Calculateur de longueur d'arc de cercle

Le calculateur de longueur d'arc de cercle mesure la distance courbe le long de n'importe quelle partie d'un cercle, d'une petite portion jusqu'à la circonférence complète. Il accepte six mesures de départ différentes, vous pouvez donc utiliser la valeur que vous avez déjà. Suivez ces étapes pour obtenir une réponse correcte en moins d'une minute.

1. Choisissez la méthode de saisie. Choisissez Rayon, Diamètre, Circonférence du cercle complet, Longueur de la corde, Aire du cercle complet ou Aire du secteur. Le champ de saisie, son libellé et sa liste d'unités changent selon la méthode choisie.
2. Saisissez votre mesure. Tapez la valeur dans la zone de saisie. Pour les méthodes fondées sur l'aire, utilisez la liste des unités au carré (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Saisissez l'angle au centre. Tapez l'angle en degrés ou en radians avec le sélecteur DEG/RAD, ou déplacez le curseur d'angle de 0° à 360°. Le diagramme en direct et le résultat se mettent à jour pendant que vous le déplacez.
4. Réglez les angles de départ et de fin si vous en avez besoin. Le balayage par défaut commence à 0° et se fait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Changez l'angle de départ, l'angle de fin ou la direction pour mesurer un arc n'importe où sur le cercle. C'est le balayage, et non la position, qui détermine la longueur de l'arc.
5. Choisissez les unités d'entrée et de sortie. Le calculateur convertit votre saisie dans une unité interne cohérente, calcule, puis convertit la réponse dans votre unité de sortie. Le nombre change avec l'unité, la longueur ne change pas.
6. Choisissez une précision. Choisissez 2, 4, 6 ou 8 décimales. La valeur par défaut est 4. Le calculateur utilise toujours la valeur complète de π en interne et n'arrondit que le résultat affiché.
7. Cliquez sur Calculer maintenant. Le résultat principal est la longueur de l'arc sélectionné, avec sa classification : arc de longueur nulle, arc mineur, demi-cercle, arc majeur ou cercle complet. En dessous, vous obtenez le rayon, le diamètre, la circonférence complète, l'arc complémentaire, la longueur de la corde, l'aire du secteur, l'aire du segment circulaire, le pourcentage de l'arc, les deux formes de l'angle et le rapport arc sur corde.
8. Explorez le diagramme. Le diagramme de cercle en direct dessine le cercle complet, met en évidence l'arc sélectionné en doré et marque le centre O, les lignes de rayon, la corde et les extrémités. Utilisez les interrupteurs pour afficher ou masquer le rayon, le diamètre, la corde, le point central, le marqueur d'angle et les arcs mineur et majeur.
9. Copiez, imprimez ou réinitialisez. Utilisez Copier le résultat pour placer la réponse dans votre presse-papiers, Imprimer le résumé pour un rapport simple, ou Réinitialiser pour effacer le panneau. Les boutons prédéfinis chargent instantanément des exemples vérifiés.

Essayez un exemple. Un rayon de 5 avec un angle de 60° donne un arc de 5.2359877560 unités. Un rayon de 8 avec 90° donne 12.5663706144 unités. Un rayon de 4 avec 270° donne un arc majeur de 18.8495559215 unités. Un diamètre de 14 avec 120° donne 14.6607657168 unités. Un rayon de 10 avec 180° donne l'arc du demi-cercle 31.4159265359 unités, et un rayon de 6 avec 360° donne la circonférence complète 37.6991118431 unités.

Conseils importants. Gardez l'unité d'angle cohérente : 60° et 1.0471975512 radians désignent le même angle, mais 60 radians ne valent pas 60°. La longueur d'arc est seulement la distance courbe, la corde est une mesure différente et elle est toujours plus courte, sauf pour un arc de longueur nulle. Si vous saisissez un diamètre, le calculateur le divise par deux pour trouver d'abord le rayon. Une mesure nulle ou négative n'est pas un cercle valable, le calculateur la rejette donc au lieu d'afficher une réponse trompeuse.

Un cercle est l'ensemble de tous les points situés à une distance fixe, le rayon, d'un point central O. Un arc est une partie continue du cercle entre deux points situés sur celui-ci. La longueur d'arc est la distance que vous parcourriez si vous marchiez le long de la courbe d'une extrémité à l'autre, en restant sur le cercle tout du long.

Imaginez une piste de course circulaire. La longueur d'arc est la distance le long de la piste entre deux portes. La ligne droite qui coupe à travers le terrain entre les deux mêmes portes est la corde, et elle est plus courte. La différence compte : un coureur suit la courbe, c'est donc la distance courbe qui compte.

Chaque cercle possède les mêmes parties, mises à l'échelle par son rayon. Le centre O est le point fixe. Le rayon r va de O jusqu'à n'importe quel point du cercle. Le diamètre d va d'un côté à l'autre en passant par O, et il vaut toujours deux fois le rayon. La circonférence C est la distance tout autour, C = 2πr. L'angle au centre θ est l'angle en O entre les deux rayons qui rejoignent les extrémités de l'arc, et il détermine quelle fraction de la circonférence l'arc couvre.

Deux points sur un cercle créent toujours deux arcs : le plus court, l'arc mineur, et le plus long, l'arc majeur. Ensemble, ils forment la circonférence complète. Celui que vous voulez dépend de votre problème, et le calculateur affiche les deux, vous n'avez donc jamais à deviner.

La longueur d'arc est une mesure à une dimension, une longueur, elle est donc exprimée en unités simples comme les cm, les m ou les pouces. Ce n'est pas une aire, et ce n'est pas un angle. Garder ces trois grandeurs séparées est la première étape pour réussir chaque calcul sur le cercle.

La longueur d'un arc de cercle découle directement de la circonférence d'un cercle complet. La circonférence d'un cercle complet est :

Un angle au centre représente une fraction d'une rotation complète de 360°. Un arc dont l'angle au centre est θ couvre la fraction θ / 360 de tout le cercle, donc :

La simplification donne la forme en degrés de la formule :

Quand l'angle est mesuré en radians, la formule est encore plus simple, parce qu'un radian est défini par le rayon lui-même :

Chaque symbole des formules a une signification précise :

Les deux formes donnent la même réponse. Utilisez L = πrθ / 180 quand votre angle est en degrés, et L = rθ quand il est en radians. Le calculateur convertit d'abord les degrés en radians, puis utilise L = rθ en interne, c'est pourquoi les deux modes concordent toujours.

Utiliser le diamètre au lieu du rayon donne une deuxième forme de la même formule. Comme d = 2r, alors r = d / 2, et la substitution donne L = dθ / 2 en radians, ou L = πdθ / 360 en degrés.

Le rayon plus l'angle au centre est la façon la plus directe de trouver une longueur d'arc. L'exemple détaillé ci-dessous utilise un rayon de 5 unités et un angle au centre de 60°.

1. Identifiez le rayon. r = 5 unités.
2. Identifiez l'angle au centre. θ = 60°.
3. Convertissez les degrés en radians. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radians.
4. Écrivez la formule de la longueur d'arc. L = rθ.
5. Remplacez les valeurs. L = 5 × π / 3.
6. Calculez. L = 5.2359877560 unités.
7. Arrondissez si nécessaire. À deux décimales, L = 5.24 unités.

Les mêmes étapes fonctionnent pour n'importe quel rayon et n'importe quel angle. Un rayon de 8 unités avec 90° donne L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unités. Un rayon de 3 unités avec 60° donne L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 unités. Un rayon de 1 unité avec 60° donne L = 1.0471975512 unités, ce qui vaut exactement π / 3, un contrôle utile : pour r = 1, la longueur d'arc est égale à l'angle en radians.

Règle d'arrondi. Arrondissez seulement à la fin. Si vous remplacez π par 3.14 avant de multiplier, un rayon de 5 avec 60° donne 5.2333333333 au lieu de 5.2359877560, soit une erreur de 0.0026544227. Cette erreur grandit avec le rayon, gardez donc la pleine précision tout au long du calcul et arrondissez seulement le résultat final affiché.

Quand vous connaissez le diamètre au lieu du rayon, divisez-le d'abord par deux, puis appliquez la même formule. L'exemple détaillé ci-dessous utilise un diamètre de 14 unités et un angle au centre de 120°.

1. Identifiez le diamètre. d = 14 unités.
2. Trouvez le rayon. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 unités.
3. Identifiez l'angle au centre. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radians.
4. Écrivez la formule. L = rθ, ou directement L = πdθ / 360.
5. Remplacez. L = 7 × 2.0943951024, ou L = π × 14 × 120 / 360.
6. Calculez. L = 14.6607657168 unités.
7. Arrondissez si nécessaire. À deux décimales, L = 14.66 unités.

Les deux chemins concordent exactement, ce qui est un bon autocontrôle. Le chemin par le rayon donne 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Le chemin par le diamètre donne π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Si les deux diffèrent, le diamètre n'a pas été divisé par deux correctement.

Un autre exemple : un diamètre de 20 unités avec 180° donne r = 10 unités, donc L = π × 10 = 31.4159265359 unités, l'arc du demi-cercle. Un diamètre de 10 unités avec 60° donne r = 5 unités, donc L = 5.2359877560 unités. L'erreur la plus fréquente dans ce calcul est d'oublier la division par deux et d'utiliser le diamètre comme s'il s'agissait du rayon, ce qui double la réponse. Pour d = 14, cette erreur donne 29.3215314336 au lieu de 14.6607657168.

Conseil de mesure. Les diamètres sont souvent plus faciles à mesurer dans la vie réelle que les rayons, parce qu'on peut mesurer directement à travers le cercle. C'est pourquoi le calculateur accepte directement la saisie du diamètre : mesurez d'un côté à l'autre, saisissez la valeur, et le calculateur la divise par deux pour vous.

Les degrés sont l'unité courante pour les angles. Un cercle complet contient 360°, un angle au centre en degrés vous indique donc directement quelle fraction du cercle complet votre arc couvre. Un angle de 90° couvre un quart du cercle, 180° en couvre la moitié, et 270° en couvre les trois quarts.

La formule en degrés est L = πrθ / 180, où θ est en degrés. Elle vient de l'idée de fraction : θ / 360 de la circonférence 2πr, simplifiée.

Exemple détaillé. Rayon de 8 unités, angle de 90°.

1. Identifiez les valeurs. r = 8 unités, θ = 90°.
2. Trouvez la fraction du cercle. 90 / 360 = 1 / 4, un quart de cercle.
3. Écrivez la formule. L = πrθ / 180.
4. Remplacez. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Calculez. L = 12.5663706144 unités.
6. Vérifiez par rapport à la circonférence. La circonférence complète est 2π × 8 = 50.2654824574 unités, et un quart de celle-ci est 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 unités. Les deux concordent.

Plus d'exemples en degrés avec un rayon de 5 unités : 30° donne L = 2.6179938780 unités, 45° donne L = 3.9269908170 unités, 120° donne L = 10.4719755120 unités, et 270° donne L = 23.5619449019 unités. Remarquez que doubler l'angle double la longueur d'arc pour le même rayon, parce que la longueur d'arc est directement proportionnelle à l'angle au centre.

Erreur fréquente avec les degrés. Mettre une valeur en degrés directement dans L = rθ sans convertir donne une réponse très fausse. Pour r = 5 et 60°, le calcul sans conversion donne 5 × 60 = 300, alors que la réponse correcte est 5.2359877560. La formule L = rθ a besoin de radians, convertissez donc d'abord ou utilisez la forme en degrés L = πrθ / 180.

Un radian est l'angle obtenu quand la longueur d'arc est égale au rayon. Si vous enroulez autour du cercle une longueur de ficelle égale au rayon, l'angle qu'elle sous-tend au centre vaut exactement 1 radian. Un cercle complet contient 2π radians, environ 6.2831853072 radians, parce que la circonférence complète est 2πr et qu'en divisant par r il reste 2π.

La formule en radians est L = rθ, la formule de longueur d'arc la plus simple qui soit. Elle ne contient pas de π, parce que le π est déjà contenu dans la mesure de l'angle en radians.

Exemple détaillé. Rayon de 5 unités, angle de π / 3 radians (ce qui vaut 60°).

1. Identifiez les valeurs. r = 5 unités, θ = π / 3 = 1.0471975512 radians.
2. Écrivez la formule. L = rθ.
3. Remplacez. L = 5 × 1.0471975512.
4. Calculez. L = 5.2359877560 unités.
5. Vérifiez par rapport aux degrés. π / 3 radians vaut 60°, et la formule en degrés donne L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 unités. Les deux concordent exactement.

Plus d'exemples en radians : un rayon de 4 unités avec θ = π / 2 radians donne L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 unités. Un rayon de 6 unités avec θ = π / 4 radians donne L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 unités. Un rayon de 10 unités avec θ = π radians donne L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 unités, l'arc du demi-cercle.

Pourquoi les radians sont préférés en mathématiques. Les formules de calcul pour la longueur d'arc, et les formules de la corde, du secteur et de l'aire du segment sur cette page, utilisent toutes les radians. Les degrés sont pratiques pour les mesures courantes, mais les radians rendent les mathématiques simples, c'est pourquoi le calculateur convertit chaque angle en radians avant de calculer.

Deux points sur un cercle le divisent en deux arcs. Le plus court est l'arc mineur, et le plus long est l'arc majeur. Ils partagent les mêmes extrémités, et ensemble ils forment la circonférence complète.

L'angle au centre décide lequel est lequel. Un angle au centre inférieur à 180° donne un arc mineur. Un angle au centre supérieur à 180° donne un arc majeur. Exactement 180° donne un demi-cercle, qui n'est ni mineur ni majeur : les deux arcs sont égaux.

Les arcs mineur et majeur sont complémentaires. Pour un angle au centre plus petit θ, l'arc mineur est Lmineur = rθ et l'arc majeur est Lmajeur = r(2π - θ). Leur somme est toujours la circonférence complète :

Exemple détaillé. Rayon de 5 unités, angle plus petit de 60°. L'arc mineur est L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unités. L'arc majeur utilise l'angle rentrant 360° - 60° = 300°, donc L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 unités. La somme est 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 unités, ce qui est exactement la circonférence 2π × 5. L'arc mineur représente 16.67% du cercle et l'arc majeur 83.33%.

Un autre exemple. Rayon de 4 unités, angle de 270°. C'est déjà l'arc majeur : L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 unités. Son arc mineur complémentaire utilise 90° : L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 unités. La somme est 25.1327412287 unités, la circonférence complète 2π × 4.

Ne confondez pas les deux angles. L'erreur la plus fréquente entre arc mineur et arc majeur est d'utiliser l'angle plus petit quand le problème demande l'arc majeur, ou l'inverse. Vérifiez toujours si l'angle qui vous a été donné est le plus petit ou l'angle rentrant, et rappelez-vous que le calculateur affiche les deux arcs côte à côte pour que vous puissiez choisir celui dont votre problème a besoin.

La longueur d'arc et la longueur de la corde relient toutes les deux les mêmes deux points sur un cercle, mais elles suivent des chemins différents. L'arc suit la courbe. La corde coupe directement à travers. L'arc est presque toujours plus long.

Les formules montrent clairement la différence :

La corde dépend du sinus de la moitié de l'angle, qui croît plus lentement que l'angle lui-même, l'écart entre l'arc et la corde s'élargit donc à mesure que l'angle grandit.

Trois faits du tableau valent la peine d'être retenus. À 30°, l'arc n'est que d'environ 1.15% plus long que la corde, donc pour les petits angles les deux sont proches. À 180°, la corde est le diamètre, 10 unités, tandis que l'arc vaut πr = 15.7079632679 unités. À 270°, la corde retombe à 7.0710678119 unités, la même qu'à 90°, parce que la corde dépend du plus petit angle entre les extrémités, tandis que l'arc continue de grandir avec le balayage.

Cas particulier. À 60°, la corde est exactement égale au rayon : c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Pour r = 5, la corde vaut 5 unités, et le rayon, la corde et les deux rayons forment un triangle équilatéral. C'est un contrôle pratique et un favori des examinateurs.

Pourquoi c'est important. Si vous coupez un tuyau courbe, vous avez besoin de la longueur d'arc. Si vous mesurez l'écart droit entre deux points d'une pièce circulaire, vous avez besoin de la corde. Les confondre est l'une des erreurs les plus fréquentes sur le cercle, et le calculateur affiche les deux valeurs ensemble pour que la différence soit toujours visible.

La longueur d'arc et l'aire du secteur semblent similaires, mais elles mesurent des choses différentes. La longueur d'arc est une distance courbe à une dimension, mesurée en unités simples. L'aire du secteur est une région à deux dimensions, la part du cercle découpée par deux rayons et l'arc, mesurée en unités carrées.

Les formules se ressemblent, et c'est exactement pourquoi on les confond :

L'aire du secteur est la longueur d'arc multipliée par la moitié du rayon : A = ½ × r × L. Cette relation est un contrôle utile. Pour un rayon de 5 unités et 60°, l'arc est de 5.2359877560 unités, et l'aire du secteur est de ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 unités carrées.

Les unités sont l'indice. Si votre réponse doit être une longueur, l'unité est le cm, le m ou le pouce. Si elle doit être une aire, l'unité est le cm², le m² ou le pouce carré. Une réponse de longueur d'arc en unités carrées, ou une réponse d'aire de secteur en unités simples, est certainement fausse. Le calculateur garde les deux séparées et étiquette les unités clairement.

Un contrôle sur le cercle complet. À 360°, le secteur est le cercle entier, l'aire du secteur doit donc être égale à πr². Pour r = 6, π × 36 = 113.0973355292 unités carrées. L'arc au même moment est la circonférence complète, 37.6991118431 unités. Les deux viennent du même rayon et du même angle, mais ils répondent à des questions différentes.

Un segment circulaire est la région délimitée par un arc et sa corde. Imaginez une tranche du cercle coupée par une ligne droite : le bord courbe est l'arc, le bord droit est la corde, et l'aire entre eux est le segment. Il est plus petit que le secteur, parce que le secteur comprend aussi le triangle formé par les deux rayons et la corde.

L'aire du segment est l'aire du secteur moins l'aire triangulaire entre les deux rayons et la corde :

Ici θ est le balayage au centre en radians, entre 0 et 2π. La formule traite correctement les segments mineurs et majeurs : pour un arc mineur, elle donne la petite calotte, et pour un arc majeur, elle donne la grande région qui couvre la majeure partie du cercle.

Exemples détaillés. Pour r = 5 unités et 60°, l'aire du secteur est de 13.0899693900 unités carrées et l'aire du segment est de ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 unités carrées. Le segment est beaucoup plus petit que le secteur, parce que le triangle occupe la majeure partie de la part. Pour r = 5 et 90°, le segment est de 7.1349540849 unités carrées. Pour r = 8 et 90°, le segment est de 18.2654824574 unités carrées.

Cas particuliers. À 180°, sin θ = 0, l'aire du segment est donc égale à l'aire du secteur : ½ πr². Pour r = 5, les deux valent 39.2699081699 unités carrées, ce qui est exactement la moitié du cercle. À 270°, sin θ = -1, le segment est donc plus grand que le secteur : pour r = 5, le secteur est de 58.9048622548 unités carrées et le segment est de 71.4048622548 unités carrées. À 360°, la corde disparaît et le segment est le cercle entier, πr².

Segment et secteur, en une phrase. Le secteur est la part depuis le centre. Le segment est la calotte au-delà de la corde. Si votre problème concerne le centre, vous voulez le secteur. S'il concerne seulement l'arc et sa corde, vous voulez le segment.

Les degrés et les radians sont deux unités pour la même chose, l'angle. Les degrés divisent un tour complet en 360 parties égales. Les radians mesurent un angle par l'arc qu'il découpe, en unités de rayon. Les deux sont liés par une seule conversion : π radians égale 180°.

Les formules de conversion sont :

Conversions détaillées. 120° en radians vaut 120 × π / 180 = 2.0943951024 radians. 45° vaut 45 × π / 180 = 0.7853981634 radians. Dans l'autre sens, 1 radian vaut 1 × 180 / π = 57.2957795131°, et 2 radians valent 114.5915590262°. Cette dernière valeur est utile : un arc devient plus long que le diamètre exactement quand l'angle dépasse 2 radians.

Quelle unité faut-il utiliser ? Utilisez les degrés quand le problème donne des degrés, et les radians quand il donne des radians. Le calculateur accepte les deux, et le sélecteur DEG/RAD convertit votre angle sans changer l'arc. Pour le calcul à la main, les degrés conviennent à la forme fractionnaire L = πrθ / 180, tandis que les radians conviennent à la forme simple L = rθ. Dans tous les cas, ne mélangez jamais les deux dans une même formule.

Parfois, ni le rayon ni le diamètre ne sont donnés. Le calculateur remonte à partir de quatre autres mesures en déduisant d'abord le rayon, puis en appliquant L = rθ comme d'habitude. Les six méthodes donnent le même rayon et la même longueur d'arc pour le même cercle, vous pouvez donc utiliser la mesure que vous avez réellement.

À partir de la circonférence du cercle complet. La circonférence complète est C = 2πr, donc r = C / (2π). Pour C = 31.4159265359 unités, r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 unités. Ensuite, un arc de 60° est L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unités. Remarquez le raccourci : un arc de 60° est un sixième de la circonférence, et 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 unités.

À partir de la longueur de la corde. La formule de la corde est c = 2r sin(θ / 2), donc r = c / [2 sin(θ / 2)]. Pour une corde de 5 unités avec un angle de 60°, r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 unités. Ensuite, L = 5.2359877560 unités. La saisie par la corde ne fonctionne que quand l'angle est strictement entre 0° et 360° : à 0° ou 360°, la corde est nulle et aucun rayon ne peut être retrouvé, le calculateur rejette donc ces angles pour cette méthode.

À partir de l'aire du cercle complet. L'aire d'un cercle complet est A = πr², donc r = √(A / π). Pour A = 78.5398163397 unités carrées, r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 unités. Ensuite, un arc de 60° est L = 5.2359877560 unités. Vous pouvez vérifier le rayon en le remettant dans la formule de l'aire : π × 25 = 78.5398163397 unités carrées.

À partir de l'aire du secteur. L'aire du secteur est A = ½r²θ, donc r = √(2A / θ) avec θ en radians. Pour une aire de secteur de 13.0899693900 unités carrées avec un angle de 60°, θ = 1.0471975512 radians, donc r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 unités. Ensuite, L = 5.2359877560 unités. Cette méthode a besoin de l'angle en plus de l'aire, parce que la même aire de secteur peut venir de nombreuses combinaisons de rayon et d'angle.

Quelle saisie utiliser. Utilisez la mesure que vous avez réellement. Si deux mesures différentes donnent des rayons différents, l'une des mesures est fausse, et ce désaccord vaut la peine d'être examiné avant de faire confiance à l'une ou l'autre réponse.

La longueur d'arc n'est pas un exercice abstrait de classe. Partout où une distance courbe sur un cercle doit être mesurée, coupée, construite ou parcourue, la même formule s'applique.

Ingénierie et fabrication. Le cintrage des tuyaux commence par la longueur d'arc : un tuyau courbé de 90° avec un rayon de courbure de 8 unités a besoin de 12.5663706144 unités de tuyau pour le coude seul. La tôle roulée en panneau courbe, le profil d'une dent d'engrenage et la forme d'une came ont tous besoin de la longueur courbe avant que le matériau soit coupé. Une erreur gaspille du matériau ou laisse une pièce trop courte.

Architecture et construction. Les portes en arc, les fenêtres circulaires, les dômes et les escaliers courbes sont dimensionnés par leurs arcs. Une arche en demi-cercle avec un rayon de 10 unités a besoin de 31.4159265359 unités de moulure le long de la courbe. Une commande de bordure pour un massif de jardin circulaire a besoin de l'arc pour le côté courbe et du diamètre pour le côté droit, qui sont des nombres différents.

Routes et pistes. Un virage de route circulaire, un virage de piste de course ou un virage de voie ferrée est tracé par le rayon et l'angle au centre. La longueur de la courbe détermine la quantité d'asphalte, la longueur du rail et la distance parcourue par un véhicule dans le virage. Une courbe de 120° avec un rayon de 7 unités mesure 14.6607657168 unités de long.

Horloges, roues et robotique. Une aiguille d'horloge balaie un arc au fil du temps. Une roue qui roule sur le sol couvre une distance égale à l'arc qu'elle parcourt. Un bras de robot qui tourne autour d'une articulation déplace sa pince le long d'un arc de cercle, et la distance qu'il parcourt est rθ, c'est pourquoi les radians sont l'unité naturelle en robotique.

Infographie et CAO. Les courbes des modèles de CAO, des polices et des animations sont construites à partir d'arcs de cercle. La longueur d'un arc détermine comment un parcours d'outil est divisé, comment une courbe est rendue, et jusqu'où un objet se déplace le long d'un trajet circulaire dans une animation.

Une remarque sur les formes réelles. Toutes les structures courbes ne sont pas des cercles parfaits. Les arches réelles peuvent être elliptiques ou paraboliques, et les routes réelles utilisent des transitions en clothoïde. Les formules du cercle sur cette page s'appliquent exactement quand la courbe est un vrai arc de cercle, et elles ne sont une bonne approximation que quand la courbe est proche d'un cercle. Confirmez toujours la forme avant d'appliquer la formule.

La plupart des réponses fausses sur la longueur d'un arc de cercle viennent d'une petite liste d'erreurs. Vérifier chacune d'elles prend quelques secondes et évite la plupart des fautes.

1. Utiliser le diamètre au lieu du rayon. La formule a besoin de r, et non de d. Utiliser d = 14 comme rayon double la réponse : 29.3215314336 au lieu de 14.6607657168 pour un arc de 120°. Divisez d'abord le diamètre par deux.
2. Oublier de convertir les degrés en radians. L = rθ a besoin de radians. Mettre 60° directement donne 5 × 60 = 300 au lieu de 5.2359877560. Convertissez d'abord, ou utilisez L = πrθ / 180.
3. Confondre l'angle au centre avec un angle inscrit. Un angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre qui sous-tend le même arc. Si un problème donne un angle inscrit φ, l'angle au centre est θ = 2φ, et l'arc est L = r × 2φ. Utiliser φ directement divise la réponse par deux.
4. Mélanger les arcs majeur et mineur. Un angle de 270° donne un arc majeur de 18.8495559215 unités pour r = 4. Utiliser l'angle plus petit de 90° à la place donne 6.2831853072 unités, l'arc mineur. Vérifiez quel arc le problème demande.
5. Confondre la longueur d'arc avec la longueur de la corde. La corde est la ligne droite, toujours plus courte que l'arc. Pour r = 5 et 180°, la corde vaut 10 unités et l'arc 15.7079632679 unités. Elles ne sont égales que dans le cas limite d'un arc de longueur nulle.
6. Confondre l'aire du secteur avec la longueur d'arc. L'aire du secteur est une région à deux dimensions en unités carrées. La longueur d'arc est une distance à une dimension en unités simples. Pour r = 5 et 60°, l'aire du secteur est de 13.0899693900 unités carrées et l'arc est de 5.2359877560 unités. Des grandeurs différentes, des unités différentes.
7. Utiliser les mauvaises unités de mesure. Un rayon en cm et un angle en degrés vont bien, mais la réponse sort en cm. Mélanger les cm et les pouces dans un même calcul, ou oublier de convertir l'unité de sortie, donne un nombre de la mauvaise taille. Convertissez d'abord, calculez ensuite.
8. Arrondir π trop tôt. Remplacer π par 3.14 avant de multiplier introduit une erreur qui grandit avec le rayon. Gardez la valeur complète de π tout au long du calcul et arrondissez seulement le résultat final affiché.
9. Oublier qu'un cercle complet représente 360°. Un angle de 360° est la circonférence complète, 2πr, et non zéro. Un angle de 0° est l'arc de longueur nulle. Les deux se ressemblent sur un diagramme, parce que les extrémités coïncident, mais leurs longueurs d'arc sont aussi différentes que possible.
10. Utiliser le mauvais intervalle d'angle. Les formules de longueur d'arc pour un cercle supposent que le balayage est entre 0° et 360°. Un angle de 450° n'est pas un balayage unique valable sur un cercle : c'est un tour complet plus 90°, et l'arc pour un cercle est le reste de 90°, 12.5663706144 unités pour r = 8.

Un dernier contrôle qui détecte la plupart de ces erreurs. Vérifiez le résultat par rapport à la circonférence. L'arc doit être entre 0 et 2πr, il doit être plus long que la corde, et les arcs mineur et majeur doivent s'additionner à exactement 2πr. Si l'un de ces contrôles échoue, l'une des dix erreurs ci-dessus en est la cause.

Ces six exemples couvrent les principales méthodes de saisie du calculateur et les types d'arcs. Chacun est calculé par le même moteur qui alimente l'outil, et chaque résultat a été vérifié indépendamment.

Exemple 1 : Arc mineur avec un rayon de 5 et 60°. Donnés r = 5 unités, θ = 60° = π / 3 radians. Longueur d'arc L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 unités. Diamètre d = 10 unités. Corde c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 unités. Aire du secteur A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 unités carrées. Circonférence complète C = 31.4159265359 unités.

Exemple 2 : Arc de quart de cercle avec un rayon de 8 et 90°. Donnés r = 8 unités, θ = 90° = π / 2 radians. Longueur d'arc L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 unités. Corde c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 unités. Aire du secteur A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 unités carrées. L'arc vaut exactement un quart de la circonférence 50.2654824574 unités.

Exemple 3 : Arc majeur avec un rayon de 4 et 270°. Donnés r = 4 unités, θ = 270° = 3π / 2 radians. Longueur d'arc L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 unités. Corde c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 unités. Aire du secteur A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 unités carrées. L'arc mineur complémentaire, avec 90°, est de 6.2831853072 unités. Les deux arcs s'additionnent à 25.1327412287 unités, la circonférence complète.

Exemple 4 : Arc à partir du diamètre 14 et de 120°. Donnés d = 14 unités, θ = 120° = 2π / 3 radians. Rayon r = 14 / 2 = 7 unités. Longueur d'arc L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 unités. Corde c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 unités. Aire du secteur A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 unités carrées. L'aire du segment est de 30.0950576159 unités carrées.

Exemple 5 : Demi-cercle avec un rayon de 10 et 180°. Donnés r = 10 unités, θ = 180° = π radians. Longueur d'arc L = 10 × π = 31.4159265359 unités. Corde c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 unités, le diamètre. Aire du secteur A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 unités carrées, exactement la moitié de l'aire du cercle complet. L'arc vaut π / 2 fois le diamètre, environ 57.08% de plus que la ligne droite qui traverse.

Exemple 6 : Cercle complet avec un rayon de 6 et 360°. Donnés r = 6 unités, θ = 360° = 2π radians. Longueur d'arc L = 6 × 2π = 37.6991118431 unités, ce qui est la circonférence complète. Corde c = 0, parce que les extrémités coïncident. Aire du secteur A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 unités carrées, l'aire du cercle complet. Le pourcentage de l'arc est de 100%.

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