円の弧長
半径 r と中心角 θ を入力します。ツールは L = rθ で弧長を計算し、同じ2つの入力から扇形の面積と弦の長さも求めます。DEG/RAD トグルで度とラジアンを切り替えます。
\( L = r\theta \quad (\theta \text{ in radians}) \)
円弧長計算機
ライブ視覚フィードバックを使用して、円、曲線、パラメトリック方程式の正確な円弧長を計算するためのプレミアム数学ツール。
無料で利用可能 ·登録不要 ·ブラウザで動作
円弧長の計算式
0°360°
図の表示
元の曲線と選択した弧
金の点は各部分区間の中点を示します。
被積分関数 g(x) と中点長方形
長方形にカーソルを合わせると、その部分区間、中点、被積分関数の値、寄与が表示されます。
中点計算の詳細表
収束比較
連続する細分化の差は実用的な誤差の目安であり、保証された誤差の上限ではありません。
計算エラー
◯
円ツール半径と角度に加え、扇形の面積と弦も。
∫
パラメータ表示任意の区間上の x(t) と y(t) の曲線。
ρ
極座標ツール極形式 r(θ) で与えられた曲線。
ƒ
全ステップ全ステップ表示の直交座標の弧長。
◊
3D 空間空間曲線 x(t)、y(t)、z(t)。
Σ
シンプソン則シンプソン則による数値積分。
△
台形則数値積分、台形則。
⋯
点列から座標点を通る経路の長さ。
楕円ツール軸と角度から、任意の楕円の弧長を計算します。
放物線ツール方程式から、任意の放物線の弧長を計算します。
半円ツール半径または直径から、あらゆる半円の弧長を計算します。
扇形の弧半径と角度から円の扇形の弧長を求めます。
中点則中点則による弧長。長方形と誤差チェック付き。
弧長計算機の計算法
上の計算機には7つのモードがあります。それぞれが微積分の標準的な入力形式に対応しています。入力が問題の形に似ているモードを選んでください。
| モード | 必要な入力 | 使用場面 |
|---|---|---|
| 円 | 半径 r、中心角 θ | 円、扇形、車輪、弧 |
| デカルト | 関数 y = f(x)、区間 [a, b] | 関数グラフ |
| 媒介変数 | x(t)、y(t)、区間 [a, b] | 運動経路、ループ、垂直曲線 |
| 極座標 | r(θ)、角度区間 [α, β] | 渦巻、カージオイド、極グラフ |
| 数値 | f(x)、区間、分割数 n | 閉形のない積分 |
| 点列 | (x, y) 座標のリスト | GPS軌跡、サンプルデータ |
| 3D | x(t)、y(t)、z(t)、区間 [a, b] | 空間曲線、らせん |
直交座標の曲線
関数 y = f(x) と、始点・終点の x 値 a、b を入力します。計算機は関数を微分して被積分関数を組み立て、全ステップを表示しながら定積分を数値的に評価します。完全な導出はステップ付き弧長計算機でお試しください。
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
パラメータ表示の曲線
パラメータ区間とともに x(t) と y(t) を入力します。このモードは、時間による運動で記述される経路など、一方の座標が他方の直接の関数にならない場合に適しています。専用ツールはパラメータ表示の弧長計算機をご覧ください。
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
極座標の曲線
角度区間とともに、r を θ の関数として入力します。渦巻線、カージオイドなど、極座標で最も自然に書ける曲線に最適です。独立した極座標の弧長計算機もあります。
\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)
数値積分
f(x)、区間、分割数 n を入力し、シンプソン則か台形則を選びます。このモードは、弧長の積分に初等的な原始関数がない場合や、数値解法を比較したい場合に役立ちます。専用のシンプソン則計算機と台形則計算機が全計算過程を表示します。
座標点
(x, y) 点のリストを貼り付けまたは入力します。計算機は連続する点間の直線距離を合計し、GPS トラックのようなサンプルデータから経路長の近似値を求めます。専用の点列からの弧長ツールもご覧ください。
\( L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_{i})^{2} + (\Delta y_{i})^{2}} \)
3D 曲線
パラメータ区間とともに x(t)、y(t)、z(t) を入力して空間曲線の長さを測ります。例: らせんや3D 軌道。専用の3D 弧長計算機が専用ページで同じ計算を提供します。
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
弧長の公式
以下の弧長の公式はすべて、同じ考えを測っています: 曲線に沿った微小な直線分を足し合わせること。使うべき公式は、曲線がどのように記述されているかで決まります。
円: L = rθ
\( L = r\theta \)
ここで r は半径、θ はラジアン単位の中心角です。弧長の単位は r と同じです: 半径がメートルなら弧長もメートルになります。円は曲率が一定なので、最も単純な場合です。
直交座標: √(1 + (dy/dx)²) の積分
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx \)
x = a から x = b の間で曲線が y = f(x) のときに使います。dy/dx は傾きです。曲線が急なところでは、各 dx がより多くの長さに寄与します。積分区間 a、b は x の値であって、弧上の位置ではありません。
パラメータ表示: √((dx/dt)² + (dy/dt)²) の積分
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
x と y がともにパラメータ t の関数で、t が a から b まで変化するときに使います。ループする曲線や垂直になる曲線など、y を x の関数として書けない場合に対応できます。
極座標: √(r² + (dr/dθ)²) の積分
\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta \)
曲線が r = r(θ)、θ が α から β のときに使います。r² の項が円周方向の回転を、(dr/dθ)² の項が半径方向の変化を表します。
3D: √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) の積分
\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt \)
パラメータ表示の公式を3次元に自然に拡張したものです: 根号の下に z 方向の速度の2乗を加えます。
弧長 L は曲線に沿います。弦の長さ c はまっすぐ横切ります。角度がゼロの極限を除き、弧のほうが常に長くなります。
弧長計算機の使い方
- 01モードを選択: 入力に合うものを選びます。Circle、Cartesian、Parametric、Polar、Numerical、Points、3D。
- 02値を入力。円なら半径と中心角を入力します。曲線なら関数と区間の端点を入力します。
- 03角度の単位を設定(円モード): 計算機上部のトグルで DEG(度)または RAD(ラジアン)を選びます。
- 04結果を読む。弧長がステップバイステップの計算過程とともに表示されます。円モードでは扇形の面積と弦の長さも表示されます。
- 05例を試す: 自分の入力を打つ前に正しい入力形式を確認するため、各モードの「Try Example」ボタンを使ってください。
弧長計算の例
以下の各例は全工程を掲載していますので、すべてのステップを検証できます。
例1: 半径と度から円の弧を求める
条件: 半径 r = 5 cm、中心角 θ = 60°。
公式: L = rθ、ただし θ はラジアン。
\( \theta = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \)
代入: L = 5 × 1.0472。
答え: L ≈ 5.236 cm。
例2: 半径とラジアンから円の弧を求める
条件: 半径 r = 10 m、中心角 θ = 1.5 rad。
公式: L = rθ。
代入: L = 10 × 1.5 = 15。
答え: L = 15 m。角度がすでにラジアンなので変換は不要。
例3: 0 から 1 までの直交座標曲線 y = x²
条件: y = x²、区間 [0, 1]。
公式: L = ∫₀¹ √(1 + (dy/dx)²) dx。
\( \frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx \)
\( L = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\left|2x + \sqrt{1+4x^{2}}\right| \right]_{0}^{1} \)
計算: x = 1 では括弧内は (1/2)√5 + (1/4)ln(2 + √5) ≈ 1.1180 + 0.3609 = 1.4789。x = 0 では 0。
答え: L ≈ 1.4789。
例4: パラメータ表示の四分円
条件: x = 3cos t、y = 3sin t、t は 0 から π/2 まで。
公式: L = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt。
\( \frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t \)
\( \sqrt{9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = \int_{0}^{\pi/2} 3\,dt = \frac{3\pi}{2} \)
答え: L = 3π/2 ≈ 4.7124。これは半径3の円の四分円周の既知の値と一致する。
度とラジアン
度は1周を360等分した単位です。ラジアンは単位円上の弧長で角度を測る単位で、1周は 2π ラジアン(約6.2832)に等しくなります。両者は同じ角度を表します: 180° = π ラジアン、90° = π/2 ラジアン、1 ラジアンは約 57.2958° です。
単位が重要なのは、円の公式 L = rθ が θ がラジアンのときにのみ正しいからです。90度を90ラジアンとして入力すると、弧は約57.3倍も長く出てしまいます。計算機の DEG/RAD トグルが変換を代行しますが、結果を信じる前に、問題がどちらの単位を使っているか必ず確認してください。
よくある弧長の間違い
間違った答えのほとんどは、公式ではなく設定ミスが原因です。結果を信じる前にこのリストを確認してください。
L = rθ に度を使う
円の公式にはラジアンが必要です。π/2 の代わりに 90 を入力すると、答えが約57倍に膨らみます。DEG/RAD トグルを使うか、先に変換してください。
半径の代わりに直径を入力
L = rθ では半径を使います。問題が直径を与えている場合は先に半分にするか、答えが正しい値のちょうど2倍になります。
積分区間の間違い
y = f(x) では積分区間は x の値です。パラメータ表示モードでは t の値、極座標では角度です。これらを混同すると、間違った区間を測ることになります。
曲線の種類に合わない公式
極座標の曲線には r² の項を含む極座標の公式が、パラメータ表示の曲線には両方の微分が必要です。曲線の書き方に合うモードを選んでください。
数値積分の分割数が少なすぎる
シンプソン則も台形則も、n が大きいほど精度が上がります。n を変えた2回の計算が明らかに食い違う場合は、結果が安定するまで n を増やしてください。
近似値を厳密値とみなす
数値積分や点列の合計は近似です。真の長さに収束しますが、円の L = rθ のような厳密な等式ではありません。
弧長の応用
幾何学
円扇形の周長、曲線境界の長さ、建設レイアウトにおける弧に沿った距離を求めます。
工学
プーリー周りのケーブルやベルトの長さ、パイプの曲げ代、曲面部品に必要な材料を見積もります。
物理学
曲線軌道に沿った移動距離を計算し、弧の位置と角運動を関連づけます。
建築
図面から曲面ファサード、アーチ開口部、曲がりくねった歩道の距離を測ります。
ロボティクス
プログラムされた曲線経路に沿ったロボットアーム先端の移動距離を計算し、時間とエネルギー消費を計画します。
微積分学
弧長の積分の立て方と計算を練習します。これは幾何学への積分の代表的な応用です。
コンピュータグラフィックス
等速アニメーションや経路上の等間隔サンプリングのために、曲線を弧長でパラメータ化します。
弧長についてのよくある質問
弧長計算機とは何ですか?
弧長計算機は、2点間の曲線に沿った距離を測ります。曲線の定義(半径と角度、または区間の端点付きの関数など)を入力すると、通常はステップバイステップの計算過程とともに長さを返します。
弧長はどうやって計算しますか?
円の場合、半径にラジアン単位の中心角を掛けます(L = rθ)。他の曲線は対応する積分の公式を使うか、上の計算機に関数を入力して適切なモードを選んでください。
弧長の公式は何ですか?
円の公式は L = rθ です。直交座標の曲線は L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx、パラメータ表示は L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt、極座標は L = ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ、3D では根号の下に z の項が加わります。
半径がなくても弧長は計算できますか?
円では半径(または直径。その場合は半径の2倍)が必要です。一般の曲線では半径は不要です: 直交座標、パラメータ表示、極座標、点列の各モードは関数や座標から計算します。
度とラジアンのどちらを使うべきですか?
L = rθ の公式ではラジアンを使ってください。角度が度単位なら先に変換するか(ラジアン = 度 × π/180)、計算機の DEG/RAD トグルを使ってください。変換は自動で行われます。
弧長と弦の長さの違いは何ですか?
弧長は曲線に沿った長さです。弦の長さは弧の両端を結ぶ直線です。弦は常に短くなります(円では c = 2r·sin(θ/2))。上の公式セクションの比較図をご覧ください。
パラメータ表示の曲線の弧長はどう計算しますか?
パラメータの区間とともに x(t) と y(t) をパラメータ表示モードに入力します。計算機は区間上で ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt を評価し、計算過程を表示します。
3D でも弧長は計算できますか?
はい。3D モードに x(t)、y(t)、z(t) を入力します。公式は z の微分を加えたパラメータ表示の拡張版です: L = ∫√((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt。
答えの単位は何ですか?
結果の長さの単位は入力と同じです。半径がセンチメートルなら、弧長もセンチメートルになります。ラジアンに変換後の角度自体は無次元です。
数値計算の結果が厳密値と少し違うのはなぜですか?
数値解法(シンプソン則、台形則)は積分の近似値です。より正確な結果には分割数 n を増やし、既知の例と照らして設定を確認してください。