Калькулятор длины дуги окружности

Калькулятор длины дуги окружности измеряет расстояние вдоль кривой любой части окружности, от маленького среза до полной длины окружности. Он принимает шесть разных исходных измерений, поэтому вы можете использовать то значение, которое у вас уже есть. Выполните эти шаги, чтобы получить правильный ответ меньше чем за минуту.

1. Выберите способ ввода. Выберите «Радиус», «Диаметр», «Длина окружности полного круга», «Длина хорды», «Площадь полного круга» или «Площадь сектора». Поле ввода, его подпись и список единиц изменятся в соответствии с выбранным способом.
2. Введите измерение. Введите значение в поле ввода. Для способов с площадью используйте список квадратных единиц (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Введите центральный угол. Введите угол в градусах или радианах с помощью переключателя DEG/RAD или перетащите ползунок угла от 0° до 360°. Живая диаграмма и результат обновляются по мере перемещения ползунка.
4. При необходимости задайте начальный и конечный углы. По умолчанию развёртка начинается с 0° и идёт против часовой стрелки. Измените начальный угол, конечный угол или направление, чтобы измерить дугу в любом месте окружности. Длину дуги определяет развёртка, а не положение.
5. Выберите входную и выходную единицы. Калькулятор переводит ввод в единую внутреннюю единицу, выполняет вычисление, а затем переводит ответ в выходную единицу. Число меняется вместе с единицей, а длина нет.
6. Выберите точность. Выберите 2, 4, 6 или 8 знаков после запятой. По умолчанию 4. Калькулятор всегда использует полное значение π внутри и округляет только отображаемый результат.
7. Нажмите «Рассчитайте сейчас». Главный результат это длина выбранной дуги с её классификацией: дуга нулевой длины, малая дуга, полуокружность, большая дуга или полный круг. Ниже вы получите радиус, диаметр, полную длину окружности, дополнительную дугу, длину хорды, площадь сектора, площадь кругового сегмента, процент дуги, обе формы угла и отношение дуги к хорде.
8. Изучите диаграмму. Живая диаграмма окружности рисует полную окружность, выделяет выбранную дугу золотым цветом и отмечает центр O, линии радиуса, хорду и конечные точки. Используйте переключатели, чтобы показать или скрыть радиус, диаметр, хорду, центральную точку, маркер угла, а также малую и большую дуги.
9. Скопируйте, распечатайте или сбросьте. Используйте «Копировать результат», чтобы поместить ответ в буфер обмена, «Печать сводки» для простого отчёта или «Перезагрузить», чтобы очистить панель. Кнопки готовых примеров мгновенно загружают проверенные примеры.

Попробуйте пример. Радиус 5 при угле 60° даёт дугу 5.2359877560 единиц. Радиус 8 при 90° даёт 12.5663706144 единиц. Радиус 4 при 270° даёт большую дугу 18.8495559215 единиц. Диаметр 14 при 120° даёт 14.6607657168 единиц. Радиус 10 при 180° даёт дугу полуокружности 31.4159265359 единиц, а радиус 6 при 360° даёт полную длину окружности 37.6991118431 единиц.

Важные советы. Сохраняйте единицу угла одинаковой: 60° и 1.0471975512 радиан это один и тот же угол, а 60 радиан это не 60°. Длина дуги это только расстояние вдоль кривой; хорда это другое измерение, и она всегда короче, кроме дуги нулевой длины. Если вы вводите диаметр, калькулятор сначала делит его пополам, чтобы найти радиус. Нулевое или отрицательное измерение это не допустимая окружность, поэтому калькулятор отклоняет его вместо того, чтобы показывать вводящий в заблуждение ответ.

Окружность это множество всех точек, находящихся на фиксированном расстоянии, радиусе, от центральной точки O. Дуга это непрерывная часть окружности между двумя точками на ней. Длина дуги это расстояние, которое вы прошли бы, если бы шли вдоль кривой от одной конечной точки к другой, всё время оставаясь на окружности.

Представьте круговую беговую дорожку. Длина дуги это расстояние вдоль дорожки между двумя воротами. Прямая линия, пересекающая внутреннее поле между теми же двумя воротами, это хорда, и она короче. Разница важна: бегун следует по кривой, поэтому значение имеет расстояние вдоль кривой.

У каждой окружности одни и те же части, масштабированные её радиусом. Центр O это фиксированная точка. Радиус r идёт от O до любой точки на окружности. Диаметр d идёт от одной стороны к другой через O, и он всегда вдвое больше радиуса. Длина окружности C это расстояние по всему кругу, C = 2πr. Центральный угол θ это угол при O между двумя радиусами, идущими к конечным точкам дуги, и он определяет, какую долю длины окружности покрывает дуга.

Две точки на окружности всегда создают две дуги: более короткую, малую дугу, и более длинную, большую дугу. Вместе они составляют полную длину окружности. Какая из них вам нужна, зависит от вашей задачи, а калькулятор показывает обе, поэтому вам никогда не придётся гадать.

Длина дуги это одномерное измерение, длина, поэтому она указывается в обычных единицах, таких как см, м или дюймы. Это не площадь и не угол. Держать эти три величины отдельно это первый шаг к тому, чтобы каждое вычисление для окружности было правильным.

Длина дуги окружности выводится прямо из длины окружности полного круга. Длина окружности полного круга равна:

Центральный угол представляет собой долю полного оборота 360°. Дуга с центральным углом θ покрывает долю θ / 360 всего круга, поэтому:

Упрощение даёт формулу в градусах:

Когда угол измеряется в радианах, формула становится ещё проще, потому что радиан определяется самим радиусом:

Каждый символ в формулах имеет точное значение:

Обе формы дают один и тот же ответ. Используйте L = πrθ / 180, когда угол дан в градусах, и L = rθ, когда он дан в радианах. Калькулятор сначала переводит градусы в радианы, а затем использует L = rθ внутри, поэтому два режима всегда согласуются.

Использование диаметра вместо радиуса даёт вторую форму той же формулы. Поскольку d = 2r, то r = d / 2, и подстановка даёт L = dθ / 2 в радианах или L = πdθ / 360 в градусах.

Радиус плюс центральный угол это самый прямой способ найти длину дуги. В разобранном примере ниже используются радиус 5 единиц и центральный угол 60°.

1. Определите радиус. r = 5 единиц.
2. Определите центральный угол. θ = 60°.
3. Переведите градусы в радианы. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 радиан.
4. Запишите формулу длины дуги. L = rθ.
5. Подставьте значения. L = 5 × π / 3.
6. Вычислите. L = 5.2359877560 единиц.
7. При необходимости округлите. До двух знаков после запятой L = 5.24 единиц.

Те же шаги работают для любого радиуса и угла. Радиус 8 единиц при 90° даёт L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 единиц. Радиус 3 единицы при 60° даёт L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 единиц. Радиус 1 единица при 60° даёт L = 1.0471975512 единиц, что равно точно π / 3, полезная проверка: при r = 1 длина дуги равна углу в радианах.

Правило округления. Округляйте только в конце. Если заменить π на 3.14 до умножения, радиус 5 при 60° даёт 5.2333333333 вместо 5.2359877560, ошибку 0.0026544227. Эта ошибка растёт вместе с радиусом, поэтому сохраняйте полную точность на протяжении вычисления и округляйте только конечный отображаемый результат.

Когда вместо радиуса известен диаметр, сначала разделите его пополам, а затем примените ту же формулу. В разобранном примере ниже используются диаметр 14 единиц и центральный угол 120°.

1. Определите диаметр. d = 14 единиц.
2. Найдите радиус. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 единиц.
3. Определите центральный угол. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 радиан.
4. Запишите формулу. L = rθ или напрямую L = πdθ / 360.
5. Подставьте. L = 7 × 2.0943951024 или L = π × 14 × 120 / 360.
6. Вычислите. L = 14.6607657168 единиц.
7. При необходимости округлите. До двух знаков после запятой L = 14.66 единиц.

Оба пути дают точное совпадение, и это хорошая самопроверка. Путь через радиус даёт 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Путь через диаметр даёт π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Если они не совпадают, диаметр был разделён пополам неправильно.

Другой пример: диаметр 20 единиц при 180° даёт r = 10 единиц, поэтому L = π × 10 = 31.4159265359 единиц, дуга полуокружности. Диаметр 10 единиц при 60° даёт r = 5 единиц, поэтому L = 5.2359877560 единиц. Самая распространённая ошибка в этом вычислении это забыть деление на два и использовать диаметр так, как будто это радиус, что удваивает ответ. При d = 14 эта ошибка даёт 29.3215314336 вместо 14.6607657168.

Совет по измерению. Диаметры в реальной жизни часто измерить легче, чем радиусы, потому что можно измерить прямо поперёк окружности. Поэтому калькулятор принимает ввод диаметра напрямую: измерьте поперёк, введите значение, и калькулятор сам разделит его пополам.

Градусы это повседневная единица измерения углов. Полный круг содержит 360°, поэтому центральный угол в градусах сразу показывает, какую долю полного круга покрывает ваша дуга. Угол 90° покрывает одну четверть окружности, 180° покрывает половину, а 270° покрывает три четверти.

Формула в градусах это L = πrθ / 180, где θ выражен в градусах. Она следует из идеи доли: θ / 360 длины окружности 2πr, после упрощения.

Разобранный пример. Радиус 8 единиц, угол 90°.

1. Определите значения. r = 8 единиц, θ = 90°.
2. Найдите долю окружности. 90 / 360 = 1 / 4, четверть круга.
3. Запишите формулу. L = πrθ / 180.
4. Подставьте. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Вычислите. L = 12.5663706144 единиц.
6. Проверьте по длине окружности. Полная длина окружности равна 2π × 8 = 50.2654824574 единиц, а одна её четверть равна 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 единиц. Они совпадают.

Ещё примеры в градусах при радиусе 5 единиц: 30° даёт L = 2.6179938780 единиц, 45° даёт L = 3.9269908170 единиц, 120° даёт L = 10.4719755120 единиц, а 270° даёт L = 23.5619449019 единиц. Обратите внимание, что удвоение угла удваивает длину дуги при том же радиусе, потому что длина дуги прямо пропорциональна центральному углу.

Распространённая ошибка с градусами. Подстановка значения в градусах напрямую в L = rθ без перевода даёт совершенно неверный ответ. При r = 5 и 60° вычисление без перевода даёт 5 × 60 = 300, а правильный ответ 5.2359877560. Формуле L = rθ нужны радианы, поэтому либо переведите сначала, либо используйте формулу в градусах L = πrθ / 180.

Радиан это угол, который получается, когда длина дуги равна радиусу. Если обернуть вокруг окружности отрезок верёвки, равный радиусу, угол, который он стягивает при центре, равен ровно 1 радиану. Полный круг содержит 2π радиан, около 6.2831853072 радиан, потому что полная длина окружности равна 2πr, а деление на r даёт 2π.

Формула в радианах это L = rθ, самая простая формула длины дуги. В ней нет π, потому что π уже содержится в радианной мере угла.

Разобранный пример. Радиус 5 единиц, угол π / 3 радиан (это 60°).

1. Определите значения. r = 5 единиц, θ = π / 3 = 1.0471975512 радиан.
2. Запишите формулу. L = rθ.
3. Подставьте. L = 5 × 1.0471975512.
4. Вычислите. L = 5.2359877560 единиц.
5. Проверьте по градусам. π / 3 радиан это 60°, а формула в градусах даёт L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 единиц. Они совпадают точно.

Ещё примеры в радианах: радиус 4 единицы при θ = π / 2 радиан даёт L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 единиц. Радиус 6 единиц при θ = π / 4 радиан даёт L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 единиц. Радиус 10 единиц при θ = π радиан даёт L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 единиц, дугу полуокружности.

Почему в математике предпочитают радианы. Формулы исчисления для длины дуги и формулы хорды, сектора и площади сегмента на этой странице все используют радианы. Градусы удобны для повседневных измерений, а радианы делают математику чистой, поэтому калькулятор переводит каждый угол в радианы перед вычислением.

Две точки на окружности делят её на две дуги. Более короткая это малая дуга, а более длинная это большая дуга. У них общие конечные точки, и вместе они составляют полную длину окружности.

Центральный угол решает, какая из них какая. Центральный угол меньше 180° даёт малую дугу. Центральный угол больше 180° даёт большую дугу. Ровно 180° даёт полуокружность, которая не является ни малой, ни большой: обе дуги равны.

Малая и большая дуги дополняют друг друга. При меньшем центральном угле θ малая дуга равна Lminor = rθ, а большая дуга равна Lmajor = r(2π - θ). Их сумма всегда равна полной длине окружности:

Разобранный пример. Радиус 5 единиц, меньший угол 60°. Малая дуга равна L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 единиц. Большая дуга использует рефлексный угол 360° - 60° = 300°, поэтому L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 единиц. Сумма равна 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 единиц, что равно точно длине окружности 2π × 5. Малая дуга составляет 16.67% окружности, а большая дуга 83.33%.

Другой пример. Радиус 4 единицы, угол 270°. Это уже большая дуга: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 единиц. Её дополнительная малая дуга использует 90°: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 единиц. Сумма равна 25.1327412287 единиц, полной длине окружности 2π × 4.

Не путайте два угла. Самая распространённая ошибка с малой и большой дугами это использовать меньший угол, когда задача просит большую дугу, или наоборот. Всегда проверяйте, дан ли вам меньший угол или рефлексный, и помните, что калькулятор показывает обе дуги рядом, чтобы вы могли выбрать ту, которая нужна вашей задаче.

Длина дуги и длина хорды соединяют одни и те же две точки на окружности, но идут разными путями. Дуга следует по кривой. Хорда пересекает прямо. Дуга почти всегда длиннее.

Формулы ясно показывают разницу:

Хорда зависит от синуса половины угла, который растёт медленнее самого угла, поэтому разрыв между дугой и хордой увеличивается по мере роста угла.

Три факта из таблицы стоит запомнить. При 30° дуга всего примерно на 1.15% длиннее хорды, поэтому при малых углах они близки. При 180° хорда это диаметр, 10 единиц, а дуга равна πr = 15.7079632679 единиц. При 270° хорда снова уменьшается до 7.0710678119 единиц, как при 90°, потому что хорда зависит от меньшего угла между конечными точками, а дуга продолжает расти вместе с развёрткой.

Особый случай. При 60° хорда равна радиусу точно: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. При r = 5 хорда равна 5 единиц, а радиус, хорда и два радиуса образуют равносторонний треугольник. Это удобная проверка и любимый приём составителей экзаменов.

Почему это важно. Если вы режете изогнутую трубу, вам нужна длина дуги. Если вы измеряете прямой зазор между двумя точками на круглой детали, вам нужна хорда. Путать их это одна из самых распространённых ошибок с окружностью, а калькулятор показывает оба значения вместе, поэтому разница всегда видна.

Длина дуги и площадь сектора звучат похоже, но они измеряют разные вещи. Длина дуги это одномерное расстояние вдоль кривой, измеряемое в обычных единицах. Площадь сектора это двумерная область, клин круга, вырезанный двумя радиусами и дугой, измеряемая в квадратных единицах.

Формулы выглядят похоже, и именно поэтому их путают:

Площадь сектора равна длине дуги, умноженной на половину радиуса: A = ½ × r × L. Эта связь полезна для проверки. При радиусе 5 единиц и 60° дуга равна 5.2359877560 единиц, а площадь сектора равна ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 квадратных единиц.

Единицы это подсказка. Если ответ должен быть длиной, единица это см, м или дюймы. Если это площадь, единица это см², м² или квадратные дюймы. Ответ о длине дуги в квадратных единицах или ответ о площади сектора в обычных единицах точно неверен. Калькулятор держит их отдельно и чётко подписывает единицы.

Проверка полным кругом. При 360° сектор это весь круг, поэтому площадь сектора должна равняться πr². При r = 6, π × 36 = 113.0973355292 квадратных единиц. Дуга при этом равна полной длине окружности, 37.6991118431 единиц. Обе величины происходят от одного радиуса и угла, но они отвечают на разные вопросы.

Круговой сегмент это область, ограниченная дугой и её хордой. Представьте срез круга, отрезанный прямой линией: изогнутый край это дуга, прямой край это хорда, а площадь между ними это сегмент. Он меньше сектора, потому что сектор также включает треугольник, образованный двумя радиусами и хордой.

Площадь сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника между двумя радиусами и хордой:

Здесь θ это центральная развёртка в радианах, от 0 до 2π. Формула правильно работает и для малых, и для больших сегментов: для малой дуги она даёт маленькую крышку, а для большой дуги даёт большую область, покрывающую большую часть круга.

Разобранные примеры. При r = 5 единиц и 60° площадь сектора равна 13.0899693900 квадратных единиц, а площадь сегмента равна ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 квадратных единиц. Сегмент намного меньше сектора, потому что треугольник занимает большую часть клина. При r = 5 и 90° сегмент равен 7.1349540849 квадратных единиц. При r = 8 и 90° сегмент равен 18.2654824574 квадратных единиц.

Особые случаи. При 180° sin θ = 0, поэтому площадь сегмента равна площади сектора: ½ πr². При r = 5 обе равны 39.2699081699 квадратных единиц, что равно ровно половине круга. При 270° sin θ = -1, поэтому сегмент больше сектора: при r = 5 сектор равен 58.9048622548 квадратных единиц, а сегмент равен 71.4048622548 квадратных единиц. При 360° хорда исчезает, и сегмент это весь круг, πr².

Сегмент и сектор в одной строке. Сектор это клин от центра. Сегмент это крышка за хордой. Если ваша задача связана с центром, вам нужен сектор. Если она связана только с дугой и её хордой, вам нужен сегмент.

Градусы и радианы это две единицы для одного и того же, угла. Градусы делят полный оборот на 360 равных частей. Радианы измеряют угол по дуге, которую он отсекает, в единицах радиуса. Их связывает одно преобразование: π радиан равно 180°.

Формулы перевода такие:

Разобранные переводы. 120° в радианах это 120 × π / 180 = 2.0943951024 радиан. 45° это 45 × π / 180 = 0.7853981634 радиан. В обратную сторону 1 радиан это 1 × 180 / π = 57.2957795131°, а 2 радиана это 114.5915590262°. Последнее значение полезно: дуга становится длиннее диаметра ровно тогда, когда угол превышает 2 радиана.

Какую единицу использовать? Используйте градусы, когда задача даёт градусы, и радианы, когда она даёт радианы. Калькулятор принимает обе, а переключатель DEG/RAD переводит ваш угол, не меняя дугу. Для ручного вычисления градусы подходят для дробной формы L = πrθ / 180, а радианы подходят для чистой формы L = rθ. В любом случае никогда не смешивайте их в одной формуле.

Иногда не даны ни радиус, ни диаметр. Калькулятор работает в обратную сторону от четырёх других измерений, сначала выводя радиус, а затем применяя L = rθ, как обычно. Все шесть способов дают один и тот же радиус и одну и ту же длину дуги для одной и той же окружности, поэтому вы можете использовать то измерение, которое у вас действительно есть.

По длине окружности полного круга. Полная длина окружности равна C = 2πr, поэтому r = C / (2π). При C = 31.4159265359 единиц r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 единиц. Тогда дуга 60° равна L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 единиц. Обратите внимание на короткий путь: дуга 60° это одна шестая длины окружности, а 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 единиц.

По длине хорды. Формула хорды это c = 2r sin(θ / 2), поэтому r = c / [2 sin(θ / 2)]. При хорде 5 единиц и угле 60° r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 единиц. Тогда L = 5.2359877560 единиц. Ввод хорды работает только тогда, когда угол строго между 0° и 360°: при 0° или 360° хорда равна нулю, и радиус восстановить нельзя, поэтому калькулятор отклоняет эти углы для этого способа.

По площади полного круга. Площадь полного круга равна A = πr², поэтому r = √(A / π). При A = 78.5398163397 квадратных единиц r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 единиц. Тогда дуга 60° равна L = 5.2359877560 единиц. Радиус можно проверить, подставив его обратно в формулу площади: π × 25 = 78.5398163397 квадратных единиц.

По площади сектора. Площадь сектора равна A = ½r²θ, поэтому r = √(2A / θ), где θ в радианах. При площади сектора 13.0899693900 квадратных единиц и угле 60° θ = 1.0471975512 радиан, поэтому r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 единиц. Тогда L = 5.2359877560 единиц. Этому способу нужен и угол, и площадь, потому что одна и та же площадь сектора может получиться из многих комбинаций радиуса и угла.

Какой ввод использовать. Используйте то измерение, которое у вас действительно есть. Если два разных измерения дают разные радиусы, одно из измерений неверно, и это расхождение стоит изучить, прежде чем доверять любому из ответов.

Длина дуги это не абстрактное классное упражнение. Везде, где кривое расстояние на окружности нужно измерить, разрезать, построить или пройти, применяется одна и та же формула.

Инженерия и производство. Гибка труб начинается с длины дуги: труба, согнутая на 90° при радиусе изгиба 8 единиц, требует 12.5663706144 единиц трубы только на изгиб. Листовой металл, свёрнутый в изогнутую панель, профиль зуба шестерни и форма кулачка все требуют кривой длины до разрезания материала. Ошибка здесь тратит материал впустую или оставляет деталь короткой.

Архитектура и строительство. Арочные дверные проёмы, круглые окна, купола и винтовые лестницы измеряются по их дугам. Полукруглая арка с радиусом 10 единиц требует 31.4159265359 единиц отделки вдоль кривой. Для заказа бордюра круглой клумбы нужна дуга для изогнутой стороны и диаметр для прямой стороны, и это разные числа.

Дороги и трассы. Круглая кривая дороги, поворот беговой дорожки или кривая железной дороги размечаются по радиусу и центральному углу. Длина кривой определяет количество асфальта, длину рельса и расстояние, которое транспорт проходит через поворот. Кривая 120° с радиусом 7 единиц имеет длину 14.6607657168 единиц.

Часы, колёса и робототехника. Стрелка часов описывает дугу с течением времени. Колесо, катящееся по земле, проходит расстояние, равное дуге, через которую оно поворачивается. Рука робота, вращающаяся вокруг сустава, перемещает захват по круговой дуге, а расстояние, которое он проходит, равно rθ, поэтому радианы это естественная единица в робототехнике.

Компьютерная графика и САПР. Кривые в моделях САПР, шрифтах и анимациях строятся из круговых дуг. Длина дуги определяет, как делится траектория инструмента, как отрисовывается кривая и как далеко объект перемещается по круговому пути в анимации.

Замечание о реальных формах. Не каждая изогнутая конструкция это идеальная окружность. Реальные арки могут быть эллиптическими или параболическими, а реальные дороги используют переходные кривые клотоиды. Формулы окружности на этой странице применяются точно, когда кривая это настоящая круговая дуга, и они являются хорошим приближением только тогда, когда кривая близка к круговой. Всегда подтверждайте форму, прежде чем применять формулу.

Большинство неверных ответов о длине дуги окружности происходят из небольшого списка ошибок. Проверка каждой из них занимает секунды и спасает от большинства ошибок.

1. Использование диаметра вместо радиуса. Формуле нужен r, а не d. Использование d = 14 как радиуса удваивает ответ: 29.3215314336 вместо 14.6607657168 для дуги 120°. Сначала разделите диаметр пополам.
2. Забыли перевести градусы в радианы. Формуле L = rθ нужны радианы. Подстановка 60° напрямую даёт 5 × 60 = 300 вместо 5.2359877560. Переведите сначала или используйте L = πrθ / 180.
3. Путаница центрального угла со вписанным углом. Вписанный угол равен половине центрального угла, стягивающего ту же дугу. Если задача даёт вписанный угол φ, центральный угол равен θ = 2φ, а дуга равна L = r × 2φ. Использование φ напрямую уменьшает ответ вдвое.
4. Смешивание большой и малой дуг. Угол 270° даёт большую дугу 18.8495559215 единиц при r = 4. Использование меньшего угла 90° вместо него даёт 6.2831853072 единиц, малую дугу. Проверьте, какую дугу просит задача.
5. Путаница длины дуги с длиной хорды. Хорда это прямая линия, всегда короче дуги. При r = 5 и 180° хорда равна 10 единиц, а дуга равна 15.7079632679 единиц. Они равны только в предельном случае нулевой длины.
6. Путаница площади сектора с длиной дуги. Площадь сектора это двумерная область в квадратных единицах. Длина дуги это одномерное расстояние в обычных единицах. При r = 5 и 60° площадь сектора равна 13.0899693900 квадратных единиц, а дуга равна 5.2359877560 единиц. Разные величины, разные единицы.
7. Использование неверных единиц измерения. Радиус в см и угол в градусах это нормально, но ответ получается в см. Смешивание см и дюймов в одном вычислении или забытая конвертация выходной единицы даёт число неверного размера. Сначала переведите, потом вычисляйте.
8. Слишком раннее округление π. Замена π на 3.14 до умножения вносит ошибку, которая растёт вместе с радиусом. Сохраняйте полное значение π на протяжении вычисления и округляйте только конечный отображаемый результат.
9. Забыли, что полный круг это 360°. Угол 360° это полная длина окружности, 2πr, а не ноль. Угол 0° это дуга нулевой длины. На диаграмме они выглядят похоже, потому что конечные точки совпадают, но их длины дуг отличаются настолько, насколько возможно.
10. Использование неверного интервала угла. Формулы длины дуги для окружности предполагают, что развёртка находится между 0° и 360°. Угол 450° это не допустимая одиночная развёртка на одной окружности: это полный оборот плюс 90°, а дуга для одной окружности это остаток 90°, 12.5663706144 единиц при r = 8.

Финальная проверка, которая ловит большинство из них. Проверьте результат по длине окружности. Дуга должна быть между 0 и 2πr, она должна быть длиннее хорды, а малая плюс большая дуги должны давать ровно 2πr. Если любая из этих проверок не проходит, причина в одной из десяти ошибок выше.

Эти шесть примеров охватывают основные способы ввода калькулятора и типы дуг. Каждый из них вычислен тем же движком, который питает инструмент, и каждый результат проверен независимо.

Пример 1: Малая дуга с радиусом 5 и 60°. Дано r = 5 единиц, θ = 60° = π / 3 радиан. Длина дуги L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 единиц. Диаметр d = 10 единиц. Хорда c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 единиц. Площадь сектора A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 квадратных единиц. Полная длина окружности C = 31.4159265359 единиц.

Пример 2: Дуга четверти круга с радиусом 8 и 90°. Дано r = 8 единиц, θ = 90° = π / 2 радиан. Длина дуги L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 единиц. Хорда c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 единиц. Площадь сектора A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 квадратных единиц. Дуга составляет ровно одну четверть длины окружности 50.2654824574 единиц.

Пример 3: Большая дуга с радиусом 4 и 270°. Дано r = 4 единицы, θ = 270° = 3π / 2 радиан. Длина дуги L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 единиц. Хорда c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 единиц. Площадь сектора A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 квадратных единиц. Дополнительная малая дуга при 90° равна 6.2831853072 единиц. Две дуги в сумме дают 25.1327412287 единиц, полную длину окружности.

Пример 4: Дуга по диаметру 14 и 120°. Дано d = 14 единиц, θ = 120° = 2π / 3 радиан. Радиус r = 14 / 2 = 7 единиц. Длина дуги L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 единиц. Хорда c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 единиц. Площадь сектора A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 квадратных единиц. Площадь сегмента равна 30.0950576159 квадратных единиц.

Пример 5: Полуокружность с радиусом 10 и 180°. Дано r = 10 единиц, θ = 180° = π радиан. Длина дуги L = 10 × π = 31.4159265359 единиц. Хорда c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 единиц, диаметр. Площадь сектора A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 квадратных единиц, ровно половина площади полного круга. Дуга в π / 2 раз больше диаметра, примерно на 57.08% длиннее прямой линии поперёк.

Пример 6: Полный круг с радиусом 6 и 360°. Дано r = 6 единиц, θ = 360° = 2π радиан. Длина дуги L = 6 × 2π = 37.6991118431 единиц, что равно полной длине окружности. Хорда c = 0, потому что конечные точки совпадают. Площадь сектора A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 квадратных единиц, площадь полного круга. Процент дуги равен 100%.

Нажмите любую кнопку готового примера в калькуляторе, чтобы загрузить один из этих примеров и увидеть полное пошаговое решение, живую диаграмму и все вторичные результаты для этого ввода.