Calcolatore della lunghezza d'arco con la regola del punto medio

Il calcolatore della lunghezza d'arco con la regola del punto medio approssima la lunghezza di una curva dividendo l'integrale di lunghezza d'arco in rettangoli e campionando ciascuno al centro. Inserisci una funzione, scegli un intervallo, decidi quanti sottointervalli usare e il calcolatore mostra l'approssimazione, la tabella completa dei punti medi, la stima dell'errore e un diagramma in tempo reale dei rettangoli. Segui questi passaggi per ottenere una risposta corretta.

1. Scegli la modalità di calcolo. Usa Funzione esplicita per una curva scritta come y = f(x), per esempio y = x² o y = sin(x). Usa Curva parametrica per una curva scritta come x = x(t) e y = y(t), per esempio un cerchio o un'ellisse descritti da un parametro.
2. Inserisci la funzione. Scrivi la funzione nella casella di input, usando ^ per le potenze, la funzione radice quadrata per le radici quadrate e sin(), cos(), exp() e ln() per le funzioni standard. Il calcolatore trova la derivata automaticamente, oppure puoi scrivere la derivata tu stesso se la conosci già.
3. Imposta l'intervallo. Inserisci il limite inferiore a e il limite superiore b. L'intervallo [a, b] è il tratto di curva di cui vuoi la lunghezza. Se inserisci b minore di a, il calcolatore restituisce comunque una lunghezza positiva, perché la lunghezza d'arco non è mai negativa.
4. Scegli il numero di sottointervalli n. Usa il cursore o digita un valore. Le preimpostazioni includono 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 50, 100, 500, 1,000 e 5,000. Un valore di n più grande significa rettangoli più stretti e di solito un'approssimazione più vicina al valore vero. Inizia con n = 4 per vedere chiaramente i passaggi, poi alza n per osservare la risposta che si stabilizza.
5. Scegli la precisione di visualizzazione. Scegli 2, 4, 6, 8 o 10 cifre decimali. Il calcolatore mantiene la piena precisione internamente e arrotonda solo il risultato visualizzato, quindi cambiare la precisione non cambia mai il calcolo sottostante.
6. Fai clic su Calcola lunghezza d'arco. Il risultato principale è l'approssimazione del punto medio L_n, chiaramente etichettata come approssimazione. Sotto di essa trovi la larghezza dei sottointervalli, il primo e l'ultimo punto medio, il primo e l'ultimo valore dell'integranda, la somma dei valori dell'integranda, la lunghezza della corda tra gli estremi, la lunghezza di riferimento ad alta precisione e gli errori assoluto e relativo stimati.
7. Studia i diagrammi. Il primo diagramma mostra la curva originale con l'arco selezionato evidenziato e i punti medi campionati segnati. Il secondo diagramma mostra l'integranda della lunghezza d'arco con i rettangoli di punto medio disegnati sotto di essa. L'area totale di quei rettangoli è l'approssimazione, quindi i due diagrammi non vanno confusi: i rettangoli stanno sotto l'integranda, mai sotto la curva originale.
8. Leggi la tabella di calcolo. Ogni sottointervallo ha una riga con i suoi estremi, il suo punto medio, la derivata nel punto medio, il valore dell'integranda e il contributo del rettangolo. L'ultima riga mostra la somma, che è uguale al risultato principale.
9. Confronta la convergenza e prova l'estrapolazione di Richardson. Il pannello di convergenza mostra fianco a fianco le approssimazioni per n, 2n e 4n, con le differenze tra loro. L'opzione Richardson combina due approssimazioni in una stima raffinata. Entrambe sono spiegate nelle sezioni della guida qui sotto.
10. Copia, esporta o reimposta. Usa Copia risultato per la risposta, esporta la tabella come CSV per i tuoi calcoli, oppure Reimposta per svuotare il pannello. I pulsanti preimpostati caricano istantaneamente esempi verificati: la parabola, la retta, la retta orizzontale, il quarto di cerchio, la cubica e la curva seno.

Prova un esempio. y = x² su [0, 2] con n = 4 dà L₄ = 4.6267234873 unità, contro un riferimento di 4.6467837624 unità. y = 3x + 1 su [0, 4] con n = 4 dà esattamente 12.6491106407 unità. y = 2 su [1, 5] con n = 4 dà esattamente 4.0000000000 unità. Il quarto di cerchio parametrico di raggio 5 dà 7.8539816340 unità. y = x³ su [0, 1] con n = 4 dà 1.5330289642 unità, e y = sin(x) su [0, π] con n = 8 dà 3.8201978627 unità.

Suggerimenti importanti. Deriva sempre prima la funzione: l'integranda usa f'(x), non f(x). Campiona nei punti medi, non negli estremi, altrimenti stai calcolando una regola diversa. Mantieni l'unità di misura degli angoli in radianti per le funzioni trigonometriche. Non arrotondare i punti medi o i valori dell'integranda durante il calcolo, perché quei piccoli arrotondamenti si sommano su molti rettangoli. Se la funzione non è definita in un punto medio, il calcolatore segnala un errore invece di saltare il campione in silenzio.

L'integrazione numerica è l'arte di stimare un integrale definito quando è difficile trovare un'antiderivata esatta, o quando sono disponibili solo valori campionati. La regola del punto medio è uno dei metodi di integrazione numerica più semplici e più affidabili. Stima l'area sotto una curva coprendola di rettangoli e sommando le loro aree.

Una somma di Riemann divide l'intervallo [a, b] in n sottointervalli uguali, ciascuno di larghezza Δx = (b - a) / n, e costruisce un rettangolo su ogni sottointervallo. L'altezza di ogni rettangolo è il valore della funzione in un singolo punto campione dentro quel sottointervallo. Le somme con l'estremo sinistro campionano al bordo sinistro, le somme con l'estremo destro campionano al bordo destro e la regola del punto medio campiona al centro di ogni sottointervallo.

Campionare al centro è l'idea chiave. Su un sottointervallo corto, una curva che sale da un lato del punto medio scende dall'altro lato di una quantità simile, quindi la sovrastima su una metà cancella circa la sottostima sull'altra metà. Questa cancellazione è il motivo per cui la regola del punto medio è più precisa delle regole degli estremi sinistro o destro con lo stesso numero di rettangoli, e per cui il suo errore diminuisce con il quadrato della larghezza dei sottointervalli.

Per una funzione g(x) su [a, b], la regola del punto medio composta è:

Qui x_i* è il punto medio dell'i-esimo sottointervallo e la somma corre su tutti gli n sottointervalli. Ogni termine Δx × g(x_i*) è l'area di un rettangolo, e la somma di tutte le aree dei rettangoli è l'approssimazione dell'integrale.

La regola del punto medio è usata ben oltre i compiti di analisi matematica. Gli ingegneri la usano per stimare integrali nell'analisi delle tensioni e nell'elaborazione dei segnali, i fisici la usano nelle simulazioni numeriche e la computer grafica la usa per misurare lunghezze di curve e aree di superfici. La sua combinazione di semplicità e precisione del secondo ordine la rende una prima scelta standard ogni volta che un integrale non ha una forma chiusa ordinata.

Perché i punti medi battono gli estremi. Prendi g(x) = x su [0, 1] con n = 1. La somma sinistra dà 0, la somma destra dà 1 e la somma del punto medio dà 0.5, che è la risposta esatta. Il punto medio vede il comportamento medio della funzione su tutto il sottointervallo, mentre un estremo vede solo un lato. Questo vantaggio vale per qualsiasi funzione liscia ed è il motivo per cui la regola del punto medio è la somma di Riemann predefinita nella maggior parte del lavoro numerico.

La lunghezza d'arco è la distanza misurata lungo una curva, anziché la distanza in linea retta tra i suoi estremi. Una strada che serpeggia tra le colline è più lunga della linea retta tracciata tra le sue due estremità su una mappa. Un filo curvo è più lungo dello spazio che copre. La lunghezza d'arco misura il percorso tortuoso stesso.

Per trovare quella lunghezza, immagina di tagliare la curva in tanti piccoli pezzi. Ogni piccolo pezzo è così corto da essere quasi dritto, quindi la sua lunghezza è vicina alla linea retta che unisce le sue estremità. Per il teorema di Pitagora, un piccolo pezzo che si sposta di Δx in orizzontale e di Δy in verticale ha lunghezza vicina a √(Δx² + Δy²). Sommando tutti i piccoli pezzi si ottiene la lunghezza totale, e lasciando che i pezzi si riducano a zero la somma diventa un integrale.

Per una curva y = f(x), un piccolo passo orizzontale dx produce una variazione verticale dy = f'(x) dx, quindi il piccolo elemento di lunghezza è:

Sommando tutti gli elementi di lunghezza da a a b si ottiene l'integrale di lunghezza d'arco:

Questa formula spiega perché c'è di mezzo la derivata. Una curva ripida cambia altezza in fretta, quindi f'(x) è grande, l'integranda √(1 + [f'(x)]²) è grande e ogni unità di distanza orizzontale contribuisce per più di un'unità di lunghezza di curva. Una curva piatta ha f'(x) vicina a zero, l'integranda è vicina a 1 e la lunghezza d'arco è vicina alla distanza orizzontale b - a.

La lunghezza d'arco è sempre almeno quanto la corda. La linea retta tra gli estremi è il percorso più corto tra loro, quindi la curva non può mai essere più corta di essa. Per la parabola y = x² su [0, 2], la corda da (0, 0) a (2, 4) è √(20) = 4.4721359550 unità, mentre la vera lunghezza d'arco è 4.6467837624 unità, più lunga di 0.1746478074 unità. Per la curva seno y = sin(x) su [0, π], la corda è π = 3.1415926536 unità e l'arco è 3.8201977890 unità, più lungo di 0.6786051354 unità. Verificare che l'arco superi la corda è un rapido controllo di sanità mentale per qualsiasi risposta di lunghezza d'arco.

La maggior parte degli integrali di lunghezza d'arco non ha un'antiderivata elementare. L'integrale della parabola ∫ √(1 + 4x²) dx si può risolvere con una sostituzione, ma l'integrale del seno ∫ √(1 + cos²x) dx non si può esprimere affatto con funzioni elementari. È proprio qui che la regola del punto medio trova il suo posto: stima l'integrale numericamente, senza bisogno di un'antiderivata.

Il calcolo della lunghezza d'arco con la regola del punto medio parte dall'integrale esatto di lunghezza d'arco e sostituisce l'integrale con una somma di aree di rettangoli. Definisci l'integranda della lunghezza d'arco:

Allora la lunghezza d'arco esatta è L = ∫_a^b g(x) dx, e la regola del punto medio approssima quell'integrale. Dividi [a, b] in n sottointervalli uguali. La larghezza dei sottointervalli è:

Il punto medio dell'i-esimo sottointervallo, contando i da 0, è:

Valuta l'integranda in ogni punto medio, moltiplica ogni valore per Δx e somma i risultati:

Ogni simbolo ha un significato preciso:

Una verifica concreta. Per y = x² su [0, 2] con n = 4, la larghezza è Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5, i punti medi sono 0.25, 0.75, 1.25 e 1.75, e i valori dell'integranda sono 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 e 3.6400549446. La loro somma è 9.2534469747 e moltiplicando per 0.5 si ottiene L₄ = 4.6267234873 unità. Ogni numero di questa catena è mostrato nel pannello passo passo del calcolatore e nella sua tabella di calcolo.

Per una curva parametrica x = x(t), y = y(t), la stessa idea si applica all'intervallo del parametro [t₁, t₂], con la velocità v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) che svolge il ruolo dell'integranda. La formula parametrica è trattata in una sua sezione qui sotto.

Il calcolo con la regola del punto medio segue dieci passaggi, e il calcolatore li esegue tutti automaticamente. Lavorarci a mano una volta rende lo strumento molto più facile da capire e da usare. L'esempio svolto qui sotto usa y = x² su [0, 2] con n = 4, lo stesso esempio che il calcolatore carica come prima preimpostazione.

1. Individua la funzione. f(x) = x².
2. Trova la sua derivata prima. f'(x) = 2x.
3. Individua l'intervallo di integrazione. a = 0, b = 2.
4. Scegli il numero di sottointervalli. n = 4.
5. Calcola la larghezza dei sottointervalli. Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5.
6. Determina il punto medio di ogni sottointervallo. x₀* = 0.25, x₁* = 0.75, x₂* = 1.25, x₃* = 1.75. Ogni punto medio si trova esattamente a metà tra gli estremi del suo sottointervallo: 0.25 è a metà tra 0 e 0.5, 0.75 è a metà tra 0.5 e 1, e così via.
7. Valuta l'integranda della lunghezza d'arco in ogni punto medio. g(x) = √(1 + 4x²), quindi g(0.25) = 1.1180339887, g(0.75) = 1.8027756377, g(1.25) = 2.6925824036 e g(1.75) = 3.6400549446.
8. Moltiplica ogni valore per la larghezza dei sottointervalli. I quattro contributi dei rettangoli sono 0.5 × 1.1180339887 = 0.5590169944, 0.5 × 1.8027756377 = 0.9013878189, 0.5 × 2.6925824036 = 1.3462912018 e 0.5 × 3.6400549446 = 1.8200274723.
9. Somma tutti i contributi. 0.5590169944 + 0.9013878189 + 1.3462912018 + 1.8200274723 = 4.6267234873.
10. Interpreta la lunghezza d'arco approssimata. L₄ = 4.6267234873 unità. Il riferimento ad alta precisione è 4.6467837624 unità, quindi questa approssimazione è corta di 0.0200602751 unità, un errore relativo dello 0.4317%.

Gli stessi dieci passaggi funzionano per qualsiasi funzione. Per y = x³ su [0, 1] con n = 4, la derivata è f'(x) = 3x², la larghezza è Δx = 0.25, i punti medi sono 0.125, 0.375, 0.625 e 0.875, i valori dell'integranda sono 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 e 2.5051217067, la loro somma è 6.1321158566 e moltiplicando per 0.25 si ottiene L₄ = 1.5330289642 unità, contro un riferimento di 1.5478656547 unità.

Un secondo esempio svolto con una funzione trigonometrica. Per y = sin(x) su [0, π] con n = 8, la derivata è f'(x) = cos(x), la larghezza è Δx = π / 8 = 0.3926990817 e gli otto punti medi sono π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 e 15π/16. I valori dell'integranda, in ordine, sono 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 e 1.4006926023. La loro somma è 9.7280539749 e moltiplicando per 0.3926990817 si ottiene L₈ = 3.8201978627 unità, contro un riferimento di 3.8201977890 unità, un errore assoluto di sole 0.0000000736 unità.

Ogni rettangolo di punto medio è una piccola immagine fedele di un pezzo dell'integrale. Ha tre parti, e ogni parte ha un significato chiaro.

Per la parabola y = x² su [0, 2] con n = 4, i quattro rettangoli hanno tutti larghezza 0.5. Le loro altezze sono 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 e 3.6400549446, e le loro aree sono 0.5590169944, 0.9013878189, 1.3462912018 e 1.8200274723. L'area totale è 4.6267234873 unità, che è esattamente l'approssimazione del punto medio L₄.

Perché la somma delle aree approssima l'integrale. L'integrale ∫_a^b g(x) dx è l'area esatta sotto la curva dell'integranda. Ogni rettangolo sostituisce la striscia curva sopra un sottointervallo con una striscia a sommità piatta della stessa larghezza, usando l'altezza del punto medio come altezza rappresentativa. Dove l'integranda curva verso l'alto, la sommità piatta taglia un po' di area da un lato e ne aggiunge un po' dall'altro. Poiché il campione è preso al centro, questi due errori quasi si cancellano e l'area del rettangolo è vicina alla vera area della striscia. Sommando i rettangoli si ottiene una stima dell'intera area, e quindi della lunghezza d'arco.

L'errore di diagramma più comune. I rettangoli vanno disegnati sotto la curva dell'integranda g(x) = √(1 + [f'(x)]²), non sotto la curva originale f(x). La curva originale e l'integranda sono grafici diversi con altezze diverse: per y = x² su [0, 2], la curva originale va da 0 a 4, mentre l'integranda va da 1 a √(17) = 4.1231056256. Rettangoli disegnati sotto la curva originale sommerebbero all'area sotto f(x), che non ha niente a che fare con la lunghezza d'arco. Il calcolatore tiene separati i due grafici, e il diagramma della guida qui sopra mostra i rettangoli solo sotto l'integranda.

Leggere un rettangolo. Passando il cursore sopra un rettangolo o selezionandolo nel calcolatore si vedono il suo numero di sottointervallo, i suoi estremi sinistro e destro, il suo punto medio, la derivata nel punto medio, il valore dell'integranda e il contributo del rettangolo. È questo dettaglio che rende la tabella utile per i compiti: ogni numero della risposta finale si può ricondurre a un rettangolo.

Il numero di sottointervalli n è il controllo più importante del calcolatore, perché decide quanto sono fini i rettangoli. Un n piccolo significa pochi rettangoli larghi. Un n grande significa molti rettangoli stretti che seguono da vicino la curva dell'integranda.

Che cosa succede quando n è piccolo. Con n = 1, l'intero intervallo è un solo rettangolo e la risposta è Δx × g(punto medio). Per la parabola y = x² su [0, 2], n = 1 dà 2 × √(5) = 4.4721359550 unità, che è corta del vero valore 4.6467837624 unità di 0.1746478074 unità. Il singolo rettangolo non riesce a seguire l'integranda mentre sale da 1 a 4.1231056256, quindi l'errore è grande. Con n = 2, la risposta migliora a 4.5764912225 unità. Con n = 4 è 4.6267234873 unità. Con n = 8 è 4.6417306581 unità. Con n = 16 è 4.6455205322 unità e con n = 32 è 4.6464679593 unità.

Come si riduce l'errore. Per un'integranda liscia, l'errore della regola del punto medio è proporzionale a 1 / n². Raddoppiare n riduce l'errore a circa un quarto. I numeri della parabola lo mostrano chiaramente: l'errore scende da 0.0200602751 unità con n = 4 a 0.0050531044 unità con n = 8, poi a 0.0012632302 unità con n = 16, poi a 0.0003158031 unità con n = 32. Ogni raddoppio divide l'errore per circa quattro. Questo comportamento 1 / n² si chiama convergenza del secondo ordine ed è il motivo per cui la regola del punto medio è così efficace: un modesto aumento di n compra un grande miglioramento di precisione.

Perché il miglioramento non è sempre monotono. L'errore di solito diminuisce al crescere di n, ma non deve diminuire a ogni passo per ogni funzione. La curva seno ne mostra una versione lieve: n = 2 dà 3.8476494905 unità, che supera il riferimento 3.8201977890 unità, mentre n = 4 dà 3.8204517876 unità, che è molto più vicina. L'approssimazione è passata da sopra il valore vero a un valore appena sopra di esso, e l'errore si è comunque ridotto nel complesso. Per funzioni con pieghe brusche, oscillazioni o quasi-singolarità, l'errore può oscillare al variare di n, anche se la tendenza di lungo periodo è verso il basso. Non dare mai per scontato che un n più grande dia sempre una risposta migliore in un singolo passo; controlla invece la tabella di convergenza.

Il costo di un n più grande. Più sottointervalli significano più calcoli: più valutazioni della derivata, più valori dell'integranda e più righe di tabella. Per n = 5,000, il calcolatore esegue 5,000 valutazioni, che è veloce per un computer ma produce una tabella troppo lunga da leggere riga per riga, quindi il calcolatore la impagina. La regola pratica è alzare n finché la risposta smette di cambiare alla precisione che ti serve. Se n = 100 e n = 200 concordano fino a sei cifre decimali, n = 100 basta e n = 5,000 non aggiunge altro che lavoro.

Scegliere n nella pratica. Usa n = 4 o n = 8 mentre impari, perché la tabella resta abbastanza corta da controllare a mano. Usa n = 50 o n = 100 per risposte dei compiti che richiedono quattro o cinque cifre decimali corrette. Usa n = 1,000 o più solo quando ti serve una precisione molto alta, o quando l'integranda cambia in fretta sull'intervallo. Il pannello di convergenza mostra insieme n, 2n e 4n, così puoi vedere la risposta che si stabilizza senza tirare a indovinare.

La regola del punto medio è uno dei tre metodi classici di integrazione numerica, e ciascuno campiona l'integranda in modo diverso. Sapere come differiscono ti aiuta a scegliere lo strumento giusto e a capire perché le loro risposte non concordano.

Regola del punto medio. Campiona al centro di ogni sottointervallo e costruisce rettangoli. Il suo errore è O(1 / n²), lo stesso ordine della regola dei trapezi, ma la regola del punto medio è di solito circa due volte più precisa della regola dei trapezi per lo stesso n, perché il campione centrale cancella l'errore principale. Richiede solo n valutazioni, una per sottointervallo, e funziona per qualsiasi n positivo.

Regola dei trapezi. Campiona agli estremi e li unisce con linee rette, formando trapezi. Condivide l'ordine di errore O(1 / n²) della regola del punto medio, ma il suo errore ha di solito il segno opposto: per un'integranda convessa, la regola dei trapezi sovrastima mentre la regola del punto medio sottostima, o viceversa. La media delle due dà la combinazione trapezio-punto medio, che è la base della regola di Simpson. Prova il calcolatore della regola dei trapezi per confrontare i due metodi sulla stessa funzione.

Regola di Simpson. Adatta una parabola ai due estremi e al punto medio di ogni coppia di sottointervalli, il che richiede un numero pari di sottointervalli. Il suo errore è O(1 / n⁴), quindi converge molto più in fretta di entrambe le altre due per funzioni lisce. Il prezzo è la restrizione di n pari e più valutazioni per sottointervallo. Prova il calcolatore della regola di Simpson quando ti serve alta precisione con pochi sottointervalli.

Un confronto numerico. Per la parabola y = x² su [0, 2] con n = 4, la regola del punto medio dà 4.6267234873 unità, la regola dei trapezi dà 4.6870560064 unità e la regola di Simpson dà 4.6502010785 unità, contro il riferimento 4.6467837624 unità. L'errore del punto medio è 0.0200602751 unità, l'errore dei trapezi è 0.0402722440 unità e l'errore di Simpson è 0.0034173160 unità. Simpson vince qui, come succede di solito per le funzioni lisce, ma la regola del punto medio è più semplice, non ha bisogno della restrizione di n pari ed è la scelta naturale quando sono disponibili solo campioni nei punti medi.

Quale regola dovresti usare? Usa la regola del punto medio quando vuoi una stima semplice e affidabile, quando campioni una funzione in punti interni equidistanti, o quando insegni le somme di Riemann. Usa la regola dei trapezi quando i valori agli estremi sono i dati naturali, per esempio misure prese alle estremità di ogni intervallo. Usa la regola di Simpson quando la funzione è liscia e ti serve alta precisione con un n piccolo. Per la lunghezza d'arco in particolare, la regola del punto medio ha un vantaggio pratico: non valuta mai l'integranda agli estremi, dove una funzione può essere indefinita o singolare, quindi può trattare curve su cui le altre due regole non possono nemmeno iniziare.

Ogni approssimazione del punto medio differisce dalla vera lunghezza d'arco di una certa quantità, e capire quell'errore è ciò che trasforma un numero in una risposta affidabile. Ci sono tre modi diversi di parlare di errore, e non vanno confusi.

Errore assoluto. L'errore assoluto è l'ampiezza dello scarto tra l'approssimazione e il valore vero: |L - L_n|. Per la parabola con n = 4, l'errore assoluto è |4.6467837624 - 4.6267234873| = 0.0200602751 unità. Per la curva seno con n = 8 è |3.8201977890 - 3.8201978627| = 0.0000000736 unità. L'errore assoluto si misura nelle stesse unità della lunghezza stessa.

Errore relativo. L'errore relativo divide l'errore assoluto per l'ampiezza del valore vero, e di solito si esprime in percentuale: |L - L_n| / |L| × 100. Per la parabola con n = 4, l'errore relativo è dello 0.4317%. Per la cubica con n = 4 è dello 0.9585%. Per la curva seno con n = 8 è dello 0.00000193%. L'errore relativo è il modo equo di confrontare la precisione tra problemi di dimensioni diverse: un errore di 0.02 unità conta poco su una lunghezza di 100 unità e molto su una lunghezza di 0.1 unità.

Indicatore di errore basato sul raffinamento. Nel lavoro reale il valore vero è sconosciuto, quindi l'errore assoluto non si può calcolare direttamente. Confronta invece due approssimazioni: la differenza |M_2n - M_n| mostra di quanto si è spostata la risposta quando la partizione è stata raffinata. Per la parabola, |M₈ - M₄| = |4.6417306581 - 4.6267234873| = 0.0150071707 unità. Quella differenza è un segnale di avvertimento pratico: se è grande, la risposta si sta ancora muovendo e n va alzato. È un indicatore, non un limite garantito: il vero errore può essere più grande o più piccolo della differenza di raffinamento, e di solito è circa un terzo di essa per la regola del punto medio, perché l'errore si riduce di un fattore quattro a ogni raddoppio.

Limite teorico dell'errore. Per un'integranda g(x) sufficientemente liscia, l'errore della regola del punto medio composta soddisfa:

Il limite richiede il massimo della derivata seconda dell'integranda sull'intervallo, che spesso è difficile da trovare esattamente. Per l'integranda della parabola g(x) = √(1 + 4x²), la derivata seconda è g''(x) = 4 / (1 + 4x²)^3/2, il cui valore più grande su [0, 2] è 4 in x = 0. Il limite per n = 4 è quindi (8 / (24 × 16)) × 4 = 0.0833333333 unità, e l'errore reale 0.0200602751 unità sta ben dentro di esso. Per n = 8, il limite è 0.0208333333 unità. Il limite è onesto ma largo: qui sovrastima l'errore reale di un fattore quattro, come succede di solito.

Quando il limite non si applica. Il limite di errore presuppone che l'integranda sia liscia, con una derivata seconda limitata. Una funzione con un angolo, un salto o una singolarità rompe questa ipotesi, e il limite o non esiste o è inutilmente grande. Il calcolatore non inventa un limite quando non può certificarne uno. In quel caso mostra la differenza di raffinamento e spiega i suoi limiti, che è la risposta onesta.

Perché la regolarità è importante. Il comportamento dell'errore 1 / n² dipende dal fatto che l'integranda sia abbastanza liscia perché la cancellazione del punto medio funzioni. Un'integranda liscia come √(1 + 4x²) converge in modo pulito. Un'integranda con un angolo brusco converge più lentamente, e un'integranda con una singolarità può convergere molto lentamente o per niente. Se raddoppiare n cambia appena la risposta, la funzione può essere liscia e già precisa. Se raddoppiare n cambia molto la risposta, o la funzione è irregolare o n è ancora troppo piccolo.

L'estrapolazione di Richardson è un semplice trucco che trasforma due approssimazioni del punto medio in una stima molto migliore. Usa il modello noto dell'errore della regola del punto medio per cancellare il termine di errore principale.

Per un'integranda liscia, l'approssimazione del punto medio con n sottointervalli ha un errore che si comporta come C / n², dove C è una costante che dipende dalla funzione ma non da n. Raddoppiare i sottointervalli a 2n divide quindi l'errore per quattro. Questo dà due equazioni in due incognite, il valore vero L e la costante C:

Risolvendo per L si elimina C e resta la stima estrapolata di Richardson:

Esempio svolto. Per la parabola y = x² su [0, 2], M₄ = 4.6267234873 unità e M₈ = 4.6417306581 unità. La stima di Richardson è L_R = (4 × 4.6417306581 - 4.6267234873) / 3 = 4.6467330483 unità. Il valore vero è 4.6467837624 unità, quindi l'errore estrapolato è di sole 0.0000507141 unità, molto più piccolo dell'errore originale di M₄ di 0.0200602751 unità. L'estrapolazione ha comprato la precisione di un n molto più grande usando solo i calcoli con n = 4 e n = 8.

Esempio svolto con la curva seno. Per y = sin(x) su [0, π], M₈ = 3.8201978627 unità e M₁₆ = 3.8201977890 unità. La stima di Richardson è L_R = (4 × 3.8201977890 - 3.8201978627) / 3 = 3.8201977645 unità, contro il riferimento 3.8201977890 unità, un errore di sole 0.0000000245 unità.

Esempio svolto con la cubica. Per y = x³ su [0, 1], M₄ = 1.5330289642 unità e M₈ = 1.5441590533 unità. La stima di Richardson è L_R = (4 × 1.5441590533 - 1.5330289642) / 3 = 1.5478690830 unità, contro il riferimento 1.5478656547 unità, un errore di 0.0000034283 unità. L'errore originale di M₄ era 0.0148366905 unità, quindi l'estrapolazione lo ha ridotto di un fattore di circa 4327.7.

Che cosa non è l'estrapolazione di Richardson. Il valore estrapolato è una stima raffinata, non il risultato della regola del punto medio e non una risposta esatta garantita. Presuppone che l'errore si comporti davvero come C / n², il che vale per integrande lisce e non vale per quelle irregolari. Se l'integranda ha un angolo o una singolarità, l'estrapolazione può essere peggiore dell'approssimazione originale, quindi il calcolatore mostra sempre prima il risultato originale del punto medio ed etichetta il valore estrapolato separatamente. L'estrapolazione di Richardson è anche l'idea alla base dell'integrazione di Romberg, che ripete lo stesso trucco a più livelli per raggiungere una precisione molto alta.

Alcune curve non si possono scrivere come y = f(x). Un cerchio, per esempio, dà due valori di y per la maggior parte dei valori di x, quindi nessuna singola funzione lo descrive. Le curve parametriche risolvono il problema descrivendo entrambe le coordinate come funzioni di un parametro t: x = x(t) e y = y(t). Mentre t va da t₁ a t₂, il punto (x(t), y(t)) traccia la curva.

Per una curva parametrica, il piccolo elemento di lunghezza viene dal movimento in entrambe le coordinate: ds = √(dx² + dy²). Scrivendo dx = x'(t) dt e dy = y'(t) dt si ottiene l'integrale di lunghezza d'arco parametrica:

La quantità sotto la radice quadrata è la velocità v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²), la rapidità con cui il punto si muove lungo la curva al variare di t. La regola del punto medio si applica all'intervallo del parametro esattamente come si applica a un intervallo di x: dividi [t₁, t₂] in n sezioni uguali di larghezza Δt = (t₂ - t₁) / n, campiona la velocità nei parametri dei punti medi t_i* = t₁ + (i + ½)Δt e somma i contributi:

Esempio svolto: il quarto di cerchio. Prendi x(t) = 5 cos(t) e y(t) = 5 sin(t) su [0, π/2], con n = 4. Le derivate sono x'(t) = -5 sin(t) e y'(t) = 5 cos(t). La velocità è v(t) = √(25 sin²(t) + 25 cos²(t)) = √(25) = 5, una costante, perché sin²(t) + cos²(t) = 1. La larghezza del parametro è Δt = (π/2 - 0) / 4 = π/8 = 0.3926990817, e i parametri dei punti medi sono π/16, 3π/16, 5π/16 e 7π/16. Ogni valore di velocità è 5, quindi ogni contributo è 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085, e il totale è 4 × 1.9634954085 = 7.8539816340 unità, che è esattamente 5π/2. La regola del punto medio è esatta qui per qualsiasi n, perché la velocità è costante.

Perché la forma parametrica è importante. Molte curve reali sono parametriche per natura: cerchi, ellissi, spirali, curve di Bezier nei programmi di progettazione e i percorsi di oggetti in movimento in fisica e robotica. La forma esplicita y = f(x) non può descrivere una curva che torna indietro su se stessa, ma la forma parametrica può. Il calcolatore gestisce entrambe le forme con lo stesso motore del punto medio, la stessa tabella e la stessa analisi di convergenza. Per saperne di più sulle curve parametriche, vedi il calcolatore della lunghezza d'arco parametrica.

Un avvertimento sul parametro. Il parametro t non è lo stesso della lunghezza d'arco a meno che la velocità sia 1. Passi uguali in t danno passi uguali lungo la curva solo quando la velocità è costante. Per una curva parametrica generale, la regola del punto medio funziona comunque correttamente, perché integra la velocità, ma i rettangoli sono uguali in t, non uguali in distanza lungo la curva. Va bene così: la formula ne tiene conto attraverso v(t).

La regola del punto medio è utile ovunque un integrale debba essere stimato numericamente, e la lunghezza d'arco è solo uno dei suoi compiti. La sua semplicità, la sua precisione del secondo ordine e la sua tolleranza per i problemi agli estremi la rendono uno strumento di lavoro in molti campi.

Analisi numerica e didattica. La regola del punto medio è spesso il primo metodo di integrazione numerica che gli studenti incontrano, perché i rettangoli sono facili da disegnare e l'idea del punto medio è facile da afferrare. Insegna somme di Riemann, convergenza e analisi degli errori in un unico pacchetto. La tabella e i diagrammi di questo calcolatore sono costruiti proprio per questo scopo: ogni numero della risposta si può ricondurre a un rettangolo.

Ingegneria. Gli ingegneri stimano le lunghezze di parti curve, cavi, tubi e curve stradali da modelli matematici. Quando la curva è un polinomio o una funzione trigonometrica, l'integrale di lunghezza d'arco spesso non ha una forma chiusa, quindi un metodo numerico è l'unica opzione. La regola del punto medio dà una risposta veloce con una stima chiara dell'errore, e alzare n la raffina quanto il progetto richiede.

Fisica. I fisici integrano lungo percorsi per calcolare lavoro, distanza percorsa e quantità di campo. Una particella che si muove lungo un percorso curvo copre una distanza uguale alla lunghezza d'arco della sua traiettoria, e la regola del punto medio stima quella distanza dai dati di velocità. Lo stesso metodo stima integrali in termodinamica, ottica e meccanica quantistica, ovunque un'antiderivata analitica sia fuori portata.

Computer grafica e CAD. Le curve su uno schermo sono disegnate come molti brevi segmenti dritti, e la lunghezza totale di una curva si stima sommando quei segmenti, che è una forma di integrazione numerica. I contorni dei caratteri, i percorsi di animazione e i percorsi utensile CAD dipendono tutti da una misura precisa della lunghezza delle curve. La regola del punto medio dà un modo fondato per misurare quelle lunghezze invece di tirare a indovinare da un'immagine.

Misura di curve e robotica. Un braccio robotico che muove la sua pinza lungo un arco di cerchio, una macchina CNC che taglia un bordo curvo, o un geometra che misura un confine curvo hanno tutti bisogno della lunghezza di una curva nota solo attraverso la sua equazione o attraverso punti campionati. La regola del punto medio trasforma quei campioni in una lunghezza, con una stima dell'errore che dice quanto ci si può fidare della risposta.

Modellazione scientifica e geometria computazionale. I modelli in biologia, finanza e scienza del clima integrano funzioni note solo in punti discreti. La regola del punto medio è la scelta naturale quando i dati sono campioni presi al centro degli intervalli, cosa comune nelle letture dei sensori e nei risultati delle simulazioni. Nella geometria computazionale, misura i perimetri di forme curve e le lunghezze di curve spline.

Quando non usarla. La regola del punto medio è una scelta scadente quando l'integranda ha una singolarità dentro l'intervallo, quando la funzione è discontinua, o quando serve una precisione molto alta con poche valutazioni: la regola di Simpson o un metodo adattivo andranno meglio in quei casi. È anche lo strumento sbagliato quando l'integrale stesso non è il problema, per esempio quando una lunghezza d'arco in forma chiusa è già nota. Un cerchio di raggio 5 ha un arco di quarto di cerchio di esattamente 5π/2 = 7.8539816340 unità, e nessun metodo numerico può migliorare quel valore.

La maggior parte delle risposte sbagliate con il punto medio viene da una breve lista di errori. Controllare ciascuno richiede pochi secondi e fa risparmiare la maggior parte degli sbagli.

1. Usare gli estremi invece dei punti medi. Campionare al bordo sinistro o destro di ogni sottointervallo calcola la somma di Riemann sinistra o destra, non la regola del punto medio. Per la parabola y = x² su [0, 2] con n = 4, la somma sinistra è 3.75 unità e la somma destra è 5.75 unità, mentre la regola del punto medio dà 4.6267234873 unità. Solo il valore del punto medio è la risposta della regola del punto medio.
2. Dimenticare di derivare la funzione. L'integranda è g(x) = √(1 + [f'(x)]²), non √(1 + [f(x)]²). Per y = x², usare f(x) invece di f'(x) dà l'integrale di √(1 + x⁴), un numero del tutto diverso. Deriva sempre prima.
3. Usare l'integranda di lunghezza d'arco sbagliata. L'integranda deve essere √(1 + [f'(x)]²). Togliere l'1, dimenticare il quadrato o prendere la radice quadrata della quantità sbagliata danno tutti risposte errate. Per una retta di pendenza 3, l'integranda è la costante √(10) = 3.1622776602, non 3 e non √(1 + 3).
4. Dividere l'intervallo in modo sbagliato. La larghezza è Δx = (b - a) / n, con l'intera lunghezza dell'intervallo sopra. Dividere per n + 1, o usare b / n invece di (b - a) / n, sposta ogni punto medio e rovina la risposta. Per [0, 2] con n = 4, la larghezza è 0.5, non 0.4 e non 0.6666666667.
5. Usare il numero sbagliato di punti medi. Ci sono esattamente n punti medi, uno per sottointervallo, non n + 1. Gli estremi non sono punti medi. Contare n + 1 punti campione significa che un sottointervallo è stato contato due volte o che un estremo è stato campionato per errore.
6. Confondere la curva originale con il grafico dell'integranda. I rettangoli di punto medio stanno sotto l'integranda g(x), non sotto la curva originale f(x). Disegnarli sotto f(x) e sommare le loro aree dà l'area sotto f(x), che non è la lunghezza d'arco. I due grafici sono curve diverse e vanno mostrati separatamente.
7. Arrotondare i valori intermedi. Arrotondare i punti medi, i valori della derivata o i valori dell'integranda prima di sommarli introduce piccoli errori che si accumulano su molti rettangoli. Mantieni la piena precisione per tutto il calcolo e arrotonda solo il risultato finale visualizzato. Il calcolatore fa questo automaticamente.
8. Dare per scontato che ogni approssimazione sia esatta. La regola del punto medio dà un'approssimazione, non il valore vero, tranne in casi speciali come le rette e le curve parametriche a velocità costante. Per la parabola, L₄ = 4.6267234873 unità è vicina al vero valore 4.6467837624 unità, ma non è uguale a esso. Riporta sempre il risultato come approssimazione e dai la stima dell'errore insieme a esso.
9. Confondere l'errore stimato con i limiti di errore garantiti. La differenza di raffinamento |M_2n - M_n| è un indicatore di quanto la risposta si sta ancora muovendo, non una garanzia che il vero errore sia minore di quella differenza. Il limite teorico ((b - a)³ / (24n²)) × max|g''(x)| è una garanzia, ma solo quando il massimo della derivata seconda è noto e l'integranda è liscia.
10. Ignorare le restrizioni di dominio della funzione. Una funzione come √(x) non è definita per x negative, e ln(x) non è definita per x ≤ 0. Se un punto medio cade fuori dal dominio, il valore dell'integranda non esiste e l'approssimazione non ha senso. Il calcolatore segnala un errore in quel caso invece di inventare un valore.
11. Usare le derivate parametriche sbagliate. Per una curva parametrica servono entrambe le derivate x'(t) e y'(t), e la velocità è √([x'(t)]² + [y'(t)]²). Usarne solo una, o derivare rispetto alla variabile sbagliata, dà una velocità sbagliata e una lunghezza sbagliata. Per il quarto di cerchio, x'(t) = -5 sin(t) e y'(t) = 5 cos(t), ed entrambe servono per ottenere la velocità costante 5.
12. Trattare una funzione non liscia o singolare come se le ipotesi standard sull'errore si applicassero automaticamente. Il comportamento dell'errore 1 / n² e il limite teorico presuppongono un'integranda liscia. Una funzione con un angolo, un salto o una singolarità dentro l'intervallo può convergere molto più lentamente, e l'estrapolazione di Richardson può fallire. Controlla la tabella di convergenza: se raddoppiare n non riduce la variazione di circa quattro volte, le ipotesi standard non valgono per quella funzione.

Un controllo finale che coglie la maggior parte di questi errori. Verifica il risultato rispetto alla lunghezza della corda e al valore di riferimento. L'approssimazione deve essere almeno quanto la corda, deve avvicinarsi al riferimento al crescere di n, la somma delle righe della tabella deve essere uguale al risultato principale e per una retta o una curva a velocità costante deve essere uguale al valore esatto. Se uno di questi controlli fallisce, la causa è uno dei dodici errori qui sopra.

Questi sei esempi coprono le principali modalità del calcolatore e i tipi di funzione. Ciascuno è calcolato dallo stesso motore del punto medio che alimenta lo strumento, e ogni risultato è stato verificato in modo indipendente rispetto a un riferimento Simpson adattivo ad alta precisione.

Esempio 1: Parabola, y = x² su [0, 2], n = 4. La derivata è f'(x) = 2x, la larghezza è Δx = 0.5 e i punti medi sono 0.25, 0.75, 1.25 e 1.75. I valori dell'integranda sono 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036 e 3.6400549446, la loro somma è 9.2534469747 e L₄ = 0.5 × 9.2534469747 = 4.6267234873 unità. Il riferimento è 4.6467837624 unità, quindi l'errore assoluto è 0.0200602751 unità e l'errore relativo è dello 0.4317%. Raddoppiando a n = 8 si ottiene 4.6417306581 unità, e la stima di Richardson dalle due è 4.6467330483 unità.

Esempio 2: Retta, y = 3x + 1 su [0, 4], n = 4. La derivata è f'(x) = 3, quindi l'integranda è la costante g(x) = √(10) = 3.1622776602. La larghezza è Δx = 1, i punti medi sono 0.5, 1.5, 2.5 e 3.5 e ogni valore dell'integranda è 3.1622776602. La somma è 4 × 3.1622776602 = 12.6491106407 e L₄ = 1 × 12.6491106407 = 12.6491106407 unità, che è esattamente 4√(10). La regola del punto medio è esatta per qualsiasi n qui, perché l'integranda è costante e ogni rettangolo ha l'altezza corretta.

Esempio 3: Retta orizzontale, y = 2 su [1, 5], n = 4. La derivata è f'(x) = 0, quindi l'integranda è la costante g(x) = √(1 + 0) = 1. La larghezza è Δx = 1, i punti medi sono 1.5, 2.5, 3.5 e 4.5 e ogni contributo è 1 × 1 = 1. Il totale è L₄ = 4.0000000000 unità, che è esattamente la distanza orizzontale 5 - 1 = 4. Una retta orizzontale non ha variazione verticale, quindi la sua lunghezza d'arco è semplicemente la lunghezza dell'intervallo.

Esempio 4: Quarto di cerchio parametrico, x(t) = 5 cos(t), y(t) = 5 sin(t) su [0, π/2], n = 4. Le derivate sono x'(t) = -5 sin(t) e y'(t) = 5 cos(t), e la velocità è la costante v(t) = 5. La larghezza del parametro è Δt = π/8 = 0.3926990817, i parametri dei punti medi sono π/16, 3π/16, 5π/16 e 7π/16 e ogni contributo è 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085. Il totale è L₄ = 7.8539816340 unità, esattamente 5π/2. Il cerchio intero sarebbe 10π = 31.4159265359 unità, e la semicirconferenza sarebbe 5π = 15.7079632679 unità.

Esempio 5: Cubica, y = x³ su [0, 1], n = 4. La derivata è f'(x) = 3x², la larghezza è Δx = 0.25 e i punti medi sono 0.125, 0.375, 0.625 e 0.875. I valori dell'integranda sono 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332 e 2.5051217067, la loro somma è 6.1321158566 e L₄ = 0.25 × 6.1321158566 = 1.5330289642 unità. Il riferimento è 1.5478656547 unità, quindi l'errore assoluto è 0.0148366905 unità e l'errore relativo è dello 0.9585%. Raddoppiando a n = 8 si ottiene 1.5441590533 unità, e la stima di Richardson è 1.5478690830 unità.

Esempio 6: Trigonometrica, y = sin(x) su [0, π], n = 8. La derivata è f'(x) = cos(x), la larghezza è Δx = π/8 = 0.3926990817 e gli otto punti medi sono π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16 e 15π/16. I valori dell'integranda sono 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423 e 1.4006926023. La loro somma è 9.7280539749 e L₈ = 0.3926990817 × 9.7280539749 = 3.8201978627 unità. Il riferimento è 3.8201977890 unità, quindi l'errore assoluto è di sole 0.0000000736 unità, un errore relativo dello 0.00000193%. Questo integrale non ha un'antiderivata elementare, quindi la regola del punto medio e il riferimento sono il modo pratico per ottenere la risposta.

Fai clic su un pulsante preimpostato nel calcolatore per caricare uno di questi esempi e vedere la soluzione completa passo passo, i diagrammi in tempo reale, la tabella di calcolo e il confronto di convergenza per quell'input.

La lunghezza d'arco con la regola del punto medio si presenta ovunque una distanza curva debba essere misurata da una formula anziché da un metro a nastro. Lo stesso calcolo serve a studenti, ingegneri e progettisti.

Strade, piste e cavi. Una strada curva, una curva di una pista di atletica o un cavo teso tra due sostegni hanno tutti lunghezze che seguono una curva. Quando la curva è modellata da una funzione, la regola del punto medio stima la sua lunghezza dal modello, e la stima dell'errore dice quanto ci si può fidare della risposta. Un cavo modellato da y = x² su [0, 2] richiede 4.6467837624 unità di cavo, non le 4.4721359550 unità dello spazio in linea retta.

Produzione e lamiera. Un pannello curvo, un tubo piegato o un bordo arrotolato partono da materiale piatto di una lunghezza nota. La regola del punto medio converte il progetto curvo nella lunghezza piatta da tagliare, e la tabella di convergenza conferma la lunghezza alla precisione che serve in officina. Una piega a quarto di cerchio di raggio 5 richiede 7.8539816340 unità di materiale lungo la curva.

Architettura. Archi, cupole e scale curve sono dimensionati dai loro archi. Un arco semicircolare di raggio 5 richiede 5π = 15.7079632679 unità di rifinitura lungo la curva. Per archi non circolari modellati da parabole o curve seno, la regola del punto medio dà direttamente la lunghezza della rifinitura dall'equazione di progetto.

Fisica e moto. La distanza percorsa da una particella lungo un percorso curvo è la lunghezza d'arco della sua traiettoria. Un pendolo, un proiettile o un satellite in orbita ellittica si muovono tutti lungo curve le cui lunghezze contano per energia, tempi e calcoli di carburante. La regola del punto medio stima quelle distanze dalle equazioni del moto.

Computer grafica, animazione e giochi. Oggetti che si muovono lungo percorsi curvi, movimenti di camera e personaggi animati seguono tutti spline e curve parametriche. La distanza lungo il percorso decide velocità, tempi e spaziatura dei fotogrammi. La regola del punto medio misura quelle lunghezze di percorso dalle equazioni delle curve, e la modalità parametrica gestisce le curve che tornano indietro.

Medicina e biologia. Vasi sanguigni, colonna vertebrale e superfici curve degli organi sono misurati da scansioni e modelli. La lunghezza d'arco lungo la linea centrale di un vaso aiuta a pianificare stent e cateteri, e la regola del punto medio trasforma una linea centrale modellata in una lunghezza con una stima dell'errore.

Calcolatori correlati su questo sito. Per lunghezze d'arco esatte di curve note, prova il calcolatore della lunghezza d'arco di una parabola, il calcolatore della lunghezza d'arco di un'ellisse, il calcolatore della lunghezza d'arco di una semicirconferenza, il calcolatore della lunghezza d'arco di un cerchio e il calcolatore della lunghezza d'arco di un settore. Per l'integrazione esatta passo passo, prova il calcolatore della lunghezza d'arco con passaggi, il calcolatore della lunghezza d'arco parametrica, il calcolatore della lunghezza d'arco polare e il calcolatore della lunghezza d'arco 3D. Per altri metodi numerici, prova il calcolatore della regola dei trapezi e il calcolatore della regola di Simpson.

Queste tabelle raccolgono in un unico posto il comportamento di convergenza dei due principali esempi svolti, così puoi vedere quanto in fretta si stabilizza la regola del punto medio e quanto l'estrapolazione di Richardson migliora la risposta. Tutti i valori sono calcolati dal motore del punto medio, con il riferimento dall'integrazione Simpson adattiva.

Parabola y = x² su [0, 2], riferimento 4.6467837624 unità.

Curva seno y = sin(x) su [0, π], riferimento 3.8201977890 unità.

Come leggere le tabelle. L'errore della parabola scende di un fattore di circa quattro a ogni raddoppio, da 0.0200602751 con n = 4 a 0.0050531044 con n = 8 a 0.0012632302 con n = 16, che è il comportamento 1 / n² atteso. La curva seno converge ancora più in fretta, perché la sua integranda è quasi piatta vicino al centro dell'intervallo: con n = 8 l'errore è già 0.0000000736 unità, e con n = 16 l'approssimazione concorda con il riferimento fino a tutte e dieci le cifre decimali visualizzate. Le righe Richardson mostrano la stessa idea in un solo passaggio: combinare due approssimazioni batte ciascuna da sola, con un errore di 0.0000507141 unità per la parabola e 0.0000000245 unità per la curva seno. Usa queste tabelle come riferimento: se il tuo calcolo per uno di questi esempi non corrisponde alla tabella, controlla la derivata, i punti medi e l'integranda prima di fidarti della risposta.