dan mengalikan dengan π mengubah ukuran derajat Anda menjadi ukuran radian yang sebenarnya dibutuhkan rumus.

Kedua rumus berasal dari keliling lingkaran penuh, C = 2πr. Lingkaran penuh sesuai dengan sudut pusat 2π radian atau 360 derajat. Panjang busur adalah pecahan keliling yang sama dengan pecahan sudut pusat terhadap sudut penuh. Dalam radian: s / (2πr) = θ / (2π), yang disederhanakan menjadi s = rθ. Dalam derajat: s / (2πr) = θ / 360, yang disederhanakan menjadi s = πrθ / 180.

Mengonversi antara derajat dan radian itu mudah. Untuk mengubah derajat menjadi radian, kalikan dengan π/180. Untuk mengubah radian menjadi derajat, kalikan dengan 180/π. Misalnya, 60 derajat menjadi 60 × π/180 = π/3 radian, sekitar 1.047 radian. Sudut 2 radian menjadi 2 × 180/π, sekitar 114.59 derajat.

Tabel di bawah merangkum rumus-rumus kunci untuk referensi cepat.

Contoh 1: Sudut dalam Derajat

Carilah panjang busur lingkaran dengan jari-jari 7 cm dan sudut pusat 60 derajat.

Langkah 1: Identifikasi nilai yang diketahui. Jari-jari r adalah 7 cm dan sudut θ adalah 60 derajat.

Langkah 2: Pilih rumus yang tepat. Karena sudut dalam derajat, gunakan s = πrθ / 180.

Langkah 3: Substitusikan nilainya. Ini menghasilkan s = π(7)(60) / 180.

Langkah 4: Sederhanakan. Pecahan 60/180 direduksi menjadi 1/3, sehingga s = 7π/3 cm. Ini adalah jawaban tepat.

Langkah 5: Cari aproksimasi desimal. Karena π sekitar 3.14159, s sekitar 7(3.14159)/3, yang sama dengan sekitar 7.33 cm.

Panjang busurnya tepat 7π/3 cm, atau sekitar 7.33 cm.

Contoh 2: Sudut dalam Radian

Carilah panjang busur lingkaran dengan jari-jari 5 meter dan sudut pusat 1.2 radian.

Langkah 1: Identifikasi nilai yang diketahui. Jari-jari r adalah 5 m dan sudut θ adalah 1.2 radian.

Langkah 2: Pilih rumus yang tepat. Karena sudut dalam radian, gunakan s = rθ.

Langkah 3: Substitusikan nilainya. Ini menghasilkan s = 5(1.2).

Langkah 4: Kalikan. Hasilnya adalah s = 6 meter.

Panjang busurnya tepat 6 meter. Perhatikan betapa jauh lebih sederhananya rumus radian. Tidak ada π yang harus diurus dan tidak ada pecahan yang harus disederhanakan. Ini salah satu alasan matematikawan dan ilmuwan lebih memilih radian untuk pekerjaan teoretis.

Tidak setiap kurva adalah bagian dari lingkaran. Untuk kurva mulus umum yang digambarkan oleh fungsi y = f(x), panjang busur antara x = a dan x = b ditemukan dengan ∫:

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

Di sini f'(x) adalah turunan fungsi tersebut. Rumus ini berasal dari gagasan sederhana. Pecah kurva menjadi banyak segmen lurus kecil. Setiap segmen memiliki panjang √((Δx)² + (Δy)²) menurut teorema Pythagoras. Keluarkan Δx untuk mendapatkan √(1 + (Δy/Δx)²) Δx. Ketika segmen menjadi sangat kecil, Δy/Δx menjadi turunan f'(x), dan penjumlahannya menjadi ∫ di atas.

Turunan penting karena mengukur seberapa curam kurva di setiap titik. Bagian yang curam memberi kontribusi panjang lebih besar daripada bagian datar pada jarak horizontal yang sama. Faktor √(1 + [f'(x)]²) kadang disebut faktor regangan lokal. Ketika kurva datar, f'(x) nol dan faktornya 1, artinya panjang busur sama dengan jarak horizontal. Ketika kurva curam, faktornya lebih besar dari 1.

Batas a dan b menandai di mana Anda mulai dan berhenti mengukur sepanjang sumbu x. Penting untuk menempatkannya dalam urutan yang benar, dengan a sebagai nilai yang lebih kecil. Menukarnya mengubah tanda hasil.

Banyak ∫ panjang busur tidak dapat dievaluasi dengan antiturunan elementer. Dalam kasus tersebut, metode numerik seperti aturan Simpson atau aturan trapesium memberikan aproksimasi yang akurat. Kalkulator di halaman ini menggunakan integrasi numerik ketika jawaban simbolik tidak tersedia dan dengan jelas memberi label hasilnya sebagai aproksimasi.

Contoh Dikerjakan: y = x^3/2 dari x = 0 sampai x = 4

Carilah panjang busur kurva y = x^3/2 pada interval [0, 4].

Langkah 1: Cari turunannya. Menggunakan aturan pangkat, f'(x) = (3/2)x^1/2.

Langkah 2: Kuadratkan turunannya. [f'(x)]² = (9/4)x.

Langkah 3: Substitusikan ke dalam rumus. L = ∫[0 to 4] √(1 + (9/4)x) dx.

Langkah 4: Evaluasi integralnya. Misalkan u = 1 + (9/4)x, sehingga du = (9/4)dx. Ketika x = 0, u = 1. Ketika x = 4, u = 10. Integralnya menjadi (4/9)∫[1 to 10] √u du = (4/9)(2/3)[u^3/2] dari 1 sampai 10 = (8/27)(10^3/2 - 1).

Langkah 5: Sederhanakan. Karena 10^3/2 = 10√10 ≈ 31.62, L ≈ (8/27)(30.62) ≈ 9.07.

Panjang busur tepatnya adalah (8/27)(10√10 - 1), sekitar 9.07 satuan.

Panjang busur merespons perubahan jari-jari dan sudut dengan cara yang dapat diprediksi. Karena rumus s = rθ adalah perkalian sederhana, setiap variabel memiliki efek proporsional langsung.

Jika Anda menggandakan jari-jari sambil menjaga sudut tetap, panjang busur ikut berlipat ganda. Busur 60 derajat pada lingkaran berjari-jari 7 cm berukuran sekitar 7.33 cm. Pada lingkaran berjari-jari 14 cm, sudut 60 derajat yang sama memotong busur sekitar 14.66 cm. Setiap titik pada lingkaran yang lebih besar berjarak dua kali lipat dari pusat, sehingga lintasan melengkung di antara dua sudut yang sama menjadi dua kali lipat panjangnya.

Jika Anda menggandakan sudut pusat sambil menjaga jari-jari tetap, panjang busur juga berlipat ganda. Busur 30 derajat pada lingkaran 10 cm sekitar 5.24 cm. Busur 60 derajat pada lingkaran yang sama sekitar 10.47 cm. Sudut dua kali lipat berarti pecahan keliling dua kali lipat.

Satu putaran penuh, 360 derajat atau 2π radian, menghasilkan keliling penuh. Memasukkan θ = 2π ke dalam s = rθ menghasilkan s = 2πr, tepat rumus keliling. Ini menegaskan rumus tersebut konsisten: pada sudut maksimum, "busur" adalah seluruh lingkaran.

Gunakan penggeser dalam diagram interaktif untuk menjelajahi hubungan-hubungan ini. Seret penggeser sudut dan lihat busur yang disorot membesar. Seret penggeser jari-jari dan lihat seluruh lingkaran membesar. Panjang busur yang ditampilkan diperbarui secara real time, memperkuat hubungan proporsional yang dijelaskan di atas.

Panjang busur muncul dalam banyak situasi praktis di mana jarak melengkung itu penting.

Lintasan lari. Lintasan lari 400 meter standar memiliki dua bagian lurus dan dua ujung setengah lingkaran. Jika setiap ujung setengah lingkaran memiliki jari-jari 36.5 meter, bagian melengkung dari satu ujung adalah setengah keliling: π(36.5), sekitar 114.67 meter. Kedua ujung bersama-sama berkontribusi sekitar 229.35 meter lari melengkung. Perancang lintasan menggunakan perhitungan ini untuk memastikan setiap jalur berukuran total yang benar.

Roda sepeda. Roda sepeda dengan diameter 70 cm memiliki jari-jari 35 cm. Dalam satu putaran penuh, sebuah titik pada ban menempuh keliling penuh: 2π(35), sekitar 219.91 cm, atau sekitar 2.20 meter. Jika roda berputar 100 kali, sepeda menempuh sekitar 220 meter. Hubungan antara putaran dan jarak inilah yang digunakan komputer sepeda untuk memperkirakan kecepatan dan jarak dari sensor roda.

Lengkungan arsitektur. Lengkungan setengah lingkaran di atas pintu memiliki jari-jari 1.5 meter. Panjang melengkung lengkungan adalah setengah keliling: π(1.5), sekitar 4.71 meter. Pembangun yang memesan lis melengkung untuk lengkungan ini membutuhkan pengukuran ini untuk membeli jumlah material yang tepat.

Mesin berputar. Sabuk konveyor melilit setengah katrol penggerak dengan jari-jari 0.4 meter. Panjang kontak antara sabuk dan katrol adalah busur setengah lingkaran: π(0.4), sekitar 1.26 meter. Insinyur menggunakan panjang kontak ini untuk menghitung gesekan dan transmisi daya. Busur kontak yang lebih panjang umumnya berarti cengkeraman yang lebih baik antara sabuk dan katrol.

Beberapa kesalahan umum menjebak siswa maupun profesional. Mengetahuinya sebelumnya membantu Anda menghindarinya.

Mencampur derajat dan radian. Ini adalah kesalahan paling sering. Jika sudut Anda 60 derajat tetapi Anda memasukkannya ke s = rθ, Anda mendapatkan 60r alih-alih πr/3 yang benar. Selalu periksa satuan sudut sebelum memilih rumus. Jika ragu, ubah dulu ke radian.

Menggunakan diameter sebagai pengganti jari-jari. Rumus membutuhkan jari-jari. Jika Anda diberi diameter 14 cm, jari-jarinya 7 cm. Lupa membagi dua diameter menggandakan jawaban Anda.

Melupakan satuan pengukuran. Panjang busur 7.33 tidak berarti apa-apa tanpa satuan. Jika jari-jari dalam sentimeter, panjang busur dalam sentimeter. Bawa satuannya melalui setiap langkah.

Menerapkan rumus yang salah. Rumus lingkaran s = rθ dan s = πrθ/180 hanya berlaku untuk busur melingkar. Untuk kurva lain, Anda membutuhkan rumus kalkulus dengan ∫. Menggunakan rumus lingkaran pada parabola menghasilkan jawaban yang salah.

Mengacaukan panjang busur dengan panjang tali busur. Tali busur adalah garis lurus yang menghubungkan titik-titik ujung busur. Panjangnya selalu lebih pendek dari busur (kecuali dalam kasus sepele). Jika soal meminta jarak melengkung, jangan hitung jarak garis lurus.

Membulatkan terlalu dini. Membulatkan nilai antara memasukkan kesalahan yang menumpuk selama perhitungan. Pertahankan presisi penuh hingga langkah terakhir, lalu bulatkan ke jumlah tempat desimal yang diminta.

Menggunakan batas integrasi yang salah. Dalam rumus kalkulus, batas harus cocok dengan interval yang Anda ukur. Membaliknya mengubah tanda. Menggunakan batas dari bagian soal yang berbeda menghasilkan segmen yang salah.

Tiga pengukuran terkait menggambarkan aspek berbeda dari daerah melingkar. Memahami masing-masing mencegah kebingungan.

Panjang busur mengukur jarak melengkung sepanjang lingkaran di antara dua titik. Rumusnya adalah s = rθ dengan θ dalam radian. Ini menjawab pertanyaan: seberapa jauh Anda berjalan jika mengikuti kurva?

Panjang tali busur mengukur jarak garis lurus di antara dua titik yang sama. Rumusnya adalah c = 2r sin(θ/2) dengan θ dalam radian. Ini menjawab pertanyaan: seberapa jauh titik-titik ujungnya dalam garis lurus? Tali busur selalu lebih pendek dari busur minor yang sesuai.

Luas juring mengukur daerah dua dimensi yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur di antaranya, seperti sepotong pizza. Rumusnya adalah A = (1/2)r²θ dengan θ dalam radian. Ini menjawab pertanyaan: berapa luas yang dicakup potongan itu?

Tabel perbandingan di bawah merangkum perbedaannya.

Perhatikan bahwa ketiga rumus membutuhkan θ dalam radian. Rumus luas juring sangat mudah salah dengan derajat, karena tidak ada versi derajat yang sederhana. Ubah dulu ke radian.

Cobalah soal-soal ini, lalu periksa jawaban Anda di bawah.

Soal 1 (derajat). Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 12 cm dan sudut pusat 45 derajat. Carilah panjang busurnya.

Solusi: Gunakan s = πrθ/180 = π(12)(45)/180 = 3π ≈ 9.42 cm.

Soal 2 (radian). Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 8 m dan sudut pusat 2.5 radian. Carilah panjang busurnya.

Solusi: Gunakan s = rθ = 8(2.5) = 20 m.

Soal 3 (diameter). Sebuah lingkaran memiliki diameter 20 inci dan sudut pusat 120 derajat. Carilah panjang busurnya.

Solusi: Pertama ubah diameter menjadi jari-jari: r = 20/2 = 10 inci. Kemudian s = π(10)(120)/180 = 20π/3 ≈ 20.94 inci.

Soal 4 (jari-jari hilang). Busur sepanjang 15 cm membentuk sudut pusat 0.75 radian. Carilah jari-jarinya.

Solusi: Susun ulang s = rθ menjadi r = s/θ = 15/0.75 = 20 cm.

Soal 5 (kalkulus). Carilah panjang busur y = (2/3)x^3/2 dari x = 0 sampai x = 3.

Solusi: Turunannya adalah f'(x) = x^1/2, sehingga [f'(x)]² = x. Integralnya adalah L = ∫[0 to 3] √(1 + x) dx. Misalkan u = 1 + x, du = dx. Ketika x = 0, u = 1. Ketika x = 3, u = 4. L = ∫[1 to 4] √u du = (2/3)[u^3/2] dari 1 sampai 4 = (2/3)(8 - 1) = 14/3 ≈ 4.67.

Panjang busur mengukur jarak melengkung, baik sepanjang lingkaran maupun kurva umum. Untuk lingkaran, gunakan s = rθ dengan sudut dalam radian, atau s = πrθ/180 dengan sudut dalam derajat. Untuk kurva lain yang digambarkan oleh y = f(x), gunakan rumus ∫ L = ∫√(1 + [f'(x)]²)dx pada interval Anda. Waspadai kekeliruan derajat-radian, kebingungan diameter-jari-jari, dan pembulatan prematur. Kalkulator di bagian atas halaman ini menangani ketiga mode dengan pengerjaan langkah demi langkah yang lengkap. Masukkan nilai Anda, pelajari langkah-langkahnya, dan gunakan hasilnya dengan percaya diri.