Kalkulator Panjang Busur Lingkaran

Kalkulator Panjang Busur Lingkaran mengukur jarak lengkung di sepanjang bagian mana pun dari sebuah lingkaran, dari irisan kecil hingga keliling penuh. Kalkulator ini menerima enam pengukuran awal yang berbeda, sehingga Anda dapat menggunakan nilai mana pun yang sudah Anda miliki. Ikuti langkah-langkah berikut untuk mendapatkan jawaban yang benar dalam waktu kurang dari satu menit.

1. Pilih metode input. Pilih Jari-jari, Diameter, Keliling Lingkaran Penuh, Panjang Tali Busur, Luas Lingkaran Penuh, atau Luas Juring. Kolom input, labelnya, dan daftar satuannya berubah mengikuti metode yang Anda pilih.
2. Masukkan pengukuran Anda. Ketik nilainya di kotak input. Untuk metode luas, gunakan daftar satuan kuadrat (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Masukkan sudut pusat. Ketik sudut dalam derajat atau radian menggunakan tombol DEG/RAD, atau seret penggeser sudut dari 0° hingga 360°. Diagram langsung dan hasilnya diperbarui saat Anda menggesernya.
4. Atur sudut awal dan sudut akhir jika Anda memerlukannya. Sapuan default dimulai dari 0° dan berjalan berlawanan arah jarum jam. Ubah sudut awal, sudut akhir, atau arah untuk mengukur busur di bagian mana pun pada lingkaran. Sapuanlah, bukan posisinya, yang menentukan panjang busur.
5. Pilih satuan input dan output. Kalkulator mengubah input Anda menjadi satuan internal yang konsisten, menghitung, lalu mengubah jawabannya ke satuan output Anda. Angkanya berubah mengikuti satuan; panjangnya tidak.
6. Pilih presisi. Pilih 2, 4, 6, atau 8 tempat desimal. Defaultnya adalah 4. Kalkulator selalu menggunakan π presisi penuh secara internal dan hanya membulatkan hasil yang ditampilkan.
7. Klik Hitung Sekarang. Hasil utama adalah panjang busur yang dipilih, beserta klasifikasinya: busur panjang nol, busur minor, setengah lingkaran, busur mayor, atau lingkaran penuh. Di bawahnya Anda mendapatkan jari-jari, diameter, keliling penuh, busur pelengkap, panjang tali busur, luas juring, luas tembereng lingkaran, persentase busur, kedua bentuk sudut, dan rasio busur terhadap tali busur.
8. Jelajahi diagramnya. Diagram lingkaran langsung menggambar lingkaran penuh, menyorot busur yang dipilih dengan warna emas, dan menandai pusat O, garis jari-jari, tali busur, dan titik-titik ujung. Gunakan tombol untuk menampilkan atau menyembunyikan jari-jari, diameter, tali busur, titik pusat, penanda sudut, serta busur minor dan mayor.
9. Salin, cetak, atau atur ulang. Gunakan Salin Hasil untuk menaruh jawaban di papan klip Anda, Cetak Ringkasan untuk laporan sederhana, atau Mengatur ulang untuk mengosongkan panel. Tombol preset memuat contoh-contoh terverifikasi secara instan.

Coba contoh. Jari-jari 5 dengan sudut 60° menghasilkan busur 5.2359877560 satuan. Jari-jari 8 dengan 90° menghasilkan 12.5663706144 satuan. Jari-jari 4 dengan 270° menghasilkan busur mayor 18.8495559215 satuan. Diameter 14 dengan 120° menghasilkan 14.6607657168 satuan. Jari-jari 10 dengan 180° menghasilkan busur setengah lingkaran 31.4159265359 satuan, dan jari-jari 6 dengan 360° menghasilkan keliling penuh 37.6991118431 satuan.

Kiat penting. Jaga agar satuan sudut tetap konsisten: 60° dan 1.0471975512 radian adalah sudut yang sama, tetapi 60 radian bukanlah 60°. Panjang busur hanyalah jarak lengkung; tali busur adalah pengukuran yang berbeda dan selalu lebih pendek, kecuali untuk busur panjang nol. Jika Anda memasukkan diameter, kalkulator membaginya dua untuk menemukan jari-jari terlebih dahulu. Pengukuran nol atau negatif bukanlah lingkaran yang valid, jadi kalkulator menolaknya alih-alih menampilkan jawaban yang menyesatkan.

Lingkaran adalah himpunan semua titik yang berjarak tetap, yaitu jari-jari, dari sebuah titik pusat O. Busur adalah bagian kontinu dari lingkaran di antara dua titik pada lingkaran itu. Panjang busur adalah jarak yang akan Anda tempuh jika Anda berjalan di sepanjang kurva dari satu titik ujung ke titik ujung lainnya, dengan tetap berada di lingkaran sepanjang jalan.

Bayangkan sebuah lintasan lari melingkar. Panjang busur adalah jarak di sepanjang jalur antara dua gerbang. Garis lurus yang memotong melintasi lapangan di antara dua gerbang yang sama adalah tali busur, dan garis itu lebih pendek. Perbedaannya penting: seorang pelari mengikuti kurva, sehingga jarak lengkunglah yang dihitung.

Setiap lingkaran memiliki bagian-bagian yang sama, yang diskalakan menurut jari-jarinya. Pusat O adalah titik yang tetap. Jari-jari r membentang dari O ke titik mana pun pada lingkaran. Diameter d membentang dari satu sisi ke sisi lainnya melalui O, dan selalu dua kali jari-jari. Keliling C adalah jarak mengelilingi seluruh lingkaran, C = 2πr. Sudut pusat θ adalah sudut di O antara dua jari-jari yang menuju ke titik-titik ujung busur, dan sudut inilah yang menentukan berapa bagian keliling yang dicakup busur.

Dua titik pada sebuah lingkaran selalu menciptakan dua busur: yang lebih pendek, yaitu busur minor, dan yang lebih panjang, yaitu busur mayor. Bersama-sama keduanya membentuk keliling penuh. Busur mana yang Anda inginkan bergantung pada soal Anda, dan kalkulator menampilkan keduanya, sehingga Anda tidak perlu menebak.

Panjang busur adalah pengukuran satu dimensi, sebuah panjang, sehingga dilaporkan dalam satuan biasa seperti cm, m, atau inci. Panjang busur bukanlah luas, dan bukan pula sudut. Memisahkan ketiga besaran ini adalah langkah pertama untuk membuat setiap perhitungan lingkaran menjadi benar.

Panjang busur sebuah lingkaran berasal langsung dari keliling lingkaran penuh. Keliling sebuah lingkaran penuh adalah:

Sudut pusat menyatakan pecahan dari satu putaran penuh 360°. Busur dengan sudut pusat θ mencakup pecahan θ / 360 dari seluruh lingkaran, sehingga:

Menyederhanakannya menghasilkan bentuk derajat dari rumus tersebut:

Ketika sudut diukur dalam radian, rumusnya menjadi lebih sederhana lagi, karena radian didefinisikan berdasarkan jari-jari itu sendiri:

Setiap simbol dalam rumus memiliki arti yang tepat:

Kedua bentuk memberikan jawaban yang sama. Gunakan L = πrθ / 180 ketika sudut Anda dalam derajat, dan L = rθ ketika sudut dalam radian. Kalkulator mengubah derajat menjadi radian terlebih dahulu lalu menggunakan L = rθ secara internal, itulah sebabnya kedua mode selalu cocok.

Menggunakan diameter alih-alih jari-jari menghasilkan bentuk kedua dari rumus yang sama. Karena d = 2r, maka r = d / 2, dan dengan substitusi diperoleh L = dθ / 2 dalam radian, atau L = πdθ / 360 dalam derajat.

Jari-jari ditambah sudut pusat adalah cara paling langsung untuk menemukan panjang busur. Contoh yang dikerjakan di bawah ini menggunakan jari-jari 5 satuan dan sudut pusat 60°.

1. Kenali jari-jarinya. r = 5 satuan.
2. Kenali sudut pusatnya. θ = 60°.
3. Ubah derajat menjadi radian. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radian.
4. Tuliskan rumus panjang busur. L = rθ.
5. Substitusikan nilainya. L = 5 × π / 3.
6. Hitung. L = 5.2359877560 satuan.
7. Bulatkan seperlunya. Hingga dua tempat desimal, L = 5.24 satuan.

Langkah yang sama berlaku untuk jari-jari dan sudut mana pun. Jari-jari 8 satuan dengan 90° menghasilkan L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 satuan. Jari-jari 3 satuan dengan 60° menghasilkan L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 satuan. Jari-jari 1 satuan dengan 60° menghasilkan L = 1.0471975512 satuan, yang tepat sama dengan π / 3, sebuah pemeriksaan yang berguna: untuk r = 1, panjang busur sama dengan sudut dalam radian.

Aturan pembulatan. Bulatkan hanya di akhir. Jika Anda mengganti π dengan 3.14 sebelum mengalikan, jari-jari 5 dengan 60° menghasilkan 5.2333333333 alih-alih 5.2359877560, kesalahan sebesar 0.0026544227. Kesalahan itu membesar seiring jari-jari, jadi pertahankan presisi penuh selama perhitungan dan bulatkan hanya hasil akhir yang ditampilkan.

Ketika Anda mengetahui diameter alih-alih jari-jari, bagilah dua terlebih dahulu, lalu terapkan rumus yang sama. Contoh yang dikerjakan di bawah ini menggunakan diameter 14 satuan dan sudut pusat 120°.

1. Kenali diameternya. d = 14 satuan.
2. Cari jari-jarinya. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 satuan.
3. Kenali sudut pusatnya. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radian.
4. Tuliskan rumusnya. L = rθ, atau secara langsung L = πdθ / 360.
5. Substitusikan. L = 7 × 2.0943951024, atau L = π × 14 × 120 / 360.
6. Hitung. L = 14.6607657168 satuan.
7. Bulatkan seperlunya. Hingga dua tempat desimal, L = 14.66 satuan.

Kedua cara cocok persis, yang merupakan pemeriksaan diri yang baik. Cara jari-jari menghasilkan 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Cara diameter menghasilkan π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Jika keduanya tidak cocok, diameter tidak dibagi dua dengan benar.

Contoh lain: diameter 20 satuan dengan 180° menghasilkan r = 10 satuan, sehingga L = π × 10 = 31.4159265359 satuan, busur setengah lingkaran. Diameter 10 satuan dengan 60° menghasilkan r = 5 satuan, sehingga L = 5.2359877560 satuan. Kesalahan paling umum dalam perhitungan ini adalah lupa membagi dua dan menggunakan diameter seolah-olah itu jari-jari, yang menggandakan jawabannya. Untuk d = 14, kesalahan itu menghasilkan 29.3215314336 alih-alih 14.6607657168.

Kiat pengukuran. Diameter sering kali lebih mudah diukur dalam kehidupan nyata daripada jari-jari, karena Anda dapat mengukur lurus melintasi lingkaran. Itulah sebabnya kalkulator menerima input diameter secara langsung: ukur melintasinya, masukkan nilainya, dan kalkulator akan membaginya dua untuk Anda.

Derajat adalah satuan sudut sehari-hari. Satu lingkaran penuh berisi 360°, sehingga sudut pusat dalam derajat langsung memberi tahu Anda berapa bagian lingkaran penuh yang dicakup busur Anda. Sudut 90° mencakup seperempat lingkaran, 180° mencakup setengah, dan 270° mencakup tiga perempat.

Rumus derajat adalah L = πrθ / 180, dengan θ dalam derajat. Rumus ini berasal dari gagasan pecahan: θ / 360 dari keliling 2πr, yang disederhanakan.

Contoh yang dikerjakan. Jari-jari 8 satuan, sudut 90°.

1. Kenali nilainya. r = 8 satuan, θ = 90°.
2. Cari pecahan lingkarannya. 90 / 360 = 1 / 4, seperempat lingkaran.
3. Tuliskan rumusnya. L = πrθ / 180.
4. Substitusikan. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Hitung. L = 12.5663706144 satuan.
6. Periksa terhadap kelilingnya. Keliling penuh adalah 2π × 8 = 50.2654824574 satuan, dan seperempatnya adalah 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 satuan. Keduanya cocok.

Contoh derajat lainnya dengan jari-jari 5 satuan: 30° menghasilkan L = 2.6179938780 satuan, 45° menghasilkan L = 3.9269908170 satuan, 120° menghasilkan L = 10.4719755120 satuan, dan 270° menghasilkan L = 23.5619449019 satuan. Perhatikan bahwa menggandakan sudut akan menggandakan panjang busur untuk jari-jari yang sama, karena panjang busur berbanding lurus dengan sudut pusat.

Kesalahan derajat yang umum. Memasukkan nilai derajat langsung ke L = rθ tanpa mengubahnya menghasilkan jawaban yang sangat salah. Untuk r = 5 dan 60°, perhitungan tanpa konversi menghasilkan 5 × 60 = 300, padahal jawaban yang benar adalah 5.2359877560. Rumus L = rθ membutuhkan radian, jadi ubah dulu atau gunakan bentuk derajat L = πrθ / 180.

Radian adalah sudut yang Anda dapatkan ketika panjang busur sama dengan jari-jari. Jika Anda melilitkan seutas tali sepanjang jari-jari mengelilingi lingkaran, sudut yang dibentuknya di pusat tepat 1 radian. Satu lingkaran penuh berisi 2π radian, sekitar 6.2831853072 radian, karena keliling penuh adalah 2πr dan membaginya dengan r menyisakan 2π.

Rumus radian adalah L = rθ, rumus panjang busur paling sederhana yang ada. Rumus ini tidak mengandung π, karena π sudah ada di dalam ukuran radian dari sudut itu.

Contoh yang dikerjakan. Jari-jari 5 satuan, sudut π / 3 radian (yaitu 60°).

1. Kenali nilainya. r = 5 satuan, θ = π / 3 = 1.0471975512 radian.
2. Tuliskan rumusnya. L = rθ.
3. Substitusikan. L = 5 × 1.0471975512.
4. Hitung. L = 5.2359877560 satuan.
5. Periksa terhadap derajat. π / 3 radian adalah 60°, dan rumus derajat menghasilkan L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 satuan. Keduanya cocok persis.

Contoh radian lainnya: jari-jari 4 satuan dengan θ = π / 2 radian menghasilkan L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 satuan. Jari-jari 6 satuan dengan θ = π / 4 radian menghasilkan L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 satuan. Jari-jari 10 satuan dengan θ = π radian menghasilkan L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 satuan, busur setengah lingkaran.

Mengapa radian lebih disukai dalam matematika. Rumus kalkulus untuk panjang busur, dan rumus untuk tali busur, juring, dan luas tembereng di halaman ini, semuanya menggunakan radian. Derajat nyaman untuk pengukuran sehari-hari, tetapi radian membuat matematikanya bersih, itulah sebabnya kalkulator mengubah setiap sudut menjadi radian sebelum menghitung.

Dua titik pada sebuah lingkaran membaginya menjadi dua busur. Yang lebih pendek adalah busur minor, dan yang lebih panjang adalah busur mayor. Keduanya berbagi titik ujung yang sama, dan bersama-sama membentuk keliling penuh.

Sudut pusatlah yang menentukan mana yang mana. Sudut pusat di bawah 180° menghasilkan busur minor. Sudut pusat di atas 180° menghasilkan busur mayor. Tepat 180° menghasilkan setengah lingkaran, yang bukan minor maupun mayor: kedua busurnya sama besar.

Minor dan mayor saling melengkapi. Untuk sudut pusat yang lebih kecil θ, busur minor adalah Lminor = rθ dan busur mayor adalah Lmayor = r(2π - θ). Jumlah keduanya selalu merupakan keliling penuh:

Contoh yang dikerjakan. Jari-jari 5 satuan, sudut yang lebih kecil 60°. Busur minor adalah L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 satuan. Busur mayor menggunakan sudut refleks 360° - 60° = 300°, sehingga L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 satuan. Jumlahnya adalah 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 satuan, yang tepat sama dengan keliling 2π × 5. Busur minor adalah 16.67% dari lingkaran dan busur mayor adalah 83.33%.

Contoh lain. Jari-jari 4 satuan, sudut 270°. Ini sudah merupakan busur mayor: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 satuan. Busur minor pelengkapnya menggunakan 90°: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 satuan. Jumlahnya adalah 25.1327412287 satuan, keliling penuh 2π × 4.

Jangan tertukar antara kedua sudut itu. Kesalahan minor/mayor yang paling umum adalah menggunakan sudut yang lebih kecil ketika soal meminta busur mayor, atau sebaliknya. Selalu periksa apakah sudut yang diberikan kepada Anda adalah sudut yang lebih kecil atau sudut refleks, dan ingatlah bahwa kalkulator menampilkan kedua busur berdampingan sehingga Anda dapat memilih busur yang dibutuhkan soal Anda.

Panjang busur dan panjang tali busur sama-sama menghubungkan dua titik yang sama pada sebuah lingkaran, tetapi keduanya mengambil jalur yang berbeda. Busur mengikuti kurva. Tali busur memotong lurus melintasinya. Busur hampir selalu lebih panjang.

Rumus-rumusnya menunjukkan perbedaannya dengan jelas:

Tali busur bergantung pada sinus setengah sudut, yang tumbuh lebih lambat daripada sudut itu sendiri, sehingga selisih antara busur dan tali busur melebar seiring bertambahnya sudut.

Tiga fakta dari tabel ini layak diingat. Pada 30°, busur hanya sekitar 1.15% lebih panjang daripada tali busur, sehingga untuk sudut kecil keduanya hampir sama. Pada 180°, tali busur adalah diameter, 10 satuan, sedangkan busurnya adalah πr = 15.7079632679 satuan. Pada 270°, tali busur menyusut kembali menjadi 7.0710678119 satuan, sama seperti pada 90°, karena tali busur bergantung pada sudut yang lebih kecil di antara titik-titik ujung, sedangkan busur terus bertambah mengikuti sapuan.

Kasus khusus. Pada 60°, tali busur sama persis dengan jari-jari: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Untuk r = 5, tali busurnya adalah 5 satuan, dan jari-jari, tali busur, serta kedua jari-jari membentuk segitiga sama sisi. Ini adalah pemeriksaan yang praktis dan favorit para pembuat soal ujian.

Mengapa ini penting. Jika Anda memotong pipa melengkung, Anda membutuhkan panjang busur. Jika Anda mengukur celah lurus antara dua titik pada bagian yang melingkar, Anda membutuhkan tali busur. Menukar keduanya adalah salah satu kesalahan lingkaran yang paling umum, dan kalkulator menampilkan kedua nilai bersama-sama sehingga perbedaannya selalu terlihat.

Panjang busur dan luas juring terdengar mirip, tetapi keduanya mengukur hal yang berbeda. Panjang busur adalah jarak lengkung satu dimensi, yang diukur dalam satuan biasa. Luas juring adalah daerah dua dimensi, irisan lingkaran yang dipotong oleh dua jari-jari dan busur, yang diukur dalam satuan persegi.

Rumus-rumusnya tampak mirip, dan justru itulah sebabnya keduanya tertukar:

Luas juring adalah panjang busur dikalikan setengah jari-jari: A = ½ × r × L. Hubungan itu adalah pemeriksaan yang berguna. Untuk jari-jari 5 satuan dan 60°, busurnya adalah 5.2359877560 satuan, dan luas juringnya adalah ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 satuan persegi.

Satuan adalah petunjuknya. Jika jawaban Anda seharusnya berupa panjang, satuannya adalah cm, m, atau inci. Jika seharusnya berupa luas, satuannya adalah cm², m², atau inci persegi. Jawaban panjang busur dalam satuan persegi, atau jawaban luas juring dalam satuan biasa, pasti salah. Kalkulator memisahkan keduanya dan memberi label satuan dengan jelas.

Pemeriksaan lingkaran penuh. Pada 360°, juring itu adalah seluruh lingkaran, sehingga luas juring harus sama dengan πr². Untuk r = 6, π × 36 = 113.0973355292 satuan persegi. Busur pada saat yang sama adalah keliling penuh, 37.6991118431 satuan. Keduanya berasal dari jari-jari dan sudut yang sama, tetapi menjawab pertanyaan yang berbeda.

Tembereng lingkaran adalah daerah yang dibatasi oleh sebuah busur dan tali busurnya. Bayangkan sepotong lingkaran yang dipotong oleh garis lurus: tepi lengkungnya adalah busur, tepi lurusnya adalah tali busur, dan luas di antara keduanya adalah tembereng. Tembereng lebih kecil daripada juring, karena juring juga mencakup segitiga yang dibentuk oleh kedua jari-jari dan tali busur.

Luas tembereng adalah luas juring dikurangi luas segitiga antara kedua jari-jari dan tali busur:

Di sini θ adalah sapuan pusat dalam radian, antara 0 dan 2π. Rumus ini menangani tembereng minor maupun mayor dengan benar: untuk busur minor, rumus ini menghasilkan tudung kecil, dan untuk busur mayor, rumus ini menghasilkan daerah besar yang mencakup sebagian besar lingkaran.

Contoh yang dikerjakan. Untuk r = 5 satuan dan 60°, luas juring adalah 13.0899693900 satuan persegi dan luas tembereng adalah ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 satuan persegi. Tembereng jauh lebih kecil daripada juring, karena segitiga mengambil sebagian besar irisan itu. Untuk r = 5 dan 90°, temberengnya adalah 7.1349540849 satuan persegi. Untuk r = 8 dan 90°, temberengnya adalah 18.2654824574 satuan persegi.

Kasus khusus. Pada 180°, sin θ = 0, sehingga luas tembereng sama dengan luas juring: ½ πr². Untuk r = 5, keduanya adalah 39.2699081699 satuan persegi, yang tepat setengah lingkaran. Pada 270°, sin θ = -1, sehingga tembereng lebih besar daripada juring: untuk r = 5, juringnya adalah 58.9048622548 satuan persegi dan temberengnya adalah 71.4048622548 satuan persegi. Pada 360°, tali busur menghilang dan tembereng itu adalah seluruh lingkaran, πr².

Tembereng vs juring, dalam satu kalimat. Juring adalah irisan dari pusat. Tembereng adalah tudung di luar tali busur. Jika soal Anda melibatkan pusat, Anda menginginkan juring. Jika soal hanya melibatkan busur dan tali busurnya, Anda menginginkan tembereng.

Derajat dan radian adalah dua satuan untuk hal yang sama, sudut. Derajat membagi satu putaran penuh menjadi 360 bagian yang sama. Radian mengukur sudut berdasarkan busur yang dipotongnya, dalam satuan jari-jari. Keduanya dihubungkan oleh satu konversi: π radian sama dengan 180°.

Rumus konversinya adalah:

Contoh konversi yang dikerjakan. 120° dalam radian adalah 120 × π / 180 = 2.0943951024 radian. 45° adalah 45 × π / 180 = 0.7853981634 radian. Sebaliknya, 1 radian adalah 1 × 180 / π = 57.2957795131°, dan 2 radian adalah 114.5915590262°. Nilai terakhir itu berguna: sebuah busur menjadi lebih panjang daripada diameter tepat ketika sudutnya melewati 2 radian.

Satuan mana yang sebaiknya Anda gunakan? Gunakan derajat ketika soal memberikan derajat, dan radian ketika soal memberikan radian. Kalkulator menerima keduanya, dan tombol DEG/RAD mengubah sudut Anda tanpa mengubah busurnya. Untuk perhitungan tangan, derajat cocok untuk bentuk pecahan L = πrθ / 180, sedangkan radian cocok untuk bentuk bersih L = rθ. Bagaimanapun, jangan pernah mencampur keduanya dalam satu rumus.

Terkadang jari-jari maupun diameter tidak diberikan. Kalkulator bekerja mundur dari empat pengukuran lainnya dengan menurunkan jari-jari terlebih dahulu, lalu menerapkan L = rθ seperti biasa. Keenam metode menghasilkan jari-jari yang sama dan panjang busur yang sama untuk lingkaran yang sama, sehingga Anda dapat menggunakan pengukuran mana pun yang benar-benar Anda miliki.

Dari keliling lingkaran penuh. Keliling penuh adalah C = 2πr, sehingga r = C / (2π). Untuk C = 31.4159265359 satuan, r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 satuan. Lalu busur 60° adalah L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 satuan. Perhatikan jalan pintasnya: busur 60° adalah seperenam keliling, dan 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 satuan.

Dari panjang tali busur. Rumus tali busur adalah c = 2r sin(θ / 2), sehingga r = c / [2 sin(θ / 2)]. Untuk tali busur 5 satuan dengan sudut 60°, r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 satuan. Lalu L = 5.2359877560 satuan. Input tali busur hanya bekerja ketika sudut benar-benar di antara 0° dan 360°: pada 0° atau 360° tali busurnya nol dan tidak ada jari-jari yang dapat diperoleh kembali, sehingga kalkulator menolak sudut-sudut itu untuk metode ini.

Dari luas lingkaran penuh. Luas lingkaran penuh adalah A = πr², sehingga r = √(A / π). Untuk A = 78.5398163397 satuan persegi, r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 satuan. Lalu busur 60° adalah L = 5.2359877560 satuan. Anda dapat memeriksa jari-jari dengan memasukkannya kembali ke rumus luas: π × 25 = 78.5398163397 satuan persegi.

Dari luas juring. Luas juring adalah A = ½r²θ, sehingga r = √(2A / θ) dengan θ dalam radian. Untuk luas juring 13.0899693900 satuan persegi dengan sudut 60°, θ = 1.0471975512 radian, sehingga r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 satuan. Lalu L = 5.2359877560 satuan. Metode ini membutuhkan sudut sekaligus luas, karena luas juring yang sama dapat berasal dari banyak kombinasi jari-jari dan sudut.

Input mana yang digunakan. Gunakan pengukuran mana pun yang benar-benar Anda miliki. Jika dua pengukuran berbeda menghasilkan jari-jari yang berbeda, salah satu pengukurannya salah, dan ketidakcocokan itu layak diselidiki sebelum Anda mempercayai jawaban mana pun.

Panjang busur bukanlah latihan kelas yang abstrak. Di mana pun jarak lengkung pada lingkaran harus diukur, dipotong, dibangun, atau ditempuh, rumus yang sama berlaku.

Teknik dan manufaktur. Pembengkokan pipa dimulai dengan panjang busur: pipa yang dibengkokkan 90° dengan jari-jari bengkokan 8 satuan membutuhkan 12.5663706144 satuan pipa hanya untuk bengkokannya. Lembaran logam yang digulung menjadi panel melengkung, profil gigi roda gigi, dan bentuk cam semuanya membutuhkan panjang lengkung sebelum material dipotong. Kesalahan akan membuang material atau membuat bagian menjadi kurang panjang.

Arsitektur dan konstruksi. Pintu lengkung, jendela melingkar, kubah, dan tangga melengkung diukur berdasarkan busurnya. Lengkungan setengah lingkaran dengan jari-jari 10 satuan membutuhkan 31.4159265359 satuan lis di sepanjang kurvanya. Pesanan tepi untuk hamparan taman melingkar membutuhkan busur untuk sisi lengkung dan diameter untuk sisi lurus, yang merupakan angka yang berbeda.

Jalan dan lintasan. Tikungan jalan melingkar, tikungan lintasan lari, atau tikungan rel kereta api dibuat berdasarkan jari-jari dan sudut pusat. Panjang tikungan menentukan jumlah aspal, panjang rel, dan jarak yang ditempuh kendaraan melalui tikungan itu. Tikungan 120° dengan jari-jari 7 satuan memiliki panjang 14.6607657168 satuan.

Jam, roda, dan robotika. Jarum jam menyapu sebuah busur seiring berjalannya waktu. Roda yang menggelinding di atas tanah menempuh jarak yang sama dengan busur yang dilaluinya. Lengan robot yang berputar pada sebuah sendi menggerakkan pencengkeramnya di sepanjang busur lingkaran, dan jarak yang ditempuhnya adalah rθ, itulah sebabnya radian adalah satuan alami dalam robotika.

Grafik komputer dan CAD. Kurva dalam model CAD, font, dan animasi dibangun dari busur lingkaran. Panjang busur menentukan bagaimana jalur alat dibagi, bagaimana kurva dirender, dan seberapa jauh sebuah objek bergerak di sepanjang jalur melingkar dalam sebuah animasi.

Catatan tentang bentuk nyata. Tidak setiap struktur melengkung adalah lingkaran sempurna. Lengkungan nyata bisa berbentuk elips atau parabola, dan jalan nyata menggunakan transisi klotoid. Rumus lingkaran di halaman ini berlaku persis ketika kurvanya adalah busur lingkaran sejati, dan hanya merupakan perkiraan yang baik ketika kurvanya mendekati lingkaran. Selalu pastikan bentuknya sebelum menerapkan rumus.

Sebagian besar jawaban salah dalam panjang busur lingkaran berasal dari daftar kecil kesalahan. Memeriksa masing-masing hanya membutuhkan beberapa detik dan dapat mencegah sebagian besar kesalahan.

1. Menggunakan diameter alih-alih jari-jari. Rumus membutuhkan r, bukan d. Menggunakan d = 14 sebagai jari-jari akan menggandakan jawabannya: 29.3215314336 alih-alih 14.6607657168 untuk busur 120°. Bagilah dua diameter terlebih dahulu.
2. Lupa mengubah derajat menjadi radian. L = rθ membutuhkan radian. Memasukkan 60° langsung menghasilkan 5 × 60 = 300 alih-alih 5.2359877560. Ubah dulu, atau gunakan L = πrθ / 180.
3. Mencampuradukkan sudut pusat dengan sudut keliling. Sudut keliling adalah setengah sudut pusat yang menghadap busur yang sama. Jika soal memberikan sudut keliling φ, sudut pusatnya adalah θ = 2φ, dan busurnya adalah L = r × 2φ. Menggunakan φ langsung akan membagi dua jawabannya.
4. Mencampuradukkan busur mayor dan minor. Sudut 270° menghasilkan busur mayor 18.8495559215 satuan untuk r = 4. Menggunakan sudut yang lebih kecil, 90°, malah menghasilkan 6.2831853072 satuan, busur minor. Periksa busur mana yang diminta soal.
5. Mencampuradukkan panjang busur dengan panjang tali busur. Tali busur adalah garis lurus, yang selalu lebih pendek daripada busur. Untuk r = 5 dan 180°, tali busurnya adalah 10 satuan dan busurnya adalah 15.7079632679 satuan. Keduanya sama hanya dalam kasus batas panjang nol.
6. Mencampuradukkan luas juring dengan panjang busur. Luas juring adalah daerah dua dimensi dalam satuan persegi. Panjang busur adalah jarak satu dimensi dalam satuan biasa. Untuk r = 5 dan 60°, luas juringnya adalah 13.0899693900 satuan persegi dan busurnya adalah 5.2359877560 satuan. Besaran yang berbeda, satuan yang berbeda.
7. Menggunakan satuan pengukuran yang salah. Jari-jari dalam cm dan sudut dalam derajat tidak masalah, tetapi jawabannya keluar dalam cm. Mencampur cm dan inci dalam satu perhitungan, atau lupa mengubah satuan output, menghasilkan angka dengan ukuran yang salah. Ubah dulu, hitung kemudian.
8. Membulatkan π terlalu awal. Mengganti π dengan 3.14 sebelum mengalikan menimbulkan kesalahan yang membesar seiring jari-jari. Pertahankan π presisi penuh selama perhitungan dan bulatkan hanya hasil akhir yang ditampilkan.
9. Lupa bahwa satu lingkaran penuh menyatakan 360°. Sudut 360° adalah keliling penuh, 2πr, bukan nol. Sudut 0° adalah busur panjang nol. Keduanya tampak mirip pada diagram, karena titik-titik ujungnya berimpit, tetapi panjang busurnya berbeda sejauh mungkin.
10. Menggunakan interval sudut yang salah. Rumus panjang busur untuk lingkaran mengasumsikan sapuan berada di antara 0° dan 360°. Sudut 450° bukanlah satu sapuan yang valid pada satu lingkaran: sudut itu adalah satu putaran penuh ditambah 90°, dan busur untuk satu lingkaran adalah sisa 90°, yaitu 12.5663706144 satuan untuk r = 8.

Pemeriksaan akhir yang menangkap sebagian besar kesalahan ini. Periksa hasilnya terhadap keliling. Busur harus berada di antara 0 dan 2πr, harus lebih panjang daripada tali busur, dan busur minor ditambah busur mayor harus berjumlah tepat 2πr. Jika salah satu pemeriksaan itu gagal, salah satu dari sepuluh kesalahan di atas adalah penyebabnya.

Keenam contoh ini mencakup metode input utama kalkulator dan jenis-jenis busur. Masing-masing dihitung oleh mesin yang sama yang menggerakkan alat ini, dan setiap hasilnya telah diverifikasi secara independen.

Contoh 1: Busur minor dengan jari-jari 5 dan 60°. Diketahui r = 5 satuan, θ = 60° = π / 3 radian. Panjang busur L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 satuan. Diameter d = 10 satuan. Tali busur c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 satuan. Luas juring A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 satuan persegi. Keliling penuh C = 31.4159265359 satuan.

Contoh 2: Busur seperempat lingkaran dengan jari-jari 8 dan 90°. Diketahui r = 8 satuan, θ = 90° = π / 2 radian. Panjang busur L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 satuan. Tali busur c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 satuan. Luas juring A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 satuan persegi. Busur ini tepat seperempat dari keliling 50.2654824574 satuan.

Contoh 3: Busur mayor dengan jari-jari 4 dan 270°. Diketahui r = 4 satuan, θ = 270° = 3π / 2 radian. Panjang busur L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 satuan. Tali busur c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 satuan. Luas juring A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 satuan persegi. Busur minor pelengkap, menggunakan 90°, adalah 6.2831853072 satuan. Kedua busur berjumlah 25.1327412287 satuan, keliling penuh.

Contoh 4: Busur dari diameter 14 dan 120°. Diketahui d = 14 satuan, θ = 120° = 2π / 3 radian. Jari-jari r = 14 / 2 = 7 satuan. Panjang busur L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 satuan. Tali busur c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 satuan. Luas juring A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 satuan persegi. Luas tembereng adalah 30.0950576159 satuan persegi.

Contoh 5: Setengah lingkaran dengan jari-jari 10 dan 180°. Diketahui r = 10 satuan, θ = 180° = π radian. Panjang busur L = 10 × π = 31.4159265359 satuan. Tali busur c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 satuan, diameternya. Luas juring A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 satuan persegi, tepat setengah luas lingkaran penuh. Busur ini adalah π / 2 kali diameter, sekitar 57.08% lebih panjang daripada garis lurus yang melintasinya.

Contoh 6: Lingkaran penuh dengan jari-jari 6 dan 360°. Diketahui r = 6 satuan, θ = 360° = 2π radian. Panjang busur L = 6 × 2π = 37.6991118431 satuan, yang merupakan keliling penuh. Tali busur c = 0, karena titik-titik ujungnya berimpit. Luas juring A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 satuan persegi, luas lingkaran penuh. Persentase busur adalah 100%.

Klik tombol preset mana pun di kalkulator untuk memuat salah satu contoh ini dan melihat solusi langkah demi langkah selengkapnya, diagram langsung, dan semua hasil sekunder untuk input itu.