Calculadora de Comprimento de Arco de Círculo

A Calculadora de Comprimento de Arco de Círculo mede a distância curva ao longo de qualquer parte de um círculo, de uma pequena fatia até a circunferência completa. Ela aceita seis medidas iniciais diferentes, para que você possa usar o valor que já tem. Siga estes passos para obter uma resposta correta em menos de um minuto.

1. Escolha o método de entrada. Escolha Raio, Diâmetro, Circunferência Completa do Círculo, Comprimento da Corda, Área Completa do Círculo ou Área do Setor. O campo de entrada, seu rótulo e sua lista de unidades mudam conforme o método escolhido.
2. Digite sua medida. Digite o valor na caixa de entrada. Para os métodos de área, use a lista de unidades quadradas (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Digite o ângulo central. Digite o ângulo em graus ou radianos usando o seletor DEG/RAD, ou arraste o controle deslizante de ângulo de 0° a 360°. O diagrama ao vivo e o resultado são atualizados conforme você o move.
4. Defina os ângulos inicial e final, se precisar deles. A varredura padrão começa em 0° e segue no sentido anti-horário. Altere o ângulo inicial, o ângulo final ou a direção para medir um arco em qualquer lugar do círculo. A varredura, e não a posição, decide o comprimento do arco.
5. Escolha as unidades de entrada e de saída. A calculadora converte sua entrada em uma unidade interna consistente, calcula e depois converte a resposta para a unidade de saída. O número muda com a unidade; o comprimento não.
6. Escolha uma precisão. Escolha 2, 4, 6 ou 8 casas decimais. O padrão é 4. A calculadora sempre usa o π de precisão total internamente e arredonda apenas o resultado exibido.
7. Clique em Calcular Agora. O resultado principal é o comprimento do arco selecionado, com sua classificação: arco de comprimento zero, arco menor, semicírculo, arco maior ou círculo completo. Abaixo dele, você obtém o raio, o diâmetro, a circunferência completa, o arco complementar, o comprimento da corda, a área do setor, a área do segmento circular, a porcentagem do arco, as duas formas do ângulo e a razão arco-corda.
8. Explore o diagrama. O diagrama ao vivo do círculo desenha o círculo completo, destaca o arco selecionado em dourado e marca o centro O, as linhas do raio, a corda e os pontos finais. Use os interruptores para mostrar ou ocultar o raio, o diâmetro, a corda, o ponto central, o marcador de ângulo e os arcos menor e maior.
9. Copie, imprima ou redefina. Use Copiar Resultado para colocar a resposta na área de transferência, Imprimir Resumo para um relatório simples ou Redefinir para limpar o painel. Os botões de exemplos carregam exemplos verificados instantaneamente.

Experimente um exemplo. Raio 5 com um ângulo de 60° dá um arco de 5.2359877560 unidades. Raio 8 com 90° dá 12.5663706144 unidades. Raio 4 com 270° dá um arco maior de 18.8495559215 unidades. Diâmetro 14 com 120° dá 14.6607657168 unidades. Raio 10 com 180° dá o arco do semicírculo, 31.4159265359 unidades, e raio 6 com 360° dá a circunferência completa, 37.6991118431 unidades.

Dicas importantes. Mantenha a unidade do ângulo consistente: 60° e 1.0471975512 radianos são o mesmo ângulo, mas 60 radianos não são 60°. O comprimento do arco é apenas a distância curva; a corda é uma medida diferente e é sempre mais curta, exceto no caso de um arco de comprimento zero. Se você digitar um diâmetro, a calculadora o divide pela metade para encontrar o raio primeiro. Uma medida zero ou negativa não é um círculo válido, por isso a calculadora a rejeita em vez de mostrar uma resposta enganosa.

Um círculo é o conjunto de todos os pontos a uma distância fixa, o raio, de um ponto central O. Um arco é uma parte contínua do círculo entre dois pontos sobre ele. O comprimento do arco é a distância que você percorreria se caminhasse ao longo da curva de um ponto final ao outro, permanecendo sobre o círculo o tempo todo.

Imagine uma pista de corrida circular. O comprimento do arco é a distância ao longo da pista entre dois portões. A linha reta que corta o campo interno entre os mesmos dois portões é a corda, e ela é mais curta. A diferença importa: um corredor segue a curva, então a distância curva é a que conta.

Todo círculo tem as mesmas partes, dimensionadas pelo seu raio. O centro O é o ponto fixo. O raio r vai de O até qualquer ponto do círculo. O diâmetro d vai de um lado ao outro passando por O, e é sempre o dobro do raio. A circunferência C é a distância ao redor de todo o círculo, C = 2πr. O ângulo central θ é o ângulo em O entre os dois raios que vão até os pontos finais do arco, e ele decide qual fração da circunferência o arco cobre.

Dois pontos em um círculo sempre criam dois arcos: o mais curto, o arco menor, e o mais longo, o arco maior. Juntos, eles formam a circunferência completa. Qual deles você quer depende do seu problema, e a calculadora mostra os dois, para que você nunca precise adivinhar.

O comprimento do arco é uma medida unidimensional, um comprimento, por isso é informado em unidades simples, como cm, m ou polegadas. Não é uma área, nem um ângulo. Manter essas três grandezas separadas é o primeiro passo para acertar todos os cálculos com círculos.

O comprimento de arco de um círculo vem diretamente da circunferência de um círculo completo. A circunferência de um círculo completo é:

Um ângulo central representa uma fração de uma rotação completa de 360°. Um arco com ângulo central θ cobre a fração θ / 360 de todo o círculo, então:

Simplificando, obtemos a forma em graus da fórmula:

Quando o ângulo é medido em radianos, a fórmula é ainda mais simples, porque um radiano é definido pelo próprio raio:

Cada símbolo nas fórmulas tem um significado preciso:

As duas formas dão a mesma resposta. Use L = πrθ / 180 quando seu ângulo estiver em graus, e L = rθ quando estiver em radianos. A calculadora primeiro converte graus em radianos e depois usa L = rθ internamente, e é por isso que os dois modos sempre concordam.

Usar o diâmetro em vez do raio dá uma segunda forma da mesma fórmula. Como d = 2r, então r = d / 2, e substituindo obtemos L = dθ / 2 em radianos, ou L = πdθ / 360 em graus.

Raio mais ângulo central é a maneira mais direta de encontrar um comprimento de arco. O exemplo resolvido abaixo usa um raio de 5 unidades e um ângulo central de 60°.

1. Identifique o raio. r = 5 unidades.
2. Identifique o ângulo central. θ = 60°.
3. Converta graus em radianos. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radianos.
4. Escreva a fórmula do comprimento de arco. L = rθ.
5. Substitua os valores. L = 5 × π / 3.
6. Calcule. L = 5.2359877560 unidades.
7. Arredonde conforme necessário. Com duas casas decimais, L = 5.24 unidades.

Os mesmos passos funcionam para qualquer raio e ângulo. Um raio de 8 unidades com 90° dá L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unidades. Um raio de 3 unidades com 60° dá L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 unidades. Um raio de 1 unidade com 60° dá L = 1.0471975512 unidades, que é exatamente π / 3, uma verificação útil: para r = 1, o comprimento do arco é igual ao ângulo em radianos.

Regra de arredondamento. Arredonde apenas no final. Se você substituir π por 3.14 antes de multiplicar, um raio de 5 com 60° dá 5.2333333333 em vez de 5.2359877560, um erro de 0.0026544227. Esse erro cresce com o raio, por isso mantenha a precisão total durante o cálculo e arredonde apenas o resultado final exibido.

Quando você conhece o diâmetro em vez do raio, divida-o pela metade primeiro e depois aplique a mesma fórmula. O exemplo resolvido abaixo usa um diâmetro de 14 unidades e um ângulo central de 120°.

1. Identifique o diâmetro. d = 14 unidades.
2. Encontre o raio. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 unidades.
3. Identifique o ângulo central. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radianos.
4. Escreva a fórmula. L = rθ, ou diretamente L = πdθ / 360.
5. Substitua. L = 7 × 2.0943951024, ou L = π × 14 × 120 / 360.
6. Calcule. L = 14.6607657168 unidades.
7. Arredonde conforme necessário. Com duas casas decimais, L = 14.66 unidades.

Os dois caminhos concordam exatamente, o que é uma boa autoverificação. A rota do raio dá 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. A rota do diâmetro dá π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Se os dois discordarem, o diâmetro não foi dividido pela metade corretamente.

Outro exemplo: um diâmetro de 20 unidades com 180° dá r = 10 unidades, então L = π × 10 = 31.4159265359 unidades, o arco do semicírculo. Um diâmetro de 10 unidades com 60° dá r = 5 unidades, então L = 5.2359877560 unidades. O erro mais comum neste cálculo é esquecer a divisão por dois e usar o diâmetro como se fosse o raio, o que dobra a resposta. Para d = 14, esse erro dá 29.3215314336 em vez de 14.6607657168.

Dica de medição. Os diâmetros costumam ser mais fáceis de medir na vida real do que os raios, porque você pode medir em linha reta através do círculo. É por isso que a calculadora aceita a entrada do diâmetro diretamente: meça de um lado ao outro, digite o valor, e a calculadora o divide pela metade para você.

Graus são a unidade cotidiana para ângulos. Um círculo completo contém 360°, então um ângulo central em graus diz diretamente qual fração do círculo completo o seu arco cobre. Um ângulo de 90° cobre um quarto do círculo, 180° cobre a metade e 270° cobre três quartos.

A fórmula em graus é L = πrθ / 180, em que θ está em graus. Ela vem da ideia da fração: θ / 360 da circunferência 2πr, simplificada.

Exemplo resolvido. Raio de 8 unidades, ângulo de 90°.

1. Identifique os valores. r = 8 unidades, θ = 90°.
2. Encontre a fração do círculo. 90 / 360 = 1 / 4, um quarto de círculo.
3. Escreva a fórmula. L = πrθ / 180.
4. Substitua. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Calcule. L = 12.5663706144 unidades.
6. Confira com a circunferência. A circunferência completa é 2π × 8 = 50.2654824574 unidades, e um quarto dela é 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 unidades. Os dois concordam.

Mais exemplos em graus com raio de 5 unidades: 30° dá L = 2.6179938780 unidades, 45° dá L = 3.9269908170 unidades, 120° dá L = 10.4719755120 unidades e 270° dá L = 23.5619449019 unidades. Observe que dobrar o ângulo dobra o comprimento do arco para o mesmo raio, porque o comprimento do arco é diretamente proporcional ao ângulo central.

Erro comum com graus. Colocar um valor em graus diretamente em L = rθ sem converter dá uma resposta muito errada. Para r = 5 e 60°, o cálculo sem conversão dá 5 × 60 = 300, mas a resposta correta é 5.2359877560. A fórmula L = rθ precisa de radianos, então converta primeiro ou use a forma em graus L = πrθ / 180.

Um radiano é o ângulo que você obtém quando o comprimento do arco é igual ao raio. Se você enrolar um barbante de comprimento igual ao raio ao redor do círculo, o ângulo que ele forma no centro é exatamente 1 radiano. Um círculo completo contém 2π radianos, cerca de 6.2831853072 radianos, porque a circunferência completa é 2πr e, dividindo por r, resta 2π.

A fórmula em radianos é L = rθ, a fórmula mais simples de comprimento de arco que existe. Ela não tem π, porque o π já está dentro da medida do ângulo em radianos.

Exemplo resolvido. Raio de 5 unidades, ângulo de π / 3 radianos (que é 60°).

1. Identifique os valores. r = 5 unidades, θ = π / 3 = 1.0471975512 radianos.
2. Escreva a fórmula. L = rθ.
3. Substitua. L = 5 × 1.0471975512.
4. Calcule. L = 5.2359877560 unidades.
5. Confira com os graus. π / 3 radianos é 60°, e a fórmula em graus dá L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 unidades. Os dois concordam exatamente.

Mais exemplos em radianos: um raio de 4 unidades com θ = π / 2 radianos dá L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 unidades. Um raio de 6 unidades com θ = π / 4 radianos dá L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 unidades. Um raio de 10 unidades com θ = π radianos dá L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 unidades, o arco do semicírculo.

Por que os radianos são preferidos na matemática. As fórmulas de cálculo para comprimento de arco, e as fórmulas de corda, setor e área de segmento nesta página, todas usam radianos. Os graus são convenientes para a medição cotidiana, mas os radianos tornam a matemática limpa, e é por isso que a calculadora converte cada ângulo em radianos antes de calcular.

Dois pontos em um círculo o dividem em dois arcos. O mais curto é o arco menor, e o mais longo é o arco maior. Eles compartilham os mesmos pontos finais e, juntos, formam a circunferência completa.

O ângulo central decide qual é qual. Um ângulo central abaixo de 180° dá um arco menor. Um ângulo central acima de 180° dá um arco maior. Exatamente 180° dá um semicírculo, que não é nem menor nem maior: os dois arcos são iguais.

Arcos menor e maior são complementos. Para um ângulo central menor θ, o arco menor é Lmenor = rθ e o arco maior é Lmaior = r(2π - θ). A soma deles é sempre a circunferência completa:

Exemplo resolvido. Raio de 5 unidades, ângulo menor de 60°. O arco menor é L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unidades. O arco maior usa o ângulo reflexo 360° - 60° = 300°, então L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 unidades. A soma é 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 unidades, que é exatamente a circunferência 2π × 5. O arco menor é 16.67% do círculo e o arco maior é 83.33%.

Outro exemplo. Raio de 4 unidades, ângulo de 270°. Este já é o arco maior: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 unidades. Seu arco menor complementar usa 90°: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 unidades. A soma é 25.1327412287 unidades, a circunferência completa 2π × 4.

Não confunda os dois ângulos. O erro mais comum entre arco menor e maior é usar o ângulo menor quando o problema pede o arco maior, ou o contrário. Verifique sempre se o ângulo dado é o menor ou o reflexo, e lembre-se de que a calculadora mostra os dois arcos lado a lado para que você possa escolher o que o seu problema precisa.

O comprimento do arco e o comprimento da corda conectam os mesmos dois pontos de um círculo, mas seguem caminhos diferentes. O arco segue a curva. A corda corta em linha reta. O arco é quase sempre mais longo.

As fórmulas mostram a diferença claramente:

A corda depende do seno da metade do ângulo, que cresce mais lentamente do que o próprio ângulo, então a diferença entre o arco e a corda aumenta conforme o ângulo cresce.

Três fatos da tabela valem a pena lembrar. A 30°, o arco é apenas cerca de 1.15% mais longo do que a corda, então, para ângulos pequenos, os dois são próximos. A 180°, a corda é o diâmetro, 10 unidades, enquanto o arco é πr = 15.7079632679 unidades. A 270°, a corda volta a 7.0710678119 unidades, o mesmo valor de 90°, porque a corda depende do ângulo menor entre os pontos finais, enquanto o arco continua crescendo com a varredura.

Caso especial. A 60°, a corda é exatamente igual ao raio: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Para r = 5, a corda é de 5 unidades, e o raio, a corda e os dois raios formam um triângulo equilátero. Esta é uma verificação prática e uma das favoritas dos elaboradores de provas.

Por que isso importa. Se você está cortando um tubo curvo, precisa do comprimento do arco. Se está medindo a distância reta entre dois pontos de uma peça circular, precisa da corda. Confundi-los é um dos erros mais comuns com círculos, e a calculadora mostra os dois valores juntos para que a diferença esteja sempre visível.

O comprimento do arco e a área do setor parecem semelhantes, mas medem coisas diferentes. O comprimento do arco é uma distância curva unidimensional, medida em unidades simples. A área do setor é uma região bidimensional, a fatia do círculo delimitada por dois raios e o arco, medida em unidades quadradas.

As fórmulas parecem semelhantes, e é exatamente por isso que elas são confundidas:

A área do setor é o comprimento do arco multiplicado pela metade do raio: A = ½ × r × L. Essa relação é uma verificação útil. Para um raio de 5 unidades e 60°, o arco é de 5.2359877560 unidades, e a área do setor é ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 unidades quadradas.

As unidades são a pista. Se a sua resposta deve ser um comprimento, a unidade é cm, m ou polegadas. Se deve ser uma área, a unidade é cm², m² ou polegadas quadradas. Uma resposta de comprimento de arco em unidades quadradas, ou uma resposta de área de setor em unidades simples, está certamente errada. A calculadora mantém as duas separadas e rotula as unidades com clareza.

Uma verificação de círculo completo. A 360°, o setor é o círculo inteiro, então a área do setor deve ser igual a πr². Para r = 6, π × 36 = 113.0973355292 unidades quadradas. O arco, ao mesmo tempo, é a circunferência completa, 37.6991118431 unidades. Ambos vêm do mesmo raio e ângulo, mas respondem a perguntas diferentes.

Um segmento circular é a região delimitada por um arco e sua corda. Imagine uma fatia do círculo cortada por uma linha reta: a borda curva é o arco, a borda reta é a corda, e a área entre elas é o segmento. Ele é menor do que o setor, porque o setor também inclui o triângulo formado pelos dois raios e a corda.

A área do segmento é a área do setor menos a área triangular entre os dois raios e a corda:

Aqui, θ é a varredura central em radianos, entre 0 e 2π. A fórmula trata corretamente os segmentos menor e maior: para um arco menor, ela dá a pequena calota, e para um arco maior, ela dá a grande região que cobre a maior parte do círculo.

Exemplos resolvidos. Para r = 5 unidades e 60°, a área do setor é de 13.0899693900 unidades quadradas e a área do segmento é ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 unidades quadradas. O segmento é muito menor do que o setor, porque o triângulo ocupa a maior parte da fatia. Para r = 5 e 90°, o segmento é de 7.1349540849 unidades quadradas. Para r = 8 e 90°, o segmento é de 18.2654824574 unidades quadradas.

Casos especiais. A 180°, sin θ = 0, então a área do segmento é igual à área do setor: ½ πr². Para r = 5, ambas são 39.2699081699 unidades quadradas, o que é exatamente metade do círculo. A 270°, sin θ = -1, então o segmento é maior do que o setor: para r = 5, o setor é de 58.9048622548 unidades quadradas e o segmento é de 71.4048622548 unidades quadradas. A 360°, a corda desaparece e o segmento é o círculo inteiro, πr².

Segmento vs setor, em uma linha. O setor é a fatia a partir do centro. O segmento é a calota além da corda. Se o seu problema envolve o centro, você quer o setor. Se envolve apenas o arco e sua corda, você quer o segmento.

Graus e radianos são duas unidades para a mesma coisa, o ângulo. Os graus dividem uma volta completa em 360 partes iguais. Os radianos medem um ângulo pelo arco que ele delimita, em unidades do raio. Os dois estão ligados por uma única conversão: π radianos equivalem a 180°.

As fórmulas de conversão são:

Conversões resolvidas. 120° em radianos é 120 × π / 180 = 2.0943951024 radianos. 45° é 45 × π / 180 = 0.7853981634 radianos. No sentido contrário, 1 radiano é 1 × 180 / π = 57.2957795131°, e 2 radianos são 114.5915590262°. Esse último valor é útil: um arco fica mais longo do que o diâmetro exatamente quando o ângulo passa de 2 radianos.

Qual unidade você deve usar? Use graus quando o problema der graus, e radianos quando der radianos. A calculadora aceita os dois, e o seletor DEG/RAD converte seu ângulo sem alterar o arco. Para o cálculo manual, os graus combinam com a forma de fração L = πrθ / 180, enquanto os radianos combinam com a forma limpa L = rθ. De qualquer forma, nunca misture os dois em uma fórmula.

Às vezes, nem o raio nem o diâmetro são dados. A calculadora trabalha de trás para frente a partir de outras quatro medidas, derivando o raio primeiro e depois aplicando L = rθ como de costume. Os seis métodos dão o mesmo raio e o mesmo comprimento de arco para o mesmo círculo, então você pode usar a medida que realmente tem.

A partir da circunferência completa do círculo. A circunferência completa é C = 2πr, então r = C / (2π). Para C = 31.4159265359 unidades, r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 unidades. Depois, um arco de 60° é L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unidades. Observe o atalho: um arco de 60° é um sexto da circunferência, e 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 unidades.

A partir do comprimento da corda. A fórmula da corda é c = 2r sin(θ / 2), então r = c / [2 sin(θ / 2)]. Para uma corda de 5 unidades com um ângulo de 60°, r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 unidades. Depois, L = 5.2359877560 unidades. A entrada por corda só funciona quando o ângulo está estritamente entre 0° e 360°: a 0° ou 360°, a corda é zero e nenhum raio pode ser recuperado, por isso a calculadora rejeita esses ângulos para este método.

A partir da área completa do círculo. A área de um círculo completo é A = πr², então r = √(A / π). Para A = 78.5398163397 unidades quadradas, r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 unidades. Depois, um arco de 60° é L = 5.2359877560 unidades. Você pode verificar o raio colocando-o de volta na fórmula da área: π × 25 = 78.5398163397 unidades quadradas.

A partir da área do setor. A área do setor é A = ½r²θ, então r = √(2A / θ) com θ em radianos. Para uma área de setor de 13.0899693900 unidades quadradas com um ângulo de 60°, θ = 1.0471975512 radianos, então r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 unidades. Depois, L = 5.2359877560 unidades. Este método precisa do ângulo além da área, porque a mesma área de setor pode vir de muitas combinações de raio e ângulo.

Qual entrada usar. Use a medida que você realmente tem. Se duas medidas diferentes derem raios diferentes, uma das medidas está errada, e essa divergência vale a pena investigar antes de confiar em qualquer uma das respostas.

O comprimento do arco não é um exercício abstrato de sala de aula. Em qualquer lugar em que uma distância curva em um círculo precise ser medida, cortada, construída ou percorrida, a mesma fórmula se aplica.

Engenharia e manufatura. A dobra de tubos começa com o comprimento do arco: um tubo dobrado em 90° com um raio de dobra de 8 unidades precisa de 12.5663706144 unidades de tubo apenas para a dobra. A chapa metálica enrolada em um painel curvo, o perfil de um dente de engrenagem e a forma de um came precisam do comprimento curvo antes que o material seja cortado. Errar desperdiça material ou deixa uma peça curta.

Arquitetura e construção. Portas em arco, janelas circulares, cúpulas e escadas curvas são dimensionadas por seus arcos. Um arco semicircular com raio de 10 unidades precisa de 31.4159265359 unidades de acabamento ao longo da curva. Um pedido de borda para um canteiro de jardim circular precisa do arco para o lado curvo e do diâmetro para o lado reto, que são números diferentes.

Estradas e pistas. Uma curva circular de estrada, uma curva de pista de corrida ou uma curva de ferrovia é projetada por raio e ângulo central. O comprimento da curva decide a quantidade de asfalto, o comprimento do trilho e a distância que um veículo percorre na curva. Uma curva de 120° com raio de 7 unidades tem 14.6607657168 unidades de comprimento.

Relógios, rodas e robótica. Um ponteiro de relógio varre um arco com o passar do tempo. Uma roda rolando pelo chão cobre uma distância igual ao arco por onde gira. Um braço de robô girando em torno de uma junta move sua garra ao longo de um arco circular, e a distância percorrida é rθ, e é por isso que os radianos são a unidade natural na robótica.

Computação gráfica e CAD. As curvas em modelos CAD, fontes e animações são construídas a partir de arcos circulares. O comprimento de um arco decide como um caminho de ferramenta é dividido, como uma curva é renderizada e quão longe um objeto se move ao longo de um caminho circular em uma animação.

Uma nota sobre formas reais. Nem toda estrutura curva é um círculo perfeito. Arcos reais podem ser elípticos ou parabólicos, e estradas reais usam transições clotoides. As fórmulas de círculo nesta página se aplicam exatamente quando a curva é um verdadeiro arco circular, e são uma boa aproximação apenas quando a curva é próxima de circular. Confirme sempre a forma antes de aplicar a fórmula.

A maioria das respostas erradas em comprimento de arco de círculo vem de uma pequena lista de erros. Verificar cada um deles leva segundos e evita a maioria dos erros.

1. Usar o diâmetro em vez do raio. A fórmula precisa de r, não de d. Usar d = 14 como raio dobra a resposta: 29.3215314336 em vez de 14.6607657168 para um arco de 120°. Divida o diâmetro pela metade primeiro.
2. Esquecer de converter graus em radianos. L = rθ precisa de radianos. Colocar 60° diretamente dá 5 × 60 = 300 em vez de 5.2359877560. Converta primeiro, ou use L = πrθ / 180.
3. Confundir o ângulo central com um ângulo inscrito. Um ângulo inscrito é metade do ângulo central que subtende o mesmo arco. Se um problema der um ângulo inscrito φ, o ângulo central é θ = 2φ, e o arco é L = r × 2φ. Usar φ diretamente divide a resposta pela metade.
4. Misturar arcos maior e menor. Um ângulo de 270° dá um arco maior de 18.8495559215 unidades para r = 4. Usar o ângulo menor de 90° em vez dele dá 6.2831853072 unidades, o arco menor. Verifique qual arco o problema pede.
5. Confundir comprimento de arco com comprimento de corda. A corda é a linha reta, sempre mais curta do que o arco. Para r = 5 e 180°, a corda é de 10 unidades e o arco é de 15.7079632679 unidades. Eles são iguais apenas no caso limite de comprimento zero.
6. Confundir área do setor com comprimento de arco. A área do setor é uma região bidimensional em unidades quadradas. O comprimento do arco é uma distância unidimensional em unidades simples. Para r = 5 e 60°, a área do setor é de 13.0899693900 unidades quadradas e o arco é de 5.2359877560 unidades. Grandezas diferentes, unidades diferentes.
7. Usar as unidades de medida erradas. Um raio em cm e um ângulo em graus está certo, mas a resposta sai em cm. Misturar cm e polegadas em um cálculo, ou esquecer de converter a unidade de saída, dá um número com o tamanho errado. Converta primeiro, calcule depois.
8. Arredondar π cedo demais. Substituir π por 3.14 antes de multiplicar introduz um erro que cresce com o raio. Mantenha o π de precisão total durante o cálculo e arredonde apenas o resultado final exibido.
9. Esquecer que um círculo completo representa 360°. Um ângulo de 360° é a circunferência completa, 2πr, não zero. Um ângulo de 0° é o arco de comprimento zero. Os dois parecem semelhantes em um diagrama, porque os pontos finais coincidem, mas seus comprimentos de arco são os mais diferentes possíveis.
10. Usar o intervalo de ângulo errado. As fórmulas de comprimento de arco para um círculo assumem que a varredura está entre 0° e 360°. Um ângulo de 450° não é uma única varredura válida em um círculo: é uma volta completa mais 90°, e o arco para um círculo é o resto de 90°, 12.5663706144 unidades para r = 8.

Uma verificação final que detecta a maioria deles. Verifique o resultado com a circunferência. O arco deve estar entre 0 e 2πr, deve ser mais longo do que a corda, e os arcos menor e maior devem somar exatamente 2πr. Se alguma dessas verificações falhar, um dos dez erros acima é a causa.

Estes seis exemplos cobrem os principais métodos de entrada da calculadora e os tipos de arco. Cada um é calculado pelo mesmo motor que alimenta a ferramenta, e cada resultado foi verificado de forma independente.

Exemplo 1: Arco menor com raio 5 e 60°. Dados r = 5 unidades, θ = 60° = π / 3 radianos. Comprimento de arco L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unidades. Diâmetro d = 10 unidades. Corda c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 unidades. Área do setor A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 unidades quadradas. Circunferência completa C = 31.4159265359 unidades.

Exemplo 2: Arco de um quarto de círculo com raio 8 e 90°. Dados r = 8 unidades, θ = 90° = π / 2 radianos. Comprimento de arco L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unidades. Corda c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 unidades. Área do setor A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 unidades quadradas. O arco é exatamente um quarto da circunferência de 50.2654824574 unidades.

Exemplo 3: Arco maior com raio 4 e 270°. Dados r = 4 unidades, θ = 270° = 3π / 2 radianos. Comprimento de arco L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 unidades. Corda c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 unidades. Área do setor A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 unidades quadradas. O arco menor complementar, usando 90°, é de 6.2831853072 unidades. Os dois arcos somam 25.1327412287 unidades, a circunferência completa.

Exemplo 4: Arco a partir do diâmetro 14 e 120°. Dados d = 14 unidades, θ = 120° = 2π / 3 radianos. Raio r = 14 / 2 = 7 unidades. Comprimento de arco L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 unidades. Corda c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 unidades. Área do setor A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 unidades quadradas. A área do segmento é de 30.0950576159 unidades quadradas.

Exemplo 5: Semicírculo com raio 10 e 180°. Dados r = 10 unidades, θ = 180° = π radianos. Comprimento de arco L = 10 × π = 31.4159265359 unidades. Corda c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 unidades, o diâmetro. Área do setor A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 unidades quadradas, exatamente metade da área do círculo completo. O arco é π / 2 vezes o diâmetro, cerca de 57.08% mais longo do que a linha reta através do círculo.

Exemplo 6: Círculo completo com raio 6 e 360°. Dados r = 6 unidades, θ = 360° = 2π radianos. Comprimento de arco L = 6 × 2π = 37.6991118431 unidades, que é a circunferência completa. Corda c = 0, porque os pontos finais coincidem. Área do setor A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 unidades quadradas, a área do círculo completo. A porcentagem do arco é de 100%.

Clique em qualquer botão de exemplo na calculadora para carregar um destes exemplos e ver a solução completa passo a passo, o diagrama ao vivo e todos os resultados secundários para essa entrada.