वृत्त चाप लंबाई कैलकुलेटर

वृत्त चाप लंबाई कैलकुलेटर वृत्त के किसी भी भाग के साथ वक्र दूरी मापता है, एक छोटे टुकड़े से लेकर पूरी परिधि तक। यह छह अलग-अलग शुरुआती माप स्वीकार करता है, इसलिए आप जिस मान को पहले से जानते हैं, उसका उपयोग कर सकते हैं। एक मिनट से भी कम समय में सही उत्तर पाने के लिए इन चरणों का पालन करें।

1. इनपुट विधि चुनें। त्रिज्या, व्यास, पूर्ण वृत्त परिधि, जीवा लंबाई, पूर्ण वृत्त क्षेत्रफल, या त्रिज्यखंड क्षेत्रफल चुनें। इनपुट फ़ील्ड, उसका लेबल और उसकी इकाई सूची आपकी चुनी विधि के अनुसार बदल जाती है।
2. अपना माप दर्ज करें। मान इनपुट बॉक्स में टाइप करें। क्षेत्रफल विधियों के लिए वर्ग इकाई सूची (mm², cm², m², km², in², ft², yd²) का उपयोग करें।
3. केंद्रीय कोण दर्ज करें। DEG/RAD टॉगल का उपयोग करके डिग्री या रेडियंस में कोण टाइप करें, या कोण स्लाइडर को 0° से 360° तक खींचें। जैसे-जैसे आप इसे हिलाते हैं, लाइव आरेख और परिणाम अपडेट होते हैं।
4. यदि आपको आवश्यकता हो तो प्रारंभ और अंतिम कोण सेट करें। डिफ़ॉल्ट स्वीप 0° से शुरू होकर वामावर्त चलता है। वृत्त पर कहीं भी चाप मापने के लिए प्रारंभ कोण, अंतिम कोण या दिशा बदलें। चाप लंबाई स्वीप से तय होती है, स्थिति से नहीं।
5. इनपुट और आउटपुट इकाइयाँ चुनें। कैलकुलेटर आपके इनपुट को एक सुसंगत आंतरिक इकाई में बदलता है, गणना करता है, फिर उत्तर को आपकी आउटपुट इकाई में बदल देता है। इकाई के साथ संख्या बदलती है; लंबाई नहीं बदलती।
6. सटीकता चुनें। 2, 4, 6 या 8 दशमलव स्थान चुनें। डिफ़ॉल्ट 4 है। कैलकुलेटर आंतरिक रूप से हमेशा पूर्ण-सटीकता π का उपयोग करता है और केवल दिखाए गए परिणाम को पूर्णांकित करता है।
7. अभी गणना करें पर क्लिक करें। मुख्य परिणाम चयनित चाप लंबाई है, साथ ही उसका वर्गीकरण: शून्य-लंबाई चाप, लघु चाप, अर्धवृत्त, दीर्घ चाप, या पूर्ण वृत्त। इसके नीचे आपको त्रिज्या, व्यास, पूर्ण परिधि, पूरक चाप, जीवा लंबाई, त्रिज्यखंड क्षेत्रफल, वृत्तखंड क्षेत्रफल, चाप प्रतिशत, कोण के दोनों रूप, और चाप-से-जीवा अनुपात मिलते हैं।
8. आरेख देखें। लाइव वृत्त आरेख पूरा वृत्त बनाता है, चयनित चाप को सुनहरे रंग में हाइलाइट करता है, और केंद्र O, त्रिज्या रेखाओं, जीवा, और अंतिम बिंदुओं को चिह्नित करता है। त्रिज्या, व्यास, जीवा, केंद्र बिंदु, कोण चिह्न, और लघु व दीर्घ चापों को दिखाने या छिपाने के लिए टॉगलों का उपयोग करें।
9. कॉपी करें, प्रिंट करें, या रीसेट करें। उत्तर को अपने क्लिपबोर्ड पर रखने के लिए परिणाम कॉपी करें का उपयोग करें, एक सरल रिपोर्ट के लिए सारांश प्रिंट करें का उपयोग करें, या पैनल साफ़ करने के लिए रीसेट करें का उपयोग करें। प्रीसेट बटन सत्यापित उदाहरणों को तुरंत लोड करते हैं।

एक उदाहरण आज़माएँ। 60° कोण के साथ त्रिज्या 5 से 5.2359877560 इकाइयों का चाप मिलता है। 90° के साथ त्रिज्या 8 से 12.5663706144 इकाइयाँ मिलती हैं। 270° के साथ त्रिज्या 4 से 18.8495559215 इकाइयों का दीर्घ चाप मिलता है। 120° के साथ व्यास 14 से 14.6607657168 इकाइयाँ मिलती हैं। 180° के साथ त्रिज्या 10 से अर्धवृत्त चाप 31.4159265359 इकाइयाँ मिलता है, और 360° के साथ त्रिज्या 6 से पूर्ण परिधि 37.6991118431 इकाइयाँ मिलती है।

महत्वपूर्ण सुझाव। कोण की इकाई सुसंगत रखें: 60° और 1.0471975512 रेडियंस एक ही कोण हैं, लेकिन 60 रेडियंस 60° नहीं है। चाप लंबाई केवल वक्र दूरी है; जीवा एक अलग माप है और शून्य-लंबाई चाप को छोड़कर हमेशा छोटी होती है। यदि आप व्यास दर्ज करते हैं, तो कैलकुलेटर पहले उसे आधा करके त्रिज्या निकालता है। शून्य या ऋणात्मक माप मान्य वृत्त नहीं है, इसलिए कैलकुलेटर भ्रामक उत्तर दिखाने के बजाय उसे अस्वीकार कर देता है।

वृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जो केंद्र बिंदु O से एक निश्चित दूरी, त्रिज्या, पर स्थित होते हैं। चाप वृत्त का एक निरंतर भाग है जो उस पर स्थित दो बिंदुओं के बीच होता है। चाप लंबाई वह दूरी है जो आप एक अंतिम बिंदु से दूसरे तक वक्र के साथ चलकर तय करेंगे, पूरे रास्ते वृत्त पर रहते हुए।

एक गोलाकार दौड़ ट्रैक की कल्पना करें। चाप लंबाई दो गेटों के बीच लेन के साथ की दूरी है। उन्हीं दो गेटों के बीच मैदान के आर-पार काटने वाली सीधी रेखा जीवा है, और वह छोटी होती है। यह अंतर मायने रखता है: धावक वक्र का अनुसरण करता है, इसलिए वक्र दूरी ही वह दूरी है जो गिनी जाती है।

प्रत्येक वृत्त में समान भाग होते हैं, जो उसकी त्रिज्या के अनुसार बड़े-छोटे होते हैं। केंद्र O निश्चित बिंदु है। त्रिज्या r, O से वृत्त के किसी भी बिंदु तक जाती है। व्यास d, O से होकर एक ओर से दूसरी ओर जाता है, और वह हमेशा त्रिज्या का दोगुना होता है। परिधि C पूरे वृत्त के चारों ओर की दूरी है, C = 2πr। केंद्रीय कोण θ, O पर उन दो त्रिज्याओं के बीच का कोण है जो चाप के अंतिम बिंदुओं तक जाती हैं, और यह तय करता है कि चाप परिधि का कितना भाग घेरता है।

वृत्त पर दो बिंदु हमेशा दो चाप बनाते हैं: छोटा वाला, लघु चाप, और लंबा वाला, दीर्घ चाप। दोनों मिलकर पूरी परिधि बनाते हैं। आपको कौन सा चाहिए, यह आपकी समस्या पर निर्भर करता है, और कैलकुलेटर दोनों दिखाता है, इसलिए आपको कभी अनुमान नहीं लगाना पड़ता।

चाप लंबाई एक-आयामी माप है, एक लंबाई, इसलिए इसे cm, m या इंच जैसी सादी इकाइयों में बताया जाता है। यह क्षेत्रफल नहीं है, और यह कोण भी नहीं है। इन तीनों राशियों को अलग रखना प्रत्येक वृत्त गणना को सही करने का पहला कदम है।

वृत्त की चाप लंबाई सीधे पूर्ण वृत्त की परिधि से आती है। पूर्ण वृत्त की परिधि है:

केंद्रीय कोण पूर्ण 360° घुमाव का एक भाग दर्शाता है। केंद्रीय कोण θ वाला चाप पूरे वृत्त का θ / 360 भाग घेरता है, इसलिए:

सरल करने पर सूत्र का डिग्री रूप मिलता है:

जब कोण रेडियंस में मापा जाता है, तो सूत्र और भी सरल हो जाता है, क्योंकि रेडियंस को त्रिज्या से ही परिभाषित किया जाता है:

सूत्रों में प्रत्येक प्रतीक का एक सटीक अर्थ है:

दोनों रूप एक ही उत्तर देते हैं। जब आपका कोण डिग्री में हो तो L = πrθ / 180 का उपयोग करें, और जब वह रेडियंस में हो तो L = rθ का उपयोग करें। कैलकुलेटर पहले डिग्री को रेडियंस में बदलता है और फिर आंतरिक रूप से L = rθ का उपयोग करता है, इसलिए दोनों मोड हमेशा सहमत होते हैं।

त्रिज्या के बजाय व्यास का उपयोग करने पर उसी सूत्र का दूसरा रूप मिलता है। चूँकि d = 2r है, तो r = d / 2 है, और प्रतिस्थापित करने पर रेडियंस में L = dθ / 2, या डिग्री में L = πdθ / 360 मिलता है।

त्रिज्या और केंद्रीय कोण चाप लंबाई निकालने का सबसे सीधा तरीका है। नीचे दिया गया हल किया गया उदाहरण 5 इकाई त्रिज्या और 60° केंद्रीय कोण का उपयोग करता है।

1. त्रिज्या पहचानें। r = 5 इकाइयाँ।
2. केंद्रीय कोण पहचानें। θ = 60°।
3. डिग्री को रेडियंस में बदलें। θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 रेडियंस।
4. चाप-लंबाई सूत्र लिखें। L = rθ।
5. मान प्रतिस्थापित करें। L = 5 × π / 3।
6. गणना करें। L = 5.2359877560 इकाइयाँ।
7. आवश्यकतानुसार पूर्णांकित करें। दो दशमलव स्थानों तक, L = 5.24 इकाइयाँ।

यही चरण किसी भी त्रिज्या और कोण के लिए काम करते हैं। 90° के साथ 8 इकाई त्रिज्या से L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 इकाइयाँ मिलती हैं। 60° के साथ 3 इकाई त्रिज्या से L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 इकाइयाँ मिलती हैं। 60° के साथ 1 इकाई त्रिज्या से L = 1.0471975512 इकाइयाँ मिलती हैं, जो ठीक π / 3 है, एक उपयोगी जाँच: r = 1 के लिए, चाप लंबाई रेडियंस में कोण के बराबर होती है।

पूर्णांकन नियम। केवल अंत में पूर्णांकित करें। यदि आप गुणा करने से पहले π को 3.14 से बदल देते हैं, तो 60° के साथ 5 त्रिज्या से 5.2359877560 के बजाय 5.2333333333 मिलता है, 0.0026544227 की त्रुटि। यह त्रुटि त्रिज्या के साथ बढ़ती है, इसलिए गणना के दौरान पूर्ण सटीकता बनाए रखें और केवल अंतिम दिखाए गए परिणाम को पूर्णांकित करें।

जब आपको त्रिज्या के बजाय व्यास पता हो, तो पहले उसे आधा करें, फिर वही सूत्र लागू करें। नीचे दिया गया हल किया गया उदाहरण 14 इकाई व्यास और 120° केंद्रीय कोण का उपयोग करता है।

1. व्यास पहचानें। d = 14 इकाइयाँ।
2. त्रिज्या निकालें। r = d / 2 = 14 / 2 = 7 इकाइयाँ।
3. केंद्रीय कोण पहचानें। θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 रेडियंस।
4. सूत्र लिखें। L = rθ, या सीधे L = πdθ / 360।
5. प्रतिस्थापित करें। L = 7 × 2.0943951024, या L = π × 14 × 120 / 360।
6. गणना करें। L = 14.6607657168 इकाइयाँ।
7. आवश्यकतानुसार पूर्णांकित करें। दो दशमलव स्थानों तक, L = 14.66 इकाइयाँ।

दोनों रास्ते ठीक-ठीक सहमत होते हैं, जो एक अच्छी आत्म-जाँच है। त्रिज्या वाला रास्ता देता है 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168। व्यास वाला रास्ता देता है π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168। यदि दोनों असहमत हों, तो व्यास को सही ढंग से आधा नहीं किया गया था।

एक और उदाहरण: 180° के साथ 20 इकाई व्यास से r = 10 इकाइयाँ मिलती हैं, इसलिए L = π × 10 = 31.4159265359 इकाइयाँ, अर्धवृत्त चाप। 60° के साथ 10 इकाई व्यास से r = 5 इकाइयाँ मिलती हैं, इसलिए L = 5.2359877560 इकाइयाँ। इस गणना में सबसे आम त्रुटि दो से भाग देना भूलना और व्यास का उपयोग ऐसे करना है जैसे वह त्रिज्या हो, जिससे उत्तर दोगुना हो जाता है। d = 14 के लिए, उस गलती से 14.6607657168 के बजाय 29.3215314336 मिलता है।

मापने का सुझाव। वास्तविक जीवन में व्यास को मापना अक्सर त्रिज्या से आसान होता है, क्योंकि आप वृत्त के आर-पार सीधे माप सकते हैं। इसलिए कैलकुलेटर सीधे व्यास इनपुट स्वीकार करता है: आर-पार मापें, उसे दर्ज करें, और कैलकुलेटर उसे आपके लिए आधा कर देता है।

डिग्री कोणों की रोज़मर्रा की इकाई है। एक पूर्ण वृत्त में 360° होते हैं, इसलिए डिग्री में केंद्रीय कोण सीधे बताता है कि आपका चाप पूर्ण वृत्त का कितना भाग घेरता है। 90° का कोण वृत्त का एक चौथाई भाग घेरता है, 180° आधा भाग घेरता है, और 270° तीन चौथाई भाग घेरता है।

डिग्री सूत्र L = πrθ / 180 है, जहाँ θ डिग्री में है। यह भाग वाले विचार से आता है: 2πr परिधि का θ / 360 भाग, सरल किया गया।

हल किया गया उदाहरण। त्रिज्या 8 इकाइयाँ, कोण 90°।

1. मान पहचानें। r = 8 इकाइयाँ, θ = 90°।
2. वृत्त का भाग निकालें। 90 / 360 = 1 / 4, एक चौथाई वृत्त।
3. सूत्र लिखें। L = πrθ / 180।
4. प्रतिस्थापित करें। L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2।
5. गणना करें। L = 12.5663706144 इकाइयाँ।
6. परिधि से जाँचें। पूर्ण परिधि 2π × 8 = 50.2654824574 इकाइयाँ है, और उसका एक चौथाई 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 इकाइयाँ है। दोनों सहमत हैं।

5 इकाई त्रिज्या के साथ और डिग्री उदाहरण: 30° से L = 2.6179938780 इकाइयाँ मिलती हैं, 45° से L = 3.9269908170 इकाइयाँ मिलती हैं, 120° से L = 10.4719755120 इकाइयाँ मिलती हैं, और 270° से L = 23.5619449019 इकाइयाँ मिलती हैं। ध्यान दें कि समान त्रिज्या के लिए कोण दोगुना करने पर चाप लंबाई दोगुनी हो जाती है, क्योंकि चाप लंबाई केंद्रीय कोण के सीधे समानुपाती होती है।

आम डिग्री गलती। डिग्री मान को बिना बदले सीधे L = rθ में डालने से बहुत गलत उत्तर मिलता है। r = 5 और 60° के लिए, बिना बदले की गई गणना से 5 × 60 = 300 मिलता है, लेकिन सही उत्तर 5.2359877560 है। सूत्र L = rθ को रेडियंस चाहिए, इसलिए या तो पहले बदलें या डिग्री रूप L = πrθ / 180 का उपयोग करें।

रेडियंस वह कोण है जो तब मिलता है जब चाप लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है। यदि आप त्रिज्या के बराबर लंबाई की डोरी को वृत्त के चारों ओर लपेटते हैं, तो केंद्र पर वह कोण ठीक 1 रेडियंस होता है। एक पूर्ण वृत्त में 2π रेडियंस होते हैं, लगभग 6.2831853072 रेडियंस, क्योंकि पूर्ण परिधि 2πr है और उसे r से भाग देने पर 2π बचता है।

रेडियंस सूत्र L = rθ है, सबसे सरल चाप-लंबाई सूत्र। इसमें कोई π नहीं है, क्योंकि π कोण के रेडियंस माप के अंदर पहले से है।

हल किया गया उदाहरण। त्रिज्या 5 इकाइयाँ, कोण π / 3 रेडियंस (जो 60° है)।

1. मान पहचानें। r = 5 इकाइयाँ, θ = π / 3 = 1.0471975512 रेडियंस।
2. सूत्र लिखें। L = rθ।
3. प्रतिस्थापित करें। L = 5 × 1.0471975512।
4. गणना करें। L = 5.2359877560 इकाइयाँ।
5. डिग्री से जाँचें। π / 3 रेडियंस 60° है, और डिग्री सूत्र से L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 इकाइयाँ मिलती हैं। दोनों ठीक-ठीक सहमत हैं।

और रेडियंस उदाहरण: θ = π / 2 रेडियंस के साथ 4 इकाई त्रिज्या से L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 इकाइयाँ मिलती हैं। θ = π / 4 रेडियंस के साथ 6 इकाई त्रिज्या से L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 इकाइयाँ मिलती हैं। θ = π रेडियंस के साथ 10 इकाई त्रिज्या से L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 इकाइयाँ मिलती हैं, अर्धवृत्त चाप।

गणित में रेडियंस को प्राथमिकता क्यों दी जाती है। चाप लंबाई के लिए कलन सूत्र, और इस पेज पर जीवा, त्रिज्यखंड और खंड क्षेत्रफल के सूत्र, सभी रेडियंस का उपयोग करते हैं। डिग्री रोज़मर्रा के माप के लिए सुविधाजनक हैं, लेकिन रेडियंस गणित को साफ़ बनाते हैं, इसलिए कैलकुलेटर गणना करने से पहले प्रत्येक कोण को रेडियंस में बदलता है।

वृत्त पर दो बिंदु उसे दो चापों में बाँटते हैं। छोटा वाला लघु चाप है, और लंबा वाला दीर्घ चाप है। वे समान अंतिम बिंदु साझा करते हैं, और दोनों मिलकर पूरी परिधि बनाते हैं।

केंद्रीय कोण तय करता है कि कौन सा कौन सा है। 180° से कम केंद्रीय कोण से लघु चाप मिलता है। 180° से अधिक केंद्रीय कोण से दीर्घ चाप मिलता है। ठीक 180° से अर्धवृत्त मिलता है, जो न लघु है न दीर्घ: दोनों चाप बराबर होते हैं।

लघु और दीर्घ एक-दूसरे के पूरक हैं। छोटे केंद्रीय कोण θ के लिए, लघु चाप Lminor = rθ है और दीर्घ चाप Lmajor = r(2π - θ) है। उनका योग हमेशा पूरी परिधि होता है:

हल किया गया उदाहरण। त्रिज्या 5 इकाइयाँ, छोटा कोण 60°। लघु चाप L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 इकाइयाँ है। दीर्घ चाप प्रतिवर्ती कोण 360° - 60° = 300° का उपयोग करता है, इसलिए L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 इकाइयाँ। योग 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 इकाइयाँ है, जो ठीक परिधि 2π × 5 है। लघु चाप वृत्त का 16.67% है और दीर्घ चाप 83.33% है।

एक और उदाहरण। त्रिज्या 4 इकाइयाँ, कोण 270°। यह पहले से ही दीर्घ चाप है: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 इकाइयाँ। इसका पूरक लघु चाप 90° का उपयोग करता है: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 इकाइयाँ। योग 25.1327412287 इकाइयाँ है, पूर्ण परिधि 2π × 4।

दोनों कोणों को भ्रमित न करें। सबसे आम लघु/दीर्घ त्रुटि तब होती है जब समस्या दीर्घ चाप माँगती है और छोटा कोण उपयोग कर लिया जाता है, या इसके विपरीत। हमेशा जाँचें कि आपको दिया गया कोण छोटा वाला है या प्रतिवर्ती वाला, और याद रखें कि कैलकुलेटर दोनों चापों को साथ-साथ दिखाता है ताकि आप वह चुन सकें जो आपकी समस्या को चाहिए।

चाप लंबाई और जीवा लंबाई दोनों वृत्त पर समान दो बिंदुओं को जोड़ते हैं, लेकिन वे अलग-अलग रास्ते लेते हैं। चाप वक्र का अनुसरण करता है। जीवा सीधे आर-पार काटती है। चाप लगभग हमेशा लंबा होता है।

सूत्र अंतर को स्पष्ट दिखाते हैं:

जीवा आधे कोण की ज्या पर निर्भर करती है, जो कोण से धीरे बढ़ती है, इसलिए कोण बढ़ने के साथ चाप और जीवा के बीच का अंतर बढ़ता जाता है।

तालिका के तीन तथ्य याद रखने योग्य हैं। 30° पर, चाप जीवा से केवल लगभग 1.15% लंबा है, इसलिए छोटे कोणों के लिए दोनों करीब होते हैं। 180° पर, जीवा व्यास है, 10 इकाइयाँ, जबकि चाप πr = 15.7079632679 इकाइयाँ है। 270° पर, जीवा वापस 7.0710678119 इकाइयों तक सिकुड़ जाती है, जो 90° पर थी, क्योंकि जीवा अंतिम बिंदुओं के बीच के छोटे कोण पर निर्भर करती है, जबकि चाप स्वीप के साथ बढ़ता रहता है।

विशेष स्थिति। 60° पर, जीवा ठीक त्रिज्या के बराबर होती है: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r। r = 5 के लिए, जीवा 5 इकाइयाँ है, और त्रिज्या, जीवा, और दो त्रिज्याएँ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं। यह एक आसान जाँच है और परीक्षा बनाने वालों की पसंदीदा है।

यह क्यों मायने रखता है। यदि आप एक वक्र पाइप काट रहे हैं, तो आपको चाप लंबाई चाहिए। यदि आप वृत्ताकार भाग पर दो बिंदुओं के बीच सीधा अंतर माप रहे हैं, तो आपको जीवा चाहिए। इन्हें मिलाना सबसे आम वृत्त त्रुटियों में से एक है, और कैलकुलेटर दोनों मान एक साथ दिखाता है ताकि अंतर हमेशा दिखाई दे।

चाप लंबाई और त्रिज्यखंड क्षेत्रफल समान लगते हैं, लेकिन वे अलग-अलग चीज़ें मापते हैं। चाप लंबाई एक-आयामी वक्र दूरी है, जो सादी इकाइयों में मापी जाती है। त्रिज्यखंड क्षेत्रफल एक द्वि-आयामी क्षेत्र है, वृत्त का वह कील-आकार हिस्सा जो दो त्रिज्याओं और चाप से कटता है, जो वर्ग इकाइयों में मापा जाता है।

सूत्र एक जैसे दिखते हैं, और यही कारण है कि वे भ्रमित हो जाते हैं:

त्रिज्यखंड क्षेत्रफल चाप लंबाई को आधी त्रिज्या से गुणा करने पर मिलता है: A = ½ × r × L। यह संबंध एक उपयोगी जाँच है। 5 इकाई त्रिज्या और 60° के लिए, चाप 5.2359877560 इकाइयाँ है, और त्रिज्यखंड क्षेत्रफल ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 वर्ग इकाइयाँ है।

इकाइयाँ ही पहचान हैं। यदि आपका उत्तर लंबाई होना चाहिए, तो इकाई cm, m या इंच है। यदि वह क्षेत्रफल होना चाहिए, तो इकाई cm², m² या वर्ग इंच है। वर्ग इकाइयों में चाप-लंबाई उत्तर, या सादी इकाइयों में त्रिज्यखंड-क्षेत्रफल उत्तर, निश्चित रूप से गलत है। कैलकुलेटर दोनों को अलग रखता है और इकाइयों को स्पष्ट रूप से लेबल करता है।

पूर्ण-वृत्त जाँच। 360° पर, त्रिज्यखंड पूरा वृत्त है, इसलिए त्रिज्यखंड क्षेत्रफल πr² के बराबर होना चाहिए। r = 6 के लिए, π × 36 = 113.0973355292 वर्ग इकाइयाँ। उसी समय चाप पूर्ण परिधि है, 37.6991118431 इकाइयाँ। दोनों समान त्रिज्या और कोण से आते हैं, लेकिन वे अलग-अलग सवालों के उत्तर देते हैं।

वृत्तखंड वह क्षेत्र है जो एक चाप और उसकी जीवा से घिरा होता है। वृत्त के एक टुकड़े की कल्पना करें जो एक सीधी रेखा से कटा हो: वक्र किनारा चाप है, सीधा किनारा जीवा है, और उनके बीच का क्षेत्रफल खंड है। यह त्रिज्यखंड से छोटा होता है, क्योंकि त्रिज्यखंड में दो त्रिज्याओं और जीवा से बना त्रिभुज भी शामिल होता है।

खंड क्षेत्रफल त्रिज्यखंड क्षेत्रफल में से दो त्रिज्याओं और जीवा के बीच के त्रिभुजीय क्षेत्रफल को घटाने पर मिलता है:

यहाँ θ रेडियंस में केंद्रीय स्वीप है, 0 और 2π के बीच। यह सूत्र लघु और दीर्घ दोनों खंडों को सही ढंग से संभालता है: लघु चाप के लिए यह छोटी टोपी देता है, और दीर्घ चाप के लिए यह बड़ा क्षेत्र देता है जो वृत्त के अधिकांश भाग को घेरता है।

हल किए गए उदाहरण। r = 5 इकाइयों और 60° के लिए, त्रिज्यखंड क्षेत्रफल 13.0899693900 वर्ग इकाइयाँ है और खंड क्षेत्रफल ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 वर्ग इकाइयाँ है। खंड त्रिज्यखंड से बहुत छोटा है, क्योंकि त्रिभुज कील का अधिकांश भाग ले लेता है। r = 5 और 90° के लिए, खंड 7.1349540849 वर्ग इकाइयाँ है। r = 8 और 90° के लिए, खंड 18.2654824574 वर्ग इकाइयाँ है।

विशेष स्थितियाँ। 180° पर, sin θ = 0 है, इसलिए खंड क्षेत्रफल त्रिज्यखंड क्षेत्रफल के बराबर होता है: ½ πr²। r = 5 के लिए, दोनों 39.2699081699 वर्ग इकाइयाँ हैं, जो ठीक वृत्त का आधा है। 270° पर, sin θ = -1 है, इसलिए खंड त्रिज्यखंड से बड़ा होता है: r = 5 के लिए, त्रिज्यखंड 58.9048622548 वर्ग इकाइयाँ है और खंड 71.4048622548 वर्ग इकाइयाँ है। 360° पर, जीवा गायब हो जाती है और खंड पूरा वृत्त है, πr²।

खंड बनाम त्रिज्यखंड, एक पंक्ति में। त्रिज्यखंड केंद्र से बना कील है। खंड जीवा के पार की टोपी है। यदि आपकी समस्या में केंद्र शामिल है, तो आपको त्रिज्यखंड चाहिए। यदि इसमें केवल चाप और उसकी जीवा शामिल है, तो आपको खंड चाहिए।

डिग्री और रेडियंस एक ही चीज़, कोण, की दो इकाइयाँ हैं। डिग्री एक पूर्ण घुमाव को 360 बराबर भागों में बाँटती है। रेडियंस कोण को उसके द्वारा काटे गए चाप से मापते हैं, त्रिज्या की इकाइयों में। दोनों एक ही रूपांतरण से जुड़े हैं: π रेडियंस 180° के बराबर होता है।

रूपांतरण सूत्र हैं:

हल किए गए रूपांतरण। 120° रेडियंस में 120 × π / 180 = 2.0943951024 रेडियंस है। 45°, 45 × π / 180 = 0.7853981634 रेडियंस है। दूसरी ओर जाने पर, 1 रेडियंस 1 × 180 / π = 57.2957795131° है, और 2 रेडियंस 114.5915590262° हैं। वह अंतिम मान उपयोगी है: चाप ठीक तब व्यास से लंबा हो जाता है जब कोण 2 रेडियंस से आगे निकलता है।

कौन सी इकाई उपयोग करनी चाहिए? जब समस्या डिग्री देती है तो डिग्री का उपयोग करें, और जब वह रेडियंस देती है तो रेडियंस का उपयोग करें। कैलकुलेटर दोनों स्वीकार करता है, और DEG/RAD टॉगल चाप को बदले बिना आपके कोण को बदल देता है। हाथ से गणना के लिए, डिग्री भाग वाले रूप L = πrθ / 180 के लिए उपयुक्त हैं, जबकि रेडियंस साफ़ रूप L = rθ के लिए उपयुक्त हैं। किसी भी तरह, एक ही सूत्र में दोनों को कभी न मिलाएँ।

कभी-कभी न त्रिज्या दी जाती है न व्यास। कैलकुलेटर चार अन्य मापों से पीछे की ओर काम करता है: पहले त्रिज्या निकालता है, फिर हमेशा की तरह L = rθ लागू करता है। सभी छह विधियाँ समान वृत्त के लिए समान त्रिज्या और समान चाप लंबाई देती हैं, इसलिए आप जिस माप को वास्तव में जानते हैं, उसका उपयोग कर सकते हैं।

पूर्ण वृत्त परिधि से। पूर्ण परिधि C = 2πr है, इसलिए r = C / (2π)। C = 31.4159265359 इकाइयों के लिए, r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 इकाइयाँ। फिर 60° चाप L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 इकाइयाँ है। छोटा रास्ता देखें: 60° चाप परिधि का छठा भाग है, और 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 इकाइयाँ।

जीवा लंबाई से। जीवा सूत्र c = 2r sin(θ / 2) है, इसलिए r = c / [2 sin(θ / 2)]। 60° कोण के साथ 5 इकाई जीवा के लिए, r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 इकाइयाँ। फिर L = 5.2359877560 इकाइयाँ। जीवा इनपुट केवल तब काम करता है जब कोण 0° और 360° के बीच हो: 0° या 360° पर जीवा शून्य होती है और कोई त्रिज्या नहीं निकाली जा सकती, इसलिए कैलकुलेटर इस विधि के लिए उन कोणों को अस्वीकार कर देता है।

पूर्ण वृत्त क्षेत्रफल से। पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² है, इसलिए r = √(A / π)। A = 78.5398163397 वर्ग इकाइयों के लिए, r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 इकाइयाँ। फिर 60° चाप L = 5.2359877560 इकाइयाँ है। आप त्रिज्या को क्षेत्रफल सूत्र में वापस डालकर जाँच सकते हैं: π × 25 = 78.5398163397 वर्ग इकाइयाँ।

त्रिज्यखंड क्षेत्रफल से। त्रिज्यखंड क्षेत्रफल A = ½r²θ है, इसलिए r = √(2A / θ), जिसमें θ रेडियंस में है। 60° कोण के साथ 13.0899693900 वर्ग इकाइयों के त्रिज्यखंड क्षेत्रफल के लिए, θ = 1.0471975512 रेडियंस है, इसलिए r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 इकाइयाँ। फिर L = 5.2359877560 इकाइयाँ। इस विधि को क्षेत्रफल के साथ-साथ कोण भी चाहिए, क्योंकि समान त्रिज्यखंड क्षेत्रफल कई त्रिज्या और कोण संयोजनों से आ सकता है।

कौन सा इनपुट उपयोग करें। जिस माप को आप वास्तव में जानते हैं, उसका उपयोग करें। यदि दो अलग-अलग माप अलग-अलग त्रिज्याएँ देते हैं, तो मापों में से एक गलत है, और किसी भी उत्तर पर भरोसा करने से पहले उस असहमति की जाँच करना उचित है।

चाप लंबाई कोई अमूर्त कक्षा अभ्यास नहीं है। जहाँ भी वृत्त पर वक्र दूरी को मापना, काटना, बनाना या तय करना हो, वही सूत्र लागू होता है।

इंजीनियरिंग और निर्माण। पाइप मोड़ना चाप लंबाई से शुरू होता है: 8 इकाई मोड़ त्रिज्या के साथ 90° से मुड़ा पाइप केवल मोड़ के लिए 12.5663706144 इकाई पाइप चाहता है। वक्र पैनल में रोल की गई शीट धातु, गियर दाँत प्रोफ़ाइल, और कैम आकार, सभी को सामग्री काटने से पहले वक्र लंबाई चाहिए। इसे गलत करने से सामग्री बर्बाद होती है या भाग छोटा पड़ जाता है।

वास्तुकला और निर्माण। मेहराबदार दरवाज़े, गोलाकार खिड़कियाँ, गुंबद, और वक्र सीढ़ियाँ अपने चापों से मापी जाती हैं। 10 इकाई त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार मेहराब को वक्र के साथ 31.4159265359 इकाई ट्रिम चाहिए। गोलाकार बगीचे की क्यारी की किनारी के ऑर्डर को वक्र ओर के लिए चाप और सीधी ओर के लिए व्यास चाहिए, जो अलग-अलग संख्याएँ हैं।

सड़कें और ट्रैक। गोलाकार सड़क मोड़, दौड़ ट्रैक मोड़, या रेलवे वक्र त्रिज्या और केंद्रीय कोण से बिछाए जाते हैं। वक्र की लंबाई डामर की मात्रा, रेल की लंबाई, और मोड़ से गुज़रते वाहन की तय दूरी तय करती है। 7 इकाई त्रिज्या वाला 120° वक्र 14.6607657168 इकाइयाँ लंबा होता है।

घड़ियाँ, पहिए, और रोबोटिक्स। घड़ी की सुई समय बीतने के साथ एक चाप बनाती है। ज़मीन पर लुढ़कता पहिया उतनी ही दूरी तय करता है जितना चाप वह घूमता है। जोड़ के चारों ओर घूमती रोबोट भुजा अपने ग्रिपर को वृत्ताकार चाप के साथ ले जाती है, और वह जितनी दूरी तय करती है वह rθ है, इसलिए रोबोटिक्स में रेडियंस प्राकृतिक इकाई है।

कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और CAD। CAD मॉडल, फ़ॉन्ट, और एनिमेशन में वक्र वृत्ताकार चापों से बने होते हैं। चाप की लंबाई तय करती है कि टूल पथ कैसे बाँटा जाता है, वक्र कैसे रेंडर होता है, और एनिमेशन में वृत्ताकार पथ के साथ कोई वस्तु कितनी दूर चलती है।

वास्तविक आकृतियों पर एक नोट। हर वक्र संरचना पूर्ण वृत्त नहीं होती। वास्तविक मेहराब दीर्घवृत्ताकार या परवलयाकार हो सकते हैं, और वास्तविक सड़कें क्लॉथॉइड संक्रमण का उपयोग करती हैं। इस पेज के वृत्त सूत्र ठीक तब लागू होते हैं जब वक्र एक सच्चा वृत्ताकार चाप हो, और वे केवल तब अच्छा अनुमान हैं जब वक्र वृत्त के करीब हो। सूत्र लागू करने से पहले हमेशा आकार की पुष्टि करें।

वृत्त चाप लंबाई में अधिकांश गलत उत्तर छोटी सी त्रुटियों की सूची से आते हैं। प्रत्येक की जाँच में सेकंड लगते हैं और अधिकांश गलतियाँ बच जाती हैं।

1. त्रिज्या के बजाय व्यास का उपयोग करना। सूत्र को r चाहिए, d नहीं। d = 14 को त्रिज्या के रूप में उपयोग करने पर उत्तर दोगुना हो जाता है: 120° चाप के लिए 14.6607657168 के बजाय 29.3215314336। पहले व्यास को आधा करें।
2. डिग्री को रेडियंस में बदलना भूलना। L = rθ को रेडियंस चाहिए। 60° को सीधे डालने पर 5 × 60 = 300 मिलता है, 5.2359877560 के बजाय। पहले बदलें, या L = πrθ / 180 का उपयोग करें।
3. केंद्रीय कोण को अंतर्लिखित कोण से भ्रमित करना। अंतर्लिखित कोण उसी चाप को घेरने वाले केंद्रीय कोण का आधा होता है। यदि समस्या अंतर्लिखित कोण φ देती है, तो केंद्रीय कोण θ = 2φ है, और चाप L = r × 2φ है। φ का सीधे उपयोग करने पर उत्तर आधा हो जाता है।
4. दीर्घ और लघु चापों को मिलाना। 270° का कोण r = 4 के लिए 18.8495559215 इकाइयों का दीर्घ चाप देता है। इसके बजाय छोटा कोण 90° उपयोग करने पर 6.2831853072 इकाइयाँ मिलती हैं, लघु चाप। जाँचें कि समस्या कौन सा चाप माँगती है।
5. चाप लंबाई को जीवा लंबाई से भ्रमित करना। जीवा सीधी रेखा है, हमेशा चाप से छोटी। r = 5 और 180° के लिए, जीवा 10 इकाइयाँ है और चाप 15.7079632679 इकाइयाँ है। वे केवल शून्य-लंबाई सीमांत स्थिति में बराबर होती हैं।
6. त्रिज्यखंड क्षेत्रफल को चाप लंबाई से भ्रमित करना। त्रिज्यखंड क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में द्वि-आयामी क्षेत्र है। चाप लंबाई सादी इकाइयों में एक-आयामी दूरी है। r = 5 और 60° के लिए, त्रिज्यखंड क्षेत्रफल 13.0899693900 वर्ग इकाइयाँ है और चाप 5.2359877560 इकाइयाँ है। अलग राशियाँ, अलग इकाइयाँ।
7. गलत माप इकाइयों का उपयोग करना। cm में त्रिज्या और डिग्री में कोण ठीक है, लेकिन उत्तर cm में आता है। एक ही गणना में cm और इंच मिलाना, या आउटपुट इकाई बदलना भूलना, गलत आकार वाली संख्या देता है। पहले बदलें, फिर गणना करें।
8. π को बहुत जल्दी पूर्णांकित करना। गुणा करने से पहले π को 3.14 से बदलने पर त्रुटि आती है जो त्रिज्या के साथ बढ़ती है। गणना के दौरान पूर्ण-सटीकता π बनाए रखें और केवल अंतिम दिखाए गए परिणाम को पूर्णांकित करें।
9. यह भूलना कि पूर्ण वृत्त 360° दर्शाता है। 360° का कोण पूर्ण परिधि है, 2πr, शून्य नहीं। 0° का कोण शून्य-लंबाई चाप है। दोनों आरेख पर समान दिखते हैं, क्योंकि अंतिम बिंदु मिलते हैं, लेकिन उनकी चाप लंबाई जितनी अलग हो सकती है उतनी अलग है।
10. गलत कोण अंतराल का उपयोग करना। वृत्त के लिए चाप लंबाई सूत्र मानते हैं कि स्वीप 0° और 360° के बीच है। 450° का कोण एक वृत्त पर मान्य एकल स्वीप नहीं है: यह एक पूर्ण घुमाव और 90° है, और एक वृत्त के लिए चाप 90° शेष है, r = 8 के लिए 12.5663706144 इकाइयाँ।

एक अंतिम जाँच जो इनमें से अधिकांश को पकड़ लेती है। परिणाम को परिधि से जाँचें। चाप 0 और 2πr के बीच होना चाहिए, वह जीवा से लंबा होना चाहिए, और लघु व दीर्घ चापों का योग ठीक 2πr होना चाहिए। यदि इनमें से कोई भी जाँच विफल हो, तो ऊपर दी गई दस गलतियों में से एक कारण है।

ये छह उदाहरण कैलकुलेटर की मुख्य इनपुट विधियों और चाप प्रकारों को कवर करते हैं। प्रत्येक की गणना उसी इंजन से की जाती है जो टूल को चलाता है, और प्रत्येक परिणाम को स्वतंत्र रूप से सत्यापित किया गया है।

उदाहरण 1: त्रिज्या 5 और 60° के साथ लघु चाप। दिया गया है r = 5 इकाइयाँ, θ = 60° = π / 3 रेडियंस। चाप लंबाई L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 इकाइयाँ। व्यास d = 10 इकाइयाँ। जीवा c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 इकाइयाँ। त्रिज्यखंड क्षेत्रफल A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 वर्ग इकाइयाँ। पूर्ण परिधि C = 31.4159265359 इकाइयाँ।

उदाहरण 2: त्रिज्या 8 और 90° के साथ चौथाई वृत्त चाप। दिया गया है r = 8 इकाइयाँ, θ = 90° = π / 2 रेडियंस। चाप लंबाई L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 इकाइयाँ। जीवा c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 इकाइयाँ। त्रिज्यखंड क्षेत्रफल A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 वर्ग इकाइयाँ। चाप परिधि 50.2654824574 इकाइयों का ठीक एक चौथाई है।

उदाहरण 3: त्रिज्या 4 और 270° के साथ दीर्घ चाप। दिया गया है r = 4 इकाइयाँ, θ = 270° = 3π / 2 रेडियंस। चाप लंबाई L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 इकाइयाँ। जीवा c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 इकाइयाँ। त्रिज्यखंड क्षेत्रफल A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 वर्ग इकाइयाँ। 90° का उपयोग करके पूरक लघु चाप 6.2831853072 इकाइयाँ है। दोनों चापों का योग 25.1327412287 इकाइयाँ है, पूर्ण परिधि।

उदाहरण 4: व्यास 14 और 120° से चाप। दिया गया है d = 14 इकाइयाँ, θ = 120° = 2π / 3 रेडियंस। त्रिज्या r = 14 / 2 = 7 इकाइयाँ। चाप लंबाई L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 इकाइयाँ। जीवा c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 इकाइयाँ। त्रिज्यखंड क्षेत्रफल A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 वर्ग इकाइयाँ। खंड क्षेत्रफल 30.0950576159 वर्ग इकाइयाँ है।

उदाहरण 5: त्रिज्या 10 और 180° के साथ अर्धवृत्त। दिया गया है r = 10 इकाइयाँ, θ = 180° = π रेडियंस। चाप लंबाई L = 10 × π = 31.4159265359 इकाइयाँ। जीवा c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 इकाइयाँ, व्यास। त्रिज्यखंड क्षेत्रफल A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 वर्ग इकाइयाँ, पूर्ण वृत्त क्षेत्रफल का ठीक आधा। चाप व्यास का π / 2 गुना है, सीधी रेखा से लगभग 57.08% लंबा।

उदाहरण 6: त्रिज्या 6 और 360° के साथ पूर्ण वृत्त। दिया गया है r = 6 इकाइयाँ, θ = 360° = 2π रेडियंस। चाप लंबाई L = 6 × 2π = 37.6991118431 इकाइयाँ, जो पूर्ण परिधि है। जीवा c = 0 है, क्योंकि अंतिम बिंदु मिलते हैं। त्रिज्यखंड क्षेत्रफल A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 वर्ग इकाइयाँ, पूर्ण वृत्त क्षेत्रफल। चाप प्रतिशत 100% है।

इन उदाहरणों में से किसी एक को लोड करने के लिए कैलकुलेटर में किसी भी प्रीसेट बटन पर क्लिक करें और उस इनपुट के लिए पूर्ण चरण-दर-चरण समाधान, लाइव आरेख, और सभी द्वितीयक परिणाम देखें।