حاسبة طول القوس بقاعدة نقطة المنتصف

تحسب حاسبة طول القوس بقاعدة نقطة المنتصف طول منحنى تقريبيا بتقسيم تكامل طول القوس إلى مستطيلات وأخذ عينة من كل مستطيل عند مركزه. أدخل دالة، واختر فترة، وحدد عدد الفترات الجزئية، فتعرض الحاسبة التقريب وجدول نقطة المنتصف الكامل وتقدير الخطأ ومخططا حيا للمستطيلات. اتبع هذه الخطوات للحصول على إجابة صحيحة.

1. اختر وضع الحساب. استخدم الدالة الصريحة لمنحنى مكتوب على الصورة y = f(x)، مثل y = x² أو y = sin(x). واستخدم المنحنى البارامتري لمنحنى مكتوب على الصورة x = x(t) و y = y(t)، مثل دائرة أو قطع ناقص يرسمه وسيط.
2. أدخل الدالة. اكتب الدالة في مربع الإدخال، مستخدما ^ للأسس ودالة الجذر التربيعي للجذور و sin() و cos() و exp() و ln() للدوال القياسية. وتجد الحاسبة المشتقة تلقائيا، أو يمكنك كتابة المشتقة بنفسك إن كنت تعرفها.
3. حدد الفترة. أدخل الحد الأدنى a والحد الأقصى b. والفترة [a, b] هي الجزء من المنحنى الذي تريد طوله. وإذا أدخلت b أصغر من a، فستعيد الحاسبة طولا موجبا، لأن طول القوس لا يكون سالبا أبدا.
4. اختر عدد الفترات الجزئية n. استخدم المنزلق أو اكتب قيمة. وتشمل القيم الجاهزة 1 و 2 و 4 و 5 و 8 و 10 و 20 و 50 و 100 و 500 و 1000 و 5000. وكلما كبر n ضاقت المستطيلات وكان التقريب أقرب عادة. ابدأ بـ n = 4 لترى العمل بوضوح، ثم ارفع n لتشاهد الإجابة تستقر.
5. اختر دقة العرض. اختر 2 أو 4 أو 6 أو 8 أو 10 منازل عشرية. وتحتفظ الحاسبة بالدقة الكاملة داخليا وتقرب النتيجة المعروضة فقط، فتغيير الدقة لا يغير الحساب الأساسي أبدا.
6. انقر احسب طول القوس. النتيجة الرئيسية هي تقريب نقطة المنتصف L_n، موسومة بوضوح بأنها تقريب. وتحتها تحصل على عرض الفترة الجزئية ونقطتي المنتصف الأولى والأخيرة وقيمتي المكامل الأولى والأخيرة ومجموع قيم المكامل وطول الوتر بين نقطتي الطرفين والطول المرجعي عالي الدقة والخطأين المطلق والنسبي المقدرين.
7. ادرس المخططات. يظهر المخطط الأول المنحنى الأصلي مع تمييز القوس المحدد ونقاط عينة نقطة المنتصف. ويظهر المخطط الثاني مكامل طول القوس مع مستطيلات نقطة المنتصف المرسومة تحته. والمساحة الكلية لتلك المستطيلات هي التقريب، فلا يجب الخلط بين المخططين: فالمستطيلات تقع تحت المكامل، لا تحت المنحنى الأصلي أبدا.
8. اقرأ جدول الحساب. لكل فترة جزئية صف فيه حدودها ونقطة منتصفها والمشتقة عند نقطة المنتصف وقيمة المكامل ومساهمة المستطيل. ويظهر الصف الأخير المجموع، وهو يساوي النتيجة الرئيسية.
9. قارن التقارب وجرب استقراء ريتشاردسون. تعرض لوحة التقارب التقريبات لـ n و 2n و 4n جنبا إلى جنب، مع الفروق بينها. ويجمع خيار ريتشاردسون بين تقريبين في تقدير محسن. وكلاهما مشروح في أقسام الدليل أدناه.
10. انسخ أو صدر أو أعد الضبط. استخدم نسخ النتيجة للإجابة، وصدر الجدول بصيغة CSV لعملك، أو إعادة ضبط لمسح اللوحة. وتحمل الأزرار الجاهزة أمثلة موثقة فورا: القطع المكافئ والخط المستقيم والخط الأفقي وربع الدائرة والمكعب ومنحنى الجيب.

جرب مثالا. y = x² على [0, 2] مع n = 4 يعطي L₄ = 4.6267234873 وحدة، مقابل مرجع 4.6467837624 وحدة. و y = 3x + 1 على [0, 4] مع n = 4 يعطي 12.6491106407 وحدة بالضبط. و y = 2 على [1, 5] مع n = 4 يعطي 4.0000000000 وحدة بالضبط. وربع الدائرة البارامتري نصف قطرها 5 يعطي 7.8539816340 وحدة. و y = x³ على [0, 1] مع n = 4 يعطي 1.5330289642 وحدة، و y = sin(x) على [0, π] مع n = 8 يعطي 3.8201978627 وحدة.

نصائح مهمة. اشتق الدالة أولا دائما: فالمكامل يستخدم f'(x) لا f(x). وخذ العينة عند نقاط المنتصف لا عند نقطتي الطرفين، وإلا حسبت قاعدة أخرى. واجعل وحدة الزاوية بالراديان للدوال المثلثية. ولا تقرب نقاط المنتصف أو قيم المكامل في أثناء الحساب، لأن تلك التقريبات الصغيرة تتراكم عبر المستطيلات الكثيرة. وإذا كانت الدالة غير معرفة عند نقطة منتصف، فستبلغ الحاسبة عن خطأ بدلا من تخطي العينة بصمت.

التكامل العددي هو فن تقدير تكامل محدد عندما يصعب إيجاد مشتق عكسي دقيق، أو عندما لا تتوفر إلا قيم معينة. وقاعدة نقطة المنتصف من أبسط طرق التكامل العددي وأوثقها. فهي تقدر المساحة تحت منحنى بتغطيته بمستطيلات وجمع مساحاتها.

يقسم مجموع ريمان الفترة [a, b] إلى n فترة جزئية متساوية، عرض كل منها Δx = (b - a) / n، ويبني مستطيلا واحدا على كل فترة جزئية. وارتفاع كل مستطيل هو قيمة الدالة عند نقطة عينة واحدة داخل تلك الفترة الجزئية. فمجاميع الطرف الأيسر تأخذ العينة عند الحافة اليسرى، ومجاميع الطرف الأيمن تأخذها عند الحافة اليمنى، وقاعدة نقطة المنتصف تأخذ العينة عند مركز كل فترة جزئية.

أخذ العينة عند المركز هو الفكرة الأساسية. فعلى فترة جزئية قصيرة، المنحنى الذي يصعد على أحد جانبي نقطة المنتصف يهبط على الجانب الآخر بمقدار مشابه، فيلغي التجاوز على نصف النقص على النصف الآخر تقريبا. وهذا الإلغاء هو سبب تفوق قاعدة نقطة المنتصف في الدقة على قاعدتي الطرف الأيسر والأيمن بنفس عدد المستطيلات، وسبب تقلص خطئها مع مربع عرض الفترة الجزئية.

لدالة g(x) على [a, b]، تكون قاعدة نقطة المنتصف المركبة هي:

حيث x_i* هي نقطة منتصف الفترة الجزئية رقم i، ويمتد المجموع على جميع الفترات الجزئية وعددها n. وكل حد Δx × g(x_i*) هو مساحة مستطيل واحد، ومجموع مساحات كل المستطيلات هو تقريب التكامل.

تستخدم قاعدة نقطة المنتصف أبعد بكثير من واجبات التفاضل والتكامل. فالمهندسون يستخدمونها لتقدير التكاملات في تحليل الإجهاد ومعالجة الإشارات، والفيزيائيون يستخدمونها في المحاكاة العددية، والرسوميات الحاسوبية تستخدمها لقياس أطوال المنحنيات ومساحات السطوح. ويجعل مزيجها من البساطة والدقة من الدرجة الثانية خيارا أول قياسيا كلما لم يكن للتكامل صيغة مغلقة مرتبة.

لماذا تتفوق نقاط المنتصف على نقطتي الطرفين. خذ g(x) = x على [0, 1] مع n = 1. فيعطي مجموع الطرف الأيسر 0، ومجموع الطرف الأيمن 1، ومجموع نقطة المنتصف 0.5، وهي الإجابة الدقيقة. فنقطة المنتصف ترى السلوك المتوسط للدالة عبر الفترة الجزئية، بينما لا ترى نقطة الطرف إلا جانبا واحدا منها. وينطبق هذا التفوق على أي دالة ملساء، وهو سبب كون قاعدة نقطة المنتصف مجموع ريمان الافتراضي في معظم العمل العددي.

طول القوس هو المسافة المقيسة على طول منحنى، لا المسافة المستقيمة بين نقطتي طرفيه. فطريق يتلوى بين التلال أطول من الخط المستقيم المرسوم بين طرفيه على الخريطة. وسلك منحنى أطول من الفجوة التي يمتد عليها. فطول القوس يقيس المسار الملتوي نفسه.

لإيجاد ذلك الطول، تخيل تقطيع المنحنى إلى قطع صغيرة كثيرة. فكل قطعة صغيرة قصيرة جدا حتى تكاد تكون مستقيمة، فيقترب طولها من الخط المستقيم الواصل بين طرفيها. وبنظرية فيثاغورس، قطعة صغيرة تتحرك Δx أفقيا و Δy عموديا طولها قريب من √(Δx² + Δy²). وجمع كل القطع الصغيرة يعطي الطول الكلي، وتحويل القطع إلى صفر يحول المجموع إلى تكامل.

لمنحنى y = f(x)، تنتج خطوة أفقية صغيرة dx تغيرا عموديا dy = f'(x) dx، فيكون عنصر الطول الصغير هو:

وجمع كل عناصر الطول من a إلى b يعطي تكامل طول القوس:

وتفسر تلك الصيغة سبب دخول المشتقة. فالمنحنى الحاد يغير الارتفاع بسرعة، فتكون f'(x) كبيرة، ويكون المكامل √(1 + [f'(x)]²) كبيرا، وتسهم كل وحدة مسافة أفقية بأكثر من وحدة طول منحنى. أما المنحنى المسطح فتكون f'(x) قريبة من الصفر، ويكون المكامل قريبا من 1، ويكون طول القوس قريبا من المسافة الأفقية b - a.

طول القوس أطول من الوتر دائما أو يساويه. الخط المستقيم بين نقطتي الطرفين هو أقصر مسار بينهما، فلا يمكن أن يكون المنحنى أقصر منه أبدا. فالقطع المكافئ y = x² على [0, 2] وتره من (0, 0) إلى (2, 4) هو √(20) = 4.4721359550 وحدة، بينما طول قوسه الحقيقي 4.6467837624 وحدة، أطول بمقدار 0.1746478074 وحدة. ولمنحنى الجيب y = sin(x) على [0, π] الوتر هو π = 3.1415926536 وحدة والقوس 3.8201977890 وحدة، أطول بمقدار 0.6786051354 وحدة. والتحقق من أن القوس يتجاوز الوتر اختبار سلامة سريع لأي إجابة طول قوس.

معظم تكاملات طول القوس ليس لها مشتق عكسي أولي. فتكامل القطع المكافئ ∫ √(1 + 4x²) dx يمكن حله بتعويض، لكن تكامل الجيب ∫ √(1 + cos²x) dx لا يمكن التعبير عنه بدوال أولية أبدا. وهنا بالضبط تثبت قاعدة نقطة المنتصف جدواها: فهي تقدر التكامل عدديا دون حاجة إلى مشتق عكسي.

يبدأ حساب طول القوس بقاعدة نقطة المنتصف من تكامل طول القوس الدقيق ويستبدل التكامل بمجموع مساحات المستطيلات. عرف مكامل طول القوس:

عندها يكون طول القوس الدقيق هو L = ∫_a^b g(x) dx، وتقرب قاعدة نقطة المنتصف ذلك التكامل. قسم [a, b] إلى n فترة جزئية متساوية. وعرض الفترة الجزئية هو:

ونقطة منتصف الفترة الجزئية رقم i، مع عد i من 0، هي:

قيّم المكامل عند كل نقطة منتصف، واضرب كل قيمة في Δx، واجمع النتائج:

لكل رمز معنى دقيق:

تحقق عملي. لـ y = x² على [0, 2] مع n = 4، يكون العرض Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5، ونقاط المنتصف هي 0.25 و 0.75 و 1.25 و 1.75، وقيم المكامل هي 1.1180339887 و 1.8027756377 و 2.6925824036 و 3.6400549446. ومجموعها 9.2534469747، والضرب في 0.5 يعطي L₄ = 4.6267234873 وحدة. ويظهر كل عدد في هذه السلسلة في لوحة الحل خطوة بخطوة في الحاسبة وفي جدول الحساب الخاص بها.

لمنحنى بارامتري x = x(t) و y = y(t)، تنطبق الفكرة نفسها على فترة الوسيط [t₁, t₂]، حيث تؤدي السرعة v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) دور المكامل. والصيغة البارامترية مشروحة في قسم خاص بها أدناه.

يتبع حساب قاعدة نقطة المنتصف عشر خطوات، وتنفذها الحاسبة كلها تلقائيا. والعمل بها يدويا مرة واحدة يجعل الأداة أسهل للثقة بها واستخدامها بكثير. ويستخدم المثال المحلول أدناه y = x² على [0, 2] مع n = 4، وهو المثال نفسه الذي تحمله الحاسبة بوصفه أول إعداد جاهز.

1. حدد الدالة. f(x) = x².
2. جد مشتقتها الأولى. f'(x) = 2x.
3. حدد فترة التكامل. a = 0 و b = 2.
4. اختر عدد الفترات الجزئية. n = 4.
5. احسب عرض الفترة الجزئية. Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5.
6. حدد نقطة منتصف كل فترة جزئية. x₀* = 0.25 و x₁* = 0.75 و x₂* = 1.25 و x₃* = 1.75. وتقع كل نقطة منتصف في منتصف حدود فترتها الجزئية تماما: فـ 0.25 في منتصف 0 و 0.5، و 0.75 في منتصف 0.5 و 1، وهكذا.
7. قيّم مكامل طول القوس عند كل نقطة منتصف. g(x) = √(1 + 4x²)، فتكون g(0.25) = 1.1180339887 و g(0.75) = 1.8027756377 و g(1.25) = 2.6925824036 و g(1.75) = 3.6400549446.
8. اضرب كل قيمة في عرض الفترة الجزئية. ومساهمات المستطيلات الأربع هي 0.5 × 1.1180339887 = 0.5590169944 و 0.5 × 1.8027756377 = 0.9013878189 و 0.5 × 2.6925824036 = 1.3462912018 و 0.5 × 3.6400549446 = 1.8200274723.
9. اجمع كل المساهمات. 0.5590169944 + 0.9013878189 + 1.3462912018 + 1.8200274723 = 4.6267234873.
10. فسر طول القوس التقريبي. L₄ = 4.6267234873 وحدة. والمرجع عالي الدقة هو 4.6467837624 وحدة، فيكون هذا التقريب أقل بمقدار 0.0200602751 وحدة، أي خطأ نسبي 0.4317%.

وتنطبق الخطوات العشر نفسها على أي دالة. فلـ y = x³ على [0, 1] مع n = 4، تكون المشتقة f'(x) = 3x²، والعرض Δx = 0.25، ونقاط المنتصف 0.125 و 0.375 و 0.625 و 0.875، وقيم المكامل 1.0010980300 و 1.0853471867 و 1.5405489332 و 2.5051217067، ومجموعها 6.1321158566، والضرب في 0.25 يعطي L₄ = 1.5330289642 وحدة، مقابل مرجع 1.5478656547 وحدة.

مثال محلول ثان بدالة مثلثية. لـ y = sin(x) على [0, π] مع n = 8، تكون المشتقة f'(x) = cos(x)، والعرض Δx = π / 8 = 0.3926990817، ونقاط المنتصف الثماني هي π/16 و 3π/16 و 5π/16 و 7π/16 و 9π/16 و 11π/16 و 13π/16 و 15π/16. وقيم المكامل بالترتيب هي 1.4006926023 و 1.3005159423 و 1.1439660326 و 1.0188524102 و 1.0188524102 و 1.1439660326 و 1.3005159423 و 1.4006926023. ومجموعها 9.7280539749، والضرب في 0.3926990817 يعطي L₈ = 3.8201978627 وحدة، مقابل مرجع 3.8201977890 وحدة، أي خطأ مطلق 0.0000000736 وحدة فقط.

كل مستطيل من مستطيلات نقطة المنتصف صورة صغيرة صادقة لجزء واحد من التكامل. وله ثلاثة أجزاء، ولكل جزء معنى واضح.

للقطع المكافئ y = x² على [0, 2] مع n = 4، يكون عرض المستطيلات الأربع 0.5 كلها. وارتفاعاتها هي 1.1180339887 و 1.8027756377 و 2.6925824036 و 3.6400549446، ومساحاتها 0.5590169944 و 0.9013878189 و 1.3462912018 و 1.8200274723. والمساحة الكلية 4.6267234873 وحدة، وهي تقريب نقطة المنتصف L₄ نفسه بالضبط.

لماذا يقرب مجموع المساحات التكامل. التكامل ∫_a^b g(x) dx هو المساحة الدقيقة تحت منحنى المكامل. ويستبدل كل مستطيل الشريط المنحني فوق فترة جزئية واحدة بشريط مسطح القمة بنفس العرض، مستخدما ارتفاع نقطة المنتصف ارتفاعا ممثلا. وحيث ينحني المكامل إلى أعلى، يقطع السطح المسطح مساحة صغيرة على جانب ويضيف مساحة صغيرة على الجانب الآخر. ولأن العينة تؤخذ عند المركز، يكاد هذان الخطآن يلغيان بعضهما، فتكون مساحة المستطيل قريبة من مساحة الشريط الحقيقية. وجمع المستطيلات يعطي تقديرا للمساحة كلها، ومن ثم لطول القوس.

أكثر أخطاء المخطط شيوعا. يجب رسم المستطيلات تحت منحنى المكامل g(x) = √(1 + [f'(x)]²)، لا تحت المنحنى الأصلي f(x). فالمنحنى الأصلي والمكامل رسمان مختلفان بارتفاعات مختلفة: فلـ y = x² على [0, 2]، يمتد المنحنى الأصلي من 0 إلى 4، بينما يمتد المكامل من 1 إلى √(17) = 4.1231056256. ولو رسمت المستطيلات تحت المنحنى الأصلي لجمعت المساحة تحت f(x)، وهي لا علاقة لها بطول القوس. وتفصل الحاسبة بين الرسمين، ويظهر مخطط الدليل أعلاه المستطيلات تحت المكامل فقط.

قراءة مستطيل. يظهر التحويم فوق مستطيل في الحاسبة أو تحديده رقم فترته الجزئية وحديه الأيسر والأيمن ونقطة منتصفه والمشتقة عند نقطة المنتصف وقيمة المكامل ومساهمة المستطيل. وهذا التفصيل هو ما يجعل الجدول مفيدا للواجبات: فكل عدد في الإجابة النهائية يمكن تتبعه إلى مستطيل واحد.

عدد الفترات الجزئية n هو أهم عنصر تحكم في الحاسبة، لأنه يقرر مدى دقة المستطيلات. فـ n صغير يعني مستطيلات قليلة عريضة. و n كبير يعني مستطيلات كثيرة ضيقة تتبع منحنى المكامل عن قرب.

ماذا يحدث عندما يكون n صغيرا. مع n = 1، تكون الفترة كلها مستطيلا واحدا، وتكون الإجابة Δx × g(نقطة المنتصف). وللقطع المكافئ y = x² على [0, 2]، يعطي n = 1 ما مقداره 2 × √(5) = 4.4721359550 وحدة، أي أقل من القيمة الحقيقية 4.6467837624 وحدة بمقدار 0.1746478074 وحدة. فالمستطيل الواحد لا يستطيع تتبع المكامل وهو يصعد من 1 إلى 4.1231056256، فيكون الخطأ كبيرا. ومع n = 2 تتحسن الإجابة إلى 4.5764912225 وحدة. ومع n = 4 تكون 4.6267234873 وحدة. ومع n = 8 تكون 4.6417306581 وحدة. ومع n = 16 تكون 4.6455205322 وحدة، ومع n = 32 تكون 4.6464679593 وحدة.

كيف يتقلص الخطأ. لمكامل أملس، يكون خطأ قاعدة نقطة المنتصف متناسبا مع 1 / n². فمضاعفة n تقطع الخطأ إلى الربع تقريبا. وتظهر أرقام القطع المكافئ ذلك بوضوح: فيهبط الخطأ من 0.0200602751 وحدة عند n = 4 إلى 0.0050531044 وحدة عند n = 8، ثم إلى 0.0012632302 وحدة عند n = 16، ثم إلى 0.0003158031 وحدة عند n = 32. وتقسم كل مضاعفة الخطأ على أربعة تقريبا. ويسمى هذا السلوك 1 / n² تقاربا من الدرجة الثانية، وهو سبب فعالية قاعدة نقطة المنتصف الكبيرة: فزيادة متواضعة في n تشتري تحسنا كبيرا في الدقة.

لماذا لا يكون التحسن رتيبا دائما. يتقلص الخطأ عادة مع نمو n، لكنه لا يجب أن يتقلص عند كل خطوة لكل دالة. ويظهر منحنى الجيب نسخة خفيفة من ذلك: فـ n = 2 يعطي 3.8476494905 وحدة، وهي تتجاوز المرجع 3.8201977890 وحدة، بينما n = 4 يعطي 3.8204517876 وحدة، وهي أقرب بكثير. فعبر التقريب من فوق القيمة الحقيقية إلى قيمة فوقها بقليل، وظل الخطأ يتقلص إجمالا. وللدوال ذات الانعطافات الحادة أو التذبذبات أو شبه التفردات، قد يتذبذب الخطأ مع تغير n، رغم أن الاتجاه العام هابط. ولا تفترض أبدا أن n أكبر يعطي إجابة أفضل عند خطوة واحدة؛ بل تحقق من جدول التقارب.

كلفة n أكبر. فترات جزئية أكثر تعني حسابا أكثر: تقييمات مشتقة أكثر وقيم مكامل أكثر وصفوف جدول أكثر. فلـ n = 5000، تنفذ الحاسبة 5000 تقييم، وهو سريع لحاسوب لكنه ينتج جدولا أطول من أن يقرأ صفا صفا، فتقسمه الحاسبة إلى صفحات. والقاعدة العملية هي رفع n حتى تتوقف الإجابة عن التغير عند الدقة التي تحتاجها. فإذا اتفق n = 100 و n = 200 حتى ستة منازل عشرية، فـ n = 100 يكفي، و n = 5000 لا يضيف إلا عملا.

اختيار n عمليا. استخدم n = 4 أو n = 8 أثناء التعلم، لأن الجدول يبقى قصيرا بما يكفي للتحقق يدويا. واستخدم n = 50 أو n = 100 لإجابات الواجبات التي تحتاج أربع أو خمس منازل عشرية صحيحة. واستخدم n = 1000 أو أكثر فقط عندما تحتاج دقة عالية جدا، أو عندما يتغير المكامل بسرعة على الفترة. وتعرض لوحة التقارب n و 2n و 4n معا، فترى الإجابة تستقر دون تخمين.

قاعدة نقطة المنتصف واحدة من ثلاث طرق كلاسيكية للتكامل العددي، وتأخذ كل منها عينات من المكامل بطريقة مختلفة. ومعرفة اختلافها تساعدك على اختيار الأداة الصحيحة وفهم سبب اختلاف إجاباتها.

قاعدة نقطة المنتصف. تأخذ العينة عند مركز كل فترة جزئية وتبني مستطيلات. وخطؤها O(1 / n²)، وهي نفس رتبة قاعدة شبه المنحرف، لكن قاعدة نقطة المنتصف أدق عادة بمرتين تقريبا من قاعدة شبه المنحرف لنفس n، لأن عينة المركز تلغي الخطأ الرئيسي. وتحتاج n تقييما فقط، واحدا لكل فترة جزئية، وتعمل لأي n موجب.

قاعدة شبه المنحرف. تأخذ العينة عند نقطتي الطرفين وتصلهما بخطوط مستقيمة، فتكون أشباه منحرف. وتشترك مع قاعدة نقطة المنتصف في رتبة الخطأ O(1 / n²)، لكن خطأها عادة معاكس الإشارة: فلمكامل محدب، تبالغ قاعدة شبه المنحرف بينما تقلل قاعدة نقطة المنتصف، أو العكس. ويعطي توسط الاثنتين تركيبة شبه المنحرف ونقطة المنتصف، وهي أساس قاعدة سمبسون. جرب حاسبة قاعدة شبه المنحرف لمقارنة الطريقتين على الدالة نفسها.

قاعدة سمبسون. تلائم قطعا مكافئا يمر بنقطتي الطرفين ونقطة منتصف كل زوج من الفترات الجزئية، وهو ما يحتاج عددا زوجيا من الفترات الجزئية. وخطؤها O(1 / n⁴)، فتتقارب أسرع بكثير من الطريقتين الأخريين للدوال الملساء. وثمن ذلك قيد n الزوجي وتقييمات أكثر لكل فترة جزئية. جرب حاسبة قاعدة سمبسون عندما تحتاج دقة عالية بفترات جزئية قليلة.

مقارنة بالأرقام. للقطع المكافئ y = x² على [0, 2] مع n = 4، تعطي قاعدة نقطة المنتصف 4.6267234873 وحدة، وقاعدة شبه المنحرف 4.6870560064 وحدة، وقاعدة سمبسون 4.6502010785 وحدة، مقابل المرجع 4.6467837624 وحدة. وخطأ نقطة المنتصف 0.0200602751 وحدة، وخطأ شبه المنحرف 0.0402722440 وحدة، وخطأ سمبسون 0.0034173160 وحدة. وتفوز سمبسون هنا كما تفوز عادة للدوال الملساء، لكن قاعدة نقطة المنتصف أبسط، ولا تحتاج قيد n الزوجي، وهي الخيار الطبيعي عندما لا تتوفر إلا عينات نقطة المنتصف.

أي قاعدة تستخدم؟ استخدم قاعدة نقطة المنتصف عندما تريد تقديرا بسيطا موثوقا، أو عندما تأخذ عينات دالة عند نقاط داخلية متباعدة بانتظام، أو عندما تدرس مجاميع ريمان. واستخدم قاعدة شبه المنحرف عندما تكون قيم نقطتي الطرفين هي البيانات الطبيعية، مثل قياسات تؤخذ عند طرفي كل فترة. واستخدم قاعدة سمبسون عندما تكون الدالة ملساء وتحتاج دقة عالية مع n صغير. ولطول القوس تحديدا، لقاعدة نقطة المنتصف ميزة عملية: فهي لا تقيّم المكامل عند نقطتي الطرفين أبدا، حيث يمكن أن تكون الدالة غير معرفة أو متفردة، فيمكنها معالجة منحنيات لا تستطيع القاعدتان الأخريان البدء بها.

يختلف كل تقريب نقطة منتصف عن طول القوس الحقيقي بمقدار ما، وفهم ذلك الخطأ هو ما يحول رقما إلى إجابة موثوقة. وهناك ثلاث طرق مختلفة للحديث عن الخطأ، ويجب عدم الخلط بينها.

الخطأ المطلق. الخطأ المطلق هو حجم الفجوة بين التقريب والقيمة الحقيقية: |L - L_n|. وللقطع المكافئ مع n = 4، يكون الخطأ المطلق |4.6467837624 - 4.6267234873| = 0.0200602751 وحدة. ولمنحنى الجيب مع n = 8، يكون |3.8201977890 - 3.8201978627| = 0.0000000736 وحدة. ويقاس الخطأ المطلق بنفس وحدات الطول نفسه.

الخطأ النسبي. يقسم الخطأ النسبي الخطأ المطلق على حجم القيمة الحقيقية، ويعطى عادة نسبة مئوية: |L - L_n| / |L| × 100. وللقطع المكافئ مع n = 4، يكون الخطأ النسبي 0.4317%. وللمكعب مع n = 4، يكون 0.9585%. ولمنحنى الجيب مع n = 8، يكون 0.00000193%. والخطأ النسبي هو الطريقة العادلة لمقارنة الدقة عبر مسائل بأحجام مختلفة: فخطأ 0.02 وحدة لا يهم كثيرا على طول 100 وحدة ويهم كثيرا على طول 0.1 وحدة.

مؤشر الخطأ القائم على التحسين. في العمل الحقيقي تكون القيمة الحقيقية مجهولة، فلا يمكن حساب الخطأ المطلق مباشرة. فقارن تقريبين بدلا من ذلك: فالفرق |M_2n - M_n| يظهر كم تحركت الإجابة عندما صقل التقسيم. وللقطع المكافئ، |M₈ - M₄| = |4.6417306581 - 4.6267234873| = 0.0150071707 وحدة. وهذا الفرق إشارة تحذير عملية: فإن كان كبيرا، فالإجابة ما زالت تتحرك ويجب رفع n. وهو مؤشر لا حد مضمون: فالخطأ الحقيقي قد يكون أكبر من فرق التحسين أو أصغر منه، ويكون عادة ثلثه تقريبا لقاعدة نقطة المنتصف، لأن الخطأ يتقلص بمعامل أربعة عند كل مضاعفة.

الحد النظري للخطأ. لمكامل g(x) أملس بما يكفي، يحقق خطأ قاعدة نقطة المنتصف المركبة ما يلي:

ويحتاج الحد إلى أقصى قيمة للمشتقة الثانية للمكامل على الفترة، وهو ما يصعب إيجاده بدقة غالبا. ولمكامل القطع المكافئ g(x) = √(1 + 4x²)، تكون المشتقة الثانية g''(x) = 4 / (1 + 4x²)^3/2، وأكبر قيمة لها على [0, 2] هي 4 عند x = 0. فيكون حد n = 4 هو (8 / (24 × 16)) × 4 = 0.0833333333 وحدة، والخطأ الفعلي 0.0200602751 وحدة يقع بأمان داخله. ولـ n = 8 يكون الحد 0.0208333333 وحدة. والحد صادق لكنه واسع: فهو يبالغ في الخطأ الحقيقي بمعامل أربعة هنا، وهو أمر معتاد.

متى لا ينطبق الحد. يفترض حد الخطأ أن المكامل أملس، وله مشتقة ثانية محدودة. فدالة ذات زاوية أو قفزة أو تفرد تكسر ذلك الافتراض، فيكون الحد غير موجود أو كبيرا بلا فائدة. ولا تخترع الحاسبة حدا عندما لا تستطيع توثيقه. وفي تلك الحالة تعرض فرق التحسين وتشرح حدوده، وهي الإجابة الصادقة.

لماذا تهم الملاسة. يعتمد سلوك الخطأ 1 / n² على كون المكامل أملس بما يكفي ليعمل إلغاء نقطة المنتصف. فمكامل أملس مثل √(1 + 4x²) يتقارب بنظافة. ومكامل ذو زاوية حادة يتقارب أبطأ، ومكامل ذو تفرد قد يتقارب ببطء شديد أو لا يتقارب أبدا. فإذا كانت مضاعفة n لا تغير الإجابة إلا قليلا، فقد تكون الدالة ملساء ودقيقة أصلا. وإذا غيرت مضاعفة n الإجابة كثيرا، فإما أن الدالة خشنة أو أن n ما زال صغيرا جدا.

استقراء ريتشاردسون حيلة بسيطة تحول تقريبي نقطة منتصف إلى تقدير واحد أفضل بكثير. فهو يستخدم النمط المعروف لخطأ قاعدة نقطة المنتصف لإلغاء حد الخطأ الرئيسي.

لمكامل أملس، يكون خطأ تقريب نقطة المنتصف مع n فترة جزئية سلوكه مثل C / n²، حيث C ثابت يعتمد على الدالة لا على n. فمضاعفة الفترات الجزئية إلى 2n تقسم الخطأ على أربعة. وهذا يعطي معادلتين في مجهولين، القيمة الحقيقية L والثابت C:

وحل المعادلتين لـ L يلغي C ويترك تقدير ريتشاردسون المستقرأ:

مثال محلول. للقطع المكافئ y = x² على [0, 2]، يكون M₄ = 4.6267234873 وحدة و M₈ = 4.6417306581 وحدة. ويكون تقدير ريتشاردسون L_R = (4 × 4.6417306581 - 4.6267234873) / 3 = 4.6467330483 وحدة. والقيمة الحقيقية 4.6467837624 وحدة، فيكون خطأ الاستقراء 0.0000507141 وحدة فقط، وهو أصغر بكثير من خطأ M₄ الأصلي 0.0200602751 وحدة. وقد اشترى الاستقراء دقة n أكبر بكثير باستخدام حسابي n = 4 و n = 8 فقط.

مثال محلول بمنحنى الجيب. لـ y = sin(x) على [0, π]، يكون M₈ = 3.8201978627 وحدة و M₁₆ = 3.8201977890 وحدة. ويكون تقدير ريتشاردسون L_R = (4 × 3.8201977890 - 3.8201978627) / 3 = 3.8201977645 وحدة، مقابل المرجع 3.8201977890 وحدة، أي خطأ 0.0000000245 وحدة فقط.

مثال محلول بالمكعب. لـ y = x³ على [0, 1]، يكون M₄ = 1.5330289642 وحدة و M₈ = 1.5441590533 وحدة. ويكون تقدير ريتشاردسون L_R = (4 × 1.5441590533 - 1.5330289642) / 3 = 1.5478690830 وحدة، مقابل المرجع 1.5478656547 وحدة، أي خطأ 0.0000034283 وحدة. وكان خطأ M₄ الأصلي 0.0148366905 وحدة، فقطع الاستقراء بمعامل 4327.7 تقريبا.

ما ليس استقراء ريتشاردسون. القيمة المستقرأة تقدير محسن، لا نتيجة قاعدة نقطة المنتصف ولا إجابة دقيقة مضمونة. فهي تفترض أن الخطأ يسلك فعلا مثل C / n²، وهو ما ينطبق على المكاملات الملساء ويفشل مع المكاملات الخشنة. فإذا كان للمكامل زاوية أو تفرد، فقد يكون الاستقراء أسوأ من التقريب الأصلي، فتعرض الحاسبة نتيجة نقطة المنتصف الأصلية أولا دائما وتوسم القيمة المستقرأة وحدها. واستقراء ريتشاردسون هو أيضا الفكرة وراء تكامل رومبرغ، الذي يكرر الحيلة نفسها على عدة مستويات ليصل إلى دقة عالية جدا.

بعض المنحنيات لا يمكن كتابتها على الصورة y = f(x). فالدائرة مثلا تعطي قيمتي y لمعظم قيم x، فلا تصفها دالة واحدة. وتحل المنحنيات البارامترية ذلك بوصف كلا الإحداثيين دالتين في وسيط t: فـ x = x(t) و y = y(t). ومع سريان t من t₁ إلى t₂، ترسم النقطة (x(t), y(t)) المنحنى.

لمنحنى بارامتري، يأتي عنصر الطول الصغير من الحركة في كلا الإحداثيين: ds = √(dx² + dy²). وبكتابة dx = x'(t) dt و dy = y'(t) dt نحصل على تكامل طول القوس البارامتري:

والكمية تحت الجذر هي السرعة v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²)، أي معدل تحرك النقطة على المنحنى مع تغير t. وتنطبق قاعدة نقطة المنتصف على فترة الوسيط كما تنطبق تماما على فترة x: فقسم [t₁, t₂] إلى n قسما متساويا عرضها Δt = (t₂ - t₁) / n، وخذ عينة من السرعة عند وسيطات نقطة المنتصف t_i* = t₁ + (i + ½)Δt، واجمع المساهمات:

مثال محلول: ربع الدائرة. خذ x(t) = 5 cos(t) و y(t) = 5 sin(t) على [0, π/2] مع n = 4. والمشتقتان هما x'(t) = -5 sin(t) و y'(t) = 5 cos(t). والسرعة هي v(t) = √(25 sin²(t) + 25 cos²(t)) = √(25) = 5، وهي ثابتة، لأن sin²(t) + cos²(t) = 1. وعرض الوسيط هو Δt = (π/2 - 0) / 4 = π/8 = 0.3926990817، ووسيطات نقطة المنتصف هي π/16 و 3π/16 و 5π/16 و 7π/16. وكل قيمة سرعة هي 5، فكل مساهمة هي 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085، والمجموع 4 × 1.9634954085 = 7.8539816340 وحدة، وهو 5π/2 بالضبط. وقاعدة نقطة المنتصف دقيقة هنا لأي n، لأن السرعة ثابتة.

لماذا يهم الشكل البارامتري. منحنيات حقيقية كثيرة بارامترية بطبيعتها: الدوائر والقطوع الناقصة واللوالب ومنحنيات بيزييه في برامج التصميم ومسارات الأجسام المتحركة في الفيزياء والروبوتات. ولا يستطيع الشكل الصريح y = f(x) وصف منحنى يعود على نفسه، لكن الشكل البارامتري يستطيع. وتتعامل الحاسبة مع الشكلين بنفس محرك نقطة المنتصف ونفس الجدول ونفس تحليل التقارب. ولمزيد عن المنحنيات البارامترية، انظر حاسبة طول القوس البارامتري.

تحذير عن الوسيط. الوسيط t ليس طول القوس نفسه إلا إذا كانت السرعة 1. فخطوات متساوية في t تعطي خطوات متساوية على المنحنى فقط عندما تكون السرعة ثابتة. ولمنحنى بارامتري عام، تعمل قاعدة نقطة المنتصف صحيحا، لأنها تكامل السرعة، لكن المستطيلات متساوية في t لا متساوية في المسافة على المنحنى. ولا بأس في ذلك: فالصيغة تراعي ذلك من خلال v(t).

تفيد قاعدة نقطة المنتصف أينما احتاج تكامل إلى تقدير عددي، وطول القوس واحد فقط من أعمالها. فبساطتها ودقتها من الدرجة الثانية وتساهلها مع مشاكل نقطتي الطرفين تجعلها أداة أساسية في مجالات كثيرة.

التفاضل والتكامل العددي والتعليم. قاعدة نقطة المنتصف غالبا أول طريقة تكامل عددي يلقاها الطلاب، لأن المستطيلات سهلة الرسم وفكرة نقطة المنتصف سهلة الفهم. وهي تدرس مجاميع ريمان والتقارب وتحليل الخطأ في حزمة واحدة. وجدول هذه الحاسبة ومخططاتها مبنية لهذا الغرض بالضبط: فكل عدد في الإجابة يمكن تتبعه إلى مستطيل واحد.

الهندسة. يقدر المهندسون أطوال الأجزاء المنحنية والكابلات والأنابيب وانعطافات الطرق من نماذج رياضية. وعندما يكون المنحنى كثير حدود أو دالة مثلثية، لا يكون لتكامل طول القوس صيغة مغلقة غالبا، فتكون الطريقة العددية هي الخيار الوحيد. وتعطي قاعدة نقطة المنتصف إجابة سريعة مع تقدير خطأ واضح، ورفع n يصقلها بقدر ما يحتاج التصميم.

الفيزياء. يكامل الفيزيائيون على المسارات لحساب الشغل والمسافة المقطوعة والكميات الميدانية. فجسيم يتحرك على مسار منحنى يقطع مسافة تساوي طول قوس مساره، وتقدر قاعدة نقطة المنتصف تلك المسافة من بيانات السرعة. وتقدر الطريقة نفسها تكاملات في الديناميكا الحرارية والبصريات وميكانيكا الكم، أينما كان المشتق العكسي التحليلي بعيد المنال.

الرسوميات الحاسوبية والتصميم بمساعدة الحاسوب. ترسم المنحنيات على الشاشة بقطع مستقيمة قصيرة كثيرة، ويقدر الطول الكلي للمنحنى بجمع تلك القطع، وهو شكل من التكامل العددي. وتعتمد حدود الخطوط ومسارات الحركة ومسارات أدوات التصميم بمساعدة الحاسوب كلها على قياس دقيق لطول المنحنى. وتعطي قاعدة نقطة المنتصف طريقة مبدئية لقياس تلك الأطوال بدلا من التخمين من صورة.

قياس المنحنيات والروبوتات. ذراع روبوت يحرك قابضه على قوس دائري، أو آلة تحكم عددي تقطع حافة منحنية، أو مساح يقيس حدودا منحنية، كلها تحتاج طول منحنى لا يعرف إلا من معادلته أو من نقاط معينة. وتحول قاعدة نقطة المنتصف تلك العينات إلى طول، مع تقدير خطأ يقول إلى أي مدى يمكن الوثوق بالإجابة.

النمذجة العلمية والهندسة الحسابية. تكامل نماذج في الأحياء والمالية وعلم المناخ دوال لا تعرف إلا عند نقاط منفصلة. وقاعدة نقطة المنتصف هي الخيار الطبيعي عندما تكون البيانات عينات تؤخذ عند مراكز الفترات، وهو شائع في قراءات الحساسات ومخرجات المحاكاة. وفي الهندسة الحسابية، تقيس محيطات الأشكال المنحنية وأطوال منحنيات الشرائح.

متى لا تستخدمها. قاعدة نقطة المنتصف خيار ضعيف عندما يكون للمكامل تفرد داخل الفترة، أو عندما تكون الدالة غير متصلة، أو عندما تحتاج دقة عالية جدا بتقييمات قليلة: فقاعدة سمبسون أو طريقة تكيفية ستؤدي أفضل هناك. وهي أيضا الأداة الخاطئة عندما لا يكون التكامل نفسه هو السؤال، مثلما عندما يكون طول قوس بصيغة مغلقة معروفا أصلا. فدائرة نصف قطرها 5 لها قوس ربع دائرة 5π/2 = 7.8539816340 وحدة بالضبط، ولا يمكن لأي طريقة عددية أن تحسن ذلك.

معظم إجابات نقطة المنتصف الخاطئة تأتي من قائمة قصيرة من الأخطاء. ويستغرق التحقق من كل منها ثواني ويوفر معظم الأخطاء.

1. استخدام نقطتي الطرفين بدلا من نقاط المنتصف. أخذ العينة عند الحافة اليسرى أو اليمنى لكل فترة جزئية يحسب مجموع ريمان الأيسر أو الأيمن، لا قاعدة نقطة المنتصف. وللقطع المكافئ y = x² على [0, 2] مع n = 4، يكون مجموع الطرف الأيسر 3.75 وحدة ومجموع الطرف الأيمن 5.75 وحدة، بينما تعطي قاعدة نقطة المنتصف 4.6267234873 وحدة. وقيمة نقطة المنتصف وحدها هي إجابة قاعدة نقطة المنتصف.
2. نسيان اشتقاق الدالة. المكامل هو g(x) = √(1 + [f'(x)]²)، لا √(1 + [f(x)]²). فلـ y = x²، يعطي استخدام f(x) بدلا من f'(x) تكامل √(1 + x⁴)، وهو عدد مختلف تماما. اشتق أولا دائما.
3. استخدام مكامل طول قوس خاطئ. يجب أن يكون المكامل √(1 + [f'(x)]²). فإسقاط 1 أو نسيان التربيع أو أخذ الجذر التربيعي لكمية خاطئة كلها تعطي إجابات خاطئة. ولخط مستقيم ميله 3، يكون المكامل الثابت √(10) = 3.1622776602، لا 3 ولا √(1 + 3).
4. تقسيم الفترة خطأ. العرض هو Δx = (b - a) / n، وطول الفترة الكامل في البسط. فالقسمة على n + 1، أو استخدام b / n بدلا من (b - a) / n، يزيح كل نقطة منتصف ويفسد الإجابة. فلـ [0, 2] مع n = 4، يكون العرض 0.5، لا 0.4 ولا 0.6666666667.
5. استخدام عدد خاطئ من نقاط المنتصف. هناك n نقطة منتصف بالضبط، واحدة لكل فترة جزئية، لا n + 1. ونقطتا الطرفين ليستا نقطتي منتصف. وعد n + 1 نقطة عينة يعني أن فترة جزئية عدت مرتين أو أن نقطة طرف أخذت عينة بالخطأ.
6. الخلط بين المنحنى الأصلي ورسم المكامل. تقع مستطيلات نقطة المنتصف تحت المكامل g(x)، لا تحت المنحنى الأصلي f(x). ورسمها تحت f(x) وجمع مساحاتها يعطي المساحة تحت f(x)، وهي ليست طول القوس. فالرسمتان منحنيان مختلفان ويجب عرضهما منفصلين.
7. تقريب القيم الوسيطة. تقريب نقاط المنتصف أو قيم المشتقة أو قيم المكامل قبل جمعها يدخل أخطاء صغيرة تتراكم عبر المستطيلات الكثيرة. واحتفظ بالدقة الكاملة خلال الحساب وقرب النتيجة النهائية المعروضة فقط. وتفعل الحاسبة ذلك تلقائيا.
8. افتراض أن كل تقريب دقيق. تعطي قاعدة نقطة المنتصف تقريبا لا القيمة الحقيقية، إلا في حالات خاصة مثل الخطوط المستقيمة والمنحنيات البارامترية ثابتة السرعة. وللقطع المكافئ، L₄ = 4.6267234873 وحدة قريبة من القيمة الحقيقية 4.6467837624 وحدة، لكنها لا تساويها. وأبلغ عن النتيجة دائما بوصفها تقريبا مع تقدير الخطأ بجانبها.
9. الخلط بين الخطأ المقدر وحدود الخطأ المضمونة. فرق التحسين |M_2n - M_n| مؤشر على كم ما زالت الإجابة تتحرك، لا ضمان بأن الخطأ الحقيقي أصغر من ذلك الفرق. أما الحد النظري ((b - a)³ / (24n²)) × max|g''(x)| فهو ضمان، لكن فقط عندما تكون أقصى قيمة للمشتقة الثانية معروفة ويكون المكامل أملس.
10. تجاهل قيود مجال الدالة. دالة مثل √(x) غير معرفة لـ x سالبة، و ln(x) غير معرفة لـ x ≤ 0. فإذا وقعت نقطة منتصف خارج المجال، فقيمة المكامل غير موجودة، ويكون التقريب بلا معنى. وتبلغ الحاسبة عن خطأ في تلك الحالة بدلا من اختراع قيمة.
11. استخدام مشتقات بارامترية خاطئة. لمنحنى بارامتري، يلزم كلا المشتقتين x'(t) و y'(t)، والسرعة هي √([x'(t)]² + [y'(t)]²). واستخدام إحداهما فقط، أو الاشتقاق بالنسبة لمتغير خاطئ، يعطي سرعة خاطئة وطولا خاطئا. ولربع الدائرة، x'(t) = -5 sin(t) و y'(t) = 5 cos(t)، وكلتاهما لازمتان للحصول على السرعة الثابتة 5.
12. معاملة دالة غير ملساء أو متفردة كما لو أن افتراضات الخطأ القياسية تنطبق تلقائيا. سلوك الخطأ 1 / n² والحد النظري يفترضان مكاملا أملس. فدالة ذات زاوية أو قفزة أو تفرد داخل الفترة قد تتقارب أبطأ بكثير، وقد يفشل استقراء ريتشاردسون. تحقق من جدول التقارب: فإذا لم تقطع مضاعفة n التغير بأربعة تقريبا، فالافتراضات القياسية لا تنطبق على تلك الدالة.

تحقق أخير يكشف معظم هذه الأخطاء. تحقق من النتيجة مقابل طول الوتر والقيمة المرجعية. فيجب أن يكون التقريب أطول من الوتر على الأقل، وأن يقترب من المرجع مع نمو n، وأن يساوي مجموع صفوف الجدول النتيجة الرئيسية، وأن يساوي القيمة الدقيقة لخط مستقيم أو منحنى ثابت السرعة. فإذا فشل أي من تلك الفحوص، فأحد الأخطاء الاثني عشر أعلاه هو السبب.

تغطي هذه الأمثلة الستة الأوضاع الرئيسية للحاسبة وأنواع الدوال. ويحسب كل منها محرك نقطة المنتصف نفسه الذي يشغل الأداة، وقد تحقق من كل نتيجة مستقلا مقابل مرجع سمبسون التكيفي عالي الدقة.

المثال 1: القطع المكافئ، y = x² على [0, 2]، n = 4. المشتقة هي f'(x) = 2x، والعرض Δx = 0.5، ونقاط المنتصف هي 0.25 و 0.75 و 1.25 و 1.75. وقيم المكامل هي 1.1180339887 و 1.8027756377 و 2.6925824036 و 3.6400549446، ومجموعها 9.2534469747، و L₄ = 0.5 × 9.2534469747 = 4.6267234873 وحدة. والمرجع هو 4.6467837624 وحدة، فيكون الخطأ المطلق 0.0200602751 وحدة والخطأ النسبي 0.4317%. وتعطي المضاعفة إلى n = 8 ما مقداره 4.6417306581 وحدة، وتقدير ريتشاردسون من الاثنين هو 4.6467330483 وحدة.

المثال 2: الخط المستقيم، y = 3x + 1 على [0, 4]، n = 4. المشتقة هي f'(x) = 3، فيكون المكامل الثابت g(x) = √(10) = 3.1622776602. والعرض Δx = 1، ونقاط المنتصف هي 0.5 و 1.5 و 2.5 و 3.5، وكل قيمة مكامل هي 3.1622776602. والمجموع هو 4 × 3.1622776602 = 12.6491106407، و L₄ = 1 × 12.6491106407 = 12.6491106407 وحدة، وهو 4√(10) بالضبط. وقاعدة نقطة المنتصف دقيقة لأي n هنا، لأن المكامل ثابت وكل مستطيل له الارتفاع الصحيح.

المثال 3: الخط الأفقي، y = 2 على [1, 5]، n = 4. المشتقة هي f'(x) = 0، فيكون المكامل الثابت g(x) = √(1 + 0) = 1. والعرض Δx = 1، ونقاط المنتصف هي 1.5 و 2.5 و 3.5 و 4.5، وكل مساهمة هي 1 × 1 = 1. والمجموع هو L₄ = 4.0000000000 وحدة، وهو بالضبط المسافة الأفقية 5 - 1 = 4. فالخط الأفقي لا تغير عمودي فيه، فطول قوسه هو طول الفترة ببساطة.

المثال 4: ربع الدائرة البارامتري، x(t) = 5 cos(t) و y(t) = 5 sin(t) على [0, π/2]، n = 4. المشتقتان هما x'(t) = -5 sin(t) و y'(t) = 5 cos(t)، والسرعة هي الثابت v(t) = 5. وعرض الوسيط هو Δt = π/8 = 0.3926990817، ووسيطات نقطة المنتصف هي π/16 و 3π/16 و 5π/16 و 7π/16، وكل مساهمة هي 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085. والمجموع هو L₄ = 7.8539816340 وحدة، أي 5π/2 بالضبط. وستكون الدائرة الكاملة 10π = 31.4159265359 وحدة، ونصف الدائرة 5π = 15.7079632679 وحدة.

المثال 5: المكعب، y = x³ على [0, 1]، n = 4. المشتقة هي f'(x) = 3x²، والعرض Δx = 0.25، ونقاط المنتصف هي 0.125 و 0.375 و 0.625 و 0.875. وقيم المكامل هي 1.0010980300 و 1.0853471867 و 1.5405489332 و 2.5051217067، ومجموعها 6.1321158566، و L₄ = 0.25 × 6.1321158566 = 1.5330289642 وحدة. والمرجع هو 1.5478656547 وحدة، فيكون الخطأ المطلق 0.0148366905 وحدة والخطأ النسبي 0.9585%. وتعطي المضاعفة إلى n = 8 ما مقداره 1.5441590533 وحدة، وتقدير ريتشاردسون هو 1.5478690830 وحدة.

المثال 6: المثلثية، y = sin(x) على [0, π]، n = 8. المشتقة هي f'(x) = cos(x)، والعرض Δx = π/8 = 0.3926990817، ونقاط المنتصف الثماني هي π/16 و 3π/16 و 5π/16 و 7π/16 و 9π/16 و 11π/16 و 13π/16 و 15π/16. وقيم المكامل هي 1.4006926023 و 1.3005159423 و 1.1439660326 و 1.0188524102 و 1.0188524102 و 1.1439660326 و 1.3005159423 و 1.4006926023. ومجموعها 9.7280539749، و L₈ = 0.3926990817 × 9.7280539749 = 3.8201978627 وحدة. والمرجع هو 3.8201977890 وحدة، فيكون الخطأ المطلق 0.0000000736 وحدة فقط، أي خطأ نسبي 0.00000193%. وهذا التكامل ليس له مشتق عكسي أولي، فقاعدة نقطة المنتصف والمرجع هما الطريقة العملية للحصول على الإجابة.

انقر أي زر جاهز في الحاسبة لتحميل أحد هذه الأمثلة وترى الحل الكامل خطوة بخطوة والمخططات الحية وجدول الحساب ومقارنة التقارب لذلك الإدخال.

يظهر طول القوس بقاعدة نقطة المنتصف أينما احتاجت مسافة منحنية إلى القياس من صيغة لا من شريط قياس. ويخدم الحساب نفسه الطلاب والمهندسين والمصممين.

الطرق والمسارات والكابلات. طول طريق منحنى أو انعطاف مضمار جري أو كابل متدل بين دعامتين كلها تتبع منحنى. وعندما ينمذج المنحنى بدالة، تقدر قاعدة نقطة المنتصف طوله من النموذج، ويقول تقدير الخطأ إلى أي مدى يمكن الوثوق بالإجابة. فكابل ينمذج بـ y = x² على [0, 2] يحتاج 4.6467837624 وحدة من الكابل، لا 4.4721359550 وحدة للفجوة المستقيمة.

التصنيع والصفائح المعدنية. لوح منحنى أو أنبوب مثني أو حافة ملفوفة تبدأ مادة مسطحة بطول معروف. وتحول قاعدة نقطة المنتصف التصميم المنحني إلى الطول المسطح المطلوب قطعه، ويؤكد جدول التقارب الطول بالدقة التي تحتاجها الورشة. ويحتاج انعطاف ربع دائرة نصف قطره 5 إلى 7.8539816340 وحدة من المادة على المنحنى.

العمارة. تقاس الأقواس والقباب والسلالم المنحنية بأقواسها. ويحتاج قوس نصف دائري نصف قطره 5 إلى 5π = 15.7079632679 وحدة من الزخرفة على المنحنى. وللأقواس غير الدائرية المنمذجة بقطوع مكافئة أو منحنيات جيب، تعطي قاعدة نقطة المنتصف طول الزخرفة مباشرة من معادلة التصميم.

الفيزياء والحركة. المسافة التي يقطعها جسيم على مسار منحنى هي طول قوس مساره. فكرة بندول أو مقذوف أو قمر صناعي في مدار إهليلجي تتحرك كلها على منحنيات تهم أطوالها لحسابات الطاقة والتوقيت والوقود. وتقدر قاعدة نقطة المنتصف تلك المسافات من معادلات الحركة.

الرسوميات الحاسوبية والحركة والألعاب. الأجسام المتحركة على مسارات منحنية وحركات الكاميرا والشخصيات المتحركة تتبع كلها منحنيات شرائح وبارامترية. وتقرر المسافة على المسار السرعة والتوقيت وتباعد الإطارات. وتقيس قاعدة نقطة المنتصف أطوال تلك المسارات من معادلات المنحنى، ويتعامل الوضع البارامتري مع المنحنيات التي تعود على نفسها.

الطب والأحياء. تقاس الأوعية الدموية والعمود الفقري والأسطح المنحنية للأعضاء من المسح والنماذج. ويساعد طول القوس على الخط المركزي لوعاء في تخطيط الدعامات والقساطر، وتحول قاعدة نقطة المنتصف الخط المركزي المنمذج إلى طول مع تقدير خطأ.

حاسبات ذات صلة في هذا الموقع. لأطوال القوس الدقيقة للمنحنيات المسماة، جرب حاسبة طول قوس القطع المكافئ و حاسبة طول قوس القطع الناقص و حاسبة طول قوس نصف الدائرة و حاسبة طول قوس الدائرة و حاسبة طول قوس القطاع. وللتكامل الدقيق خطوة بخطوة، جرب حاسبة طول القوس مع الخطوات و حاسبة طول القوس البارامتري و حاسبة طول القوس القطبي و حاسبة طول القوس ثلاثية الأبعاد. ولطرق عددية أخرى، جرب حاسبة قاعدة شبه المنحرف و حاسبة قاعدة سمبسون.

تجمع هذه الجداول سلوك التقارب للمثالين المحلولين الرئيسيين في مكان واحد، لترى سرعة استقرار قاعدة نقطة المنتصف وكيف يحسن استقراء ريتشاردسون الإجابة. وجميع القيم محسوبة بمحرك نقطة المنتصف، والمرجع من تكامل سمبسون التكيفي.

القطع المكافئ y = x² على [0, 2]، المرجع 4.6467837624 وحدة.

منحنى الجيب y = sin(x) على [0, π]، المرجع 3.8201977890 وحدة.

كيف تقرأ الجداول. يهبط خطأ القطع المكافئ بمعامل أربعة تقريبا عند كل مضاعفة، من 0.0200602751 عند n = 4 إلى 0.0050531044 عند n = 8 إلى 0.0012632302 عند n = 16، وهو سلوك 1 / n² المتوقع. ويتقارب منحنى الجيب أسرع، لأن مكامله شبه مسطح قرب منتصف الفترة: فعند n = 8 يكون الخطأ 0.0000000736 وحدة أصلا، وعند n = 16 يتفق التقريب مع المرجع حتى جميع المنازل العشرية العشر المعروضة. وتظهر صفوف ريتشاردسون الفكرة نفسها في خطوة واحدة: فالجمع بين تقريبين يتفوق على أي منهما وحده، بخطأ 0.0000507141 وحدة للقطع المكافئ و 0.0000000245 وحدة لمنحنى الجيب. واستخدم هذه الجداول معيارا: فإذا لم يطابق حسابك لأحد هذين المثالين الجدول، فتحقق من المشتقة ونقاط المنتصف والمكامل قبل الوثوق بالإجابة.