حاسبة طول القوس مع الخطوات

طول القوس هو المسافة على طول منحنى بين نقطتين. بالنسبة للدائرة، هو طول الجزء المنحني من المحيط الذي يقطعه نصفا قطر. تخيل شريحة بيتزا. حافة القشرة في تلك الشريحة هي قوس، وطولها هو طول القوس. الحافتان المستقيمتان هما نصفا قطر، والزاوية بينهما عند المركز تسمى الزاوية المركزية.

تحدد الزاوية المركزية الكسر الذي يمثله قوسك من الدائرة الكاملة. الدائرة الكاملة قياسها 360 درجة، أو 2π راديان. إذا كانت زاويتك المركزية 90 درجة، فقوسك يمثل ربع المحيط. وإذا كانت الزاوية 180 درجة، فالقوس يمثل نصف المحيط. هذه العلاقة التناسبية هي أساس كل صيغة لطول القوس.

يوجد قوسان بحجمين مختلفين لأي نقطتين على الدائرة. القوس الأصغر هو المسار الأقصر بين النقطتين، ويقابل زاوية مركزية أقل من 180 درجة. والقوس الأكبر هو المسار الأطول الذي يدور حول الاتجاه الآخر، ويقابل زاوية أكبر من 180 درجة. وما لم يُذكر خلاف ذلك، فإن مسائل طول القوس تشير إلى القوس الأصغر.

يساعد مثال بسيط من الحياة اليومية. افترض أن حديقة دائرية نصف قطرها 10 أمتار، وتريد تركيب حافة على طول مقطع يمتد بزاوية 90 درجة من المركز. المحيط الكامل هو 2π(10)، أي حوالي 62.83 مترًا. وزاوية 90 درجة تمثل ربع الدائرة الكاملة، لذا فإن الحافة اللازمة حوالي 15.71 مترًا. تلك المسافة المنحنية هي طول القوس.

تعتمد صيغة طول القوس على ما إذا كانت زاويتك مقاسة بالراديان أم بالدرجات. وتعبر النسختان عن الفكرة نفسها: طول القوس هو كسر من المحيط الكامل، ويتحدد هذا الكسر بالزاوية المركزية.

عندما تكون الزاوية θ بالراديان، تكون الصيغة بسيطة:

s = rθ

حيث s هو طول القوس، وr هو نصف القطر، وθ هي الزاوية المركزية بالراديان. تعمل هذه الصيغة بهذه البساطة لأن الراديان يُعرَّف بأنه الزاوية التي تقطع قوسًا يساوي طوله نصف القطر. فزاوية مقدارها 1 راديان على دائرة نصف قطرها 5 تعطي قوسًا طوله 5 وحدات بالضبط. ووحدات s تطابق دائمًا وحدات r. فإذا كان نصف القطر بالسنتيمترات، كان طول القوس بالسنتيمترات.

وعندما تكون الزاوية بالدرجات، تحتاج الصيغة إلى عامل تحويل:

s = πrθ / 180

حيث θ هي الزاوية المركزية بالدرجات. فعامل π/180 يحول الدرجات إلى راديان في الخلفية، لأن 180 درجة تساوي π راديان. فالقسمة على 180 والضرب في π يحولان قياسك بالدرجات إلى قياس الراديان الذي تحتاجه الصيغة فعلًا.

تأتي الصيغتان من محيط الدائرة الكاملة C = 2πr. فالدائرة الكاملة تقابل زاوية مركزية مقدارها 2π راديان أو 360 درجة. وطول القوس هو الكسر نفسه من المحيط الذي تمثله الزاوية المركزية من الزاوية الكاملة. بالراديان: s / (2πr) = θ / (2π)، وتبسط إلى s = rθ. وبالدرجات: s / (2πr) = θ / 360، وتبسط إلى s = πrθ / 180.

التحويل بين الدرجات والراديان مباشر. لتحويل الدرجات إلى راديان، اضرب في π/180. ولتحويل الراديان إلى درجات، اضرب في 180/π. فمثلًا، 60 درجة تصبح 60 × π/180 = π/3 راديان، أي حوالي 1.047 راديان. وزاوية مقدارها 2 راديان تصبح 2 × 180/π، أي حوالي 114.59 درجة.

يلخص الجدول أدناه الصيغ الأساسية للرجوع السريع إليها.

مثال 1: الزاوية بالدرجات

أوجد طول قوس دائرة نصف قطرها 7 سم وزاويتها المركزية 60 درجة.

الخطوة 1: حدد القيم المعطاة. نصف القطر r يساوي 7 سم والزاوية θ تساوي 60 درجة.

الخطوة 2: اختر الصيغة الصحيحة. بما أن الزاوية بالدرجات، استخدم s = πrθ / 180.

الخطوة 3: عوض بالقيم. يعطي هذا s = π(7)(60) / 180.

الخطوة 4: بسّط. الكسر 60/180 يختصر إلى 1/3، فيكون s = 7π/3 سم. وهذه هي الإجابة الدقيقة.

الخطوة 5: جد التقريب العشري. بما أن π حوالي 3.14159، فإن s حوالي 7(3.14159)/3، أي حوالي 7.33 سم.

طول القوس هو 7π/3 سم بالضبط، أو حوالي 7.33 سم تقريبًا.

مثال 2: الزاوية بالراديان

أوجد طول قوس دائرة نصف قطرها 5 أمتار وزاويتها المركزية 1.2 راديان.

الخطوة 1: حدد القيم المعطاة. نصف القطر r يساوي 5 م والزاوية θ تساوي 1.2 راديان.

الخطوة 2: اختر الصيغة الصحيحة. بما أن الزاوية بالراديان، استخدم s = rθ.

الخطوة 3: عوض بالقيم. يعطي هذا s = 5(1.2).

الخطوة 4: اضرب. النتيجة هي s = 6 أمتار.

طول القوس هو 6 أمتار بالضبط. لاحظ كم أن صيغة الراديان أبسط. لا حاجة للتعامل مع π ولا لاختصار كسر. وهذا أحد الأسباب التي تجعل علماء الرياضيات والعلماء يفضلون الراديان في العمل النظري.

ليس كل منحنى جزءًا من دائرة. فبالنسبة لمنحنى أملس عام يوصف بالدالة y = f(x)، يُوجد طول القوس بين x = a وx = b باستخدام التكامل:

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²) dx

حيث f'(x) هي مشتقة الدالة. وتنبع الصيغة من فكرة بسيطة. قسّم المنحنى إلى قطع مستقيمة صغيرة كثيرة. طول كل قطعة هو √((Δx)² + (Δy)²) بنظرية فيثاغورس. وبإخراج Δx عاملًا مشتركًا نحصل على √(1 + (Δy/Δx)²) Δx. وعندما تصبح القطع صغيرة بلا نهاية، يصبح Δy/Δx هو المشتقة f'(x)، ويتحول المجموع إلى التكامل أعلاه.

المشتقة مهمة لأنها تقيس مدى انحدار المنحنى عند كل نقطة. فالمقطع الشديد الانحدار يسهم بطول أكبر من المقطع المستوي على المسافة الأفقية نفسها. ويُسمى العامل √(1 + [f'(x)]²) أحيانًا عامل التمدد الموضعي. فعندما يكون المنحنى مستويًا، تكون f'(x) صفرًا ويكون العامل 1، أي أن طول القوس يساوي المسافة الأفقية. وعندما يكون المنحنى شديد الانحدار، يكون العامل أكبر من 1.

يحدد الحدان a وb موضع بدء القياس ونهايته على طول المحور x. ومن المهم وضعهما بالترتيب الصحيح، بحيث يكون a هو القيمة الأصغر. فتبديلهما يغير إشارة النتيجة.

كثير من تكاملات طول القوس لا يمكن حسابها بمشتقات عكسية أولية. وفي تلك الحالات، تعطي الطرق العددية مثل قاعدة سمبسون أو قاعدة شبه المنحرف تقريبات دقيقة. وتستخدم الحاسبة في هذه الصفحة التكامل العددي عندما لا يتوفر حل رمزي، وتُسمي النتيجة بوضوح بأنها تقريبية.

مثال محلول: y = x^3/2 من x = 0 إلى x = 4

أوجد طول قوس المنحنى y = x^3/2 على الفترة [0, 4].

الخطوة 1: جد المشتقة. باستخدام قاعدة القوة، f'(x) = (3/2)x^1/2.

الخطوة 2: ربّع المشتقة. [f'(x)]² = (9/4)x.

الخطوة 3: عوض في الصيغة. L = ∫[0 to 4] √(1 + (9/4)x) dx.

الخطوة 4: احسب التكامل. ضع u = 1 + (9/4)x، فيكون du = (9/4)dx. عندما x = 0، يكون u = 1. وعندما x = 4، يكون u = 10. يصبح التكامل (4/9)∫[1 to 10] √u du = (4/9)(2/3)[u^3/2] من 1 إلى 10 = (8/27)(10^3/2 - 1).

الخطوة 5: بسّط. بما أن 10^3/2 = 10√10 ≈ 31.62، فإن L ≈ (8/27)(30.62) ≈ 9.07.

طول القوس الدقيق هو (8/27)(10√10 - 1)، أي حوالي 9.07 وحدة.

يستجيب طول القوس للتغيرات في نصف القطر والزاوية بطريقة يمكن التنبؤ بها. ولأن الصيغة s = rθ حاصل ضرب بسيط، فإن لكل متغير تأثيرًا تناسبيًا مباشرًا.

إذا ضاعفت نصف القطر مع ثبات الزاوية، تضاعف طول القوس. فقوس 60 درجة على دائرة نصف قطرها 7 سم يبلغ حوالي 7.33 سم. وعلى دائرة نصف قطرها 14 سم، تقطع الزاوية نفسها البالغة 60 درجة قوسًا طوله حوالي 14.66 سم. فكل نقطة على الدائرة الأكبر أبعد عن المركز بضعفين، وبالتالي فإن المسار المنحني بين الزاويتين نفسيهما أطول بضعفين.

وإذا ضاعفت الزاوية المركزية مع ثبات نصف القطر، تضاعف طول القوس أيضًا. فقوس 30 درجة على دائرة نصف قطرها 10 سم يبلغ حوالي 5.24 سم. وقوس 60 درجة على الدائرة نفسها يبلغ حوالي 10.47 سم. فمضاعفة الزاوية تعني مضاعفة الكسر من المحيط.

الدورة الكاملة، 360 درجة أو 2π راديان، تعطي المحيط الكامل. فبالتعويض عن θ = 2π في s = rθ نحصل على s = 2πr، وهي صيغة المحيط بالضبط. وهذا يؤكد اتساق الصيغة: فعند الزاوية القصوى، يكون "القوس" هو الدائرة كلها.

استخدم أشرطة التمرير في المخطط التفاعلي لاستكشاف هذه العلاقات. اسحب شريط الزاوية وراقب القوس المظلل وهو ينمو. واسحب شريط نصف القطر وراقب الدائرة كلها وهي تتوسع. ويُحدَّث طول القوس المعروض لحظيًا، مؤكدًا العلاقات التناسبية الموصوفة أعلاه.

يظهر طول القوس في كثير من المواقف العملية حيث تكون المسافات المنحنية مهمة.

مضامير الجري. يتكون مضمار الجري القياسي البالغ 400 متر من مقطعين مستقيمين وطرفين نصف دائريين. فإذا كان نصف قطر كل طرف نصف دائري 36.5 مترًا، كان الجزء المنحني لأحد الطرفين نصف المحيط: π(36.5)، أي حوالي 114.67 مترًا. ويسهم الطرفان معًا بحوالي 229.35 مترًا من الجري المنحني. ويستخدم مصممو المضامير هذه الحسابات لضمان أن تكون المسافة الإجمالية لكل مسار صحيحة.

عجلات الدراجات. عجلة دراجة قطرها 70 سم نصف قطرها 35 سم. وفي دورة كاملة، تقطع نقطة على الإطار المحيط الكامل: 2π(35)، أي حوالي 219.91 سم، أو حوالي 2.20 متر. فإذا دارت العجلة 100 مرة، قطعت الدراجة حوالي 220 مترًا. وهذه العلاقة بين الدورات والمسافة هي الطريقة التي تقدر بها حواسيب الدراجات السرعة والمسافة من حساسات العجلة.

الأقواس المعمارية. قوس نصف دائري فوق مدخل نصف قطره 1.5 متر. والطول المنحني للقوس هو نصف المحيط: π(1.5)، أي حوالي 4.71 متر. والبناء الذي يطلب زخرفة منحنية لهذا القوس يحتاج هذا القياس لشراء الكمية المناسبة من المادة.

الآلات الدوارة. يلتف حزام ناقل نصف دورة حول بكرة قيادة نصف قطرها 0.4 متر. وطول التلامس بين الحزام والبكرة هو قوس نصف دائري: π(0.4)، أي حوالي 1.26 متر. ويستخدم المهندسون طول التلامس هذا لحساب الاحتكاك ونقل القدرة. فطول قوس التلامس الأكبر يعني عمومًا تماسكًا أفضل بين الحزام والبكرة.

ثمة عدة أخطاء شائعة توقع الطلاب والمهنيين على حد سواء. ومعرفتها مسبقًا تساعدك على تجنبها.

الخلط بين الدرجات والراديان. هذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا. فإذا كانت زاويتك 60 درجة لكنك عوضت في s = rθ، حصلت على 60r بدلًا من πr/3 الصحيحة. تحقق دائمًا من وحدة الزاوية قبل اختيار صيغتك. وعند الشك، حوّل إلى الراديان أولًا.

استخدام القطر بدل نصف القطر. تتطلب الصيغ نصف القطر. فإذا أُعطيت قطرًا مقداره 14 سم، فنصف القطر هو 7 سم. ونسيان تنصيف القطر يضاعف إجابتك.

نسيان وحدات القياس. طول قوس مقداره 7.33 لا يعني شيئًا دون وحدات. فإذا كان نصف القطر بالسنتيمترات، كان طول القوس بالسنتيمترات. احمل الوحدات معك في كل خطوة.

تطبيق الصيغة الخاطئة. صيغتا الدائرة s = rθ وs = πrθ/180 تعملان للأقواس الدائرية فقط. أما المنحنيات الأخرى فتحتاج صيغة التفاضل والتكامل مع التكامل. فاستخدام صيغة الدائرة على قطع مكافئ يعطي إجابة خاطئة.

الخلط بين طول القوس وطول الوتر. الوتر هو الخط المستقيم الذي يصل بين طرفي القوس. وهو دائمًا أقصر من القوس (باستثناء الحالات البديهية). فإذا طلبت المسألة المسافة المنحنية، فلا تحسب المسافة المستقيمة.

التقريب المبكر جدًا. تقريب القيم الوسيطة يُدخل خطأً يتراكم عبر الحساب. حافظ على الدقة الكاملة حتى الخطوة الأخيرة، ثم قرّب إلى عدد المنازل العشرية المطلوب.

استخدام حدود تكامل خاطئة. في صيغة التفاضل والتكامل، يجب أن تطابق الحدود الفترة التي تقيسها. فعكسها يقلب الإشارة. واستخدام حدود من جزء آخر من المسألة يعطي المقطع الخاطئ.

ثمة ثلاثة قياسات مترابطة تصف جوانب مختلفة من المنطقة الدائرية. وفهم كل منها يمنع الالتباس.

يقيس طول القوس المسافة المنحنية على طول الدائرة بين نقطتين. والصيغة هي s = rθ حيث θ بالراديان. وهو يجيب عن السؤال: كم ستمشي لو اتبعت المنحنى؟

ويقيس طول الوتر المسافة المستقيمة بين النقطتين نفسيهما. والصيغة هي c = 2r sin(θ/2) حيث θ بالراديان. وهو يجيب عن السؤال: كم تبعد النهايتان عن بعضهما بخط مستقيم؟ والوتر دائمًا أقصر من القوس الأصغر المقابل.

وتقيس مساحة القطاع المنطقة ثنائية الأبعاد التي يحدها نصفا قطر والقوس بينهما، مثل شريحة البيتزا. والصيغة هي A = (1/2)r²θ حيث θ بالراديان. وهي تجيب عن السؤال: كم تبلغ مساحة الشريحة؟

يلخص جدول المقارنة أدناه الفروقات.

لاحظ أن الصيغ الثلاث تتطلب θ بالراديان. وصيغة مساحة القطاع سهلة الخطأ بالدرجات بشكل خاص، لأنه لا توجد نسخة بسيطة بالدرجات. حوّل إلى الراديان أولًا.

جرّب هذه المسائل، ثم تحقق من إجاباتك أدناه.

مسألة 1 (درجات). دائرة نصف قطرها 12 سم وزاويتها المركزية 45 درجة. أوجد طول القوس.

الحل: استخدم s = πrθ/180 = π(12)(45)/180 = 3π ≈ 9.42 سم.

مسألة 2 (راديان). دائرة نصف قطرها 8 م وزاويتها المركزية 2.5 راديان. أوجد طول القوس.

الحل: استخدم s = rθ = 8(2.5) = 20 م.

مسألة 3 (قطر). دائرة قطرها 20 بوصة وزاويتها المركزية 120 درجة. أوجد طول القوس.

الحل: حوّل القطر إلى نصف القطر أولًا: r = 20/2 = 10 بوصات. ثم s = π(10)(120)/180 = 20π/3 ≈ 20.94 بوصة.

مسألة 4 (نصف قطر مفقود). قوس طوله 15 سم يقابل زاوية مركزية مقدارها 0.75 راديان. أوجد نصف القطر.

الحل: أعد ترتيب s = rθ للحصول على r = s/θ = 15/0.75 = 20 سم.

مسألة 5 (تفاضل وتكامل). أوجد طول قوس y = (2/3)x^3/2 من x = 0 إلى x = 3.

الحل: المشتقة هي f'(x) = x^1/2، إذن [f'(x)]² = x. والتكامل هو L = ∫[0 to 3] √(1 + x) dx. ضع u = 1 + x، فيكون du = dx. عندما x = 0، يكون u = 1. وعندما x = 3، يكون u = 4. L = ∫[1 to 4] √u du = (2/3)[u^3/2] من 1 إلى 4 = (2/3)(8 - 1) = 14/3 ≈ 4.67.

يقيس طول القوس المسافة المنحنية، سواء على طول دائرة أو منحنى عام. فبالنسبة للدوائر، استخدم s = rθ مع الزاوية بالراديان، أو s = πrθ/180 مع الزاوية بالدرجات. أما المنحنيات الأخرى الموصوفة بـ y = f(x)، فاستخدم صيغة التكامل L = ∫√(1 + [f'(x)]²)dx على فترتك. واحذر من الخلط بين الدرجات والراديان، وبين القطر ونصف القطر، ومن التقريب المبكر. وتتعامل الحاسبة في أعلى هذه الصفحة مع الأوضاع الثلاثة كلها مع عرض كامل للخطوات خطوة بخطوة. أدخل قيمك، وادرس الخطوات، واستخدم النتيجة بثقة.