Kalkulator Panjang Busur Aturan Titik Tengah

Kalkulator Panjang Busur Aturan Titik Tengah memperkirakan panjang sebuah kurva dengan membagi integral panjang busur menjadi persegi panjang dan mengambil sampel tiap persegi panjang di titik tengahnya. Masukkan sebuah fungsi, pilih sebuah interval, tentukan berapa subinterval yang dipakai, dan kalkulator menampilkan perkiraan, tabel titik tengah lengkap, perkiraan galat, serta diagram langsung dari persegi panjang itu. Ikuti langkah-langkah berikut untuk memperoleh jawaban yang benar.

1. Pilih mode perhitungan. Gunakan Fungsi Eksplisit untuk kurva yang ditulis sebagai y = f(x), misalnya y = x² atau y = sin(x). Gunakan Kurva Parametrik untuk kurva yang ditulis sebagai x = x(t) dan y = y(t), misalnya lingkaran atau elips yang dijelajahi oleh sebuah parameter.
2. Masukkan fungsinya. Ketik fungsi pada kotak masukan, gunakan ^ untuk pangkat, fungsi akar kuadrat untuk akar kuadrat, dan sin(), cos(), exp(), serta ln() untuk fungsi-fungsi baku. Kalkulator mencari turunannya secara otomatis, atau Anda dapat mengetik turunannya sendiri jika sudah mengetahuinya.
3. Atur intervalnya. Masukkan batas bawah a dan batas atas b. Interval [a, b] adalah bagian kurva yang panjangnya ingin Anda cari. Jika Anda memasukkan b yang lebih kecil dari a, kalkulator tetap memberikan panjang yang positif, karena panjang busur tidak pernah negatif.
4. Pilih jumlah subinterval n. Gunakan penggeser atau ketik sebuah nilai. Prasetel yang tersedia meliputi 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 50, 100, 500, 1,000, dan 5,000. Nilai n yang lebih besar berarti persegi panjang yang lebih sempit dan biasanya perkiraan yang lebih dekat. Mulailah dengan n = 4 agar cara kerjanya terlihat jelas, lalu naikkan n untuk melihat jawabannya mantap.
5. Pilih presisi tampilan. Pilih 2, 4, 6, 8, atau 10 tempat desimal. Kalkulator menyimpan presisi penuh secara internal dan hanya membulatkan hasil yang ditampilkan, sehingga mengubah presisi tidak pernah mengubah perhitungan yang mendasarinya.
6. Klik Hitung Panjang Busur. Hasil utama adalah perkiraan titik tengah L_n, yang diberi label jelas sebagai perkiraan. Di bawahnya Anda memperoleh lebar subinterval, titik tengah pertama dan terakhir, nilai integran pertama dan terakhir, jumlah nilai-nilai integran, panjang tali busur antara titik-titik ujung, panjang referensi akurat tinggi, serta perkiraan galat absolut dan galat relatif.
7. Pelajari diagramnya. Diagram pertama menunjukkan kurva asli dengan busur yang dipilih diberi sorotan dan titik-titik sampel titik tengah ditandai. Diagram kedua menunjukkan integran panjang busur dengan persegi panjang titik tengah yang digambar di bawahnya. Luas total persegi panjang itu adalah perkiraannya, jadi kedua diagram itu tidak boleh tertukar: persegi panjang berada di bawah integran, bukan di bawah kurva asli.
8. Baca tabel perhitungannya. Setiap subinterval mendapat satu baris berisi batas-batasnya, titik tengahnya, turunan pada titik tengah, nilai integran, dan kontribusi persegi panjangnya. Baris terakhir menunjukkan jumlahnya, yang sama dengan hasil utama.
9. Bandingkan konvergensi dan coba ekstrapolasi Richardson. Panel konvergensi menampilkan perkiraan untuk n, 2n, dan 4n secara berdampingan, beserta selisih di antara ketiganya. Opsi Richardson menggabungkan dua perkiraan menjadi sebuah perkiraan yang disempurnakan. Keduanya dijelaskan pada bagian panduan di bawah.
10. Salin, ekspor, atau atur ulang. Gunakan Salin Hasil untuk jawabannya, ekspor tabel sebagai CSV untuk pekerjaan Anda, atau Atur Ulang untuk mengosongkan panel. Tombol-tombol prasetel memuat contoh-contoh terverifikasi secara instan: parabola, garis lurus, garis horizontal, seperempat lingkaran, kubik, dan kurva sinus.

Coba sebuah contoh. y = x² pada [0, 2] dengan n = 4 menghasilkan L₄ = 4.6267234873 satuan, berbanding dengan referensi 4.6467837624 satuan. y = 3x + 1 pada [0, 4] dengan n = 4 menghasilkan tepat 12.6491106407 satuan. y = 2 pada [1, 5] dengan n = 4 menghasilkan tepat 4.0000000000 satuan. Seperempat lingkaran parametrik berjari-jari 5 menghasilkan 7.8539816340 satuan. y = x³ pada [0, 1] dengan n = 4 menghasilkan 1.5330289642 satuan, dan y = sin(x) pada [0, π] dengan n = 8 menghasilkan 3.8201978627 satuan.

Kiat penting. Selalu turunkan fungsinya terlebih dahulu: integran memakai f'(x), bukan f(x). Ambil sampel pada titik-titik tengah, bukan pada titik-titik ujung, atau Anda menghitung aturan yang berbeda. Jaga satuan sudut dalam radian untuk fungsi-fungsi trigonometri. Jangan membulatkan titik-titik tengah atau nilai-nilai integran di tengah perhitungan, karena pembulatan kecil itu menumpuk pada banyak persegi panjang. Jika fungsi tidak terdefinisi pada sebuah titik tengah, kalkulator melaporkan galat dan tidak diam-diam melewatkan sampel itu.

Integrasi numerik adalah seni memperkirakan integral tentu ketika antiturunan eksaknya sulit dicari, atau ketika hanya tersedia nilai-nilai sampel. Aturan titik tengah adalah salah satu metode integrasi numerik yang paling sederhana dan paling andal. Aturan ini memperkirakan luas di bawah sebuah kurva dengan menutupinya memakai persegi panjang dan menjumlahkan luas-luasnya.

Jumlah Riemann membagi interval [a, b] menjadi n subinterval yang sama, masing-masing dengan lebar Δx = (b - a) / n, dan membangun satu persegi panjang pada tiap subinterval. Tinggi tiap persegi panjang adalah nilai fungsi pada satu titik sampel di dalam subinterval itu. Jumlah titik ujung kiri mengambil sampel pada tepi kiri, jumlah titik ujung kanan mengambil sampel pada tepi kanan, dan aturan titik tengah mengambil sampel pada pusat tiap subinterval.

Mengambil sampel pada pusat adalah gagasan kuncinya. Pada subinterval yang pendek, kurva yang naik pada satu sisi titik tengah akan turun pada sisi lainnya dengan jumlah yang hampir sama, sehingga kelebihan perkiraan pada satu paruh kira-kira meniadakan kekurangan perkiraan pada paruh lainnya. Saling meniadakan inilah yang membuat aturan titik tengah lebih akurat daripada aturan titik ujung kiri atau kanan dengan jumlah persegi panjang yang sama, dan yang membuat galatnya mengecil seiring kuadrat lebar subinterval.

Untuk sebuah fungsi g(x) pada [a, b], aturan titik tengah gabungan adalah:

Di sini x_i* adalah titik tengah subinterval ke-i, dan jumlah itu mencakup semua n subinterval. Setiap suku Δx × g(x_i*) adalah luas satu persegi panjang, dan jumlah semua luas persegi panjang adalah perkiraan integralnya.

Aturan titik tengah dipakai jauh melampaui tugas kalkulus. Para insinyur memakainya untuk memperkirakan integral dalam analisis tegangan dan pemrosesan sinyal, para fisikawan memakainya dalam simulasi numerik, dan grafika komputer memakainya untuk mengukur panjang kurva dan luas permukaan. Perpaduan kesederhanaan dan akurasi orde duanya menjadikannya pilihan pertama yang baku setiap kali sebuah integral tidak memiliki bentuk tertutup yang rapi.

Mengapa titik tengah mengalahkan titik ujung. Ambil g(x) = x pada [0, 1] dengan n = 1. Jumlah kiri menghasilkan 0, jumlah kanan menghasilkan 1, dan jumlah titik tengah menghasilkan 0.5, yang merupakan jawaban eksaknya. Titik tengah melihat perilaku rata-rata fungsi pada seluruh subinterval, sedangkan titik ujung hanya melihat satu sisinya. Keunggulan itu berlaku untuk fungsi mulus apa pun, dan inilah alasan aturan titik tengah menjadi jumlah Riemann baku dalam sebagian besar pekerjaan numerik.

Panjang busur adalah jarak yang diukur sepanjang sebuah kurva, bukan jarak garis lurus antara titik-titik ujungnya. Jalan yang berkelok melewati perbukitan lebih panjang daripada garis lurus yang ditarik antara kedua ujungnya pada peta. Kawat yang melengkung lebih panjang daripada celah yang direntanginya. Panjang busur mengukur jalur berkelok itu sendiri.

Untuk mencari panjang itu, bayangkan memotong kurva menjadi banyak potongan kecil. Setiap potongan kecil sangat pendek sehingga hampir lurus, jadi panjangnya mendekati garis lurus yang menghubungkan ujung-ujungnya. Berdasarkan teorema Pythagoras, potongan kecil yang bergerak Δx secara horizontal dan Δy secara vertikal memiliki panjang yang mendekati √(Δx² + Δy²). Menjumlahkan semua potongan kecil memberikan panjang total, dan membiarkan potongan-potongan itu menyusut hingga nol mengubah jumlah itu menjadi integral.

Untuk kurva y = f(x), langkah horizontal kecil dx menghasilkan perubahan vertikal dy = f'(x) dx, sehingga elemen panjang kecilnya adalah:

Menjumlahkan semua elemen panjang dari a sampai b menghasilkan integral panjang busur:

Rumus itu menjelaskan mengapa turunan terlibat. Kurva yang curam berubah ketinggiannya dengan cepat, sehingga f'(x) besar, integran √(1 + [f'(x)]²) besar, dan setiap satuan jarak horizontal menyumbang lebih dari satu satuan panjang kurva. Kurva yang datar memiliki f'(x) mendekati nol, integrannya mendekati 1, dan panjang busurnya mendekati jarak horizontal b - a.

Panjang busur selalu sekurang-kurangnya sama dengan tali busur. Garis lurus antara titik-titik ujung adalah jalur terpendek di antara keduanya, sehingga kurva tidak pernah lebih pendek darinya. Untuk parabola y = x² pada [0, 2], tali busur dari (0, 0) ke (2, 4) adalah √(20) = 4.4721359550 satuan, sedangkan panjang busur sejatinya adalah 4.6467837624 satuan, lebih panjang 0.1746478074 satuan. Untuk kurva sinus y = sin(x) pada [0, π], tali busurnya adalah π = 3.1415926536 satuan dan busurnya adalah 3.8201977890 satuan, lebih panjang 0.6786051354 satuan. Memeriksa bahwa busur melebihi tali busur adalah uji kewarasan yang cepat untuk jawaban panjang busur apa pun.

Sebagian besar integral panjang busur tidak memiliki antiturunan elementer. Integral parabola ∫ √(1 + 4x²) dx dapat dikerjakan dengan substitusi, tetapi integral sinus ∫ √(1 + cos²x) dx tidak dapat dinyatakan sama sekali dengan fungsi-fungsi elementer. Di sinilah tepatnya aturan titik tengah berperan: aturan ini memperkirakan integral secara numerik, tanpa memerlukan antiturunan.

Perhitungan panjang busur dengan aturan titik tengah berawal dari integral panjang busur eksak dan mengganti integral itu dengan jumlah luas-luas persegi panjang. Tetapkan integran panjang busur:

Dengan begitu panjang busur eksaknya adalah L = ∫_a^b g(x) dx, dan aturan titik tengah memperkirakan integral itu. Bagilah [a, b] menjadi n subinterval yang sama. Lebar subintervalnya adalah:

Titik tengah subinterval ke-i, dengan i dihitung dari 0, adalah:

Hitung integran pada tiap titik tengah, kalikan tiap nilai dengan Δx, dan jumlahkan hasilnya:

Setiap simbol memiliki arti yang tepat:

Pemeriksaan konkret. Untuk y = x² pada [0, 2] dengan n = 4, lebarnya adalah Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5, titik-titik tengahnya adalah 0.25, 0.75, 1.25, dan 1.75, dan nilai-nilai integrannya adalah 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036, dan 3.6400549446. Jumlahnya adalah 9.2534469747, dan mengalikannya dengan 0.5 menghasilkan L₄ = 4.6267234873 satuan. Setiap angka dalam rantai itu ditampilkan pada panel langkah demi langkah kalkulator dan pada tabel perhitungannya.

Untuk kurva parametrik x = x(t), y = y(t), gagasan yang sama berlaku pada interval parameter [t₁, t₂], dengan laju v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) yang berperan sebagai integran. Rumus parametriknya dibahas pada bagiannya sendiri di bawah.

Perhitungan dengan aturan titik tengah mengikuti sepuluh langkah, dan kalkulator menjalankan semuanya secara otomatis. Mengerjakannya sekali dengan tangan membuat alat ini jauh lebih mudah dipercaya dan dipakai. Contoh pengerjaan di bawah memakai y = x² pada [0, 2] dengan n = 4, contoh yang sama yang dimuat kalkulator sebagai prasetel pertamanya.

1. Kenali fungsinya. f(x) = x².
2. Cari turunan pertamanya. f'(x) = 2x.
3. Kenali interval integrasinya. a = 0, b = 2.
4. Pilih jumlah subinterval. n = 4.
5. Hitung lebar subinterval. Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5.
6. Tentukan titik tengah tiap subinterval. x₀* = 0.25, x₁* = 0.75, x₂* = 1.25, x₃* = 1.75. Setiap titik tengah terletak tepat di tengah antara batas-batas subintervalnya: 0.25 berada di tengah antara 0 dan 0.5, 0.75 berada di tengah antara 0.5 dan 1, dan seterusnya.
7. Hitung integran panjang busur pada tiap titik tengah. g(x) = √(1 + 4x²), sehingga g(0.25) = 1.1180339887, g(0.75) = 1.8027756377, g(1.25) = 2.6925824036, dan g(1.75) = 3.6400549446.
8. Kalikan tiap nilai dengan lebar subinterval. Keempat kontribusi persegi panjang adalah 0.5 × 1.1180339887 = 0.5590169944, 0.5 × 1.8027756377 = 0.9013878189, 0.5 × 2.6925824036 = 1.3462912018, dan 0.5 × 3.6400549446 = 1.8200274723.
9. Jumlahkan semua kontribusi. 0.5590169944 + 0.9013878189 + 1.3462912018 + 1.8200274723 = 4.6267234873.
10. Tafsirkan perkiraan panjang busur. L₄ = 4.6267234873 satuan. Referensi akurat tinggi adalah 4.6467837624 satuan, jadi perkiraan ini kurang 0.0200602751 satuan, galat relatif 0.4317%.

Sepuluh langkah yang sama berlaku untuk fungsi apa pun. Untuk y = x³ pada [0, 1] dengan n = 4, turunannya adalah f'(x) = 3x², lebarnya adalah Δx = 0.25, titik-titik tengahnya adalah 0.125, 0.375, 0.625, dan 0.875, nilai-nilai integrannya adalah 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332, dan 2.5051217067, jumlahnya adalah 6.1321158566, dan mengalikannya dengan 0.25 menghasilkan L₄ = 1.5330289642 satuan, berbanding dengan referensi 1.5478656547 satuan.

Contoh pengerjaan kedua dengan fungsi trigonometri. Untuk y = sin(x) pada [0, π] dengan n = 8, turunannya adalah f'(x) = cos(x), lebarnya adalah Δx = π / 8 = 0.3926990817, dan kedelapan titik tengahnya adalah π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16, dan 15π/16. Nilai-nilai integrannya, secara berurutan, adalah 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423, dan 1.4006926023. Jumlahnya adalah 9.7280539749, dan mengalikannya dengan 0.3926990817 menghasilkan L₈ = 3.8201978627 satuan, berbanding dengan referensi 3.8201977890 satuan, galat absolut hanya 0.0000000736 satuan.

Setiap persegi panjang titik tengah adalah gambaran kecil yang jujur dari satu bagian integral. Persegi panjang itu memiliki tiga bagian, dan tiap bagian memiliki arti yang jelas.

Untuk parabola y = x² pada [0, 2] dengan n = 4, keempat persegi panjang semuanya memiliki lebar 0.5. Tinggi-tingginya adalah 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036, dan 3.6400549446, dan luas-luasnya adalah 0.5590169944, 0.9013878189, 1.3462912018, dan 1.8200274723. Luas totalnya adalah 4.6267234873 satuan, yang persis sama dengan perkiraan titik tengah L₄.

Mengapa jumlah luas-luas itu memperkirakan integral. Integral ∫_a^b g(x) dx adalah luas eksak di bawah kurva integran. Setiap persegi panjang mengganti potongan lengkung di atas satu subinterval dengan potongan beratap datar yang lebarnya sama, memakai tinggi titik tengah sebagai tinggi yang mewakili. Di tempat integran melengkung ke atas, atap datar itu memotong sedikit luas pada satu sisi dan menambah sedikit pada sisi lainnya. Karena sampel diambil pada pusatnya, kedua galat itu hampir saling meniadakan, dan luas persegi panjang mendekati luas potongan sejatinya. Menjumlahkan persegi-persegi panjang itu menghasilkan perkiraan seluruh luas, dan dengan demikian perkiraan panjang busur.

Kesalahan diagram yang paling umum. Persegi panjang harus digambar di bawah kurva integran g(x) = √(1 + [f'(x)]²), bukan di bawah kurva asli f(x). Kurva asli dan integran adalah grafik yang berbeda dengan tinggi yang berbeda: untuk y = x² pada [0, 2], kurva asli bergerak dari 0 sampai 4, sedangkan integran bergerak dari 1 sampai √(17) = 4.1231056256. Persegi panjang yang digambar di bawah kurva asli akan berjumlah menjadi luas di bawah f(x), yang tidak ada hubungannya dengan panjang busur. Kalkulator menjaga kedua grafik itu tetap terpisah, dan diagram panduan di atas hanya menunjukkan persegi panjang di bawah integran.

Membaca sebuah persegi panjang. Mengarahkan kursor ke sebuah persegi panjang pada kalkulator, atau memilihnya, akan menampilkan nomor subintervalnya, batas kiri dan kanannya, titik tengahnya, turunan pada titik tengah, nilai integran, dan kontribusi persegi panjangnya. Rincian itulah yang membuat tabel berguna untuk pekerjaan rumah: setiap angka pada jawaban akhir dapat dilacak kembali ke satu persegi panjang.

Jumlah subinterval n adalah kendali tunggal yang paling penting pada kalkulator, karena kendali itulah yang menentukan seberapa halus persegi panjangnya. Nilai n yang kecil berarti sedikit persegi panjang yang lebar. Nilai n yang besar berarti banyak persegi panjang sempit yang mengikuti kurva integran dengan rapat.

Apa yang terjadi saat n kecil. Dengan n = 1, seluruh interval menjadi satu persegi panjang, dan jawabannya adalah Δx × g(titik tengah). Untuk parabola y = x² pada [0, 2], n = 1 menghasilkan 2 × √(5) = 4.4721359550 satuan, yang kurang dari nilai sejati 4.6467837624 satuan sebesar 0.1746478074 satuan. Satu persegi panjang itu tidak dapat mengikuti integran saat naik dari 1 sampai 4.1231056256, sehingga galatnya besar. Dengan n = 2, jawabannya membaik menjadi 4.5764912225 satuan. Dengan n = 4, jawabannya menjadi 4.6267234873 satuan. Dengan n = 8, jawabannya menjadi 4.6417306581 satuan. Dengan n = 16, jawabannya menjadi 4.6455205322 satuan, dan dengan n = 32, jawabannya menjadi 4.6464679593 satuan.

Bagaimana galat mengecil. Untuk integran yang mulus, galat aturan titik tengah sebanding dengan 1 / n². Menggandakan n memotong galat menjadi kira-kira seperempatnya. Angka-angka parabola menunjukkan hal ini dengan jelas: galat turun dari 0.0200602751 satuan pada n = 4 menjadi 0.0050531044 satuan pada n = 8, lalu menjadi 0.0012632302 satuan pada n = 16, lalu menjadi 0.0003158031 satuan pada n = 32. Setiap penggandaan membagi galat dengan sekitar empat. Perilaku 1 / n² ini disebut konvergensi orde dua, dan inilah alasan aturan titik tengah begitu efektif: kenaikan n yang sedang saja sudah membeli perbaikan akurasi yang besar.

Mengapa perbaikan itu tidak selalu monoton. Galat biasanya mengecil saat n bertambah, tetapi tidak harus mengecil pada setiap langkah untuk setiap fungsi. Kurva sinus menunjukkan versi ringan dari hal ini: n = 2 menghasilkan 3.8476494905 satuan, yang melampaui referensi 3.8201977890 satuan, sedangkan n = 4 menghasilkan 3.8204517876 satuan, yang jauh lebih dekat. Perkiraan itu melintasi nilai sejati dari atas ke nilai yang sedikit di atasnya, dan galatnya tetap mengecil secara keseluruhan. Untuk fungsi dengan belokan tajam, osilasi, atau hampir singular, galat dapat bergoyang saat n berubah, meskipun tren jangka panjangnya menurun. Jangan pernah menganggap bahwa n yang lebih besar selalu memberikan jawaban yang lebih baik pada satu langkah; periksa tabel konvergensinya.

Biaya n yang lebih besar. Subinterval yang lebih banyak berarti lebih banyak hitungan: lebih banyak evaluasi turunan, lebih banyak nilai integran, dan lebih banyak baris tabel. Untuk n = 5,000, kalkulator melakukan 5,000 evaluasi, yang cepat bagi komputer tetapi menghasilkan tabel yang terlalu panjang untuk dibaca baris demi baris, sehingga kalkulator membaginya ke beberapa halaman. Aturan praktisnya adalah menaikkan n sampai jawabannya berhenti berubah pada presisi yang Anda butuhkan. Jika n = 100 dan n = 200 sama sampai enam tempat desimal, n = 100 sudah cukup, dan n = 5,000 tidak menambah apa pun selain pekerjaan.

Memilih n dalam praktik. Gunakan n = 4 atau n = 8 saat belajar, karena tabelnya tetap cukup pendek untuk diperiksa dengan tangan. Gunakan n = 50 atau n = 100 untuk jawaban pekerjaan rumah yang memerlukan empat atau lima tempat desimal yang benar. Gunakan n = 1,000 atau lebih hanya saat Anda memerlukan presisi yang sangat tinggi, atau saat integran berubah cepat sepanjang interval. Panel konvergensi menampilkan n, 2n, dan 4n secara bersamaan, sehingga Anda dapat melihat jawabannya mantap tanpa menebak-nebak.

Aturan titik tengah adalah salah satu dari tiga metode integrasi numerik klasik, dan masing-masing mengambil sampel integran dengan cara yang berbeda. Mengetahui perbedaan ketiganya membantu Anda memilih alat yang tepat dan memahami mengapa jawaban-jawaban mereka berbeda.

Aturan titik tengah. Mengambil sampel pada pusat tiap subinterval dan membangun persegi panjang. Galatnya adalah O(1 / n²), orde yang sama dengan aturan trapesium, tetapi aturan titik tengah biasanya sekitar dua kali lebih akurat daripada aturan trapesium untuk n yang sama, karena sampel pusat meniadakan galat utama. Aturan ini hanya memerlukan n evaluasi, satu per subinterval, dan berlaku untuk n positif apa pun.

Aturan trapesium. Mengambil sampel pada titik-titik ujung dan menghubungkannya dengan garis lurus, sehingga membentuk trapesium. Aturan ini berbagi orde galat O(1 / n²) dengan aturan titik tengah, tetapi galatnya biasanya bertanda berlawanan: untuk integran yang cembung, aturan trapesium melebih-lebihkan sementara aturan titik tengah mengurang-ngurangi, atau sebaliknya. Merata-ratakan keduanya menghasilkan gabungan trapesium-titik tengah, yang menjadi dasar aturan Simpson. Coba kalkulator aturan trapesium untuk membandingkan kedua metode pada fungsi yang sama.

Aturan Simpson. Memasang parabola melalui kedua titik ujung dan titik tengah tiap pasangan subinterval, yang memerlukan jumlah subinterval yang genap. Galatnya adalah O(1 / n⁴), sehingga aturan ini konvergen jauh lebih cepat daripada kedua aturan lainnya untuk fungsi yang mulus. Harganya adalah batasan n genap dan evaluasi yang lebih banyak per subinterval. Coba kalkulator aturan Simpson saat Anda memerlukan akurasi tinggi dengan sedikit subinterval.

Perbandingan angka. Untuk parabola y = x² pada [0, 2] dengan n = 4, aturan titik tengah menghasilkan 4.6267234873 satuan, aturan trapesium menghasilkan 4.6870560064 satuan, dan aturan Simpson menghasilkan 4.6502010785 satuan, berbanding dengan referensi 4.6467837624 satuan. Galat titik tengah adalah 0.0200602751 satuan, galat trapesium adalah 0.0402722440 satuan, dan galat Simpson adalah 0.0034173160 satuan. Simpson menang di sini, seperti biasanya untuk fungsi yang mulus, tetapi aturan titik tengah lebih sederhana, tidak memerlukan batasan n genap, dan menjadi pilihan alami saat hanya tersedia sampel titik tengah.

Aturan mana yang sebaiknya Anda pakai? Gunakan aturan titik tengah saat Anda menginginkan perkiraan yang sederhana dan andal, saat Anda mengambil sampel fungsi pada titik-titik interior yang berjarak sama, atau saat Anda mengajarkan jumlah Riemann. Gunakan aturan trapesium saat nilai-nilai titik ujung adalah data yang alami, misalnya pengukuran yang diambil pada ujung tiap interval. Gunakan aturan Simpson saat fungsinya mulus dan Anda memerlukan akurasi tinggi dengan n yang kecil. Untuk panjang busur secara khusus, aturan titik tengah memiliki keunggulan praktis: aturan ini tidak pernah mengevaluasi integran pada titik-titik ujung, tempat fungsi dapat tidak terdefinisi atau singular, sehingga aturan ini dapat menangani kurva yang tidak dapat dimulai oleh kedua aturan lainnya.

Setiap perkiraan titik tengah berbeda dari panjang busur sejati sebesar suatu jumlah, dan memahami galat itu adalah hal yang mengubah sebuah angka menjadi jawaban yang dapat dipercaya. Ada tiga cara berbeda untuk membicarakan galat, dan ketiganya tidak boleh tertukar.

Galat absolut. Galat absolut adalah besarnya selisih antara perkiraan dan nilai sejati: |L - L_n|. Untuk parabola dengan n = 4, galat absolutnya adalah |4.6467837624 - 4.6267234873| = 0.0200602751 satuan. Untuk kurva sinus dengan n = 8, galatnya adalah |3.8201977890 - 3.8201978627| = 0.0000000736 satuan. Galat absolut diukur dalam satuan yang sama dengan panjangnya sendiri.

Galat relatif. Galat relatif membagi galat absolut dengan besar nilai sejati, dan biasanya dinyatakan sebagai persentase: |L - L_n| / |L| × 100. Untuk parabola dengan n = 4, galat relatifnya adalah 0.4317%. Untuk kubik dengan n = 4, galatnya adalah 0.9585%. Untuk kurva sinus dengan n = 8, galatnya adalah 0.00000193%. Galat relatif adalah cara yang adil untuk membandingkan akurasi pada soal-soal dengan ukuran yang berbeda: galat 0.02 satuan tidak berarti banyak pada panjang 100 satuan dan sangat berarti pada panjang 0.1 satuan.

Indikator galat berbasis penyempurnaan. Dalam pekerjaan nyata nilai sejati tidak diketahui, sehingga galat absolut tidak dapat dihitung langsung. Sebagai gantinya, bandingkan dua perkiraan: selisih |M_2n - M_n| menunjukkan seberapa besar jawaban bergerak saat partisi dihaluskan. Untuk parabola, |M₈ - M₄| = |4.6417306581 - 4.6267234873| = 0.0150071707 satuan. Selisih itu adalah sinyal peringatan praktis: jika selisihnya besar, jawabannya masih bergerak dan n sebaiknya dinaikkan. Selisih itu adalah indikator, bukan batas yang terjamin: galat sejati dapat lebih besar atau lebih kecil daripada selisih penyempurnaan, dan biasanya sekitar sepertiganya untuk aturan titik tengah, karena galat mengecil dengan faktor empat pada setiap penggandaan.

Batas galat teoretis. Untuk integran g(x) yang cukup mulus, galat aturan titik tengah gabungan memenuhi:

Batas itu memerlukan nilai maksimum turunan kedua integran pada interval, yang sering sulit dicari secara eksak. Untuk integran parabola g(x) = √(1 + 4x²), turunan keduanya adalah g''(x) = 4 / (1 + 4x²)^3/2, yang nilai terbesarnya pada [0, 2] adalah 4 pada x = 0. Batas untuk n = 4 karena itu adalah (8 / (24 × 16)) × 4 = 0.0833333333 satuan, dan galat sebenarnya 0.0200602751 satuan berada dengan aman di dalamnya. Untuk n = 8, batasnya adalah 0.0208333333 satuan. Batas itu jujur tetapi longgar: batas itu melebih-lebihkan galat nyata dengan faktor empat di sini, yang khas.

Kapan batas itu tidak berlaku. Batas galat mengasumsikan integran mulus, dengan turunan kedua yang terbatas. Fungsi dengan sudut, lompatan, atau singularitas melanggar asumsi itu, dan batasnya entah tidak ada atau besarnya tidak berguna. Kalkulator tidak mengarang batas saat tidak dapat mensertifikasinya. Dalam kasus itu kalkulator menunjukkan selisih penyempurnaan dan menjelaskan batas-batasnya, yang merupakan jawaban yang jujur.

Mengapa kemulusan penting. Perilaku galat 1 / n² bergantung pada integran yang cukup mulus agar peniadaan pada titik tengah dapat bekerja. Integran yang mulus seperti √(1 + 4x²) konvergen dengan rapi. Integran dengan sudut yang tajam konvergen lebih lambat, dan integran dengan singularitas dapat konvergen sangat lambat atau tidak sama sekali. Jika menggandakan n hampir tidak mengubah jawabannya, fungsinya mungkin mulus dan sudah akurat. Jika menggandakan n banyak mengubah jawabannya, entah fungsinya kasar atau n masih terlalu kecil.

Ekstrapolasi Richardson adalah trik sederhana yang mengubah dua perkiraan titik tengah menjadi satu perkiraan yang jauh lebih baik. Trik ini memanfaatkan pola galat aturan titik tengah yang sudah diketahui untuk meniadakan suku galat utamanya.

Untuk integran yang mulus, perkiraan titik tengah dengan n subinterval memiliki galat yang berperilaku seperti C / n², dengan C adalah konstanta yang bergantung pada fungsinya tetapi bukan pada n. Menggandakan subinterval menjadi 2n karena itu membagi galat dengan empat. Hal itu menghasilkan dua persamaan dengan dua bilangan yang tidak diketahui, nilai sejati L dan konstanta C:

Menyelesaikan untuk L menghilangkan C dan menyisakan perkiraan ekstrapolasi Richardson:

Contoh pengerjaan. Untuk parabola y = x² pada [0, 2], M₄ = 4.6267234873 satuan dan M₈ = 4.6417306581 satuan. Perkiraan Richardson adalah L_R = (4 × 4.6417306581 - 4.6267234873) / 3 = 4.6467330483 satuan. Nilai sejatinya adalah 4.6467837624 satuan, sehingga galat hasil ekstrapolasi hanya 0.0000507141 satuan, jauh lebih kecil daripada galat M₄ semula sebesar 0.0200602751 satuan. Ekstrapolasi itu membeli akurasi n yang jauh lebih besar hanya dengan memakai perhitungan n = 4 dan n = 8.

Contoh pengerjaan dengan kurva sinus. Untuk y = sin(x) pada [0, π], M₈ = 3.8201978627 satuan dan M₁₆ = 3.8201977890 satuan. Perkiraan Richardson adalah L_R = (4 × 3.8201977890 - 3.8201978627) / 3 = 3.8201977645 satuan, berbanding dengan referensi 3.8201977890 satuan, galat hanya 0.0000000245 satuan.

Contoh pengerjaan dengan kubik. Untuk y = x³ pada [0, 1], M₄ = 1.5330289642 satuan dan M₈ = 1.5441590533 satuan. Perkiraan Richardson adalah L_R = (4 × 1.5441590533 - 1.5330289642) / 3 = 1.5478690830 satuan, berbanding dengan referensi 1.5478656547 satuan, galat 0.0000034283 satuan. Galat M₄ semula adalah 0.0148366905 satuan, sehingga ekstrapolasi memotongnya dengan faktor sekitar 4327.7.

Apa yang bukan ekstrapolasi Richardson. Nilai hasil ekstrapolasi adalah perkiraan yang disempurnakan, bukan hasil aturan titik tengah dan bukan jawaban eksak yang terjamin. Nilai itu mengasumsikan galat benar-benar berperilaku seperti C / n², yang berlaku untuk integran yang mulus dan gagal untuk integran yang kasar. Jika integran memiliki sudut atau singularitas, ekstrapolasinya dapat lebih buruk daripada perkiraan semula, sehingga kalkulator selalu menampilkan hasil titik tengah asli terlebih dahulu dan memberi label tersendiri pada nilai hasil ekstrapolasi. Ekstrapolasi Richardson juga merupakan gagasan di balik integrasi Romberg, yang mengulangi trik yang sama pada beberapa tingkat untuk mencapai akurasi yang sangat tinggi.

Sebagian kurva tidak dapat ditulis sebagai y = f(x). Sebuah lingkaran, misalnya, memberikan dua nilai y untuk sebagian besar nilai x, sehingga tidak ada satu fungsi pun yang menggambarkannya. Kurva parametrik menyelesaikan hal ini dengan menggambarkan kedua koordinat sebagai fungsi dari parameter t: x = x(t) dan y = y(t). Saat t bergerak dari t₁ sampai t₂, titik (x(t), y(t)) menelusuri kurva itu.

Untuk kurva parametrik, elemen panjang kecil berasal dari pergerakan pada kedua koordinat: ds = √(dx² + dy²). Menulis dx = x'(t) dt dan dy = y'(t) dt menghasilkan integral panjang busur parametrik:

Besaran di bawah akar kuadrat adalah laju v(t) = √([x'(t)]² + [y'(t)]²), yaitu kecepatan titik bergerak sepanjang kurva saat t berubah. Aturan titik tengah berlaku pada interval parameter persis seperti pada interval x: bagilah [t₁, t₂] menjadi n bagian yang sama dengan lebar Δt = (t₂ - t₁) / n, ambil sampel laju pada parameter-parameter titik tengah t_i* = t₁ + (i + ½)Δt, dan jumlahkan kontribusinya:

Contoh pengerjaan: seperempat lingkaran. Ambil x(t) = 5 cos(t) dan y(t) = 5 sin(t) pada [0, π/2], dengan n = 4. Turunannya adalah x'(t) = -5 sin(t) dan y'(t) = 5 cos(t). Lajunya adalah v(t) = √(25 sin²(t) + 25 cos²(t)) = √(25) = 5, sebuah konstanta, karena sin²(t) + cos²(t) = 1. Lebar parameternya adalah Δt = (π/2 - 0) / 4 = π/8 = 0.3926990817, dan parameter-parameter titik tengahnya adalah π/16, 3π/16, 5π/16, dan 7π/16. Setiap nilai laju adalah 5, sehingga setiap kontribusinya adalah 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085, dan totalnya adalah 4 × 1.9634954085 = 7.8539816340 satuan, yang persis sama dengan 5π/2. Aturan titik tengah eksak di sini untuk n berapa pun, karena lajunya konstan.

Mengapa bentuk parametrik penting. Banyak kurva nyata secara alami parametrik: lingkaran, elips, spiral, kurva Bezier pada perangkat lunak desain, dan jalur benda bergerak dalam fisika dan robotika. Bentuk eksplisit y = f(x) tidak dapat menggambarkan kurva yang berbalik arah, tetapi bentuk parametrik dapat. Kalkulator menangani kedua bentuk itu dengan mesin titik tengah yang sama, tabel yang sama, dan analisis konvergensi yang sama. Untuk informasi lebih lanjut tentang kurva parametrik, lihat kalkulator panjang busur parametrik.

Peringatan tentang parameter. Parameter t tidak sama dengan panjang busur kecuali lajunya 1. Langkah-langkah yang sama pada t hanya menghasilkan langkah-langkah yang sama sepanjang kurva saat lajunya konstan. Untuk kurva parametrik umum, aturan titik tengah tetap bekerja dengan benar, karena aturan ini mengintegrasikan laju, tetapi persegi panjangnya sama pada t, bukan sama dalam jarak sepanjang kurva. Hal itu tidak masalah: rumusnya memperhitungkannya melalui v(t).

Aturan titik tengah berguna di mana pun sebuah integral harus diperkirakan secara numerik, dan panjang busur hanyalah salah satu tugasnya. Kesederhanaannya, akurasi orde duanya, dan toleransinya terhadap masalah titik ujung menjadikannya alat andalan di banyak bidang.

Kalkulus numerik dan pendidikan. Aturan titik tengah sering menjadi metode integrasi numerik pertama yang ditemui siswa, karena persegi panjang mudah digambar dan gagasan titik tengah mudah dipahami. Aturan ini mengajarkan jumlah Riemann, konvergensi, dan analisis galat dalam satu paket. Tabel dan diagram kalkulator ini dibuat tepat untuk tujuan itu: setiap angka pada jawaban dapat dilacak ke satu persegi panjang.

Teknik. Para insinyur memperkirakan panjang bagian-bagian yang melengkung, kabel, pipa, dan tikungan jalan dari model matematis. Saat kurva berupa polinomial atau fungsi trigonometri, integral panjang busurnya sering tidak memiliki bentuk tertutup, sehingga metode numerik menjadi satu-satunya pilihan. Aturan titik tengah memberikan jawaban cepat dengan perkiraan galat yang jelas, dan menaikkan n menyempurnakannya sejauh yang dibutuhkan desain.

Fisika. Para fisikawan mengintegrasikan sepanjang jalur untuk menghitung usaha, jarak yang ditempuh, dan besaran-besaran medan. Partikel yang bergerak sepanjang jalur lengkung menempuh jarak yang sama dengan panjang busur lintasannya, dan aturan titik tengah memperkirakan jarak itu dari data kecepatan. Metode yang sama memperkirakan integral dalam termodinamika, optika, dan mekanika kuantum, di mana pun antiturunan analitik tidak terjangkau.

Grafika komputer dan CAD. Kurva pada layar digambar sebagai banyak segmen lurus pendek, dan panjang total sebuah kurva diperkirakan dengan menjumlahkan segmen-segmen itu, yang merupakan bentuk integrasi numerik. Garis tepi huruf, jalur animasi, dan jalur alat CAD semuanya bergantung pada pengukuran panjang kurva yang akurat. Aturan titik tengah memberikan cara yang berprinsip untuk mengukur panjang-panjang itu, bukan menebak dari sebuah gambar.

Pengukuran kurva dan robotika. Lengan robot yang menggerakkan pencengkeramnya sepanjang busur lingkaran, mesin CNC yang memotong tepi lengkung, atau surveyor yang mengukur batas yang melengkung semuanya memerlukan panjang sebuah kurva yang hanya diketahui melalui persamaannya atau melalui titik-titik sampel. Aturan titik tengah mengubah sampel-sampel itu menjadi panjang, dengan perkiraan galat yang menyatakan seberapa jauh jawaban itu dapat dipercaya.

Pemodelan ilmiah dan geometri komputasional. Model-model dalam biologi, keuangan, dan ilmu iklim mengintegrasikan fungsi-fungsi yang hanya diketahui pada titik-titik diskret. Aturan titik tengah adalah pilihan alami saat datanya berupa sampel yang diambil pada pusat-pusat interval, yang umum pada pembacaan sensor dan keluaran simulasi. Dalam geometri komputasional, aturan ini mengukur keliling bentuk-bentuk lengkung dan panjang kurva spline.

Kapan aturan ini sebaiknya tidak dipakai. Aturan titik tengah adalah pilihan yang buruk saat integran memiliki singularitas di dalam interval, saat fungsinya tidak kontinu, atau saat diperlukan akurasi yang sangat tinggi dengan sedikit evaluasi: aturan Simpson atau metode adaptif akan lebih baik di sana. Aturan ini juga alat yang salah saat integral itu sendiri bukan pertanyaannya, misalnya saat panjang busur bentuk tertutup sudah diketahui. Lingkaran berjari-jari 5 memiliki busur seperempat lingkaran yang persis 5π/2 = 7.8539816340 satuan, dan tidak ada metode numerik yang dapat memperbaikinya.

Sebagian besar jawaban titik tengah yang salah berasal dari daftar kesalahan yang pendek. Memeriksa tiap kesalahan itu hanya memerlukan beberapa detik dan menyelamatkan dari sebagian besar kekeliruan.

1. Menggunakan titik-titik ujung dan bukan titik-titik tengah. Mengambil sampel pada tepi kiri atau kanan tiap subinterval menghitung jumlah Riemann kiri atau kanan, bukan aturan titik tengah. Untuk parabola y = x² pada [0, 2] dengan n = 4, jumlah kiri adalah 3.75 satuan dan jumlah kanan adalah 5.75 satuan, sedangkan aturan titik tengah menghasilkan 4.6267234873 satuan. Hanya nilai titik tengah yang merupakan jawaban aturan titik tengah.
2. Lupa menurunkan fungsi. Integrannya adalah g(x) = √(1 + [f'(x)]²), bukan √(1 + [f(x)]²). Untuk y = x², memakai f(x) dan bukan f'(x) menghasilkan integral dari √(1 + x⁴), angka yang sama sekali berbeda. Selalu turunkan terlebih dahulu.
3. Menggunakan integran panjang busur yang salah. Integrannya harus √(1 + [f'(x)]²). Menghilangkan angka 1, melupakan kuadrat, atau mengambil akar kuadrat dari besaran yang salah semuanya menghasilkan jawaban yang salah. Untuk garis lurus dengan kemiringan 3, integrannya adalah konstanta √(10) = 3.1622776602, bukan 3 dan bukan √(1 + 3).
4. Membagi interval dengan tidak benar. Lebarnya adalah Δx = (b - a) / n, dengan panjang interval penuh di atas. Membagi dengan n + 1, atau memakai b / n dan bukan (b - a) / n, menggeser setiap titik tengah dan merusak jawabannya. Untuk [0, 2] dengan n = 4, lebarnya adalah 0.5, bukan 0.4 dan bukan 0.6666666667.
5. Menggunakan jumlah titik tengah yang salah. Titik tengah berjumlah tepat n, satu per subinterval, bukan n + 1. Titik-titik ujung bukan titik tengah. Menghitung n + 1 titik sampel berarti satu subinterval dihitung dua kali atau sebuah titik ujung diambil sampelnya karena keliru.
6. Menukar kurva asli dengan grafik integran. Persegi panjang titik tengah berada di bawah integran g(x), bukan di bawah kurva asli f(x). Menggambarnya di bawah f(x) dan menjumlahkan luas-luasnya menghasilkan luas di bawah f(x), yang bukan panjang busur. Kedua grafik itu adalah kurva yang berbeda dan harus ditampilkan secara terpisah.
7. Membulatkan nilai-nilai antara. Membulatkan titik-titik tengah, nilai-nilai turunan, atau nilai-nilai integran sebelum menjumlahkannya menimbulkan galat kecil yang menumpuk pada banyak persegi panjang. Jaga presisi penuh sepanjang perhitungan dan bulatkan hanya hasil akhir yang ditampilkan. Kalkulator melakukan hal ini secara otomatis.
8. Menganggap setiap perkiraan itu eksak. Aturan titik tengah memberikan perkiraan, bukan nilai sejati, kecuali dalam kasus-kasus khusus seperti garis lurus dan kurva parametrik berlaju konstan. Untuk parabola, L₄ = 4.6267234873 satuan mendekati nilai sejati 4.6467837624 satuan, tetapi tidak sama dengannya. Selalu laporkan hasilnya sebagai perkiraan dan sertakan perkiraan galatnya.
9. Menukar galat perkiraan dengan batas galat yang terjamin. Selisih penyempurnaan |M_2n - M_n| adalah indikator seberapa besar jawabannya masih bergerak, bukan jaminan bahwa galat sejati lebih kecil daripada selisih itu. Batas teoretis ((b - a)³ / (24n²)) × max|g''(x)| adalah jaminan, tetapi hanya saat maksimum turunan kedua diketahui dan integrannya mulus.
10. Mengabaikan batasan domain fungsi. Fungsi seperti √(x) tidak terdefinisi untuk x negatif, dan ln(x) tidak terdefinisi untuk x ≤ 0. Jika sebuah titik tengah jatuh di luar domain, nilai integrannya tidak ada, dan perkiraannya tidak bermakna. Kalkulator melaporkan galat dalam kasus itu dan tidak mengarang sebuah nilai.
11. Menggunakan turunan parametrik yang salah. Untuk kurva parametrik, kedua turunan x'(t) dan y'(t) diperlukan, dan lajunya adalah √([x'(t)]² + [y'(t)]²). Hanya memakai salah satunya, atau menurunkan terhadap variabel yang salah, menghasilkan laju yang salah dan panjang yang salah. Untuk seperempat lingkaran, x'(t) = -5 sin(t) dan y'(t) = 5 cos(t), dan keduanya diperlukan untuk memperoleh laju konstan 5.
12. Memperlakukan fungsi yang tidak mulus atau singular seolah-olah asumsi galat baku berlaku secara otomatis. Perilaku galat 1 / n² dan batas teoretis mengasumsikan integran yang mulus. Fungsi dengan sudut, lompatan, atau singularitas di dalam interval dapat konvergen jauh lebih lambat, dan ekstrapolasi Richardson dapat gagal. Periksa tabel konvergensi: jika menggandakan n tidak memotong perubahan dengan kira-kira empat, asumsi baku itu tidak berlaku untuk fungsi tersebut.

Pemeriksaan akhir yang menangkap sebagian besar kesalahan ini. Periksa hasilnya terhadap panjang tali busur dan nilai referensi. Perkiraan harus sekurang-kurangnya sepanjang tali busur, harus mendekati referensi saat n bertambah, jumlah baris-baris tabel harus sama dengan hasil utama, dan untuk garis lurus atau kurva berlaju konstan perkiraan harus sama dengan nilai eksaknya. Jika salah satu pemeriksaan itu gagal, salah satu dari dua belas kesalahan di atas adalah penyebabnya.

Keenam contoh ini mencakup mode-mode utama kalkulator dan jenis-jenis fungsinya. Masing-masing dihitung oleh mesin titik tengah yang sama yang menggerakkan alat ini, dan setiap hasilnya telah diverifikasi secara independen terhadap referensi Simpson adaptif yang akurat tinggi.

Contoh 1: Parabola, y = x² pada [0, 2], n = 4. Turunannya adalah f'(x) = 2x, lebarnya adalah Δx = 0.5, dan titik-titik tengahnya adalah 0.25, 0.75, 1.25, dan 1.75. Nilai-nilai integrannya adalah 1.1180339887, 1.8027756377, 2.6925824036, dan 3.6400549446, jumlahnya adalah 9.2534469747, dan L₄ = 0.5 × 9.2534469747 = 4.6267234873 satuan. Referensinya adalah 4.6467837624 satuan, sehingga galat absolutnya adalah 0.0200602751 satuan dan galat relatifnya adalah 0.4317%. Menggandakan menjadi n = 8 menghasilkan 4.6417306581 satuan, dan perkiraan Richardson dari keduanya adalah 4.6467330483 satuan.

Contoh 2: Garis lurus, y = 3x + 1 pada [0, 4], n = 4. Turunannya adalah f'(x) = 3, sehingga integrannya adalah konstanta g(x) = √(10) = 3.1622776602. Lebarnya adalah Δx = 1, titik-titik tengahnya adalah 0.5, 1.5, 2.5, dan 3.5, dan setiap nilai integrannya adalah 3.1622776602. Jumlahnya adalah 4 × 3.1622776602 = 12.6491106407, dan L₄ = 1 × 12.6491106407 = 12.6491106407 satuan, yang persis sama dengan 4√(10). Aturan titik tengah eksak untuk n berapa pun di sini, karena integrannya konstan dan setiap persegi panjang memiliki tinggi yang benar.

Contoh 3: Garis horizontal, y = 2 pada [1, 5], n = 4. Turunannya adalah f'(x) = 0, sehingga integrannya adalah konstanta g(x) = √(1 + 0) = 1. Lebarnya adalah Δx = 1, titik-titik tengahnya adalah 1.5, 2.5, 3.5, dan 4.5, dan setiap kontribusinya adalah 1 × 1 = 1. Totalnya adalah L₄ = 4.0000000000 satuan, yang persis sama dengan jarak horizontal 5 - 1 = 4. Garis horizontal tidak memiliki perubahan vertikal, sehingga panjang busurnya hanyalah panjang interval.

Contoh 4: Seperempat lingkaran parametrik, x(t) = 5 cos(t), y(t) = 5 sin(t) pada [0, π/2], n = 4. Turunannya adalah x'(t) = -5 sin(t) dan y'(t) = 5 cos(t), dan lajunya adalah konstanta v(t) = 5. Lebar parameternya adalah Δt = π/8 = 0.3926990817, parameter-parameter titik tengahnya adalah π/16, 3π/16, 5π/16, dan 7π/16, dan setiap kontribusinya adalah 0.3926990817 × 5 = 1.9634954085. Totalnya adalah L₄ = 7.8539816340 satuan, persis 5π/2. Lingkaran penuhnya adalah 10π = 31.4159265359 satuan, dan setengah lingkarannya adalah 5π = 15.7079632679 satuan.

Contoh 5: Kubik, y = x³ pada [0, 1], n = 4. Turunannya adalah f'(x) = 3x², lebarnya adalah Δx = 0.25, dan titik-titik tengahnya adalah 0.125, 0.375, 0.625, dan 0.875. Nilai-nilai integrannya adalah 1.0010980300, 1.0853471867, 1.5405489332, dan 2.5051217067, jumlahnya adalah 6.1321158566, dan L₄ = 0.25 × 6.1321158566 = 1.5330289642 satuan. Referensinya adalah 1.5478656547 satuan, sehingga galat absolutnya adalah 0.0148366905 satuan dan galat relatifnya adalah 0.9585%. Menggandakan menjadi n = 8 menghasilkan 1.5441590533 satuan, dan perkiraan Richardsonnya adalah 1.5478690830 satuan.

Contoh 6: Trigonometri, y = sin(x) pada [0, π], n = 8. Turunannya adalah f'(x) = cos(x), lebarnya adalah Δx = π/8 = 0.3926990817, dan kedelapan titik tengahnya adalah π/16, 3π/16, 5π/16, 7π/16, 9π/16, 11π/16, 13π/16, dan 15π/16. Nilai-nilai integrannya adalah 1.4006926023, 1.3005159423, 1.1439660326, 1.0188524102, 1.0188524102, 1.1439660326, 1.3005159423, dan 1.4006926023. Jumlahnya adalah 9.7280539749, dan L₈ = 0.3926990817 × 9.7280539749 = 3.8201978627 satuan. Referensinya adalah 3.8201977890 satuan, sehingga galat absolutnya hanya 0.0000000736 satuan, galat relatif 0.00000193%. Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, sehingga aturan titik tengah dan referensi adalah cara praktis untuk memperoleh jawabannya.

Klik tombol prasetel apa pun pada kalkulator untuk memuat salah satu contoh ini dan melihat solusi langkah demi langkah lengkapnya, diagram-diagram langsungnya, tabel perhitungannya, dan perbandingan konvergensinya untuk masukan itu.

Panjang busur dengan aturan titik tengah muncul di mana pun jarak lengkung harus diukur dari sebuah rumus, bukan dari pita ukur. Perhitungan yang sama melayani siswa, insinyur, dan desainer.

Jalan, lintasan, dan kabel. Jalan yang melengkung, tikungan lintasan lari, atau kabel yang menggantung antara dua penyangga semuanya memiliki panjang yang mengikuti kurva. Saat kurva dimodelkan oleh sebuah fungsi, aturan titik tengah memperkirakan panjangnya dari model itu, dan perkiraan galat menyatakan seberapa jauh jawaban itu dapat dipercaya. Kabel yang dimodelkan oleh y = x² pada [0, 2] memerlukan kabel sepanjang 4.6467837624 satuan, bukan 4.4721359550 satuan dari celah garis lurusnya.

Manufaktur dan pelat logam. Panel yang melengkung, pipa yang dibengkokkan, atau tepi yang digulung berawal sebagai bahan datar dengan panjang yang diketahui. Aturan titik tengah mengubah desain lengkung menjadi panjang datar yang harus dipotong, dan tabel konvergensi mengonfirmasi panjang itu sampai presisi yang dibutuhkan bengkel. Tikungan seperempat lingkaran berjari-jari 5 memerlukan bahan sepanjang 7.8539816340 satuan di sepanjang kurvanya.

Arsitektur. Lengkung, kubah, dan tangga melengkung diukur menurut busur-busurnya. Lengkung setengah lingkaran berjari-jari 5 memerlukan lis sepanjang 5π = 15.7079632679 satuan di sepanjang kurvanya. Untuk lengkung bukan lingkaran yang dimodelkan oleh parabola atau kurva sinus, aturan titik tengah memberikan panjang lis langsung dari persamaan desainnya.

Fisika dan gerak. Jarak yang ditempuh partikel sepanjang jalur lengkung adalah panjang busur lintasannya. Bandul, proyektil, atau satelit pada orbit elips semuanya bergerak sepanjang kurva yang panjangnya penting untuk perhitungan energi, waktu, dan bahan bakar. Aturan titik tengah memperkirakan jarak-jarak itu dari persamaan geraknya.

Grafika komputer, animasi, dan permainan. Benda yang bergerak sepanjang jalur lengkung, gerakan kamera, dan karakter animasi semuanya mengikuti spline dan kurva parametrik. Jarak sepanjang jalur menentukan kecepatan, waktu, dan jarak antarbingkai. Aturan titik tengah mengukur panjang-panjang jalur itu dari persamaan kurvanya, dan mode parametrik menangani kurva yang berbalik arah.

Kedokteran dan biologi. Pembuluh darah, tulang belakang, dan permukaan lengkung organ diukur dari pemindaian dan model. Panjang busur sepanjang garis tengah pembuluh membantu merencanakan stent dan kateter, dan aturan titik tengah mengubah garis tengah yang dimodelkan menjadi panjang beserta perkiraan galatnya.

Kalkulator terkait pada situs ini. Untuk panjang busur eksak dari kurva-kurva bernama, coba kalkulator panjang busur parabola, kalkulator panjang busur elips, kalkulator panjang busur setengah lingkaran, kalkulator panjang busur lingkaran, dan kalkulator panjang busur juring. Untuk integrasi eksak langkah demi langkah, coba kalkulator panjang busur dengan langkah-langkah, kalkulator panjang busur parametrik, kalkulator panjang busur polar, dan kalkulator panjang busur 3D. Untuk metode numerik lainnya, coba kalkulator aturan trapesium dan kalkulator aturan Simpson.

Tabel-tabel ini mengumpulkan perilaku konvergensi dari dua contoh pengerjaan utama dalam satu tempat, sehingga Anda dapat melihat seberapa cepat aturan titik tengah mantap dan bagaimana ekstrapolasi Richardson memperbaiki jawabannya. Semua nilai dihitung oleh mesin titik tengah, dengan referensi dari integrasi Simpson adaptif.

Parabola y = x² pada [0, 2], referensi 4.6467837624 satuan.

Kurva sinus y = sin(x) pada [0, π], referensi 3.8201977890 satuan.

Cara membaca tabel. Galat parabola turun dengan faktor sekitar empat pada setiap penggandaan, dari 0.0200602751 pada n = 4 menjadi 0.0050531044 pada n = 8 menjadi 0.0012632302 pada n = 16, yang merupakan perilaku 1 / n² yang diharapkan. Kurva sinus konvergen lebih cepat lagi, karena integrannya hampir datar di dekat tengah interval: pada n = 8 galatnya sudah 0.0000000736 satuan, dan pada n = 16 perkiraannya sama dengan referensi sampai sepuluh tempat desimal yang ditampilkan. Baris-baris Richardson menunjukkan gagasan yang sama dalam satu langkah: menggabungkan dua perkiraan mengalahkan masing-masing perkiraan itu sendiri, dengan galat 0.0000507141 satuan untuk parabola dan 0.0000000245 satuan untuk kurva sinus. Gunakan tabel-tabel ini sebagai patokan: jika perhitungan Anda sendiri untuk salah satu contoh ini tidak cocok dengan tabel, periksa turunan, titik-titik tengah, dan integrannya sebelum mempercayai jawabannya.