中点則弧長計算機

中点則弧長計算機は、弧長積分を長方形に分割し、それぞれの中心でサンプリングすることで曲線の長さを近似します。関数を入力し、区間を選び、部分区間の数を指定すると、近似値、完全な中点表、誤差の見積もり、長方形のライブ図が表示されます。次の手順で正しい答えを得られます。

1. 計算モードを選びます。y = f(x) と書ける曲線には明示関数を使います。たとえば y = x² や y = sin(x) です。x = x(t)、y = y(t) と書ける曲線には媒介変数曲線を使います。たとえばパラメータで描かれる円や楕円です。
2. 関数を入力します。入力欄に関数を入力します。累乗には ^、平方根には平方根関数、標準関数には sin()、cos()、exp()、ln() を使います。計算機は導関数を自動で求めます。すでに導関数が分かっている場合は、自分で入力することもできます。
3. 区間を設定します。下限 a と上限 b を入力します。区間 [a, b] は、長さを求めたい曲線の部分です。b を a より小さく入力しても、計算機は正の長さを返します。弧長が負になることは決してないからです。
4. 部分区間の数 n を選びます。スライダーを使うか、値を直接入力します。プリセットは 1、2、4、5、8、10、20、50、100、500、1,000、5,000 です。n が大きいほど長方形は細くなり、近似はふつうより正確になります。まず n = 4 で計算の流れを確認し、次に n を大きくして答えが落ち着くのを見てください。
5. 表示精度を選びます。小数点以下 2、4、6、8、10 桁から選びます。計算機は内部では完全な精度を保ち、表示される結果だけを丸めるので、精度を変えても計算そのものは変わりません。
6. 「弧長を計算」をクリックします。主な結果は中点近似値 L_n で、近似値であることがはっきり示されます。その下には、部分区間の幅、最初と最後の中点、最初と最後の被積分関数の値、被積分関数の値の合計、端点間の弦の長さ、高精度の基準長、推定絶対誤差と相対誤差が表示されます。
7. 図を調べます。最初の図は元の曲線を示し、選んだ弧が強調され、中点のサンプル点が示されています。2 番目の図は弧長被積分関数を示し、その下に中点長方形が描かれています。これらの長方形の面積の合計が近似値です。したがって 2 つの図を混同してはいけません。長方形は被積分関数の下にあり、元の曲線の下にあるのではありません。
8. 計算表を読みます。すべての部分区間に、境界、中点、中点での導関数、被積分関数の値、長方形の寄与を示す行があります。最後の行は合計を示し、それが主な結果と等しくなります。
9. 収束を比較し、リチャードソン外挿を試します。収束パネルには n、2n、4n の近似値が並んで表示され、それらの差も示されます。リチャードソン外挿では、2 つの近似値を組み合わせてより正確な推定値を得ます。どちらも下のガイドで説明します。
10. コピー、書き出し、リセットができます。「結果をコピー」で答えをコピーし、表を CSV として書き出して計算に使ったり、「リセット」でパネルを消去したりできます。プリセットボタンを使えば、検証済みの例をすぐに読み込めます。放物線、直線、水平線、四分円、三次曲線、正弦曲線です。

例を試してみましょう。[0, 2] 上の y = x² を n = 4 で計算すると、L₄ = 4.6267234873 単位となり、基準値は 4.6467837624 単位です。[0, 4] 上の y = 3x + 1 を n = 4 で計算すると、ちょうど 12.6491106407 単位になります。[1, 5] 上の y = 2 を n = 4 で計算すると、ちょうど 4.0000000000 単位になります。半径 5 の四分円は 7.8539816340 単位です。[0, 1] 上の y = x³ を n = 4 で計算すると 1.5330289642 単位、[0, π] 上の y = sin(x) を n = 8 で計算すると 3.8201978627 単位になります。

大切な注意点。まず関数を微分してください。被積分関数は f'(x) を使い、f(x) ではありません。端点ではなく中点でサンプリングしてください。そうしなければ別の則の計算になります。三角関数では角度の単位をラジアンにしてください。計算の途中で中点や被積分関数の値を丸めないでください。小さな丸めが多くの長方形にわたって積み重なるからです。関数が中点で定義されていない場合、計算機はサンプルを黙って飛ばすのではなく、エラーを報告します。

数値積分は、正確な原始関数を見つけるのが難しい場合や、サンプル値だけが手元にある場合に、定積分を推定する技術です。中点則は、最も単純で信頼できる数値積分法の一つです。曲線の下の面積を長方形で覆い、その面積を合計することで推定します。

リーマン和では、区間 [a, b] を幅 Δx = (b - a) / n の n 個の等しい部分区間に分け、各部分区間に 1 つの長方形を作ります。各長方形の高さは、その部分区間内の 1 つのサンプル点における関数の値です。左端点和は左端で、右端点和は右端でサンプリングし、中点則は各部分区間の中心でサンプリングします。

中心でサンプリングすることが重要な考え方です。短い部分区間では、曲線が中点の片側で上がれば、反対側では同じくらい下がるので、片側での過大評価がもう片側での過小評価とほぼ打ち消し合います。この打ち消しがあるからこそ、中点則は同じ数の長方形を使う左端点則や右端点則より正確であり、誤差は部分区間の幅の 2 乗で小さくなります。

[a, b] 上の関数 g(x) に対する合成中点則は次のとおりです。

ここで x_i* は i 番目の部分区間の中点であり、和は n 個すべての部分区間にわたります。各項 Δx × g(x_i*) は 1 つの長方形の面積であり、すべての長方形の面積の合計が積分の近似値です。

中点則は微積分の宿題をはるかに超えて使われています。技術者は応力解析や信号処理で積分を推定するために使い、物理学者は数値シミュレーションで使い、コンピュータグラフィックスでは曲線の長さや表面積の測定に使います。単純さと 2 次の精度を兼ね備えているため、きれいな閉形式がない積分では、まず選ばれる標準的な方法です。

中点が端点より優れている理由。[0, 1] 上の g(x) = x を n = 1 で考えます。左端点和は 0、右端点和は 1、中点和は 0.5 となり、これが正確な答えです。中点は部分区間全体にわたる関数の平均的な動きを見るのに対し、端点は片側しか見ません。この利点はあらゆる滑らかな関数に当てはまり、中点則がほとんどの数値計算で既定のリーマン和である理由です。

弧長は、端点間の直線距離ではなく、曲線に沿って測った距離です。丘を縫って進む道路は、地図上で両端を結んだ直線より長くなります。曲がった針金は、またぐすき間より長くなります。弧長は、その曲がった道のりそのものを測ります。

その長さを求めるには、曲線をたくさんの小さな断片に切ることを想像してください。各断片はとても短いので、ほとんど直線であり、その長さは両端を結ぶ直線に近くなります。ピタゴラスの定理により、横に Δx、縦に Δy だけ動く小さな断片の長さは √(Δx² + Δy²) に近くなります。すべての小さな断片を合計すれば全体の長さが得られ、断片をゼロに近づけると、その合計は積分になります。

曲線 y = f(x) では、小さな横の変化 dx に対して縦の変化は dy = f'(x) dx となるので、小さな長さの要素は次のようになります。

a から b までの長さの要素をすべて合計すると、弧長積分が得られます。

この公式が、導関数が関わる理由を説明しています。急な曲線は高さが速く変わるので f'(x) が大きく、被積分関数 √(1 + [f'(x)]²) も大きくなり、横方向 1 単位あたりの曲線の長さは 1 単位を超えます。平らな曲線では f'(x) がゼロに近く、被積分関数は 1 に近く、弧長は横方向の距離 b - a に近くなります。

弧長は常に弦以上です。端点間の直線は、その 2 点間の最短経路なので、曲線がそれより短くなることはありません。[0, 2] 上の放物線 y = x² では、(0, 0) から (2, 4) までの弦は √(20) = 4.4721359550 単位ですが、真の弧長は 4.6467837624 単位で、0.1746478074 単位だけ長くなります。[0, π] 上の正弦曲線 y = sin(x) では、弦は π = 3.1415926536 単位で、弧は 3.8201977890 単位となり、0.6786051354 単位だけ長くなります。弧が弦より長いことを確認するのは、あらゆる弧長の答えに対する手軽な検算です。

ほとんどの弧長積分には初等的な原始関数がありません。放物線の積分 ∫ √(1 + 4x²) dx は置換で解けますが、正弦の積分 ∫ √(1 + cos²x) dx は初等関数ではまったく表せません。まさにここで中点則が役立ちます。原始関数を必要とせず、積分を数値的に推定するからです。

中点則による弧長の計算は、正確な弧長積分から始まり、その積分を長方形の面積の合計に置き換えます。まず弧長被積分関数を定義します。

すると正確な弧長は L = ∫_a^b g(x) dx であり、中点則はこの積分を近似します。[a, b] を n 個の等しい部分区間に分けます。部分区間の幅は次のとおりです。

i を 0 から数えたとき、i 番目の部分区間の中点は次のとおりです。

各中点で被積分関数を評価し、各値に Δx を掛けて、結果を合計します。

各記号の意味は次のとおりです。

具体的な確認。[0, 2] 上の y = x² を n = 4 で計算すると、幅は Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5、中点は 0.25、0.75、1.25、1.75、被積分関数の値は 1.1180339887、1.8027756377、2.6925824036、3.6400549446 です。その合計は 9.2534469747 で、0.5 を掛けると L₄ = 4.6267234873 単位になります。この流れのすべての数は、計算機のステップごとのパネルと計算表に表示されます。

媒介変数曲線 x = x(t)、y = y(t) では、パラメータ区間 [t₁, t₂] に対して同じ考え方が当てはまります。速度 v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) が被積分関数の役割を果たします。媒介変数の公式は下の専用の節で扱います。

中点則の計算は 10 の手順からなり、計算機がすべて自動で行います。一度手で通してみると、このツールをずっと信頼して使いやすくなります。下の計算例では、計算機の最初のプリセットと同じ [0, 2] 上の y = x² を n = 4 で使います。

1. 関数を確認します。f(x) = x² です。
2. 1 次導関数を求めます。f'(x) = 2x です。
3. 積分の区間を確認します。a = 0、b = 2 です。
4. 部分区間の数を選びます。n = 4 です。
5. 部分区間の幅を計算します。Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5 です。
6. 各部分区間の中点を求めます。x₀* = 0.25、x₁* = 0.75、x₂* = 1.25、x₃* = 1.75 です。各中点は、その部分区間の境界のちょうど真ん中にあります。0.25 は 0 と 0.5 の真ん中、0.75 は 0.5 と 1 の真ん中、といった具合です。
7. 各中点で弧長被積分関数を評価します。g(x) = √(1 + 4x²) なので、g(0.25) = 1.1180339887、g(0.75) = 1.8027756377、g(1.25) = 2.6925824036、g(1.75) = 3.6400549446 です。
8. 各値に部分区間の幅を掛けます。4 つの長方形の寄与は、0.5 × 1.1180339887 = 0.5590169944、0.5 × 1.8027756377 = 0.9013878189、0.5 × 2.6925824036 = 1.3462912018、0.5 × 3.6400549446 = 1.8200274723 です。
9. すべての寄与を合計します。0.5590169944 + 0.9013878189 + 1.3462912018 + 1.8200274723 = 4.6267234873 です。
10. 近似弧長を解釈します。L₄ = 4.6267234873 単位です。高精度の基準値は 4.6467837624 単位なので、この近似値は 0.0200602751 単位だけ短く、相対誤差は 0.4317% です。

同じ 10 の手順はあらゆる関数に使えます。[0, 1] 上の y = x³ を n = 4 で計算すると、導関数は f'(x) = 3x²、幅は Δx = 0.25、中点は 0.125、0.375、0.625、0.875、被積分関数の値は 1.0010980300、1.0853471867、1.5405489332、2.5051217067、その合計は 6.1321158566 で、0.25 を掛けると L₄ = 1.5330289642 単位となり、基準値は 1.5478656547 単位です。

三角関数を使った 2 つ目の計算例。[0, π] 上の y = sin(x) を n = 8 で計算すると、導関数は f'(x) = cos(x)、幅は Δx = π / 8 = 0.3926990817、8 つの中点は π/16、3π/16、5π/16、7π/16、9π/16、11π/16、13π/16、15π/16 です。被積分関数の値は順に 1.4006926023、1.3005159423、1.1439660326、1.0188524102、1.0188524102、1.1439660326、1.3005159423、1.4006926023 です。その合計は 9.7280539749 で、0.3926990817 を掛けると L₈ = 3.8201978627 単位となり、基準値は 3.8201977890 単位で、絶対誤差はわずか 0.0000000736 単位です。

各中点長方形は、積分の 1 つの断片を素直に表した小さな図です。3 つの部分があり、それぞれにはっきりした意味があります。

[0, 2] 上の放物線 y = x² を n = 4 で計算すると、4 つの長方形の幅はすべて 0.5 です。高さは 1.1180339887、1.8027756377、2.6925824036、3.6400549446、面積は 0.5590169944、0.9013878189、1.3462912018、1.8200274723 です。面積の合計は 4.6267234873 単位で、これはちょうど中点近似値 L₄ です。

面積の合計が積分を近似する理由。積分 ∫_a^b g(x) dx は、被積分関数の曲線の下の正確な面積です。各長方形は、1 つの部分区間の上にある曲がった帯を、同じ幅の平らな帯に置き換え、中点の高さを代表の高さとして使います。被積分関数が上に曲がっているところでは、平らな上辺が片側で少し面積を切り取り、もう片側で少し面積を加えます。サンプルが中心で取られているため、この 2 つの誤差はほぼ打ち消し合い、長方形の面積は真の帯の面積に近くなります。長方形を合計すれば全体の面積の推定値が得られ、したがって弧長の推定値も得られます。

最も多い図の間違い。長方形は、被積分関数 g(x) = √(1 + [f'(x)]²) の曲線の下に描かなければならず、元の曲線 f(x) の下ではありません。元の曲線と被積分関数は高さの異なる別のグラフです。[0, 2] 上の y = x² では、元の曲線は 0 から 4 まで進みますが、被積分関数は 1 から √(17) = 4.1231056256 まで進みます。元の曲線の下に長方形を描けば、その合計は f(x) の下の面積となり、弧長とは関係ありません。計算機は 2 つのグラフを分けて示し、上のガイド図も長方形を被積分関数の下にだけ示しています。

長方形の読み方。計算機で長方形にカーソルを合わせるか選択すると、その部分区間の番号、左右の境界、中点、中点での導関数、被積分関数の値、長方形の寄与が表示されます。その詳しさがあるからこそ、表は宿題に役立ちます。最終的な答えのすべての数を、1 つの長方形までさかのぼれるからです。

部分区間の数 n は計算機で最も重要な設定です。長方形の細かさを決めるからです。n が小さいと、幅の広い長方形が少しだけになります。n が大きいと、被積分関数の曲線に密に沿う、細い長方形がたくさんできます。

n が小さいときに何が起こるか。n = 1 では、区間全体が 1 つの長方形になり、答えは Δx × g(中点) です。[0, 2] 上の放物線 y = x² では、n = 1 で 2 × √(5) = 4.4721359550 単位となり、真の 4.6467837624 単位より 0.1746478074 単位だけ短くなります。1 つの長方形では、被積分関数が 1 から 4.1231056256 まで上がる様子を追えないので、誤差が大きくなります。n = 2 では答えは 4.5764912225 単位に改善します。n = 4 では 4.6267234873 単位、n = 8 では 4.6417306581 単位、n = 16 では 4.6455205322 単位、n = 32 では 4.6464679593 単位です。

誤差が小さくなる仕組み。滑らかな被積分関数では、中点則の誤差は 1 / n² に比例します。n を 2 倍にすると誤差はおよそ 4 分の 1 になります。放物線の数値がこれをはっきり示しています。誤差は n = 4 の 0.0200602751 単位から n = 8 の 0.0050531044 単位へ、次に n = 16 の 0.0012632302 単位へ、次に n = 32 の 0.0003158031 単位へと落ちます。2 倍にするたびに誤差は約 4 で割られます。この 1 / n² の動きは 2 次収束と呼ばれ、中点則がとても効果的である理由です。n を少し増やすだけで、精度は大きく改善します。

改善が常に単調とは限らない理由。誤差は n が大きくなるにつれてふつう小さくなりますが、すべての関数で、すべての段階で小さくなるとは限りません。正弦曲線はその穏やかな例です。n = 2 では 3.8476494905 単位となり、基準値 3.8201977890 単位を上回りますが、n = 4 では 3.8204517876 単位となり、ずっと近くなります。近似値は真の値の上側から、真の値のすぐ上側へと横切りましたが、誤差は全体として小さくなりました。急な曲がり、振動、特異点に近い部分がある関数では、n を変えると誤差が上下することがあります。長期的な傾向は下向きでもです。n を大きくすれば 1 回の段階で必ず答えが良くなると決めつけず、収束表を確認してください。

n を大きくする代償。部分区間が多いほど計算量が増えます。導関数の評価、被積分関数の値、表の行が増えます。n = 5,000 では計算機は 5,000 回の評価を行います。コンピュータには速い計算ですが、表は長すぎて 1 行ずつ読めなくなるので、計算機はページ分けします。実用的な目安は、必要な精度で答えが変化しなくなるまで n を上げることです。n = 100 と n = 200 が小数点以下 6 桁まで一致すれば、n = 100 で十分であり、n = 5,000 は手間を増やすだけです。

実際に n を選ぶには。学習中は n = 4 か n = 8 を使います。表が短く、手で確認できるからです。宿題の答えに小数点以下 4 桁か 5 桁の正確さが必要な場合は n = 50 か n = 100 を使います。とても高い精度が必要な場合や、被積分関数が区間内で速く変化する場合にだけ、n = 1,000 以上を使います。収束パネルには n、2n、4n が一緒に表示されるので、推測せずに答えが落ち着くのを確認できます。

中点則は 3 つの代表的な数値積分法の一つであり、それぞれが被積分関数を異なる方法でサンプリングします。その違いを知ることで、適切な道具を選べ、答えが異なる理由も理解できます。

中点則。各部分区間の中心でサンプリングし、長方形を作ります。誤差は O(1 / n²) で、台形則と同じ次数ですが、同じ n では中点則のほうが台形則よりふつう約 2 倍正確です。中心のサンプルが主要な誤差を打ち消すからです。必要な評価は部分区間ごとに 1 回で n 回だけであり、任意の正の n で使えます。

台形則。端点でサンプリングし、直線で結んで台形を作ります。誤差の次数は中点則と同じ O(1 / n²) ですが、誤差の符号はふつう反対になります。下に凸の被積分関数では、台形則が過大評価する一方で中点則は過小評価する、あるいはその逆になります。この 2 つを平均すると台形則と中点則の組み合わせになり、それがシンプソン則の基礎です。同じ関数で 2 つの方法を比べるには、台形則計算機を試してください。

シンプソン則。2 つの部分区間の両端点と中点に放物線を当てはめるので、部分区間の数は偶数でなければなりません。誤差は O(1 / n⁴) なので、滑らかな関数では他の 2 つよりはるかに速く収束します。その代わり、偶数 n の制限があり、部分区間あたりの評価回数が多くなります。少ない部分区間で高い精度が必要な場合は、シンプソン則計算機を試してください。

数値の比較。[0, 2] 上の放物線 y = x² を n = 4 で計算すると、中点則は 4.6267234873 単位、台形則は 4.6870560064 単位、シンプソン則は 4.6502010785 単位となり、基準値は 4.6467837624 単位です。中点則の誤差は 0.0200602751 単位、台形則の誤差は 0.0402722440 単位、シンプソン則の誤差は 0.0034173160 単位です。滑らかな関数ではシンプソン則がここでも勝ちますが、中点則は単純で、偶数 n の制限がなく、中点のサンプルだけが手元にある場合の自然な選択です。

どの則を使うべきか。単純で信頼できる推定がほしい場合、等間隔の内点で関数をサンプリングしている場合、リーマン和を教える場合には中点則を使います。各区間の端で測った値が自然なデータである場合には台形則を使います。関数が滑らかで、小さい n で高い精度が必要な場合にはシンプソン則を使います。弧長については、中点則に実用的な利点があります。被積分関数を端点で評価しないので、関数が端点で定義できない、または特異になる曲線でも扱えるからです。他の 2 つの則では計算を始められません。

すべての中点近似値は真の弧長と多少異なります。その誤差を理解することが、数を信頼できる答えに変えます。誤差の話し方には 3 つの異なる方法があり、混同してはいけません。

絶対誤差。絶対誤差は、近似値と真の値の差の大きさです。|L - L_n| です。n = 4 の放物線では、絶対誤差は |4.6467837624 - 4.6267234873| = 0.0200602751 単位です。n = 8 の正弦曲線では、|3.8201977890 - 3.8201978627| = 0.0000000736 単位です。絶対誤差は、長さそのものと同じ単位で測ります。

相対誤差。相対誤差は、絶対誤差を真の値の大きさで割り、ふつう百分率で表します。|L - L_n| / |L| × 100 です。n = 4 の放物線では、相対誤差は 0.4317% です。n = 4 の三次曲線では 0.9585% です。n = 8 の正弦曲線では 0.00000193% です。相対誤差は、大きさの異なる問題どうしで精度を公平に比べる方法です。0.02 単位の誤差は、長さ 100 単位の問題では小さく、長さ 0.1 単位の問題では大きな意味を持ちます。

細分化に基づく誤差の目安。実際の作業では真の値は不明なので、絶対誤差を直接計算できません。その代わりに 2 つの近似値を比べます。差 |M_2n - M_n| は、分割を細かくしたときに答えがどれだけ動いたかを示します。放物線では、|M₈ - M₄| = |4.6417306581 - 4.6267234873| = 0.0150071707 単位です。この差は実用的な警告です。差が大きければ、答えはまだ動いており、n を上げるべきです。これは目安であり、保証された上限ではありません。真の誤差は細分化の差より大きいことも小さいこともあり、中点則ではふつうその約 3 分の 1 です。2 倍にするたびに誤差は 4 分の 1 になるからです。

理論的な誤差の上限。十分に滑らかな被積分関数 g(x) では、合成中点則の誤差は次を満たします。

この上限には、区間上での被積分関数の 2 次導関数の最大値が必要であり、正確に求めるのはしばしば困難です。放物線の被積分関数 g(x) = √(1 + 4x²) では、2 次導関数は g''(x) = 4 / (1 + 4x²)^3/2 であり、[0, 2] での最大値は x = 0 における 4 です。したがって n = 4 の上限は (8 / (24 × 16)) × 4 = 0.0833333333 単位であり、実際の誤差 0.0200602751 単位はその内側に十分収まります。n = 8 の上限は 0.0208333333 単位です。この上限は正直ですが緩く、ここでは実際の誤差を 4 倍ほど過大に見積もっており、これはよくあることです。

上限が当てはまらない場合。誤差の上限は、被積分関数が滑らかで、2 次導関数に上限があることを前提にします。角、跳び、特異点がある関数はこの前提を壊し、上限は存在しないか、役に立たないほど大きくなります。計算機は、確かめられない上限をでっち上げません。その場合は細分化の差を示し、その限界を説明します。それが正直な答えです。

滑らかさが重要な理由。1 / n² の誤差の動きは、被積分関数が十分に滑らかで、中点での打ち消しが働くことに依存します。√(1 + 4x²) のような滑らかな被積分関数はきれいに収束します。急な角がある被積分関数は収束が遅くなり、特異点がある被積分関数は収束がとても遅いか、まったく収束しないこともあります。n を 2 倍にしても答えがほとんど変わらなければ、関数は滑らかで、すでに十分正確かもしれません。n を 2 倍にして答えが大きく変われば、関数が粗いか、n がまだ小さすぎます。

リチャードソン外挿は、2 つの中点近似値から、はるかに優れた 1 つの推定値を得る単純な工夫です。中点則の誤差の既知のパターンを使って、主要な誤差項を打ち消します。

滑らかな被積分関数では、n 個の部分区間を使った中点近似値の誤差は C / n² のように動き、ここで C は関数によって決まる定数で、n には依存しません。部分区間を 2n に増やすと、誤差は 4 分の 1 になります。これにより、真の値 L と定数 C を未知数とする 2 つの方程式が得られます。

L について解くと C が消え、リチャードソン外挿の推定値が残ります。

計算例。[0, 2] 上の放物線 y = x² では、M₄ = 4.6267234873 単位、M₈ = 4.6417306581 単位です。リチャードソン推定値は L_R = (4 × 4.6417306581 - 4.6267234873) / 3 = 4.6467330483 単位です。真の値は 4.6467837624 単位なので、外挿の誤差はわずか 0.0000507141 単位であり、元の M₄ の誤差 0.0200602751 単位よりはるかに小さくなります。外挿は、n = 4 と n = 8 の計算だけを使って、はるかに大きい n の精度を手に入れました。

正弦曲線の計算例。[0, π] 上の y = sin(x) では、M₈ = 3.8201978627 単位、M₁₆ = 3.8201977890 単位です。リチャードソン推定値は L_R = (4 × 3.8201977890 - 3.8201978627) / 3 = 3.8201977645 単位となり、基準値 3.8201977890 単位に対する誤差はわずか 0.0000000245 単位です。

三次曲線の計算例。[0, 1] 上の y = x³ では、M₄ = 1.5330289642 単位、M₈ = 1.5441590533 単位です。リチャードソン推定値は L_R = (4 × 1.5441590533 - 1.5330289642) / 3 = 1.5478690830 単位となり、基準値 1.5478656547 単位に対する誤差は 0.0000034283 単位です。元の M₄ の誤差は 0.0148366905 単位だったので、外挿により誤差は約 4327.7 分の 1 になりました。

リチャードソン外挿ではないもの。外挿値は精密化した推定値であり、中点則の結果でも、保証された正確な答えでもありません。誤差が本当に C / n² のように動くことを前提にしており、これは滑らかな被積分関数では成り立ちますが、粗い関数では成り立ちません。被積分関数に角や特異点があれば、外挿は元の近似より悪くなることがあるので、計算機は常に元の中点結果を先に示し、外挿値を別に表示します。リチャードソン外挿は、同じ工夫をいくつもの段階で繰り返してとても高い精度に到達するロンバーグ積分の考え方でもあります。

曲線の中には y = f(x) と書けないものがあります。たとえば円は、ほとんどの x に対して 2 つの y の値を与えるので、1 つの関数では表せません。媒介変数曲線は、両方の座標をパラメータ t の関数として表すことでこれを解決します。x = x(t)、y = y(t) です。t が t₁ から t₂ まで進むにつれて、点 (x(t), y(t)) が曲線を描きます。

媒介変数曲線では、小さな長さの要素は両方の座標の動きから得られます。ds = √(dx² + dy²) です。dx = x'(t) dt、dy = y'(t) dt と書くと、媒介変数の弧長積分が得られます。

平方根の中身は速度 v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) であり、t が変化するときに点が曲線に沿って動く速さです。中点則は、x の区間とまったく同じようにパラメータ区間に当てはまります。[t₁, t₂] を幅 Δt = (t₂ - t₁) / n の n 個の等しい区間に分け、中点パラメータ t_i* = t₁ + (i + ½)Δt で速度をサンプリングし、寄与を合計します。

計算例: 四分円。[0, π/2] 上の x(t) = 5 cos(t)、y(t) = 5 sin(t) を n = 4 で考えます。導関数は x'(t) = -5 sin(t)、y'(t) = 5 cos(t) です。速度は v(t) = √(25 sin²(t) + 25 cos²(t)) = √(25) = 5 で定数です。sin²(t) + cos²(t) = 1 だからです。パラメータの幅は Δt = (π/2 - 0) / 4 = π/8 = 0.3926990817、中点パラメータは π/16、3π/16、5π/16、7π/16 です。すべての速度の値は 5 なので、すべての寄与は 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085 であり、合計は 4 × 1.9634954085 = 7.8539816340 単位となり、これはちょうど 5π/2 です。速度が定数なので、ここでは中点則は任意の n で正確です。

媒介変数の形が重要な理由。現実の曲線の多くは自然に媒介変数で表されます。円、楕円、渦巻き、デザインソフトのベジェ曲線、物理学やロボット工学における動く物体の軌跡です。明示形 y = f(x) では、自分自身に折り返す曲線を表せませんが、媒介変数の形なら表せます。計算機は両方の形を、同じ中点エンジン、同じ表、同じ収束分析で扱います。媒介変数曲線について詳しくは、媒介変数弧長計算機をご覧ください。

パラメータについての注意。速度が 1 でない限り、パラメータ t は弧長と同じではありません。t の等しい歩幅は、速度が定数のときにだけ、曲線に沿った等しい歩幅になります。一般の媒介変数曲線でも、速度を積分するので中点則は正しく働きますが、長方形は曲線に沿った距離ではなく、t において等しくなります。それで問題ありません。公式が v(t) を通じてそれを考慮しているからです。

中点則は、積分を数値的に推定しなければならないあらゆる場面で役立ち、弧長はその仕事の一つにすぎません。単純さ、2 次の精度、端点の問題に対する強さにより、多くの分野で頼りにされています。

数値微積分と教育。中点則は、学生が最初に出会う数値積分法であることが多くあります。長方形は描きやすく、中点の考え方も理解しやすいからです。リーマン和、収束、誤差分析をひとまとめに教えます。この計算機の表と図は、まさにその目的のために作られています。答えのすべての数を 1 つの長方形までさかのぼれるからです。

工学。技術者は、曲がった部品、ケーブル、配管、道路の曲がりの長さを数理モデルから推定します。曲線が多項式や三角関数の場合、弧長積分に閉形式がないことが多いので、数値解法が唯一の選択肢となります。中点則は、明確な誤差の見積もりとともに速い答えを与え、n を上げれば設計に必要なだけ精密になります。

物理学。物理学者は、経路に沿って積分し、仕事、移動距離、場の量を計算します。曲がった軌跡に沿って動く粒子が進む距離は、その軌道の弧長に等しく、中点則は速度データからその距離を推定します。同じ方法で、熱力学、光学、量子力学における積分も推定します。解析的な原始関数が手に届かないあらゆる場所で使われます。

コンピュータグラフィックスと CAD。画面上の曲線は、たくさんの短い直線の断片として描かれ、曲線の全長はそれらの断片を合計することで推定されます。これは数値積分の一種です。フォントのアウトライン、アニメーションの軌跡、CAD の工具経路はすべて、正確な曲線長の測定に依存しています。中点則は、絵からの推測ではなく、筋の通った方法でそれらの長さを測ります。

曲線の測定とロボット工学。円弧に沿ってグリッパーを動かすロボットアーム、曲がった縁を切る CNC 機械、曲がった境界を測る測量士は皆、方程式やサンプル点からのみ知られる曲線の長さを必要とします。中点則はそれらのサンプルを長さに変え、答えをどこまで信頼できるかを示す誤差の見積もりも付けます。

科学モデリングと計算幾何学。生物学、金融、気候科学のモデルは、離散的な点でのみ知られる関数を積分します。データが区間の中心で取られたサンプルである場合に中点則は自然な選択であり、センサーの読み取りやシミュレーションの出力ではよくあります。計算幾何学では、曲がった図形の周囲やスプライン曲線の長さを測ります。

使うべきでない場合。中点則は、区間内に特異点がある被積分関数、関数が不連続な場合、少ない評価回数でとても高い精度が必要な場合には適していません。シンプソン則や適応型の方法のほうが優れています。積分そのものが問題でない場合、たとえば閉形式の弧長がすでに知られている場合にも間違った道具です。半径 5 の円の四分円の弧はちょうど 5π/2 = 7.8539816340 単位であり、数値解法でそれを改善することはできません。

間違った中点の答えのほとんどは、短いリストの誤りから生まれます。それぞれを確認するのは数秒で済み、ほとんどの間違いを防げます。

1. 中点の代わりに端点を使う。各部分区間の左端や右端でサンプリングすると、左リーマン和や右リーマン和の計算になり、中点則ではありません。[0, 2] 上の放物線 y = x² を n = 4 で計算すると、左和は 3.75 単位、右和は 5.75 単位ですが、中点則は 4.6267234873 単位です。中点の値だけが中点則の答えです。
2. 関数を微分し忘れる。被積分関数は g(x) = √(1 + [f'(x)]²) であり、√(1 + [f(x)]²) ではありません。y = x² で f(x) を f'(x) の代わりに使うと、√(1 + x⁴) の積分となり、まったく別の数になります。必ず先に微分してください。
3. 間違った弧長被積分関数を使う。被積分関数は √(1 + [f'(x)]²) でなければなりません。1 を落とす、2 乗を忘れる、間違った量の平方根を取る、どれも間違った答えになります。傾き 3 の直線では、被積分関数は定数 √(10) = 3.1622776602 であり、3 でも √(1 + 3) でもありません。
4. 区間を間違って分ける。幅は Δx = (b - a) / n であり、分子は区間全体の長さです。n + 1 で割る、あるいは (b - a) / n の代わりに b / n を使うと、すべての中点がずれ、答えが壊れます。[0, 2] を n = 4 で分けると幅は 0.5 であり、0.4 でも 0.6666666667 でもありません。
5. 中点の数を間違える。中点はちょうど n 個あり、部分区間ごとに 1 つです。n + 1 個ではありません。端点は中点ではありません。n + 1 個のサンプル点を数えるということは、1 つの部分区間を 2 回数えたか、端点を誤ってサンプリングしたということです。
6. 元の曲線と被積分関数のグラフを混同する。中点長方形は被積分関数 g(x) の下にあり、元の曲線 f(x) の下ではありません。f(x) の下に描いて面積を合計すれば、f(x) の下の面積が得られますが、それは弧長ではありません。2 つのグラフは異なる曲線であり、別々に示さなければなりません。
7. 途中の値を丸める。合計する前に中点、導関数の値、被積分関数の値を丸めると、小さな誤差が多くの長方形にわたって積み重なります。計算の最後まで完全な精度を保ち、表示される最終結果だけを丸めてください。計算機はこれを自動で行います。
8. すべての近似値を正確だと思う。中点則は、直線や定速の媒介変数曲線のような特別な場合を除き、近似値を与えます。真の値ではありません。放物線では、L₄ = 4.6267234873 単位は真の 4.6467837624 単位に近いですが、等しくはありません。結果は常に近似値として報告し、誤差の見積もりも一緒に示してください。
9. 推定誤差と保証された誤差の上限を混同する。細分化の差 |M_2n - M_n| は、答えがまだどれだけ動いているかを示す目安であり、真の誤差がその差より小さいという保証ではありません。理論的な上限 ((b - a)³ / (24n²)) × max|g''(x)| は保証ですが、2 次導関数の最大値が分かり、被積分関数が滑らかな場合に限ります。
10. 関数の定義域の制限を無視する。√(x) のような関数は負の x では定義されず、ln(x) は x ≤ 0 では定義されません。中点が定義域の外に落ちれば、被積分関数の値は存在せず、近似値は意味を持ちません。計算機はその場合、値をでっち上げるのではなくエラーを報告します。
11. 間違った媒介変数の導関数を使う。媒介変数曲線では、x'(t) と y'(t) の両方の導関数が必要であり、速度は √([x'(t)]² + [y'(t)]²) です。片方だけを使う、あるいは間違った変数で微分すると、間違った速度と間違った長さになります。四分円では、x'(t) = -5 sin(t)、y'(t) = 5 cos(t) であり、定数 5 の速度を得るには両方が必要です。
12. 滑らかでない関数や特異な関数を、標準的な誤差の前提が自動的に当てはまるかのように扱う。1 / n² の誤差の動きと理論的な上限は、滑らかな被積分関数を前提にします。区間内に角、跳び、特異点がある関数は、収束がはるかに遅くなることがあり、リチャードソン外挿が失敗することもあります。収束表を確認してください。n を 2 倍にしても変化がおよそ 4 分の 1 にならなければ、その関数には標準の前提が当てはまりません。

これらのほとんどを捕らえる最後の確認。結果を弦の長さと基準値と照らしてください。近似値は少なくとも弦と同じ長さでなければならず、n が大きくなるにつれて基準値に近づかなければならず、表の行の合計は主な結果と等しくなければならず、直線や定速の曲線では正確な値と等しくなければなりません。これらの確認のいずれかが失敗すれば、上の 12 の間違いのいずれかが原因です。

この 6 つの例は、計算機の主なモードと関数の種類を網羅しています。それぞれは、このツールを動かすのと同じ中点エンジンで計算され、各結果は高精度の適応型シンプソン基準値と独立に照合して検証されています。

例 1: 放物線、[0, 2] 上の y = x²、n = 4。導関数は f'(x) = 2x、幅は Δx = 0.5、中点は 0.25、0.75、1.25、1.75 です。被積分関数の値は 1.1180339887、1.8027756377、2.6925824036、3.6400549446、その合計は 9.2534469747 で、L₄ = 0.5 × 9.2534469747 = 4.6267234873 単位です。基準値は 4.6467837624 単位なので、絶対誤差は 0.0200602751 単位、相対誤差は 0.4317% です。n = 8 に 2 倍にすると 4.6417306581 単位となり、2 つからのリチャードソン推定値は 4.6467330483 単位です。

例 2: 直線、[0, 4] 上の y = 3x + 1、n = 4。導関数は f'(x) = 3 なので、被積分関数は定数 g(x) = √(10) = 3.1622776602 です。幅は Δx = 1、中点は 0.5、1.5、2.5、3.5 で、すべての被積分関数の値は 3.1622776602 です。合計は 4 × 3.1622776602 = 12.6491106407 で、L₄ = 1 × 12.6491106407 = 12.6491106407 単位となり、これはちょうど 4√(10) です。被積分関数が定数で、すべての長方形の高さが正しいので、ここでは中点則は任意の n で正確です。

例 3: 水平線、[1, 5] 上の y = 2、n = 4。導関数は f'(x) = 0 なので、被積分関数は定数 g(x) = √(1 + 0) = 1 です。幅は Δx = 1、中点は 1.5、2.5、3.5、4.5 で、すべての寄与は 1 × 1 = 1 です。合計は L₄ = 4.0000000000 単位となり、これはちょうど水平距離 5 - 1 = 4 です。水平線には縦の変化がないので、その弧長は単に区間の長さです。

例 4: 媒介変数の四分円、[0, π/2] 上の x(t) = 5 cos(t)、y(t) = 5 sin(t)、n = 4。導関数は x'(t) = -5 sin(t)、y'(t) = 5 cos(t) で、速度は定数 v(t) = 5 です。パラメータの幅は Δt = π/8 = 0.3926990817、中点パラメータは π/16、3π/16、5π/16、7π/16 で、すべての寄与は 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085 です。合計は L₄ = 7.8539816340 単位で、ちょうど 5π/2 です。完全な円は 10π = 31.4159265359 単位、半円は 5π = 15.7079632679 単位です。

例 5: 三次曲線、[0, 1] 上の y = x³、n = 4。導関数は f'(x) = 3x²、幅は Δx = 0.25、中点は 0.125、0.375、0.625、0.875 です。被積分関数の値は 1.0010980300、1.0853471867、1.5405489332、2.5051217067、その合計は 6.1321158566 で、L₄ = 0.25 × 6.1321158566 = 1.5330289642 単位です。基準値は 1.5478656547 単位なので、絶対誤差は 0.0148366905 単位、相対誤差は 0.9585% です。n = 8 に 2 倍にすると 1.5441590533 単位となり、リチャードソン推定値は 1.5478690830 単位です。

例 6: 三角関数、[0, π] 上の y = sin(x)、n = 8。導関数は f'(x) = cos(x)、幅は Δx = π/8 = 0.3926990817、8 つの中点は π/16、3π/16、5π/16、7π/16、9π/16、11π/16、13π/16、15π/16 です。被積分関数の値は 1.4006926023、1.3005159423、1.1439660326、1.0188524102、1.0188524102、1.1439660326、1.3005159423、1.4006926023 です。その合計は 9.7280539749 で、L₈ = 0.3926990817 × 9.7280539749 = 3.8201978627 単位です。基準値は 3.8201977890 単位なので、絶対誤差はわずか 0.0000000736 単位、相対誤差は 0.00000193% です。この積分には初等的な原始関数がないので、中点則と基準値が答えを得る実用的な方法です。

計算機のプリセットボタンをクリックすれば、これらの例のいずれかを読み込み、その入力に対する完全なステップごとの解法、ライブ図、計算表、収束比較を見ることができます。

中点則による弧長は、曲がった距離を巻き尺ではなく公式から測らなければならないあらゆる場面に現れます。同じ計算が、学生、技術者、デザイナーの役に立ちます。

道路、線路、ケーブル。曲がった道路、陸上競技場のトラックの曲がり、2 つの支柱の間に垂れたケーブルは皆、曲線に沿った長さを持ちます。曲線が関数でモデル化されている場合、中点則はモデルからその長さを推定し、誤差の見積もりが答えをどこまで信頼できるかを示します。y = x² でモデル化された [0, 2] 上のケーブルには 4.6467837624 単位のケーブルが必要であり、直線のすき間の 4.4721359550 単位ではありません。

製造と板金。曲がったパネル、曲げたパイプ、巻いた縁は、既知の長さの平らな材料から始まります。中点則は、曲がった設計を切るべき平らな長さに変換し、収束表が作業場に必要な精度まで長さを確認します。半径 5 の四分円の曲げには、曲線に沿って 7.8539816340 単位の材料が必要です。

建築。アーチ、ドーム、曲がった階段は、その弧によって寸法が決まります。半径 5 の半円アーチには、曲線に沿って 5π = 15.7079632679 単位の縁取りが必要です。放物線や正弦曲線でモデル化された非円形のアーチでは、中点則が設計式から直接、縁取りの長さを与えます。

物理学と運動。粒子が曲がった軌跡に沿って進む距離は、その軌道の弧長です。振り子の振り子玉、発射体、楕円軌道上の衛星は皆、エネルギー、タイミング、燃料の計算で重要になる長さを持つ曲線に沿って動きます。中点則は、運動方程式からそれらの距離を推定します。

コンピュータグラフィックス、アニメーション、ゲーム。曲がった軌跡に沿って動く物体、カメラの動き、アニメーションのキャラクターは皆、スプラインや媒介変数曲線に従います。軌跡に沿った距離が速度、タイミング、フレームの間隔を決めます。中点則は曲線の方程式からそれらの軌跡の長さを測り、媒介変数モードは折り返す曲線も扱います。

医学と生物学。血管、脊柱、臓器の曲がった表面は、スキャンやモデルから測られます。血管の中心線に沿った弧長は、ステントやカテーテルの計画に役立ち、中点則はモデル化された中心線を誤差の見積もり付きの長さに変えます。

このサイトの関連計算機。名前のある曲線の正確な弧長については、放物線弧長計算機、楕円弧長計算機、半円弧長計算機、円弧長計算機、扇形弧長計算機を試してください。ステップごとの正確な積分については、ステップ付き弧長計算機、媒介変数弧長計算機、極座標弧長計算機、3D 弧長計算機を試してください。その他の数値解法については、台形則計算機とシンプソン則計算機を試してください。

これらの表は、2 つの主な計算例の収束の動きを 1 か所に集めたもので、中点則がどれだけ速く落ち着くか、リチャードソン外挿が答えをどれだけ改善するかが分かります。すべての値は中点エンジンで計算され、基準値は適応型シンプソン積分によるものです。

[0, 2] 上の放物線 y = x²、基準値 4.6467837624 単位。

[0, π] 上の正弦曲線 y = sin(x)、基準値 3.8201977890 単位。

表の読み方。放物線の誤差は、2 倍にするたびに約 4 分の 1 になります。n = 4 の 0.0200602751 から n = 8 の 0.0050531044 へ、n = 16 の 0.0012632302 へと落ち、これが期待される 1 / n² の動きです。正弦曲線はさらに速く収束します。区間の中央付近で被積分関数がほぼ平らだからです。n = 8 までに誤差はすでに 0.0000000736 単位となり、n = 16 までに近似値は表示される 10 桁すべてで基準値と一致します。リチャードソンの行も同じ考え方を 1 段階で示しています。2 つの近似値を組み合わせると、どちらか一方だけより優れ、放物線の誤差は 0.0000507141 単位、正弦曲線の誤差は 0.0000000245 単位です。これらの表を基準として使ってください。これらの例のいずれかで自分の計算が表と一致しなければ、答えを信頼する前に、導関数、中点、被積分関数を確認してください。