বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর

বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য ক্যালকুলেটর বৃত্তের যেকোনো অংশের বাঁকা দূরত্ব মাপে, ছোট একটি টুকরো থেকে শুরু করে সম্পূর্ণ পরিধি পর্যন্ত। এটি ছয়টি ভিন্ন শুরুর পরিমাপ গ্রহণ করে, তাই আপনার কাছে যে মানটি আছে সেটিই ব্যবহার করতে পারবেন। এক মিনিটের কম সময়ে সঠিক উত্তর পেতে এই ধাপগুলো অনুসরণ করুন।

1. ইনপুট পদ্ধতি বেছে নিন। ব্যাসার্ধ, ব্যাস, পূর্ণ বৃত্তের পরিধি, জ্যার দৈর্ঘ্য, পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল, বা বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল বেছে নিন। আপনার পছন্দ অনুযায়ী ইনপুট ক্ষেত্র, তার লেবেল ও এককের তালিকা বদলে যাবে।
2. আপনার পরিমাপটি লিখুন। ইনপুট বাক্সে মানটি টাইপ করুন। ক্ষেত্রফলের পদ্ধতির ক্ষেত্রে বর্গ এককের তালিকা ব্যবহার করুন (mm², cm², m², km², in², ft², yd²)।
3. কেন্দ্রীয় কোণটি লিখুন। DEG/RAD টগল ব্যবহার করে ডিগ্রি বা রেডিয়ানে কোণটি টাইপ করুন, অথবা কোণের স্লাইডারটি 0° থেকে 360° পর্যন্ত টেনে নিন। স্লাইডার নাড়ালে লাইভ চিত্র ও ফলাফল সঙ্গে সঙ্গে বদলে যাবে।
4. প্রয়োজন হলে শুরু ও শেষের কোণ ঠিক করুন। ডিফল্ট সুইপ 0° থেকে শুরু হয়ে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে চলে। বৃত্তের যেকোনো জায়গার চাপ মাপতে শুরুর কোণ, শেষের কোণ বা দিক বদলে নিন। চাপের দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করে সুইপ, অবস্থান নয়।
5. ইনপুট ও আউটপুট একক বেছে নিন। ক্যালকুলেটর আপনার ইনপুটকে একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অভ্যন্তরীণ এককে রূপান্তর করে, গণনা করে, তারপর উত্তরটি আপনার আউটপুট এককে রূপান্তর করে। একক বদলালে সংখ্যাটি বদলায়, দৈর্ঘ্য বদলায় না।
6. নির্ভুলতা বেছে নিন। দশমিকের পরে 2, 4, 6, বা 8 ঘর বেছে নিন। ডিফল্ট হলো 4। ক্যালকুলেটর ভেতরে সবসময় পূর্ণ নির্ভুলতার π ব্যবহার করে এবং শুধু দেখানো ফলাফলটিই গোল করে।
7. Calculate Now-এ ক্লিক করুন। মূল ফলাফল হলো নির্বাচিত চাপের দৈর্ঘ্য, তার শ্রেণিবিভাগসহ: শূন্য দৈর্ঘ্যের চাপ, ক্ষুদ্র চাপ, অর্ধবৃত্ত, বৃহৎ চাপ, বা সম্পূর্ণ বৃত্ত। তার নিচে পাবেন ব্যাসার্ধ, ব্যাস, সম্পূর্ণ পরিধি, পরিপূরক চাপ, জ্যার দৈর্ঘ্য, বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল, বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল, চাপের শতাংশ, কোণের দুই রূপ, এবং চাপ-জ্যা অনুপাত।
8. চিত্রটি ঘুরে দেখুন। লাইভ বৃত্তের চিত্রে সম্পূর্ণ বৃত্ত আঁকা হয়, নির্বাচিত চাপটি সোনালি রঙে চিহ্নিত হয়, এবং কেন্দ্র O, ব্যাসার্ধের রেখা, জ্যা ও প্রান্তবিন্দুগুলো দেখানো হয়। ব্যাসার্ধ, ব্যাস, জ্যা, কেন্দ্রবিন্দু, কোণ চিহ্ন, এবং ক্ষুদ্র ও বৃহৎ চাপ দেখাতে বা লুকাতে টগলগুলো ব্যবহার করুন।
9. কপি, প্রিন্ট, বা রিসেট করুন। উত্তরটি ক্লিপবোর্ডে নিতে ফলাফল কপি করুন ব্যবহার করুন, সহজ প্রতিবেদনের জন্য সারাংশ প্রিন্ট করুন, বা প্যানেল পরিষ্কার করতে রিসেট করুন। প্রিসেট বোতামগুলো যাচাই করা উদাহরণ তাৎক্ষণিকভাবে লোড করে।

একটি উদাহরণ চেষ্টা করুন। ব্যাসার্ধ 5 ও 60° কোণে চাপ হয় 5.2359877560 একক। ব্যাসার্ধ 8 ও 90° কোণে হয় 12.5663706144 একক। ব্যাসার্ধ 4 ও 270° কোণে বৃহৎ চাপ হয় 18.8495559215 একক। ব্যাস 14 ও 120° কোণে হয় 14.6607657168 একক। ব্যাসার্ধ 10 ও 180° কোণে অর্ধবৃত্তের চাপ হয় 31.4159265359 একক, এবং ব্যাসার্ধ 6 ও 360° কোণে পূর্ণ পরিধি হয় 37.6991118431 একক।

গুরুত্বপূর্ণ পরামর্শ। কোণের একক সামঞ্জস্যপূর্ণ রাখুন: 60° ও 1.0471975512 রেডিয়ান একই কোণ, কিন্তু 60 রেডিয়ান 60° নয়। চাপের দৈর্ঘ্য শুধু বাঁকা দূরত্ব; জ্যা একটি ভিন্ন পরিমাপ এবং শূন্য দৈর্ঘ্যের চাপ ছাড়া সবসময় ছোট। ব্যাস লিখলে ক্যালকুলেটর প্রথমে সেটিকে অর্ধেক করে ব্যাসার্ধ বের করে। শূন্য বা ঋণাত্মক পরিমাপ বৈধ বৃত্ত নয়, তাই ক্যালকুলেটর বিভ্রান্তিকর উত্তর দেখানোর বদলে সেটি বাতিল করে।

বৃত্ত হলো কেন্দ্রবিন্দু O থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে, অর্থাৎ ব্যাসার্ধ দূরত্বে, অবস্থিত সব বিন্দুর সমষ্টি। চাপ হলো বৃত্তের ওপরের দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী বৃত্তের একটি অবিচ্ছিন্ন অংশ। চাপের দৈর্ঘ্য হলো সেই দূরত্ব যা আপনি এক প্রান্তবিন্দু থেকে অন্য প্রান্তবিন্দু পর্যন্ত বক্ররেখা ধরে হেঁটে গেলে অতিক্রম করবেন, পুরো পথ বৃত্তের ওপর থেকে।

একটি বৃত্তাকার দৌড়ের ট্র্যাক কল্পনা করুন। চাপের দৈর্ঘ্য হলো দুটি গেটের মধ্যবর্তী লেন ধরে দূরত্ব। একই দুটি গেটের মধ্যে মাঠের ভেতর দিয়ে কাটা সরলরেখাটি হলো জ্যা, এবং সেটি ছোট। পার্থক্যটি গুরুত্বপূর্ণ: দৌড়বিদ বক্ররেখা ধরে দৌড়ান, তাই বাঁকা দূরত্বই আসল দূরত্ব।

প্রতিটি বৃত্তের একই অংশ থাকে, ব্যাসার্ধ অনুযায়ী বড় বা ছোট। কেন্দ্র O হলো স্থির বিন্দু। ব্যাসার্ধ r কেন্দ্র O থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দু পর্যন্ত যায়। ব্যাস d বৃত্তের এক পাশ থেকে অন্য পাশ পর্যন্ত O-এর ভেতর দিয়ে যায়, এবং এটি সবসময় ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। পরিধি C হলো চারদিকে ঘুরে আসার দূরত্ব, C = 2πr। কেন্দ্রীয় কোণ θ হলো O বিন্দুতে চাপের প্রান্তবিন্দুগুলোতে যাওয়া দুটি ব্যাসার্ধের মধ্যবর্তী কোণ, এবং এটি নির্ধারণ করে চাপটি পরিধির কত ভগ্নাংশ জুড়ে আছে।

বৃত্তের ওপরের দুটি বিন্দু সবসময় দুটি চাপ তৈরি করে: ছোটটি, ক্ষুদ্র চাপ, এবং বড়টি, বৃহৎ চাপ। দুটি মিলে সম্পূর্ণ পরিধি হয়। আপনার সমস্যার জন্য কোনটি দরকার তা নির্ভর করে প্রশ্নের ওপর, এবং ক্যালকুলেটর দুটিই দেখায়, তাই আপনাকে আন্দাজ করতে হয় না।

চাপের দৈর্ঘ্য একটি একমাত্রিক পরিমাপ, একটি দৈর্ঘ্য, তাই এটি cm, m, বা ইঞ্চির মতো সাধারণ এককে প্রকাশ করা হয়। এটি ক্ষেত্রফল নয়, এবং এটি কোণও নয়। এই তিনটি পরিমাণ আলাদা রাখা প্রতিটি বৃত্তের গণনা ঠিক করার প্রথম ধাপ।

বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য সরাসরি পূর্ণ বৃত্তের পরিধি থেকে আসে। একটি সম্পূর্ণ বৃত্তের পরিধি হলো:

একটি কেন্দ্রীয় কোণ সম্পূর্ণ 360° ঘূর্ণনের একটি ভগ্নাংশ নির্দেশ করে। কেন্দ্রীয় কোণ θ বিশিষ্ট একটি চাপ পুরো বৃত্তের θ / 360 ভগ্নাংশ জুড়ে থাকে, তাই:

সরল করলে সূত্রের ডিগ্রি রূপটি পাওয়া যায়:

কোণটি রেডিয়ানে মাপা হলে সূত্রটি আরও সহজ হয়, কারণ রেডিয়ান ব্যাসার্ধ দিয়েই সংজ্ঞায়িত:

সূত্রগুলোর প্রতিটি প্রতীকের একটি সুনির্দিষ্ট অর্থ আছে:

দুটি রূপই একই উত্তর দেয়। কোণ ডিগ্রিতে থাকলে L = πrθ / 180 ব্যবহার করুন, আর রেডিয়ানে থাকলে L = rθ ব্যবহার করুন। ক্যালকুলেটর প্রথমে ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করে তারপর ভেতরে L = rθ ব্যবহার করে, তাই দুটি মোড সবসময় একমত হয়।

ব্যাসার্ধের বদলে ব্যাস ব্যবহার করলে একই সূত্রের দ্বিতীয় রূপ পাওয়া যায়। যেহেতু d = 2r, তাই r = d / 2, এবং বসিয়ে পাওয়া যায় রেডিয়ানে L = dθ / 2, বা ডিগ্রিতে L = πdθ / 360।

ব্যাসার্ধ ও কেন্দ্রীয় কোণ জানা থাকলে চাপের দৈর্ঘ্য বের করা সবচেয়ে সরাসরি উপায়। নিচের সমাধান করা উদাহরণে ব্যাসার্ধ 5 একক ও কেন্দ্রীয় কোণ 60° ব্যবহার করা হয়েছে।

1. ব্যাসার্ধ চিহ্নিত করুন। r = 5 একক।
2. কেন্দ্রীয় কোণ চিহ্নিত করুন। θ = 60°।
3. ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করুন। θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 রেডিয়ান।
4. চাপের দৈর্ঘ্যের সূত্রটি লিখুন। L = rθ।
5. মানগুলো বসান। L = 5 × π / 3।
6. গণনা করুন। L = 5.2359877560 একক।
7. প্রয়োজনমতো গোল করুন। দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত, L = 5.24 একক।

একই ধাপ যেকোনো ব্যাসার্ধ ও কোণের ক্ষেত্রে কাজ করে। ব্যাসার্ধ 8 একক ও 90° কোণে L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 একক। ব্যাসার্ধ 3 একক ও 60° কোণে L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 একক। ব্যাসার্ধ 1 একক ও 60° কোণে L = 1.0471975512 একক, যা ঠিক π / 3, একটি কাজের যাচাই: r = 1 হলে চাপের দৈর্ঘ্য রেডিয়ানে কোণের সমান হয়।

গোল করার নিয়ম। শুধু শেষে গোল করুন। গুণ করার আগে π-এর জায়গায় 3.14 বসালে ব্যাসার্ধ 5 ও 60° কোণে পাওয়া যায় 5.2333333333, 5.2359877560 নয়, অর্থাৎ 0.0026544227 ভুল। এই ভুল ব্যাসার্ধের সঙ্গে বাড়ে, তাই গণনার পুরো সময় পূর্ণ নির্ভুলতা ধরে রাখুন এবং শুধু শেষে দেখানো ফলাফলটি গোল করুন।

ব্যাসার্ধের বদলে ব্যাস জানা থাকলে প্রথমে সেটিকে অর্ধেক করুন, তারপর একই সূত্র প্রয়োগ করুন। নিচের সমাধান করা উদাহরণে ব্যাস 14 একক ও কেন্দ্রীয় কোণ 120° ব্যবহার করা হয়েছে।

1. ব্যাস চিহ্নিত করুন। d = 14 একক।
2. ব্যাসার্ধ বের করুন। r = d / 2 = 14 / 2 = 7 একক।
3. কেন্দ্রীয় কোণ চিহ্নিত করুন। θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 রেডিয়ান।
4. সূত্রটি লিখুন। L = rθ, অথবা সরাসরি L = πdθ / 360।
5. বসান। L = 7 × 2.0943951024, অথবা L = π × 14 × 120 / 360।
6. গণনা করুন। L = 14.6607657168 একক।
7. প্রয়োজনমতো গোল করুন। দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত, L = 14.66 একক।

দুটি পথই ঠিক একই উত্তর দেয়, যা একটি ভালো নিজে যাচাই। ব্যাসার্ধের পথে 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168। ব্যাসের পথে π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168। দুটি না মিললে ব্যাস ঠিকভাবে অর্ধেক করা হয়নি।

আরেকটি উদাহরণ: ব্যাস 20 একক ও 180° কোণে r = 10 একক, তাই L = π × 10 = 31.4159265359 একক, অর্ধবৃত্তের চাপ। ব্যাস 10 একক ও 60° কোণে r = 5 একক, তাই L = 5.2359877560 একক। এই গণনায় সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো দুই দিয়ে ভাগ করতে ভুলে যাওয়া এবং ব্যাসকে ব্যাসার্ধ ধরে ব্যবহার করা, যা উত্তর দ্বিগুণ করে দেয়। d = 14-এর ক্ষেত্রে সেই ভুলে পাওয়া যায় 14.6607657168-এর বদলে 29.3215314336।

মাপার পরামর্শ। বাস্তব জীবনে ব্যাস মাপা প্রায়ই ব্যাসার্ধ মাপার চেয়ে সহজ, কারণ বৃত্তের এপার থেকে ওপার সোজা মাপা যায়। তাই ক্যালকুলেটর সরাসরি ব্যাসের ইনপুট নেয়: আড়াআড়ি মাপুন, লিখুন, আর ক্যালকুলেটর আপনার জন্য সেটিকে অর্ধেক করে দেবে।

ডিগ্রি হলো কোণের দৈনন্দিন একক। একটি সম্পূর্ণ বৃত্তে 360° থাকে, তাই ডিগ্রিতে কেন্দ্রীয় কোণ সরাসরি বলে দেয় আপনার চাপটি পূর্ণ বৃত্তের কত ভগ্নাংশ জুড়ে আছে। 90° কোণ বৃত্তের এক চতুর্থাংশ, 180° কোণ অর্ধেক, এবং 270° কোণ তিন চতুর্থাংশ জুড়ে থাকে।

ডিগ্রির সূত্রটি হলো L = πrθ / 180, যেখানে θ ডিগ্রিতে। এটি ভগ্নাংশের ধারণা থেকে আসে: পরিধি 2πr-এর θ / 360 ভগ্নাংশ, সরল করা হয়েছে।

সমাধান করা উদাহরণ। ব্যাসার্ধ 8 একক, কোণ 90°।

1. মানগুলো চিহ্নিত করুন। r = 8 একক, θ = 90°।
2. বৃত্তের ভগ্নাংশ বের করুন। 90 / 360 = 1 / 4, এক চতুর্থাংশ বৃত্ত।
3. সূত্রটি লিখুন। L = πrθ / 180।
4. বসান। L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2।
5. গণনা করুন। L = 12.5663706144 একক।
6. পরিধির সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন। পূর্ণ পরিধি হলো 2π × 8 = 50.2654824574 একক, এবং তার এক চতুর্থাংশ হলো 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 একক। দুটি মিলে যায়।

ব্যাসার্ধ 5 একক ধরে আরও ডিগ্রির উদাহরণ: 30° কোণে L = 2.6179938780 একক, 45° কোণে L = 3.9269908170 একক, 120° কোণে L = 10.4719755120 একক, এবং 270° কোণে L = 23.5619449019 একক। লক্ষ্য করুন, একই ব্যাসার্ধে কোণ দ্বিগুণ করলে চাপের দৈর্ঘ্যও দ্বিগুণ হয়, কারণ চাপের দৈর্ঘ্য কেন্দ্রীয় কোণের সরাসরি সমানুপাতিক।

সাধারণ ডিগ্রির ভুল। রূপান্তর না করে ডিগ্রির মান সরাসরি L = rθ-তে বসালে ভীষণ ভুল উত্তর আসে। r = 5 ও 60° কোণের ক্ষেত্রে রূপান্তর ছাড়া গণনায় পাওয়া যায় 5 × 60 = 300, কিন্তু সঠিক উত্তর 5.2359877560। সূত্র L = rθ-তে রেডিয়ান দরকার, তাই হয় প্রথমে রূপান্তর করুন, নয়তো ডিগ্রির রূপ L = πrθ / 180 ব্যবহার করুন।

রেডিয়ান হলো সেই কোণ যা পাওয়া যায় যখন চাপের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের সমান হয়। ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের একটি সুতো বৃত্তের গায়ে জড়ালে কেন্দ্রে যে কোণ তৈরি হয় তা ঠিক 1 রেডিয়ান। একটি সম্পূর্ণ বৃত্তে 2π রেডিয়ান থাকে, প্রায় 6.2831853072 রেডিয়ান, কারণ পূর্ণ পরিধি 2πr এবং r দিয়ে ভাগ করলে 2π থাকে।

রেডিয়ানের সূত্রটি হলো L = rθ, সবচেয়ে সহজ চাপের দৈর্ঘ্যের সূত্র। এতে কোনো π নেই, কারণ π ইতিমধ্যে কোণের রেডিয়ান পরিমাপের ভেতরে আছে।

সমাধান করা উদাহরণ। ব্যাসার্ধ 5 একক, কোণ π / 3 রেডিয়ান (যা 60°)।

1. মানগুলো চিহ্নিত করুন। r = 5 একক, θ = π / 3 = 1.0471975512 রেডিয়ান।
2. সূত্রটি লিখুন। L = rθ।
3. বসান। L = 5 × 1.0471975512।
4. গণনা করুন। L = 5.2359877560 একক।
5. ডিগ্রির সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন। π / 3 রেডিয়ান হলো 60°, এবং ডিগ্রির সূত্রে L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 একক। দুটি ঠিক মিলে যায়।

আরও রেডিয়ানের উদাহরণ: ব্যাসার্ধ 4 একক ও θ = π / 2 রেডিয়ান কোণে L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 একক। ব্যাসার্ধ 6 একক ও θ = π / 4 রেডিয়ান কোণে L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 একক। ব্যাসার্ধ 10 একক ও θ = π রেডিয়ান কোণে L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 একক, অর্ধবৃত্তের চাপ।

গণিতে রেডিয়ান কেন পছন্দ করা হয়। চাপের দৈর্ঘ্যের ক্যালকুলাস সূত্র, এবং এই পৃষ্ঠার জ্যা, বৃত্তাংশ ও বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফলের সূত্রগুলো সবই রেডিয়ান ব্যবহার করে। দৈনন্দিন মাপার জন্য ডিগ্রি সুবিধাজনক, কিন্তু রেডিয়ান গণিতকে পরিষ্কার করে, তাই ক্যালকুলেটর গণনার আগে প্রতিটি কোণকে রেডিয়ানে রূপান্তর করে।

বৃত্তের ওপরের দুটি বিন্দু বৃত্তটিকে দুটি চাপে ভাগ করে। ছোটটি হলো ক্ষুদ্র চাপ, আর বড়টি হলো বৃহৎ চাপ। দুটির প্রান্তবিন্দু একই, এবং দুটি মিলে সম্পূর্ণ পরিধি হয়।

কেন্দ্রীয় কোণ নির্ধারণ করে কোনটি কোনটি। 180°-এর কম কেন্দ্রীয় কোণে ক্ষুদ্র চাপ পাওয়া যায়। 180°-এর বেশি কেন্দ্রীয় কোণে বৃহৎ চাপ পাওয়া যায়। ঠিক 180° কোণে অর্ধবৃত্ত পাওয়া যায়, যা ক্ষুদ্রও নয় বৃহৎও নয়: দুটি চাপই সমান।

ক্ষুদ্র ও বৃহৎ চাপ পরস্পরের পরিপূরক। ছোট কেন্দ্রীয় কোণ θ-এর ক্ষেত্রে ক্ষুদ্র চাপ হলো Lminor = rθ এবং বৃহৎ চাপ হলো Lmajor = r(2π - θ)। দুটির যোগফল সবসময় সম্পূর্ণ পরিধি হয়:

সমাধান করা উদাহরণ। ব্যাসার্ধ 5 একক, ছোট কোণ 60°। ক্ষুদ্র চাপ হলো L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 একক। বৃহৎ চাপে প্রতিবর্ত কোণ 360° - 60° = 300° ব্যবহার করা হয়, তাই L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 একক। যোগফল হলো 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 একক, যা ঠিক পরিধি 2π × 5। ক্ষুদ্র চাপ বৃত্তের 16.67% এবং বৃহৎ চাপ 83.33%।

আরেকটি উদাহরণ। ব্যাসার্ধ 4 একক, কোণ 270°। এটি ইতিমধ্যে বৃহৎ চাপ: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 একক। এর পরিপূরক ক্ষুদ্র চাপে 90° ব্যবহার করা হয়: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 একক। যোগফল হলো 25.1327412287 একক, পূর্ণ পরিধি 2π × 4।

দুটি কোণ গুলিয়ে ফেলবেন না। ক্ষুদ্র/বৃহৎ চাপে সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো সমস্যায় বৃহৎ চাপ চাওয়া হলে ছোট কোণটি ব্যবহার করা, বা উল্টোটা। আপনাকে দেওয়া কোণটি ছোট কোণ নাকি প্রতিবর্ত কোণ তা সবসময় যাচাই করুন, এবং মনে রাখুন ক্যালকুলেটর দুটি চাপ পাশাপাশি দেখায় যাতে আপনি আপনার সমস্যার জন্য যেটি দরকার সেটি বেছে নিতে পারেন।

চাপের দৈর্ঘ্য ও জ্যার দৈর্ঘ্য দুটিই বৃত্তের একই দুটি বিন্দুকে যুক্ত করে, কিন্তু দুটি ভিন্ন পথ নেয়। চাপ বক্ররেখা ধরে যায়। জ্যা সোজা কেটে যায়। চাপ প্রায় সবসময় দীর্ঘ হয়।

সূত্রগুলো পার্থক্যটি স্পষ্টভাবে দেখায়:

জ্যা নির্ভর করে অর্ধেক কোণের সাইনের ওপর, যা কোণের চেয়ে ধীরে বাড়ে, তাই কোণ বাড়ার সঙ্গে সঙ্গে চাপ ও জ্যার মধ্যবর্তী ব্যবধান বাড়ে।

সারণি থেকে তিনটি তথ্য মনে রাখার মতো। 30° কোণে চাপ জ্যার চেয়ে মাত্র প্রায় 1.15% দীর্ঘ, তাই ছোট কোণের ক্ষেত্রে দুটি কাছাকাছি থাকে। 180° কোণে জ্যা হলো ব্যাস, 10 একক, আর চাপ হলো πr = 15.7079632679 একক। 270° কোণে জ্যা আবার 7.0710678119 এককে নেমে আসে, 90° কোণের সমান, কারণ জ্যা নির্ভর করে প্রান্তবিন্দুগুলোর মধ্যবর্তী ছোট কোণের ওপর, আর চাপ সুইপের সঙ্গে বাড়তেই থাকে।

বিশেষ ক্ষেত্র। 60° কোণে জ্যা ঠিক ব্যাসার্ধের সমান হয়: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r। r = 5-এর ক্ষেত্রে জ্যা 5 একক, এবং ব্যাসার্ধ, জ্যা ও দুটি ব্যাসার্ধ মিলে একটি সমবাহু ত্রিভুজ তৈরি করে। এটি একটি কাজের যাচাই এবং পরীক্ষা প্রণেতাদের প্রিয় প্রশ্ন।

কেন এটি গুরুত্বপূর্ণ। বাঁকা পাইপ কাটতে হলে চাপের দৈর্ঘ্য দরকার। বৃত্তাকার যন্ত্রাংশের দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী সোজা ফাঁক মাপতে হলে জ্যা দরকার। দুটি গুলিয়ে ফেলা বৃত্তের সবচেয়ে সাধারণ ভুলগুলোর একটি, এবং ক্যালকুলেটর দুটি মান একসঙ্গে দেখায় যাতে পার্থক্যটি সবসময় চোখে পড়ে।

চাপের দৈর্ঘ্য ও বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল শুনতে একই রকম মনে হলেও এগুলো ভিন্ন জিনিস মাপে। চাপের দৈর্ঘ্য একটি একমাত্রিক বাঁকা দূরত্ব, সাধারণ এককে মাপা হয়। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল একটি দ্বিমাত্রিক অঞ্চল, দুটি ব্যাসার্ধ ও চাপ দিয়ে কাটা বৃত্তের পাখার মতো টুকরো, বর্গ এককে মাপা হয়।

সূত্র দুটি দেখতে একই রকম, আর ঠিক এ কারণেই এগুলো গুলিয়ে যায়:

বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল হলো চাপের দৈর্ঘ্যের সঙ্গে ব্যাসার্ধের অর্ধেক গুণ করা: A = ½ × r × L। এই সম্পর্কটি একটি কাজের যাচাই। ব্যাসার্ধ 5 একক ও 60° কোণের ক্ষেত্রে চাপ 5.2359877560 একক, এবং বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল হলো ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 বর্গ একক।

এককই ধরিয়ে দেয়। আপনার উত্তর দৈর্ঘ্য হলে একক হবে cm, m, বা ইঞ্চি। ক্ষেত্রফল হলে একক হবে cm², m², বা বর্গ ইঞ্চি। চাপের দৈর্ঘ্যের উত্তর বর্গ এককে, বা বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফলের উত্তর সাধারণ এককে, নিশ্চিতভাবে ভুল। ক্যালকুলেটর দুটিকে আলাদা রাখে এবং এককগুলো স্পষ্টভাবে লেখে।

পূর্ণ বৃত্তের যাচাই। 360° কোণে বৃত্তাংশটি পুরো বৃত্ত, তাই বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল অবশ্যই πr²-এর সমান হবে। r = 6-এর ক্ষেত্রে π × 36 = 113.0973355292 বর্গ একক। একই সময়ে চাপ হলো পূর্ণ পরিধি, 37.6991118431 একক। দুটি একই ব্যাসার্ধ ও কোণ থেকে আসে, কিন্তু ভিন্ন প্রশ্নের উত্তর দেয়।

বৃত্তখণ্ড হলো একটি চাপ ও তার জ্যা দিয়ে ঘেরা অঞ্চল। বৃত্তের একটি টুকরোকে সরলরেখা দিয়ে কেটে আলাদা করার কথা ভাবুন: বাঁকা ধারটি হলো চাপ, সোজা ধারটি হলো জ্যা, এবং দুটির মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল হলো বৃত্তখণ্ড। এটি বৃত্তাংশের চেয়ে ছোট, কারণ বৃত্তাংশে দুটি ব্যাসার্ধ ও জ্যা দিয়ে তৈরি ত্রিভুজটিও থাকে।

বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল হলো বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল থেকে দুটি ব্যাসার্ধ ও জ্যার মধ্যবর্তী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বাদ দেওয়া:

এখানে θ হলো রেডিয়ানে কেন্দ্রীয় সুইপ, 0 থেকে 2π-এর মধ্যে। সূত্রটি ক্ষুদ্র ও বৃহৎ উভয় বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রেই ঠিকভাবে কাজ করে: ক্ষুদ্র চাপের ক্ষেত্রে এটি ছোট টুপির মতো অংশ দেয়, আর বৃহৎ চাপের ক্ষেত্রে বৃত্তের বেশিরভাগ জুড়ে থাকা বড় অঞ্চল দেয়।

সমাধান করা উদাহরণ। r = 5 একক ও 60° কোণের ক্ষেত্রে বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল 13.0899693900 বর্গ একক এবং বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল হলো ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 বর্গ একক। বৃত্তখণ্ডটি বৃত্তাংশের চেয়ে অনেক ছোট, কারণ ত্রিভুজটি পাখার বেশিরভাগ জায়গা নিয়ে নেয়। r = 5 ও 90° কোণের ক্ষেত্রে বৃত্তখণ্ড 7.1349540849 বর্গ একক। r = 8 ও 90° কোণের ক্ষেত্রে বৃত্তখণ্ড 18.2654824574 বর্গ একক।

বিশেষ ক্ষেত্র। 180° কোণে sin θ = 0, তাই বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফলের সমান হয়: ½ πr²। r = 5-এর ক্ষেত্রে দুটিই 39.2699081699 বর্গ একক, যা ঠিক বৃত্তের অর্ধেক। 270° কোণে sin θ = -1, তাই বৃত্তখণ্ড বৃত্তাংশের চেয়ে বড় হয়: r = 5-এর ক্ষেত্রে বৃত্তাংশ 58.9048622548 বর্গ একক এবং বৃত্তখণ্ড 71.4048622548 বর্গ একক। 360° কোণে জ্যা অদৃশ্য হয়ে যায় এবং বৃত্তখণ্ডটি পুরো বৃত্ত, πr²।

বৃত্তখণ্ড বনাম বৃত্তাংশ, এক লাইনে। বৃত্তাংশ হলো কেন্দ্র থেকে পাখার মতো টুকরো। বৃত্তখণ্ড হলো জ্যার ওপারের টুপির মতো অংশ। আপনার সমস্যায় কেন্দ্র জড়িত থাকলে বৃত্তাংশ দরকার। শুধু চাপ ও তার জ্যা জড়িত থাকলে বৃত্তখণ্ড দরকার।

ডিগ্রি ও রেডিয়ান একই জিনিস, কোণ, মাপার দুটি একক। ডিগ্রি একটি পূর্ণ ঘূর্ণনকে 360টি সমান ভাগে ভাগ করে। রেডিয়ান কোণ মাপে সেই চাপ দিয়ে যা কোণটি কেটে নেয়, ব্যাসার্ধের এককে। দুটি একটি মাত্র রূপান্তরে যুক্ত: π রেডিয়ান সমান 180°।

রূপান্তরের সূত্রগুলো হলো:

সমাধান করা রূপান্তর। 120° রেডিয়ানে হলো 120 × π / 180 = 2.0943951024 রেডিয়ান। 45° হলো 45 × π / 180 = 0.7853981634 রেডিয়ান। উল্টো দিকে, 1 রেডিয়ান হলো 1 × 180 / π = 57.2957795131°, এবং 2 রেডিয়ান হলো 114.5915590262°। শেষ মানটি কাজের: চাপ ঠিক তখনই ব্যাসের চেয়ে দীর্ঘ হয় যখন কোণ 2 রেডিয়ান ছাড়িয়ে যায়।

কোন একক ব্যবহার করবেন? সমস্যায় ডিগ্রি দেওয়া থাকলে ডিগ্রি ব্যবহার করুন, রেডিয়ান দেওয়া থাকলে রেডিয়ান ব্যবহার করুন। ক্যালকুলেটর দুটিই গ্রহণ করে, এবং DEG/RAD টগল চাপ না বদলে আপনার কোণটি রূপান্তর করে। হাতে গণনার ক্ষেত্রে ডিগ্রি ভগ্নাংশের রূপ L = πrθ / 180-এর জন্য উপযুক্ত, আর রেডিয়ান পরিষ্কার রূপ L = rθ-এর জন্য উপযুক্ত। যেভাবেই হোক, একই সূত্রে দুটি কখনো মেশাবেন না।

কখনো কখনো ব্যাসার্ধ বা ব্যাস কোনোটিই দেওয়া থাকে না। ক্যালকুলেটর প্রথমে ব্যাসার্ধ বের করে অন্য চারটি পরিমাপ থেকে পেছন দিকে কাজ করে, তারপর যথারীতি L = rθ প্রয়োগ করে। একই বৃত্তের ক্ষেত্রে ছয়টি পদ্ধতিই একই ব্যাসার্ধ ও একই চাপের দৈর্ঘ্য দেয়, তাই আপনার কাছে আসলে যে পরিমাপটি আছে সেটিই ব্যবহার করতে পারেন।

পূর্ণ বৃত্তের পরিধি থেকে। পূর্ণ পরিধি হলো C = 2πr, তাই r = C / (2π)। C = 31.4159265359 এককের ক্ষেত্রে r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 একক। তারপর 60° চাপ হলো L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 একক। সংক্ষিপ্ত পথটি লক্ষ্য করুন: 60° চাপ পরিধির এক ষষ্ঠাংশ, এবং 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 একক।

জ্যার দৈর্ঘ্য থেকে। জ্যার সূত্রটি হলো c = 2r sin(θ / 2), তাই r = c / [2 sin(θ / 2)]। 60° কোণে 5 একক জ্যার ক্ষেত্রে r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 একক। তারপর L = 5.2359877560 একক। জ্যার ইনপুট শুধু তখনই কাজ করে যখন কোণটি 0° ও 360°-এর মধ্যে থাকে: 0° বা 360° কোণে জ্যা শূন্য হয় এবং কোনো ব্যাসার্ধ উদ্ধার করা যায় না, তাই এই পদ্ধতির ক্ষেত্রে ক্যালকুলেটর সেই কোণগুলো বাতিল করে।

পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল থেকে। পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো A = πr², তাই r = √(A / π)। A = 78.5398163397 বর্গ এককের ক্ষেত্রে r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 একক। তারপর 60° চাপ হলো L = 5.2359877560 একক। ক্ষেত্রফলের সূত্রে ব্যাসার্ধটি ফিরিয়ে বসিয়ে যাচাই করতে পারেন: π × 25 = 78.5398163397 বর্গ একক।

বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল থেকে। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল হলো A = ½r²θ, তাই r = √(2A / θ), যেখানে θ রেডিয়ানে। 60° কোণে 13.0899693900 বর্গ একক বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রে θ = 1.0471975512 রেডিয়ান, তাই r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 একক। তারপর L = 5.2359877560 একক। এই পদ্ধতিতে ক্ষেত্রফলের পাশাপাশি কোণও দরকার, কারণ একই বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল অনেক ব্যাসার্ধ ও কোণের সমন্বয় থেকে আসতে পারে।

কোন ইনপুট ব্যবহার করবেন। আপনার কাছে আসলে যে পরিমাপটি আছে সেটিই ব্যবহার করুন। দুটি ভিন্ন পরিমাপ থেকে ভিন্ন ব্যাসার্ধ পাওয়া গেলে একটি পরিমাপ ভুল, এবং দুটি উত্তরের কোনোটিতে আস্থা রাখার আগে সেই অমিলটি খতিয়ে দেখা উচিত।

চাপের দৈর্ঘ্য কোনো বিমূর্ত শ্রেণিকক্ষের অনুশীলন নয়। বৃত্তের ওপরের বাঁকা দূরত্ব মাপতে, কাটতে, বানাতে, বা ভ্রমণ করতে যেখানেই হয়, সেখানেই একই সূত্র প্রযোজ্য।

প্রকৌশল ও উৎপাদন। পাইপ বাঁকানো শুরু হয় চাপের দৈর্ঘ্য দিয়ে: 8 একক বাঁকের ব্যাসার্ধে 90° কোণে বাঁকানো পাইপের শুধু বাঁকের জন্যই 12.5663706144 একক পাইপ দরকার। বাঁকা প্যানেলে গড়ানো শিট মেটাল, গিয়ারের দাঁতের আকৃতি, এবং ক্যামের আকৃতি সবকিছুর ক্ষেত্রেই উপাদান কাটার আগে বাঁকা দৈর্ঘ্য দরকার। ভুল হলে উপাদান নষ্ট হয় বা যন্ত্রাংশ ছোট পড়ে।

স্থাপত্য ও নির্মাণ। খিলানযুক্ত দরজা, গোল জানালা, গম্বুজ, এবং বাঁকা সিঁড়ি তাদের চাপ দিয়ে মাপা হয়। ব্যাসার্ধ 10 এককের অর্ধবৃত্তাকার খিলানে বক্ররেখা ধরে 31.4159265359 একক ট্রিম দরকার। বৃত্তাকার বাগানের বেডের কিনারার অর্ডারে বাঁকা পাশের জন্য চাপ দরকার এবং সোজা পাশের জন্য ব্যাস দরকার, যা ভিন্ন সংখ্যা।

রাস্তা ও ট্র্যাক। বৃত্তাকার রাস্তার বাঁক, দৌড়ের ট্র্যাকের বাঁক, বা রেলপথের বাঁক ব্যাসার্ধ ও কেন্দ্রীয় কোণ দিয়ে সাজানো হয়। বাঁকের দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করে কতটা অ্যাসফল্ট, কতটা রেল, এবং বাঁকের ভেতর দিয়ে যানবাহন কত দূর যাবে। ব্যাসার্ধ 7 এককের 120° বাঁক 14.6607657168 একক দীর্ঘ।

ঘড়ি, চাকা, ও রোবোটিক্স। সময় যাওয়ার সঙ্গে সঙ্গে ঘড়ির কাঁটা একটি চাপ অতিক্রম করে। মাটিতে গড়িয়ে যাওয়া চাকা যতটা চাপ ঘোরে ততটা দূরত্ব অতিক্রম করে। জয়েন্টের চারদিকে ঘোরা রোবট বাহু তার গ্রিপারকে বৃত্তাকার চাপ ধরে নিয়ে যায়, এবং সেটি যে দূরত্ব যায় তা rθ, তাই রোবোটিক্সে রেডিয়ানই স্বাভাবিক একক।

কম্পিউটার গ্রাফিক্স ও CAD। CAD মডেল, ফন্ট, ও অ্যানিমেশনের বক্ররেখা বৃত্তাকার চাপ দিয়ে তৈরি হয়। একটি চাপের দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করে টুল পথ কীভাবে ভাগ করা হয়, বক্ররেখা কীভাবে আঁকা হয়, এবং অ্যানিমেশনে একটি বস্তু বৃত্তাকার পথে কত দূর যায়।

বাস্তব আকৃতি নিয়ে একটি মন্তব্য। প্রতিটি বাঁকা কাঠামো নিখুঁত বৃত্ত নয়। বাস্তব খিলান উপবৃত্তাকার বা অধিবৃত্তাকার হতে পারে, এবং বাস্তব রাস্তায় ক্লোথয়েড রূপান্তর ব্যবহার করা হয়। এই পৃষ্ঠার বৃত্তের সূত্রগুলো ঠিক তখনই প্রযোজ্য যখন বক্ররেখাটি সত্যিকারের বৃত্তাকার চাপ, এবং বক্ররেখাটি বৃত্তের কাছাকাছি হলে এগুলো ভালো আসন্ন মান দেয়। সূত্র প্রয়োগের আগে সবসময় আকৃতিটি নিশ্চিত করুন।

বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্যে বেশিরভাগ ভুল উত্তর আসে অল্প কয়েকটি ভুল থেকে। প্রতিটি যাচাই করতে কয়েক সেকেন্ড লাগে এবং বেশিরভাগ ভুল এড়ানো যায়।

1. ব্যাসার্ধের বদলে ব্যাস ব্যবহার করা। সূত্রে r দরকার, d নয়। d = 14-কে ব্যাসার্ধ ধরে ব্যবহার করলে উত্তর দ্বিগুণ হয়: 120° চাপে 14.6607657168-এর বদলে 29.3215314336। প্রথমে ব্যাস অর্ধেক করুন।
2. ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করতে ভুলে যাওয়া। L = rθ-তে রেডিয়ান দরকার। 60° সরাসরি বসালে পাওয়া যায় 5 × 60 = 300, 5.2359877560 নয়। প্রথমে রূপান্তর করুন, বা L = πrθ / 180 ব্যবহার করুন।
3. কেন্দ্রীয় কোণকে অন্তর্লিখিত কোণের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা। অন্তর্লিখিত কোণ একই চাপের কেন্দ্রীয় কোণের অর্ধেক হয়। সমস্যায় অন্তর্লিখিত কোণ φ দেওয়া থাকলে কেন্দ্রীয় কোণ হবে θ = 2φ, এবং চাপ হবে L = r × 2φ। সরাসরি φ ব্যবহার করলে উত্তর অর্ধেক হয়ে যায়।
4. বৃহৎ ও ক্ষুদ্র চাপ মেশানো। r = 4-এর ক্ষেত্রে 270° কোণে বৃহৎ চাপ 18.8495559215 একক। এর বদলে ছোট কোণ 90° ব্যবহার করলে পাওয়া যায় 6.2831853072 একক, ক্ষুদ্র চাপ। সমস্যাটি কোন চাপ চায় তা যাচাই করুন।
5. চাপের দৈর্ঘ্যকে জ্যার দৈর্ঘ্যের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা। জ্যা হলো সরলরেখা, চাপের চেয়ে সবসময় ছোট। r = 5 ও 180° কোণের ক্ষেত্রে জ্যা 10 একক এবং চাপ 15.7079632679 একক। শূন্য দৈর্ঘ্যের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র ছাড়া দুটি কখনো সমান হয় না।
6. বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফলকে চাপের দৈর্ঘ্যের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল বর্গ এককে মাপা একটি দ্বিমাত্রিক অঞ্চল। চাপের দৈর্ঘ্য সাধারণ এককে মাপা একটি একমাত্রিক দূরত্ব। r = 5 ও 60° কোণের ক্ষেত্রে বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল 13.0899693900 বর্গ একক এবং চাপ 5.2359877560 একক। ভিন্ন পরিমাণ, ভিন্ন একক।
7. ভুল পরিমাপের একক ব্যবহার করা। cm-এ ব্যাসার্ধ ও ডিগ্রিতে কোণ ঠিক আছে, কিন্তু উত্তর cm-এ আসবে। একই গণনায় cm ও ইঞ্চি মেশালে, বা আউটপুট একক রূপান্তর করতে ভুলে গেলে, ভুল আকারের সংখ্যা পাওয়া যায়। প্রথমে রূপান্তর করুন, তারপর গণনা করুন।
8. π-কে খুব আগেই গোল করা। গুণ করার আগে π-এর জায়গায় 3.14 বসালে এমন ভুল আসে যা ব্যাসার্ধের সঙ্গে বাড়ে। গণনার পুরো সময় পূর্ণ নির্ভুলতার π ধরে রাখুন এবং শুধু শেষে দেখানো ফলাফলটি গোল করুন।
9. পূর্ণ বৃত্ত 360° হয় তা ভুলে যাওয়া। 360° কোণ হলো সম্পূর্ণ পরিধি, 2πr, শূন্য নয়। 0° কোণ হলো শূন্য দৈর্ঘ্যের চাপ। চিত্রে দুটি একই রকম দেখায়, কারণ প্রান্তবিন্দুগুলো মিলে যায়, কিন্তু তাদের চাপের দৈর্ঘ্য যতটা সম্ভব ততটাই আলাদা।
10. ভুল কোণের পরিসর ব্যবহার করা। বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্যের সূত্রগুলো ধরে নেয় সুইপ 0° থেকে 360°-এর মধ্যে। 450° কোণ একটি বৃত্তে বৈধ একক সুইপ নয়: এটি একটি পূর্ণ ঘূর্ণন যোগ 90°, এবং একটি বৃত্তের চাপ হলো 90° অবশিষ্টাংশ, r = 8-এর ক্ষেত্রে 12.5663706144 একক।

একটি শেষ যাচাই যা বেশিরভাগ ভুল ধরে। ফলাফলটি পরিধির সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন। চাপটি 0 থেকে 2πr-এর মধ্যে থাকতে হবে, এটি জ্যার চেয়ে দীর্ঘ হতে হবে, এবং ক্ষুদ্র ও বৃহৎ চাপের যোগফল ঠিক 2πr হতে হবে। এই যাচাইগুলোর কোনোটি না মিললে উপরের দশটি ভুলের একটি কারণ।

এই ছয়টি উদাহরণ ক্যালকুলেটরের মূল ইনপুট পদ্ধতি ও চাপের ধরনগুলো জুড়ে দেয়। প্রতিটি সেই একই ইঞ্জিন দিয়ে গণনা করা হয়েছে যা টুলটিকে চালায়, এবং প্রতিটি ফলাফল স্বাধীনভাবে যাচাই করা হয়েছে।

উদাহরণ 1: ব্যাসার্ধ 5 ও 60° কোণে ক্ষুদ্র চাপ। দেওয়া আছে r = 5 একক, θ = 60° = π / 3 রেডিয়ান। চাপের দৈর্ঘ্য L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 একক। ব্যাস d = 10 একক। জ্যা c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 একক। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 বর্গ একক। সম্পূর্ণ পরিধি C = 31.4159265359 একক।

উদাহরণ 2: ব্যাসার্ধ 8 ও 90° কোণে এক চতুর্থাংশ বৃত্তের চাপ। দেওয়া আছে r = 8 একক, θ = 90° = π / 2 রেডিয়ান। চাপের দৈর্ঘ্য L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 একক। জ্যা c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 একক। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 বর্গ একক। চাপটি পরিধি 50.2654824574 এককের ঠিক এক চতুর্থাংশ।

উদাহরণ 3: ব্যাসার্ধ 4 ও 270° কোণে বৃহৎ চাপ। দেওয়া আছে r = 4 একক, θ = 270° = 3π / 2 রেডিয়ান। চাপের দৈর্ঘ্য L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 একক। জ্যা c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 একক। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 বর্গ একক। 90° ব্যবহার করে পরিপূরক ক্ষুদ্র চাপ 6.2831853072 একক। দুটি চাপের যোগফল 25.1327412287 একক, পূর্ণ পরিধি।

উদাহরণ 4: ব্যাস 14 ও 120° কোণ থেকে চাপ। দেওয়া আছে d = 14 একক, θ = 120° = 2π / 3 রেডিয়ান। ব্যাসার্ধ r = 14 / 2 = 7 একক। চাপের দৈর্ঘ্য L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 একক। জ্যা c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 একক। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 বর্গ একক। বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল 30.0950576159 বর্গ একক।

উদাহরণ 5: ব্যাসার্ধ 10 ও 180° কোণে অর্ধবৃত্ত। দেওয়া আছে r = 10 একক, θ = 180° = π রেডিয়ান। চাপের দৈর্ঘ্য L = 10 × π = 31.4159265359 একক। জ্যা c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 একক, অর্থাৎ ব্যাস। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 বর্গ একক, পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফলের ঠিক অর্ধেক। চাপটি ব্যাসের π / 2 গুণ, সোজা রেখার চেয়ে প্রায় 57.08% দীর্ঘ।

উদাহরণ 6: ব্যাসার্ধ 6 ও 360° কোণে পূর্ণ বৃত্ত। দেওয়া আছে r = 6 একক, θ = 360° = 2π রেডিয়ান। চাপের দৈর্ঘ্য L = 6 × 2π = 37.6991118431 একক, যা সম্পূর্ণ পরিধি। জ্যা c = 0, কারণ প্রান্তবিন্দুগুলো মিলে যায়। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 বর্গ একক, পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল। চাপের শতাংশ 100%।

ক্যালকুলেটরের যেকোনো প্রিসেট বোতামে ক্লিক করে এই উদাহরণগুলোর একটি লোড করুন এবং সেই ইনপুটের সম্পূর্ণ ধাপে ধাপে সমাধান, লাইভ চিত্র, ও সব গৌণ ফলাফল দেখুন।