طول قوس الدائرة
أدخل نصف القطر r والزاوية المركزية θ. تحسب الأداة طول القوس بالصيغة L = rθ، وتعرض أيضا مساحة القطاع وطول الوتر من المدخلين نفسهما. بدّل بين الدرجات والراديان بمفتاح DEG/RAD.
\( L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians}) \)
حاسبة طول القوس
أداة رياضية متميزة لحساب أطوال القوس الدقيقة للدوائر والمنحنيات والمعادلات البارامترية مع ردود فعل مرئية حية.
مجاني الاستخدام ·بدون تسجيل ·يعمل في متصفحك
صيغة طول القوس
0°360°
عرض المخطط
المنحنى الأصلي والقوس المحدد
النقاط الذهبية تحدد نقطة منتصف كل فترة جزئية.
المكامل g(x) ومستطيلات نقطة المنتصف
مرر فوق مستطيل لترى فترته الجزئية ونقطة منتصفه وقيمة المكامل ومساهمته.
جدول حساب نقطة المنتصف التفصيلي
مقارنة التقارب
الفروق بين التحسينات المتتالية مؤشر خطأ عملي، لا حد خطأ مضمون.
خطأ في الحساب
◯
أداة الدائرةنصف القطر والزاوية، مع مساحة القطاع والوتر.
∫
بارامتريةمنحنيات x(t) و y(t) على أي فترة.
ρ
الأداة القطبيةمنحنيات معطاة على الصورة r(θ) قطبيا.
ƒ
خطوات كاملةطول قوس ديكارتي مع عرض كل خطوة.
◊
الفضاء ثلاثي الأبعادمنحنيات فضائية x(t) و y(t) و z(t).
Σ
قاعدة سمبسونتكامل عددي بقاعدة سمبسون.
△
قاعدة شبه المنحرفتكامل عددي، قاعدة شبه المنحرف.
⋯
من النقاططول المسار عبر نقاط الإحداثيات.
قوس القطع الناقصطول قوس أي قطع ناقص من محوريه وزاويتيه.
قوس القطع المكافئطول قوس أي قطع مكافئ من معادلته.
قوس نصف الدائرةطول قوس أي نصف دائرة من نصف قطرها أو قطرها.
قوس القطاعطول قوس قطاع دائري من نصف القطر والزاوية.
قاعدة نقطة المنتصفطول القوس بقاعدة نقطة المنتصف، مع المستطيلات وفحص الخطأ.
طرق حاسبة طول القوس
تتضمن الحاسبة أعلاه سبعة أوضاع. كل وضع يطابق صيغة إدخال قياسية من التفاضل والتكامل. اختر الوضع الذي تشبه مدخلاته مسألتك.
| الوضع | المدخلات المطلوبة | متى تستخدم |
|---|---|---|
| دائرة | نصف القطر r، الزاوية المركزية θ | دوائر، قطاعات، عجلات، أقواس |
| ديكارتي | دالة y = f(x)، الفترة [a, b] | رسوم الدوال، y كدالة في x |
| بارامتري | x(t)، y(t)، الفترة [a, b] | مسارات الحركة، حلقات، منحنيات عمودية |
| قطبي | r(θ)، الفترة الزاوية [α, β] | لوالب، قلبيات، رسوم قطبية |
| عددي | f(x)، الفترة، التقسيمات n | تكاملات بلا صيغة مغلقة |
| نقاط | قائمة إحداثيات (x, y) | مسارات GPS، بيانات مجمعة |
| ثلاثي الأبعاد | x(t)، y(t)، z(t)، الفترة [a, b] | منحنيات فراغية، لوالب، مسارات |
المنحنيات الديكارتية
أدخل الدالة y = f(x) مع قيمتي x للبداية والنهاية a و b. تشتق الحاسبة الدالة، وتبني المكامل، وتحسب التكامل المحدد عدديا مع عرض الخطوات كاملة. للاشتقاق الكامل، جرّب حاسبة طول القوس مع الخطوات.
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
المنحنيات البارامترية
أدخل x(t) و y(t) مع فترة البارامتر. يناسب هذا الوضع المسارات الموصوفة بالحركة عبر الزمن، حيث لا تكون أي إحداثية دالة مباشرة في الأخرى. لأداة مخصصة، انظر حاسبة طول القوس البارامترية.
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
المنحنيات القطبية
أدخل r كدالة في θ مع فترة الزاوية. مثالي للوالب والمنحنيات القلبية وغيرها من المنحنيات التي تكتب طبيعيا بالصورة القطبية. تتوفر أيضا حاسبة طول قوس قطبية مستقلة.
\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)
التكامل العددي
أدخل f(x) والفترة وعدد الفترات الجزئية n، ثم اختر قاعدة سمبسون أو قاعدة شبه المنحرف. يفيد هذا الوضع عندما لا يكون لتكامل طول القوس مشتقة عكسية أولية أو عندما تريد مقارنة الطرق العددية. تعرض حاسبتا قاعدة سمبسون و قاعدة شبه المنحرف المخصصتان الحل الكامل.
نقاط الإحداثيات
الصق أو اكتب قائمة من النقاط (x, y). تجمع الحاسبة المسافات المستقيمة بين النقاط المتتالية، مما يقارب طول المسار عبر بيانات مأخوذة بالعينات مثل مسارات GPS. انظر أيضا الأداة المخصصة طول القوس من النقاط.
\( L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_{i})^{2} + (\Delta y_{i})^{2}} \)
المنحنيات ثلاثية الأبعاد
أدخل x(t) و y(t) و z(t) مع فترة البارامتر لقياس طول منحنى فضائي، مثل الحلزون أو مسار ثلاثي الأبعاد. توفر حاسبة طول القوس ثلاثية الأبعاد المخصصة الحساب نفسه في صفحتها الخاصة.
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
صيغة طول القوس
كل صيغة لطول القوس أدناه تقيس الفكرة نفسها: جمع مقاطع مستقيمة صغيرة جدا على طول المنحنى. الصيغة الصحيحة تعتمد على كيفية وصف المنحنى.
الدائرة: L = rθ
\( L = r\theta \)
هنا r هو نصف القطر و θ هي الزاوية المركزية بالراديان. يحمل طول القوس الوحدة نفسها التي يحملها r: نصف قطر بالأمتار يعطي طول قوس بالأمتار. هذه أبسط حالة لأن الدائرة ذات انحناء ثابت.
ديكارتي: تكامل √(1 + (dy/dx)²)
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
استخدمها عندما يكون المنحنى y = f(x) بين x = a و x = b. الحد dy/dx هو الميل؛ حيث يكون المنحنى شديد الانحدار، تساهم كل dx بطول أكبر. الحدان a و b هما قيمتا x وليسا موضعي القوس.
بارامتري: تكامل √((dx/dt)² + (dy/dt)²)
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
استخدمها عندما تكون x و y دالتين في البارامتر t، مع t من a إلى b. تعالج هذه المنحنيات التي تلتف أو تسير عموديا، حيث لا يمكن كتابة y كدالة في x.
قطبي: تكامل √(r² + (dr/dθ)²)
\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)
استخدمها عندما يكون المنحنى r = r(θ) مع θ من α إلى β. الحد r² يراعي المسح الدائري بينما يراعي (dr/dθ)² التغير القطري.
ثلاثي الأبعاد: تكامل √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²)
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
الامتداد الطبيعي للصيغة البارامترية إلى ثلاثة أبعاد: أضف مربع سرعة z تحت الجذر.
طول القوس L يتبع المنحنى؛ طول الوتر c يقطع مستقيما. القوس أطول دائما، إلا في الحالة الحدية لزاوية صفر.
كيفية استخدام حاسبة طول القوس
- 01اختر الوضع المناسب لمدخلاتك: دائرة، ديكارتي، بارامتري، قطبي، عددي، نقاط، أو ثلاثي الأبعاد.
- 02أدخل القيم. للدائرة، اكتب نصف القطر والزاوية المركزية. للمنحنيات، اكتب الدالة وحدود الفترة.
- 03اضبط وحدة الزاوية (وضع الدائرة): اختر DEG للدرجات أو RAD للراديان بالمفتاح أعلى الحاسبة.
- 04اقرأ النتيجة. يظهر طول القوس مع الحل خطوة بخطوة. يعرض وضع الدائرة أيضا مساحة القطاع وطول الوتر.
- 05جرّب مثالا بزر "Try Example" في أي وضع لرؤية صيغة الإدخال الصحيحة قبل كتابة مدخلاتك.
أمثلة حساب طول القوس
كل مثال أدناه محلول بالكامل لتتمكن من التحقق من كل خطوة.
المثال 1: قوس دائرة من نصف القطر والدرجات
المعطى: نصف القطر r = 5 سم، الزاوية المركزية θ = 60°.
الصيغة: L = rθ، مع θ بالراديان.
\( \theta = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \)
التعويض: L = 5 × 1.0472.
الإجابة: L ≈ 5.236 سم.
المثال 2: قوس دائرة من نصف القطر والراديان
المعطى: نصف القطر r = 10 م، الزاوية المركزية θ = 1.5 راد.
الصيغة: L = rθ.
التعويض: L = 10 × 1.5 = 15.
الإجابة: L = 15 م. لا حاجة للتحويل لأن الزاوية بالراديان أصلا.
المثال 3: منحنى ديكارتي y = x² من 0 إلى 1
المعطى: y = x²، الفترة [0, 1].
الصيغة: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx.
\( \frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx \)
\( L = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|2x + \sqrt{1+4x^{2}}\right| \right]_{0}^{1} \)
الحساب: عند x = 1 تساوي القوسان (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789؛ وعند x = 0 تساوي 0.
الإجابة: L ≈ 1.4789 وحدة.
المثال 4: ربع دائرة بارامترية
المعطى: x = 3cos t، y = 3sin t، t من 0 إلى π/2.
الصيغة: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.
\( \frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t \)
\( \sqrt{9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{\pi/2} 3\,dt = \frac{3\pi}{2} \)
الإجابة: L = 3π/2 ≈ 4.7124 وحدة، وهو ما يطابق ربع المحيط المعروف لدائرة نصف قطرها 3.
الدرجات مقابل الراديان
تقسم الدرجات الدورة الكاملة إلى 360 جزءا؛ ويقيس الراديان الزاوية بطول القوس على دائرة الوحدة، والدورة الكاملة تساوي 2π راديان (حوالي 6.2832). تصف الوحدتان الزوايا نفسها: 180° تساوي π راديان، و 90° تساوي π/2 راديان، والراديان الواحد حوالي 57.2958°.
الوحدة مهمة لأن صيغة الدائرة L = rθ صحيحة فقط عندما تكون θ بالراديان. إدخال 90 درجة على أنها 90 راديان سيبالغ في طول القوس بنحو 57.3 مرة. مفتاح DEG/RAD في الحاسبة يحوّل نيابة عنك، لكن تحقق دائما مرتين من الوحدة التي تستخدمها مسألتك قبل الوثوق بالناتج.
أخطاء طول القوس الشائعة
معظم الإجابات الخاطئة تأتي من أخطاء الإعداد، وليس من الصيغة نفسها. راجع هذه القائمة قبل الوثوق بنتيجة.
استخدام الدرجات في L = rθ
صيغة الدائرة تحتاج الراديان. إدخال 90 بدلا من π/2 يضخّم الإجابة نحو 57 مرة. استخدم مفتاح DEG/RAD أو حوّل أولا.
إدخال القطر بدلا من نصف القطر
الصيغة L = rθ تستخدم نصف القطر. إذا أعطتك المسألة القطر، اقسمه على اثنين أولا وإلا ستكون إجابتك ضعف القيمة الصحيحة تماما.
حدود تكامل خاطئة
بالنسبة إلى y = f(x) الحدود هي قيم x؛ وفي الوضع البارامتري هي قيم t؛ وفي القطبي هي زوايا. خلطها يقيس المقطع الخطأ.
صيغة خاطئة لنوع المنحنى
المنحنى القطبي يحتاج الصيغة القطبية بحدها r²، والمنحنى البارامتري يحتاج المشتقتين معا. اختر الوضع الذي يطابق كيفية كتابة منحنيك.
فترات جزئية عددية قليلة جدا
تتحسن قاعدتا سمبسون وشبه المنحرف كلما زاد n. إذا اختلفت محاولتان بقيمتي n مختلفتين اختلافا ملحوظا، زد n حتى تستقر النتيجة.
اعتبار التقريبات قيما دقيقة
التكامل العددي والجمع من نقطة إلى نقطة تقريبان. يقتربان من الطول الحقيقي لكنهما ليسا متطابقتين دقيقتين مثل L = rθ للدوائر.
تطبيقات طول القوس
الهندسة
إيجاد محيطات قطاعات الدوائر وأطوال الحدود المنحنية والمسافات على طول الأقواس في مخططات البناء.
الهندسة التطبيقية
تقدير أطوال الكابلات والأحزمة حول البكرات وبدلات ثني الأنابيب والمواد اللازمة للقطع المنحنية.
الفيزياء
حساب المسافات المقطوعة على طول المسارات المنحنية وربط موضع القوس بالحركة الزاوية.
العمارة
قياس الواجهات المنحنية والفتحات المقوسة ومسافات الممرات المتعرجة من المخططات.
الروبوتات
حساب مسافة سير طرف ذراع الروبوت على طول مسار منحنى مبرمج لتخطيط الوقت واستخدام الطاقة.
التفاضل والتكامل
التدرب على إعداد تكاملات طول القوس وتقييمها، وهو التطبيق الكلاسيكي للتكامل في الهندسة.
الرسوميات الحاسوبية
تمثيل المنحنيات بارامتريا بطول القوس لتحريك بسرعة ثابتة وأخذ عينات متساوية التباعد على طول المسارات.
الأسئلة الشائعة عن طول القوس
ما هي حاسبة طول القوس؟
تقيس حاسبة طول القوس المسافة على طول منحنى بين نقطتين. تدخل تعريف المنحنى (مثل نصف القطر والزاوية، أو دالة مع حدود الفترة) فتعيد الطول، عادة مع الحل خطوة بخطوة.
كيف أحسب طول القوس؟
للدائرة، اضرب نصف القطر في الزاوية المركزية بالراديان (L = rθ). للمنحنيات الأخرى، استخدم صيغة التكامل المناسبة، أو أدخل الدالة في الحاسبة أعلاه واختر الوضع الصحيح.
ما هي صيغة طول القوس؟
صيغة الدائرة هي L = rθ. تستخدم المنحنيات الديكارتية L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx، والبارامترية L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt، والقطبية L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ، وتضيف المنحنيات ثلاثية الأبعاد حد z تحت الجذر.
هل يمكنني حساب طول القوس دون نصف القطر؟
للدوائر تحتاج نصف القطر (أو القطر، وهو ضعف نصف القطر). للمنحنيات العامة لا تحتاج نصف القطر إطلاقا: أوضاع الديكارتي والبارامتري والقطبي والنقاط تعمل من الدوال أو الإحداثيات بدلا من ذلك.
هل أستخدم الدرجات أم الراديان؟
استخدم الراديان في الصيغة L = rθ. إذا كانت زاويتك بالدرجات، حوّل أولا (الراديان = الدرجات × π/180) أو استخدم مفتاح DEG/RAD في الحاسبة، الذي يتولى التحويل تلقائيا.
ما الفرق بين طول القوس وطول الوتر؟
طول القوس يتبع المنحنى؛ وطول الوتر هو الخط المستقيم بين نقطتي نهاية القوس. الوتر أقصر دائما (c = 2r·sin(θ/2) للدائرة). انظر مخطط المقارنة في قسم الصيغة أعلاه.
كيف أحسب طول قوس منحنى بارامتري؟
أدخل x(t) و y(t) مع فترة البارامتر في الوضع البارامتري. تحسب الحاسبة ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt على فترتك وتعرض الخطوات.
هل يمكن حساب طول القوس في ثلاثة أبعاد؟
نعم. أدخل x(t) و y(t) و z(t) في الوضع ثلاثي الأبعاد. توسّع الصيغة النسخة البارامترية بمشتقة z: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt.
ما الوحدة التي تستخدمها الإجابة؟
تستخدم النتيجة وحدة الطول نفسها التي استخدمتها مدخلاتك. إذا كان نصف القطر بالسنتيمترات، فطول القوس بالسنتيمترات. الزوايا نفسها بلا وحدة بعد تحويلها إلى الراديان.
لماذا تختلف نتيجتي العددية قليلا عن القيمة الدقيقة؟
الطرق العددية (سمبسون، شبه المنحرف) تقارب التكامل. زد عدد الفترات الجزئية n لنتيجة أقرب، وقارن مع حالة معروفة للتأكد من إعدادك.