Daire Yay Uzunluğu Hesaplayıcısı

Daire Yay Uzunluğu Hesaplayıcısı, bir dairenin küçük bir diliminden tam çevresine kadar herhangi bir bölümündeki kavisli mesafeyi ölçer. Altı farklı başlangıç ölçümünü kabul eder, böylece elinizde hangi değer varsa onu kullanabilirsiniz. Bir dakikadan kısa sürede doğru cevabı almak için şu adımları izleyin.

1. Girdi yöntemini seçin. Yarıçap, Çap, Tam Daire Çevresi, Kiriş Uzunluğu, Tam Daire Alanı veya Sektör Alanı seçeneklerinden birini seçin. Girdi alanı, etiketi ve birim listesi seçtiğiniz yönteme göre değişir.
2. Ölçümünüzü girin. Değeri girdi kutusuna yazın. Alan yöntemlerinde kare birim listesini kullanın (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Merkez açıyı girin. Açıyı DEG/RAD düğmesiyle derece veya radyan olarak yazın ya da açı kaydırıcısını 0° ile 360° arasında sürükleyin. Canlı diyagram ve sonuç, kaydırıcıyı hareket ettirdikçe güncellenir.
4. Gerekirse başlangıç ve bitiş açılarını ayarlayın. Varsayılan tarama 0° de başlar ve saat yönünün tersine ilerler. Dairenin herhangi bir yerindeki bir yayı ölçmek için başlangıç açısını, bitiş açısını veya yönü değiştirin. Yay uzunluğunu konum değil, tarama belirler.
5. Girdi ve çıktı birimlerini seçin. Hesaplayıcı girdinizi tutarlı bir iç birime dönüştürür, hesaplar ve ardından cevabı çıktı biriminize dönüştürür. Sayı birimle birlikte değişir, uzunluk değişmez.
6. Hassasiyeti seçin. 2, 4, 6 veya 8 ondalık basamak seçin. Varsayılan değer 4 tür. Hesaplayıcı dahili olarak her zaman tam hassasiyetli π kullanır ve yalnızca görüntülenen sonucu yuvarlar.
7. Şimdi Hesapla düğmesine tıklayın. Ana sonuç, sınıflandırmasıyla birlikte seçilen yay uzunluğudur: sıfır uzunluklu yay, küçük yay, yarım daire, büyük yay veya tam daire. Altında yarıçapı, çapı, tam çevreyi, tamamlayıcı yayı, kiriş uzunluğunu, sektör alanını, dairesel segment alanını, yay yüzdesini, açının her iki biçimini ve yay-kiriş oranını görürsünüz.
8. Diyagramı inceleyin. Canlı daire diyagramı tam daireyi çizer, seçilen yayı altın rengiyle vurgular ve O merkezini, yarıçap çizgilerini, kirişi ve uç noktaları işaretler. Yarıçapı, çapı, kirişi, merkez noktasını, açı işaretçisini ve küçük ile büyük yayları göstermek veya gizlemek için düğmeleri kullanın.
9. Kopyalayın, yazdırın veya sıfırlayın. Cevabı panonuza koymak için Sonucu Kopyala, basit bir rapor için Özeti Yazdır veya paneli temizlemek için Sıfırla düğmesini kullanın. Hazır örnek düğmeleri doğrulanmış örnekleri anında yükler.

Bir örnek deneyin. 60° açıyla yarıçap 5, 5.2359877560 birimlik bir yay verir. 90° açıyla yarıçap 8, 12.5663706144 birim verir. 270° açıyla yarıçap 4, 18.8495559215 birimlik bir büyük yay verir. 120° açıyla çap 14, 14.6607657168 birim verir. 180° açıyla yarıçap 10, 31.4159265359 birimlik yarım daire yayını verir ve 360° açıyla yarıçap 6, 37.6991118431 birimlik tam çevreyi verir.

Önemli ipuçları. Açı birimini tutarlı tutun: 60° ve 1.0471975512 radyan aynı açıdır, ancak 60 radyan 60° değildir. Yay uzunluğu yalnızca kavisli mesafedir; kiriş farklı bir ölçümdür ve sıfır uzunluklu yay dışında her zaman daha kısadır. Bir çap girerseniz hesaplayıcı önce yarıçapı bulmak için onu ikiye böler. Sıfır veya negatif bir ölçüm geçerli bir daire değildir, bu nedenle hesaplayıcı yanıltıcı bir cevap göstermek yerine onu reddeder.

Bir daire, O merkez noktasından sabit bir uzaklıkta, yani yarıçap uzaklığında bulunan tüm noktaların kümesidir. Bir yay, daire üzerinde iki nokta arasındaki sürekli bir parçadır. Yay uzunluğu, eğri boyunca bir uç noktadan diğerine, yol boyunca dairenin üzerinde kalarak yürürseniz kat edeceğiniz mesafedir.

Dairesel bir koşu pisti hayal edin. Yay uzunluğu, iki kapı arasındaki kulvar boyunca ölçülen mesafedir. Aynı iki kapı arasında iç alanı kesen düz çizgi kiriştir ve daha kısadır. Bu fark önemlidir: koşucu eğriyi takip eder, bu nedenle önemli olan kavisli mesafedir.

Her daire, yarıçapına göre ölçeklenmiş aynı parçalara sahiptir. O merkezi sabit noktadır. r yarıçapı O noktasından daire üzerindeki herhangi bir noktaya uzanır. d çapı O noktasından geçerek bir taraftan diğer tarafa uzanır ve her zaman yarıçapın iki katıdır. C çevresi, dairenin tamamını dolaşan mesafedir, C = 2πr. θ merkez açısı, O noktasında yay uç noktalarına giden iki yarıçap arasındaki açıdır ve yayın çevrenin hangi kesrini kapsadığını belirler.

Bir daire üzerindeki iki nokta her zaman iki yay oluşturur: daha kısa olanı, küçük yay ve daha uzun olanı, büyük yay. Birlikte tam çevreyi oluştururlar. Hangisini istediğiniz probleminize bağlıdır ve hesaplayıcı her ikisini de gösterir, böylece tahmin etmek zorunda kalmazsınız.

Yay uzunluğu tek boyutlu bir ölçümdür, bir uzunluktur, bu nedenle cm, m veya inç gibi sade birimlerle bildirilir. Bir alan değildir ve bir açı da değildir. Bu üç niceliği birbirinden ayrı tutmak, her daire hesabını doğru yapmanın ilk adımıdır.

Bir dairenin yay uzunluğu doğrudan tam bir dairenin çevresinden gelir. Tam bir dairenin çevresi şudur:

Bir merkez açı, tam 360° dönüşün bir kesrini temsil eder. θ merkez açısına sahip bir yay, tüm dairenin θ / 360 kesrini kapsar, yani:

Sadeleştirme, formülün derece biçimini verir:

Açı radyan cinsinden ölçüldüğünde formül daha da basittir, çünkü radyan yarıçapın kendisiyle tanımlanır:

Formüllerdeki her sembolün kesin bir anlamı vardır:

Her iki biçim de aynı cevabı verir. Açınız derece cinsindeyse L = πrθ / 180, radyan cinsindeyse L = rθ kullanın. Hesaplayıcı önce dereceleri radyana dönüştürür ve ardından dahili olarak L = rθ kullanır, bu nedenle iki mod her zaman aynı sonucu verir.

Yarıçap yerine çapı kullanmak aynı formülün ikinci bir biçimini verir. d = 2r olduğundan r = d / 2 olur ve yerine koymak radyan cinsinden L = dθ / 2 veya derece cinsinden L = πdθ / 360 verir.

Yarıçap ile merkez açı, bir yay uzunluğunu bulmanın en doğrudan yoludur. Aşağıdaki çözümlü örnekte 5 birimlik yarıçap ve 60° merkez açı kullanılmıştır.

1. Yarıçapı belirleyin. r = 5 birim.
2. Merkez açıyı belirleyin. θ = 60°.
3. Dereceleri radyana dönüştürün. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radyan.
4. Yay uzunluğu formülünü yazın. L = rθ.
5. Değerleri yerine koyun. L = 5 × π / 3.
6. Hesaplayın. L = 5.2359877560 birim.
7. Gerektiğinde yuvarlayın. İki ondalık basamağa yuvarlandığında L = 5.24 birim olur.

Aynı adımlar herhangi bir yarıçap ve açı için geçerlidir. 90° açıyla 8 birimlik yarıçap L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 birim verir. 60° açıyla 3 birimlik yarıçap L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 birim verir. 60° açıyla 1 birimlik yarıçap L = 1.0471975512 birim verir, bu tam olarak π / 3 tür ve yararlı bir kontroldür: r = 1 için yay uzunluğu radyan cinsinden açıya eşittir.

Yuvarlama kuralı. Yalnızca en sonda yuvarlayın. π yerine çarpmadan önce 3.14 koyarsanız, 60° açıyla 5 yarıçapı 5.2359877560 yerine 5.2333333333 verir, yani 0.0026544227 hata oluşur. Bu hata yarıçapla birlikte büyür, bu nedenle hesap boyunca tam hassasiyeti koruyun ve yalnızca son görüntülenen sonucu yuvarlayın.

Yarıçap yerine çapı biliyorsanız önce onu ikiye bölün, ardından aynı formülü uygulayın. Aşağıdaki çözümlü örnekte 14 birimlik çap ve 120° merkez açı kullanılmıştır.

1. Çapı belirleyin. d = 14 birim.
2. Yarıçapı bulun. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 birim.
3. Merkez açıyı belirleyin. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radyan.
4. Formülü yazın. L = rθ, veya doğrudan L = πdθ / 360.
5. Yerine koyun. L = 7 × 2.0943951024, veya L = π × 14 × 120 / 360.
6. Hesaplayın. L = 14.6607657168 birim.
7. Gerektiğinde yuvarlayın. İki ondalık basamağa yuvarlandığında L = 14.66 birim olur.

Her iki yol da tam olarak aynı sonucu verir, bu iyi bir öz denetimdir. Yarıçap yolu 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168 verir. Çap yolu π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168 verir. İkisi uyuşmuyorsa çap doğru şekilde ikiye bölünmemiştir.

Başka bir örnek: 180° açıyla 20 birimlik çap r = 10 birim verir, yani L = π × 10 = 31.4159265359 birim olur, bu yarım daire yaydır. 60° açıyla 10 birimlik çap r = 5 birim verir, yani L = 5.2359877560 birim olur. Bu hesapta en yaygın hata ikiye bölmeyi unutup çapı yarıçapmış gibi kullanmaktır, bu da cevabı iki katına çıkarır. d = 14 için bu hata 14.6607657168 yerine 29.3215314336 verir.

Ölçüm ipucu. Gerçek hayatta çapları ölçmek genellikle yarıçaplardan daha kolaydır, çünkü dairenin tam karşısını düz olarak ölçebilirsiniz. Bu nedenle hesaplayıcı çap girdisini doğrudan kabul eder: karşıdan karşıya ölçün, girin ve hesaplayıcı onu sizin için ikiye bölsün.

Derece, açıların günlük birimidir. Tam bir daire 360° içerir, bu nedenle derece cinsinden bir merkez açı, yayınızın tam dairenin hangi kesrini kapsadığını doğrudan söyler. 90° açı dairenin dörtte birini, 180° yarısını ve 270° dörtte üçünü kapsar.

Derece formülü L = πrθ / 180 dir, burada θ derece cinsindendir. Kesir fikrinden gelir: 2πr çevresinin θ / 360 kadarı, sadeleştirilmiş hâli.

Çözümlü örnek. Yarıçap 8 birim, açı 90°.

1. Değerleri belirleyin. r = 8 birim, θ = 90°.
2. Dairenin kesrini bulun. 90 / 360 = 1 / 4, çeyrek daire.
3. Formülü yazın. L = πrθ / 180.
4. Yerine koyun. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Hesaplayın. L = 12.5663706144 birim.
6. Çevreyle karşılaştırarak kontrol edin. Tam çevre 2π × 8 = 50.2654824574 birimdir ve bunun dörtte biri 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 birimdir. İkisi uyuşur.

Yarıçapı 5 birim olan daha fazla derece örneği: 30° L = 2.6179938780 birim, 45° L = 3.9269908170 birim, 120° L = 10.4719755120 birim ve 270° L = 23.5619449019 birim verir. Açıyı iki katına çıkarmanın aynı yarıçap için yay uzunluğunu da iki katına çıkardığına dikkat edin, çünkü yay uzunluğu merkez açıyla doğru orantılıdır.

Yaygın derece hatası. Bir derece değerini dönüştürmeden doğrudan L = rθ formülüne koymak çok yanlış bir cevap verir. r = 5 ve 60° için dönüştürülmemiş hesap 5 × 60 = 300 verir, ancak doğru cevap 5.2359877560 dir. L = rθ formülü radyan gerektirir, bu nedenle önce dönüştürün veya L = πrθ / 180 derece biçimini kullanın.

Radyan, yay uzunluğunun yarıçapa eşit olduğu zaman elde ettiğiniz açıdır. Yarıçapa eşit uzunlukta bir ipi dairenin etrafına sararsanız, merkezde oluşturduğu açı tam olarak 1 radyandır. Tam bir daire 2π radyan, yaklaşık 6.2831853072 radyan içerir, çünkü tam çevre 2πr dir ve r ile bölmek 2π bırakır.

Radyan formülü L = rθ dir, var olan en basit yay uzunluğu formülüdür. İçinde π yoktur, çünkü π açının radyan ölçüsünün içinde zaten vardır.

Çözümlü örnek. Yarıçap 5 birim, açı π / 3 radyan (60° dir).

1. Değerleri belirleyin. r = 5 birim, θ = π / 3 = 1.0471975512 radyan.
2. Formülü yazın. L = rθ.
3. Yerine koyun. L = 5 × 1.0471975512.
4. Hesaplayın. L = 5.2359877560 birim.
5. Derecelerle karşılaştırarak kontrol edin. π / 3 radyan 60° dir ve derece formülü L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 birim verir. İkisi tam olarak uyuşur.

Daha fazla radyan örneği: θ = π / 2 radyan açıyla 4 birimlik yarıçap L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 birim verir. θ = π / 4 radyan açıyla 6 birimlik yarıçap L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 birim verir. θ = π radyan açıyla 10 birimlik yarıçap L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 birim verir, bu yarım daire yayıdır.

Radyanların matematikte neden tercih edildiği. Yay uzunluğu için kalkülüs formülleri ve bu sayfadaki kiriş, sektör ve segment alanı formüllerinin tümü radyan kullanır. Dereceler günlük ölçüm için kullanışlıdır, ancak radyanlar matematiği sadeleştirir, bu nedenle hesaplayıcı hesaplamadan önce her açıyı radyana dönüştürür.

Bir daire üzerindeki iki nokta onu iki yaya böler. Daha kısa olanı küçük yay, daha uzun olanı büyük yaydır. Aynı uç noktaları paylaşırlar ve birlikte tam çevreyi oluştururlar.

Hangisinin hangisi olduğuna merkez açı karar verir. 180° altındaki bir merkez açı küçük yay verir. 180° üzerindeki bir merkez açı büyük yay verir. Tam 180° yarım daire verir, bu ne küçük ne de büyüktür: her iki yay da eşittir.

Küçük ve büyük yay birbirini tamamlar. Daha küçük bir merkez açı θ için küçük yay Lminor = rθ ve büyük yay Lmajor = r(2π - θ) olur. Toplamları her zaman tam çevredir:

Çözümlü örnek. Yarıçap 5 birim, daha küçük açı 60°. Küçük yay L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 birimdir. Büyük yay, 360° - 60° = 300° olan refleks açıyı kullanır, yani L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 birimdir. Toplam 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 birimdir, bu tam olarak 2π × 5 çevresidir. Küçük yay dairenin %16.67 si, büyük yay %83.33 üdür.

Başka bir örnek. Yarıçap 4 birim, açı 270°. Bu zaten büyük yaydır: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 birim. Tamamlayıcı küçük yayı 90° kullanır: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 birim. Toplam 25.1327412287 birimdir, tam çevre 2π × 4 tür.

İki açıyı karıştırmayın. En yaygın küçük/büyük yay hatası, problem büyük yayı isterken küçük açıyı kullanmak veya tam tersidir. Size verilen açının küçük açı mı yoksa refleks açı mı olduğunu her zaman kontrol edin ve hesaplayıcının her iki yayı yan yana gösterdiğini, böylece probleminizin ihtiyaç duyduğunu seçebileceğinizi unutmayın.

Yay uzunluğu ve kiriş uzunluğu bir daire üzerindeki aynı iki noktayı birleştirir, ancak farklı yollar izlerler. Yay eğriyi takip eder. Kiriş düz olarak keser. Yay neredeyse her zaman daha uzundur.

Formüller farkı açıkça gösterir:

Kiriş, açının yarısının sinüsüne bağlıdır, bu açının kendisinden daha yavaş büyür, bu nedenle yay ile kiriş arasındaki fark açı büyüdükçe açılır.

Tablodaki üç gerçek akılda tutulmaya değerdir. 30° de yay kirişten yalnızca yaklaşık %1.15 daha uzundur, bu nedenle küçük açılarda ikisi birbirine yakındır. 180° de kiriş çaptır, 10 birimdir, yay ise πr = 15.7079632679 birimdir. 270° de kiriş 7.0710678119 birime geri küçülür, 90° dekiyle aynıdır, çünkü kiriş uç noktalar arasındaki küçük açıya bağlıdır, yay ise taramayla birlikte büyümeye devam eder.

Özel durum. 60° de kiriş tam olarak yarıçapa eşittir: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. r = 5 için kiriş 5 birimdir ve yarıçap, kiriş ile iki yarıçap bir eşkenar üçgen oluşturur. Bu kullanışlı bir kontroldür ve sınav hazırlayanların gözdesidir.

Neden önemlidir. Kavisli bir boru kesiyorsanız yay uzunluğuna ihtiyacınız vardır. Dairesel bir parça üzerindeki iki nokta arasındaki düz boşluğu ölçüyorsanız kirişe ihtiyacınız vardır. Bunları karıştırmak en yaygın daire hatalarından biridir ve hesaplayıcı her iki değeri birlikte gösterir, böylece fark her zaman görünür olur.

Yay uzunluğu ve sektör alanı kulağa benzer gelir, ancak farklı şeyleri ölçerler. Yay uzunluğu tek boyutlu kavisli bir mesafedir ve sade birimlerle ölçülür. Sektör alanı iki boyutlu bir bölgedir, iki yarıçap ve yay tarafından daireden kesilen dilimdir ve kare birimlerle ölçülür.

Formüller birbirine benzer, bu da tam olarak karıştırılmalarının nedenidir:

Sektör alanı, yay uzunluğunun yarıçapın yarısıyla çarpımıdır: A = ½ × r × L. Bu ilişki yararlı bir kontroldür. 5 birimlik yarıçap ve 60° için yay 5.2359877560 birimdir ve sektör alanı ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 kare birimdir.

Birimler ipucudur. Cevabınız bir uzunluk olmalıysa birim cm, m veya inçtir. Bir alan olmalıysa birim cm², m² veya kare inçtir. Kare birimlerle verilen bir yay uzunluğu cevabı veya sade birimlerle verilen bir sektör alanı cevabı kesinlikle yanlıştır. Hesaplayıcı ikisini ayrı tutar ve birimleri açıkça etiketler.

Tam daire kontrolü. 360° de sektör tüm dairedir, bu nedenle sektör alanı πr² ye eşit olmalıdır. r = 6 için π × 36 = 113.0973355292 kare birimdir. Aynı andaki yay tam çevredir, 37.6991118431 birimdir. İkisi de aynı yarıçap ve açıdan gelir, ancak farklı soruları yanıtlar.

Dairesel segment, bir yay ve kirişi tarafından çevrelenen bölgedir. Düz bir çizgiyle kesilmiş bir daire dilimi hayal edin: kavisli kenar yaydır, düz kenar kiriştir ve aralarındaki alan segmenttir. Sektörden daha küçüktür, çünkü sektör ayrıca iki yarıçap ve kiriş tarafından oluşturulan üçgeni de içerir.

Segment alanı, sektör alanından iki yarıçap ile kiriş arasındaki üçgen alanın çıkarılmasıyla bulunur:

Burada θ, 0 ile 2π arasındaki radyan cinsinden merkez taramadır. Formül hem küçük hem de büyük segmentleri doğru şekilde ele alır: küçük bir yay için küçük kapağı, büyük bir yay için dairenin çoğunu kaplayan büyük bölgeyi verir.

Çözümlü örnekler. r = 5 birim ve 60° için sektör alanı 13.0899693900 kare birimdir ve segment alanı ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 kare birimdir. Segment sektörden çok daha küçüktür, çünkü üçgen dilimin çoğunu kaplar. r = 5 ve 90° için segment 7.1349540849 kare birimdir. r = 8 ve 90° için segment 18.2654824574 kare birimdir.

Özel durumlar. 180° de sin θ = 0 olduğundan segment alanı sektör alanına eşittir: ½ πr². r = 5 için ikisi de 39.2699081699 kare birimdir, bu tam olarak dairenin yarısıdır. 270° de sin θ = -1 olduğundan segment sektörden büyüktür: r = 5 için sektör 58.9048622548 kare birim ve segment 71.4048622548 kare birimdir. 360° de kiriş kaybolur ve segment tüm daire olur, πr².

Segment ve sektör, tek cümleyle. Sektör merkezden gelen dilimdir. Segment kirişin ötesindeki kapaktır. Probleminiz merkezi içeriyorsa sektörü istersiniz. Yalnızca yayı ve kirişini içeriyorsa segmenti istersiniz.

Derece ve radyan aynı şeyin, açının iki birimidir. Dereceler tam bir dönüşü 360 eşit parçaya böler. Radyanlar bir açıyı kestiği yayla, yarıçap birimleri cinsinden ölçer. İkisi tek bir dönüşümle bağlıdır: π radyan 180° ye eşittir.

Dönüşüm formülleri şunlardır:

Çözümlü dönüşümler. 120° radyan cinsinden 120 × π / 180 = 2.0943951024 radyandır. 45°, 45 × π / 180 = 0.7853981634 radyandır. Ters yönde, 1 radyan 1 × 180 / π = 57.2957795131° ve 2 radyan 114.5915590262° dir. Son değer yararlıdır: bir yay, açı tam olarak 2 radyanı geçtiğinde çaptan daha uzun olur.

Hangi birimi kullanmalısınız? Problem derece veriyorsa derece, radyan veriyorsa radyan kullanın. Hesaplayıcı her ikisini de kabul eder ve DEG/RAD düğmesi yayı değiştirmeden açınızı dönüştürür. Elle hesapta dereceler L = πrθ / 180 kesir biçimine, radyanlar ise L = rθ sade biçimine uygundur. Her iki durumda da ikisini tek bir formülde asla karıştırmayın.

Bazen ne yarıçap ne de çap verilir. Hesaplayıcı önce yarıçapı türeterek, ardından her zamanki gibi L = rθ uygulayarak diğer dört ölçümden geriye doğru çalışır. Altı yöntemin tümü aynı daire için aynı yarıçapı ve aynı yay uzunluğunu verir, bu nedenle elinizde gerçekten hangi ölçüm varsa onu kullanabilirsiniz.

Tam daire çevresinden. Tam çevre C = 2πr dir, yani r = C / (2π) olur. C = 31.4159265359 birim için r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 birimdir. Ardından 60° yay L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 birimdir. Kısa yola dikkat edin: 60° yay çevrenin altıda biridir ve 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 birimdir.

Kiriş uzunluğundan. Kiriş formülü c = 2r sin(θ / 2) dir, yani r = c / [2 sin(θ / 2)] olur. 60° açıyla 5 birimlik bir kiriş için r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 birimdir. Ardından L = 5.2359877560 birimdir. Kiriş girdisi yalnızca açı kesinlikle 0° ile 360° arasında olduğunda çalışır: 0° veya 360° de kiriş sıfırdır ve hiçbir yarıçap geri kazanılamaz, bu nedenle hesaplayıcı bu yöntem için bu açıları reddeder.

Tam daire alanından. Tam bir dairenin alanı A = πr² dir, yani r = √(A / π) olur. A = 78.5398163397 kare birim için r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 birimdir. Ardından 60° yay L = 5.2359877560 birimdir. Yarıçapı alan formülüne geri koyarak doğrulayabilirsiniz: π × 25 = 78.5398163397 kare birim.

Sektör alanından. Sektör alanı A = ½r²θ dir, yani r = √(2A / θ) olur, burada θ radyan cinsindendir. 60° açıyla 13.0899693900 kare birimlik sektör alanı için θ = 1.0471975512 radyandır, yani r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 birimdir. Ardından L = 5.2359877560 birimdir. Bu yöntem alana ek olarak açıyı da gerektirir, çünkü aynı sektör alanı birçok yarıçap ve açı birleşiminden gelebilir.

Hangi girdiyi kullanmalı. Elinizde gerçekten hangi ölçüm varsa onu kullanın. İki farklı ölçüm farklı yarıçaplar veriyorsa ölçümlerden biri yanlıştır ve iki cevaptan birine güvenmeden önce bu uyumsuzluğu araştırmaya değer.

Yay uzunluğu soyut bir sınıf alıştırması değildir. Bir daire üzerindeki kavisli bir mesafenin ölçülmesi, kesilmesi, inşa edilmesi veya kat edilmesi gereken her yerde aynı formül geçerlidir.

Mühendislik ve üretim. Boru bükme yay uzunluğuyla başlar: 8 birimlik büküm yarıçapıyla 90° bükülmüş bir boru, yalnızca büküm için 12.5663706144 birim boru gerektirir. Kavisli bir panele sarılmış sac metal, bir dişli dişi profili ve bir kam şekli, malzeme kesilmeden önce kavisli uzunluğa ihtiyaç duyar. Yanlış hesaplamak malzemeyi boşa harcar veya parçayı kısa bırakır.

Mimari ve inşaat. Kemerli kapılar, dairesel pencereler, kubbeler ve kavisli merdivenler yaylarıyla boyutlandırılır. Yarıçapı 10 birim olan yarım daire kemer, eğri boyunca 31.4159265359 birim süsleme gerektirir. Dairesel bir bahçe yatağı kenarlık siparişi, kavisli taraf için yayı ve düz taraf için çapı gerektirir, bunlar farklı sayılardır.

Yollar ve pistler. Dairesel bir yol eğrisi, bir koşu pisti virajı veya bir demiryolu eğrisi yarıçap ve merkez açıyla düzenlenir. Eğrinin uzunluğu asfalt miktarına, ray uzunluğuna ve bir aracın virajdan geçerken kat ettiği mesafeye karar verir. Yarıçapı 7 birim olan 120° eğri 14.6607657168 birim uzunluğundadır.

Saatler, tekerlekler ve robotik. Bir saat ibresi zaman geçtikçe bir yay tarar. Yerde yuvarlanan bir tekerlek, döndüğü yaya eşit bir mesafe kat eder. Bir eklem etrafında dönen bir robot kolu, tutucusunu dairesel bir yay boyunca hareket ettirir ve kat ettiği mesafe rθ dir, bu nedenle radyanlar robotikte doğal birimdir.

Bilgisayar grafikleri ve CAD. CAD modellerindeki, yazı tiplerindeki ve animasyonlardaki eğriler dairesel yaylardan oluşturulur. Bir yayın uzunluğu, bir takım yolunun nasıl bölündüğüne, bir eğrinin nasıl oluşturulduğuna ve bir nesnenin animasyonda dairesel bir yol boyunca ne kadar hareket ettiğine karar verir.

Gerçek şekiller hakkında bir not. Her kavisli yapı mükemmel bir daire değildir. Gerçek kemerler eliptik veya parabolik olabilir ve gerçek yollar klotoid geçişler kullanır. Bu sayfadaki daire formülleri, eğri gerçek bir dairesel yay olduğunda tam olarak geçerlidir ve yalnızca eğri daireye yakın olduğunda iyi bir yaklaşımdır. Formülü uygulamadan önce şekli her zaman doğrulayın.

Daire yay uzunluğundaki yanlış cevapların çoğu küçük bir hata listesinden kaynaklanır. Her birini kontrol etmek saniyeler sürer ve çoğu hatayı önler.

1. Yarıçap yerine çap kullanmak. Formül r gerektirir, d değil. d = 14 ü yarıçap olarak kullanmak cevabı iki katına çıkarır: 120° yay için 14.6607657168 yerine 29.3215314336. Önce çapı ikiye bölün.
2. Dereceleri radyana dönüştürmeyi unutmak. L = rθ radyan gerektirir. 60° yi doğrudan koymak 5.2359877560 yerine 5 × 60 = 300 verir. Önce dönüştürün veya L = πrθ / 180 kullanın.
3. Merkez açıyı çevre açıyla karıştırmak. Bir çevre açı, aynı yayı gören merkez açının yarısıdır. Bir problem çevre açı φ verirse merkez açı θ = 2φ olur ve yay L = r × 2φ olur. φ yi doğrudan kullanmak cevabı yarıya indirir.
4. Büyük ve küçük yayları karıştırmak. 270° açı, r = 4 için 18.8495559215 birimlik bir büyük yay verir. Bunun yerine küçük açı 90° yi kullanmak 6.2831853072 birim, yani küçük yayı verir. Problemin hangi yayı istediğini kontrol edin.
5. Yay uzunluğunu kiriş uzunluğuyla karıştırmak. Kiriş düz çizgidir ve her zaman yaydan daha kısadır. r = 5 ve 180° için kiriş 10 birim ve yay 15.7079632679 birimdir. İkisi yalnızca sıfır uzunluklu sınır durumunda eşittir.
6. Sektör alanını yay uzunluğuyla karıştırmak. Sektör alanı kare birimlerle ölçülen iki boyutlu bir bölgedir. Yay uzunluğu sade birimlerle ölçülen tek boyutlu bir mesafedir. r = 5 ve 60° için sektör alanı 13.0899693900 kare birim ve yay 5.2359877560 birimdir. Farklı nicelikler, farklı birimler.
7. Yanlış ölçü birimleri kullanmak. Cm cinsinden yarıçap ve derece cinsinden açı uygundur, ancak cevap cm cinsinden çıkar. Bir hesapta cm ile inçi karıştırmak veya çıktı birimini dönüştürmeyi unutmak yanlış büyüklükte bir sayı verir. Önce dönüştürün, sonra hesaplayın.
8. π yi çok erken yuvarlamak. Çarpmadan önce π yerine 3.14 koymak yarıçapla birlikte büyüyen bir hata oluşturur. Hesap boyunca tam hassasiyetli π kullanın ve yalnızca son görüntülenen sonucu yuvarlayın.
9. Tam bir dairenin 360° olduğunu unutmak. 360° açı tam çevredir, 2πr dir, sıfır değildir. 0° açı sıfır uzunluklu yaydır. İkisi bir diyagramda benzer görünür, çünkü uç noktalar çakışır, ancak yay uzunlukları olabildiğince farklıdır.
10. Yanlış açı aralığını kullanmak. Bir daire için yay uzunluğu formülleri taramanın 0° ile 360° arasında olduğunu varsayar. 450° açı tek bir dairede geçerli bir tek tarama değildir: tam bir dönüş artı 90° dir ve bir daire için yay 90° kalanıdır, r = 8 için 12.5663706144 birimdir.

Çoğunu yakalayan son bir kontrol. Sonucu çevreyle karşılaştırarak doğrulayın. Yay 0 ile 2πr arasında olmalı, kirişten daha uzun olmalı ve küçük artı büyük yaylar tam olarak 2πr etmelidir. Bu kontrollerden herhangi biri başarısız olursa, nedeni yukarıdaki on hatadan biridir.

Bu altı örnek, hesaplayıcının ana girdi yöntemlerini ve yay türlerini kapsar. Her biri araca güç veren aynı motorla hesaplanmıştır ve her sonuç bağımsız olarak doğrulanmıştır.

Örnek 1: Yarıçap 5 ve 60° ile küçük yay. Verilenler r = 5 birim, θ = 60° = π / 3 radyan. Yay uzunluğu L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 birim. Çap d = 10 birim. Kiriş c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 birim. Sektör alanı A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 kare birim. Tam çevre C = 31.4159265359 birim.

Örnek 2: Yarıçap 8 ve 90° ile çeyrek daire yayı. Verilenler r = 8 birim, θ = 90° = π / 2 radyan. Yay uzunluğu L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 birim. Kiriş c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 birim. Sektör alanı A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 kare birim. Yay, 50.2654824574 birimlik çevrenin tam olarak dörtte biridir.

Örnek 3: Yarıçap 4 ve 270° ile büyük yay. Verilenler r = 4 birim, θ = 270° = 3π / 2 radyan. Yay uzunluğu L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 birim. Kiriş c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 birim. Sektör alanı A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 kare birim. 90° kullanan tamamlayıcı küçük yay 6.2831853072 birimdir. İki yay toplamı 25.1327412287 birim eder, tam çevredir.

Örnek 4: Çap 14 ve 120° ile yay. Verilenler d = 14 birim, θ = 120° = 2π / 3 radyan. Yarıçap r = 14 / 2 = 7 birim. Yay uzunluğu L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 birim. Kiriş c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 birim. Sektör alanı A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 kare birim. Segment alanı 30.0950576159 kare birimdir.

Örnek 5: Yarıçap 10 ve 180° ile yarım daire. Verilenler r = 10 birim, θ = 180° = π radyan. Yay uzunluğu L = 10 × π = 31.4159265359 birim. Kiriş c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 birim, yani çaptır. Sektör alanı A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 kare birim, tam daire alanının tam olarak yarısıdır. Yay, çapın π / 2 katıdır, karşıdan karşıya düz çizgiden yaklaşık %57.08 daha uzundur.

Örnek 6: Yarıçap 6 ve 360° ile tam daire. Verilenler r = 6 birim, θ = 360° = 2π radyan. Yay uzunluğu L = 6 × 2π = 37.6991118431 birimdir, bu tam çevredir. Kiriş c = 0 dır, çünkü uç noktalar çakışır. Sektör alanı A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 kare birimdir, tam daire alanıdır. Yay yüzdesi %100 dür.

Bu örneklerden birini yüklemek ve o girdi için tam adım adım çözümü, canlı diyagramı ve tüm ikincil sonuçları görmek için hesaplayıcıdaki herhangi bir hazır örnek düğmesine tıklayın.