圆弧长计算器

圆弧长计算器可以测量圆上任意一段的曲线距离，从一小段弧到完整的周长。它接受六种不同的起始测量值，因此您可以使用手头已有的任意数值。按照以下步骤，不到一分钟即可得到正确答案。

1. 选择输入方式。选择半径、直径、整圆周长、弦长、整圆面积或扇形面积。输入框、标签和单位列表会随您选择的方式而变化。
2. 输入测量值。在输入框中输入数值。如果输入面积，请使用平方单位列表（mm²、cm²、m²、km²、in²、ft²、yd²）。
3. 输入圆心角。使用 DEG/RAD 切换按钮以度数或弧度输入角度，或将角度滑块从 0° 拖到 360°。实时图形和结果会随拖动而更新。
4. 如果需要，设置起始角和结束角。默认的扫掠从 0° 开始，沿逆时针方向进行。更改起始角、结束角或方向，可以测量圆上任意位置的弧。决定弧长的是扫掠范围，而不是位置。
5. 选择输入单位和输出单位。计算器会把输入换算为统一的内部单位进行计算，再把答案换算为您选择的输出单位。数值随单位而变，长度本身不变。
6. 选择精度。选择 2、4、6 或 8 位小数，默认 4 位。计算器内部始终使用全精度的 π，只对显示结果进行四舍五入。
7. 点击“立即计算”。主要结果是所选弧的长度，并标明其分类：零长度弧、劣弧、半圆、优弧或整圆。在它下方，您会看到半径、直径、完整周长、互补弧、弦长、扇形面积、弓形面积、弧占周长的百分比、两种角度形式以及弧弦比。
8. 探索图形。实时圆图会画出完整圆，以金色高亮所选弧，并标出圆心 O、半径线、弦和端点。使用开关可以显示或隐藏半径、直径、弦、圆心点、角度标记以及劣弧和优弧。
9. 复制、打印或重置。使用“复制结果”把答案放到剪贴板，“打印摘要”生成一份简单报告，或使用“重置”清空面板。预设按钮可以即时加载经过验证的例题。

试一个例题。半径 5、角度 60° 时，弧长为 5.2359877560 个单位。半径 8、角度 90° 时为 12.5663706144 个单位。半径 4、角度 270° 时，优弧为 18.8495559215 个单位。直径 14、角度 120° 时为 14.6607657168 个单位。半径 10、角度 180° 时，半圆弧为 31.4159265359 个单位；半径 6、角度 360° 时为完整周长 37.6991118431 个单位。

重要提示。保持角度单位一致：60° 与 1.0471975512 弧度是同一个角，但 60 弧度不是 60°。弧长只是弯曲的距离；弦是另一种测量值，而且总是更短，零长度弧除外。如果输入直径，计算器会先把它除以二求出半径。零或负的测量值不是有效的圆，因此计算器会拒绝它，而不是给出误导性的答案。

圆是到定点（圆心 O）距离固定（即半径）的所有点的集合。弧是圆上两点之间连续的一段。弧长是沿着曲线从一个端点走到另一个端点、始终不离开圆的距离。

想象一条环形跑道。弧长就是沿跑道、两个入口之间的距离。同一对入口之间穿过内场的直线是弦，它更短。这个区别很重要：跑步者沿着曲线跑，所以起作用的是弯曲的距离。

每个圆都有相同的组成部分，只是按半径缩放。圆心 O 是定点。半径 r 从 O 到圆上任意一点。直径 d 穿过 O 从圆的一侧到另一侧，始终是半径的两倍。周长 C 是绕圆一周的距离，C = 2πr。圆心角 θ 是 O 点处、指向弧两端点的两条半径之间的夹角，它决定弧占周长的比例。

圆上两点总会产生两条弧：较短的一条是劣弧，较长的一条是优弧。两者合起来就是完整的周长。您需要哪一条取决于具体问题，计算器会同时显示两者，所以您不必猜测。

弧长是一维测量值，是长度，因此用 cm、m 或英寸等普通单位表示。它不是面积，也不是角度。把这三个量区分开，是算对每个圆计算的第一步。

圆的弧长直接来自整圆的周长。完整圆的周长是：

圆心角表示完整 360° 旋转的一部分。圆心角为 θ 的弧占整个圆的 θ / 360，因此：

化简后得到度数形式的公式：

当角度以弧度度量时，公式还要简单，因为弧度本身就是由半径定义的：

公式中每个符号都有确切的含义：

两种形式给出相同的答案。角度以度数给出时用 L = πrθ / 180，以弧度给出时用 L = rθ。计算器会先把度数换算成弧度，再用 L = rθ 在内部计算，这就是两种模式始终一致的原因。

用直径代替半径可以得到同一公式的另一种形式。因为 d = 2r，所以 r = d / 2，代入后得到弧度形式的 L = dθ / 2，或度数形式的 L = πdθ / 360。

半径加圆心角是求弧长最直接的方法。下面的例题使用半径 5 个单位、圆心角 60°。

1. 确定半径。r = 5 个单位。
2. 确定圆心角。θ = 60°。
3. 把度数换算成弧度。θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 弧度。
4. 写出弧长公式。L = rθ。
5. 代入数值。L = 5 × π / 3。
6. 计算。L = 5.2359877560 个单位。
7. 按需要四舍五入。保留两位小数时，L = 5.24 个单位。

同样的步骤适用于任意半径和角度。半径 8 个单位、角度 90° 时，L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 个单位。半径 3 个单位、角度 60° 时，L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 个单位。半径 1 个单位、角度 60° 时，L = 1.0471975512 个单位，正好等于 π / 3，是一个有用的检验：当 r = 1 时，弧长等于以弧度表示的角度。

四舍五入规则。只在最后一步四舍五入。如果先把 π 换成 3.14 再相乘，半径 5、角度 60° 会得到 5.2333333333，而不是 5.2359877560，误差为 0.0026544227。这个误差会随半径增大而增大，因此在整个计算中保持全精度，最后再对显示结果四舍五入。

当已知的是直径而不是半径时，先把它除以二，再用同样的公式。下面的例题使用直径 14 个单位、圆心角 120°。

1. 确定直径。d = 14 个单位。
2. 求出半径。r = d / 2 = 14 / 2 = 7 个单位。
3. 确定圆心角。θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 弧度。
4. 写出公式。L = rθ，或直接用 L = πdθ / 360。
5. 代入。L = 7 × 2.0943951024，或 L = π × 14 × 120 / 360。
6. 计算。L = 14.6607657168 个单位。
7. 按需要四舍五入。保留两位小数时，L = 14.66 个单位。

两条路线的结果完全一致，这是一个很好的自检方法。半径路线得到 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168。直径路线得到 π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168。如果两者不一致，说明直径没有正确地除以二。

另一个例子：直径 20 个单位、角度 180° 时，r = 10 个单位，因此 L = π × 10 = 31.4159265359 个单位，即半圆弧。直径 10 个单位、角度 60° 时，r = 5 个单位，因此 L = 5.2359877560 个单位。这个计算中最常见的错误是忘记除以二，把直径当作半径使用，这样答案会翻倍。对于 d = 14，这个错误会得到 29.3215314336，而不是 14.6607657168。

测量提示。在现实生活中，直径往往比半径更容易测量，因为可以直接横穿圆进行测量。这就是计算器直接接受直径输入的原因：横着量，输入数值，计算器会为您除以二。

度数是角度的日常单位。一个完整的圆包含 360°，因此以度数表示的圆心角直接告诉您弧占整圆的几分之几。90° 的角占圆的四分之一，180° 占一半，270° 占四分之三。

度数公式是 L = πrθ / 180，其中 θ 以度数表示。它来自分数的思想：θ / 360 乘以周长 2πr，再化简。

例题。半径 8 个单位，角度 90°。

1. 确定数值。r = 8 个单位，θ = 90°。
2. 求出弧占圆的比例。90 / 360 = 1 / 4，即四分之一圆。
3. 写出公式。L = πrθ / 180。
4. 代入。L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2。
5. 计算。L = 12.5663706144 个单位。
6. 对照周长检验。完整周长是 2π × 8 = 50.2654824574 个单位，它的四分之一是 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 个单位。两者一致。

半径为 5 个单位时的更多度数例子：30° 得到 L = 2.6179938780 个单位，45° 得到 L = 3.9269908170 个单位，120° 得到 L = 10.4719755120 个单位，270° 得到 L = 23.5619449019 个单位。注意，同一半径下角度翻倍，弧长也翻倍，因为弧长与圆心角成正比。

常见的度数错误。把度数值不经换算直接代入 L = rθ，会得到严重错误的答案。对于 r = 5 和 60°，不经换算的计算得到 5 × 60 = 300，而正确答案是 5.2359877560。公式 L = rθ 需要弧度，因此要么先换算，要么使用度数形式 L = πrθ / 180。

当弧长等于半径时，您得到的角就是 1 弧度：如果把一根与半径等长的绳子沿着圆绕起来，它在圆心处张开的角正是这个角。一个完整的圆包含 2π 弧度，约 6.2831853072 弧度，因为完整周长是 2πr，除以 r 后剩下 2π。

弧度公式是 L = rθ，是最简单的弧长公式。它里面没有 π，因为 π 已经包含在角度的弧度度量中。

例题。半径 5 个单位，角度 π / 3 弧度（即 60°）。

1. 确定数值。r = 5 个单位，θ = π / 3 = 1.0471975512 弧度。
2. 写出公式。L = rθ。
3. 代入。L = 5 × 1.0471975512。
4. 计算。L = 5.2359877560 个单位。
5. 对照度数检验。π / 3 弧度是 60°，度数公式得到 L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 个单位。两者完全一致。

更多弧度例子：半径 4 个单位、θ = π / 2 弧度时，L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 个单位。半径 6 个单位、θ = π / 4 弧度时，L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 个单位。半径 10 个单位、θ = π 弧度时，L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 个单位，即半圆弧。

为什么数学中更喜欢弧度。弧长的微积分公式，以及本页的弦、扇形和弓形面积公式，都使用弧度。度数适合日常测量，但弧度让数学变得简洁，这就是计算器在计算前把每个角度都换算成弧度的原因。

圆上两点把圆分成两条弧。较短的一条是劣弧，较长的一条是优弧。它们共享同一对端点，合起来就是完整的周长。

圆心角决定哪条是哪条。圆心角小于 180° 时得到劣弧，大于 180° 时得到优弧。正好 180° 时得到半圆，既不是劣弧也不是优弧：两条弧相等。

劣弧与优弧互补。对于较小的圆心角 θ，劣弧是 Lminor = rθ，优弧是 Lmajor = r(2π - θ)。它们的和始终是完整的周长：

例题。半径 5 个单位，较小角度 60°。劣弧是 L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 个单位。优弧使用优角 360° - 60° = 300°，因此 L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 个单位。两者之和是 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 个单位，正好是周长 2π × 5。劣弧占圆的 16.67%，优弧占 83.33%。

另一个例子。半径 4 个单位，角度 270°。这已经是优弧：L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 个单位。它互补的劣弧使用 90°：L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 个单位。两者之和是 25.1327412287 个单位，即完整周长 2π × 4。

不要混淆这两个角。最常见的劣弧/优弧错误，是在题目要求优弧时用了较小的角，或反过来。请始终确认给定的角是较小的角还是优角，并记住计算器会把两条弧并排显示，方便您选择题目需要的那一条。

弧长和弦长连接圆上同一对点，但走的路径不同。弧沿着曲线走，弦直线穿过。弧几乎总是更长。

公式清楚地显示了区别：

弦取决于半角的正弦值，它的增长比角度本身慢，因此随着角度增大，弧与弦之间的差距会拉大。

表格中有三个事实值得记住。在 30° 时，弧只比弦长约 1.15%，所以小角度下两者接近。在 180° 时，弦是直径，即 10 个单位，而弧是 πr = 15.7079632679 个单位。在 270° 时，弦缩回 7.0710678119 个单位，与 90° 时相同，因为弦取决于端点之间的较小夹角，而弧随扫掠范围继续增长。

特殊情况。在 60° 时，弦正好等于半径：c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r。对于 r = 5，弦是 5 个单位，半径、弦和两条半径构成一个等边三角形。这是一个方便的检验方法，也是考试出题者喜欢考的点。

为什么这很重要。如果要切割弯曲的管道，需要的是弧长。如果要测量圆形零件上两点之间的直线距离，需要的是弦。把两者混淆是最常见的圆计算错误之一，计算器会把两个值一起显示，让区别始终可见。

弧长和扇形面积听起来相似，但测量的东西不同。弧长是一维的弯曲距离，用普通单位度量。扇形面积是二维区域，即由两条半径和弧切出的圆的楔形部分，用平方单位度量。

公式看起来很像，这正是它们容易被混淆的原因：

扇形面积等于弧长乘以半径的一半：A = ½ × r × L。这个关系是一个有用的检验。对于半径 5 个单位、角度 60°，弧是 5.2359877560 个单位，扇形面积是 ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 平方单位。

单位就是线索。如果答案应该是长度，单位是 cm、m 或英寸。如果应该是面积，单位是 cm²、m² 或平方英寸。弧长答案用了平方单位，或扇形面积答案用了普通单位，那肯定错了。计算器会把两者分开，并清楚地标出单位。

整圆检验。在 360° 时，扇形就是整个圆，因此扇形面积必须等于 πr²。对于 r = 6，π × 36 = 113.0973355292 平方单位。同时，弧是完整周长 37.6991118431 个单位。两者来自相同的半径和角度，但回答的是不同的问题。

弓形是由弧和弦围成的区域。想象圆上被一条直线切下的一片：弯曲的边是弧，直的边是弦，两者之间的面积就是弓形。它比扇形小，因为扇形还包括由两条半径和弦构成的三角形。

弓形面积等于扇形面积减去两条半径与弦之间的三角形面积：

这里的 θ 是以弧度表示的中心扫掠角，介于 0 和 2π 之间。这个公式能正确处理劣弓形和优弓形：对于劣弧，它给出小的弓形帽；对于优弧，它给出覆盖圆大部分区域的大区域。

例题。对于 r = 5 个单位、60°，扇形面积是 13.0899693900 平方单位，弓形面积是 ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 平方单位。弓形比扇形小得多，因为三角形占据了楔形的大部分。对于 r = 5、90°，弓形是 7.1349540849 平方单位。对于 r = 8、90°，弓形是 18.2654824574 平方单位。

特殊情况。在 180° 时，sin θ = 0，因此弓形面积等于扇形面积：½ πr²。对于 r = 5，两者都是 39.2699081699 平方单位，正好是圆的一半。在 270° 时，sin θ = -1，因此弓形比扇形大：对于 r = 5，扇形是 58.9048622548 平方单位，弓形是 71.4048622548 平方单位。在 360° 时，弦消失，弓形就是整个圆 πr²。

一句话区分弓形与扇形。扇形是从圆心出发的楔形，弓形是弦以外的弓形帽。如果问题涉及圆心，需要的是扇形；如果只涉及弧和弦，需要的是弓形。

度数和弧度是度量同一事物（角度）的两种单位。度数把一整圈分成 360 等份，弧度用角度所截的弧、以半径为单位来度量角度。两者由一个换算关系联系起来：π 弧度等于 180°。

换算公式是：

换算例题。120° 换算成弧度是 120 × π / 180 = 2.0943951024 弧度。45° 是 45 × π / 180 = 0.7853981634 弧度。反过来，1 弧度是 1 × 180 / π = 57.2957795131°，2 弧度是 114.5915590262°。最后一个值很有用：当角度超过 2 弧度时，弧恰好变得比直径长。

应该用哪种单位？题目给度数就用度数，给弧度就用弧度。计算器接受两种单位，DEG/RAD 切换按钮可以在不改变弧的情况下换算角度。手算时，度数适合分数形式 L = πrθ / 180，弧度适合简洁形式 L = rθ。无论如何，绝不要在一个公式里混用两种单位。

有时既没有给出半径，也没有给出直径。计算器会先根据另外四种测量值之一反推半径，再像往常一样用 L = rθ 计算。同一个圆的六种方法会得到相同的半径和相同的弧长，因此您可以使用手头实际有的任意测量值。

根据整圆周长。完整周长是 C = 2πr，因此 r = C / (2π)。对于 C = 31.4159265359 个单位，r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 个单位。于是 60° 的弧是 L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 个单位。注意一个捷径：60° 的弧是周长的六分之一，31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 个单位。

根据弦长。弦长公式是 c = 2r sin(θ / 2)，因此 r = c / [2 sin(θ / 2)]。对于弦 5 个单位、角度 60°，r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 个单位。于是 L = 5.2359877560 个单位。弦长输入只在角度严格介于 0° 和 360° 之间时才有效：在 0° 或 360° 时弦为零，无法恢复半径，因此计算器会拒绝这种方法下的这些角度。

根据整圆面积。整圆面积是 A = πr²，因此 r = √(A / π)。对于 A = 78.5398163397 平方单位，r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 个单位。于是 60° 的弧是 L = 5.2359877560 个单位。您可以把半径代回面积公式来验证：π × 25 = 78.5398163397 平方单位。

根据扇形面积。扇形面积是 A = ½r²θ，因此 r = √(2A / θ)，其中 θ 以弧度表示。对于扇形面积 13.0899693900 平方单位、角度 60°，θ = 1.0471975512 弧度，因此 r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 个单位。于是 L = 5.2359877560 个单位。这种方法既需要面积也需要角度，因为相同的扇形面积可能来自多种半径与角度的组合。

选择哪种输入。使用您实际拥有的测量值。如果两种不同的测量值给出不同的半径，说明其中一个测量值错了，在相信任何一个答案之前，值得先查清这个分歧。

弧长不是抽象的课堂练习。任何需要测量、切割、建造或行走圆上弯曲距离的地方，都用同一个公式。

工程与制造。弯管从弧长开始：弯曲半径为 8 个单位、弯过 90° 的管道，仅弯曲部分就需要 12.5663706144 个单位的管材。卷成曲面板的金属板、齿轮齿廓和凸轮形状，在切割材料之前都需要弯曲长度。算错了会浪费材料，或让零件短一截。

建筑与施工。拱形门洞、圆形窗户、穹顶和弧形楼梯都按弧来标注尺寸。半径 10 个单位的半圆形拱，沿曲线需要 31.4159265359 个单位的装饰条。圆形花坛的包边订单，弯曲一侧需要弧长，直线一侧需要直径，这是两个不同的数字。

道路与赛道。环形公路弯道、跑道弯道或铁路弯道都按半径和圆心角来布局。弯道的长度决定沥青用量、铁轨长度以及车辆通过弯道行驶的距离。半径 7 个单位、120° 的弯道长 14.6607657168 个单位。

时钟、车轮与机器人。时钟指针随时间扫过一段弧。车轮在地面上滚动时，走过的距离等于它转过的弧。绕关节旋转的机器人手臂，其夹持器沿圆弧运动，行走的距离是 rθ，这就是弧度成为机器人学中自然单位的原因。

计算机图形与 CAD。CAD 模型、字体和动画中的曲线都是由圆弧构成的。弧的长度决定刀具路径如何分段、曲线如何渲染，以及动画中物体沿圆形路径移动多远。

关于真实形状的说明。并非每个弯曲结构都是完美的圆。真实的拱可能是椭圆形或抛物线形，真实的道路使用回旋曲线过渡。本页的圆公式在曲线是真正的圆弧时精确适用，只有当曲线接近圆形时才可作为良好的近似。在套用公式之前，请务必确认形状。

圆弧长计算中的大多数错误答案都来自一小部分错误。逐一检查每个错误只需几秒钟，却能避免大多数失误。

1. 用了直径而不是半径。公式需要的是 r，不是 d。把 d = 14 当作半径使用会让答案翻倍：120° 的弧会得到 29.3215314336，而不是 14.6607657168。先把直径除以二。
2. 忘记把度数换算成弧度。L = rθ 需要弧度。把 60° 直接代入会得到 5 × 60 = 300，而不是 5.2359877560。先换算，或使用 L = πrθ / 180。
3. 把圆心角与圆周角混淆。圆周角是张同一条弧的圆心角的一半。如果题目给出圆周角 φ，圆心角是 θ = 2φ，弧是 L = r × 2φ。直接使用 φ 会让答案减半。
4. 混淆优弧与劣弧。对于 r = 4，270° 的角给出优弧 18.8495559215 个单位。如果改用较小的角 90°，会得到 6.2831853072 个单位，即劣弧。请确认题目要求的是哪条弧。
5. 混淆弧长与弦长。弦是直线，始终比弧短。对于 r = 5、180°，弦是 10 个单位，弧是 15.7079632679 个单位。两者只有在零长度的极限情况下才相等。
6. 混淆扇形面积与弧长。扇形面积是二维区域，用平方单位表示；弧长是一维距离，用普通单位表示。对于 r = 5、60°，扇形面积是 13.0899693900 平方单位，弧是 5.2359877560 个单位。不同的量，不同的单位。
7. 用了错误的测量单位。半径用 cm、角度用度数没有问题，但答案会以 cm 为单位。在一次计算中混用 cm 和英寸，或忘记换算输出单位，会得到大小错误的数字。先换算，再计算。
8. 过早对 π 四舍五入。在相乘之前把 π 换成 3.14 会引入随半径增大的误差。在整个计算中保持全精度的 π，只对最终显示结果四舍五入。
9. 忘记整圆是 360°。360° 的角是完整周长 2πr，不是零。0° 的角是零长度弧。两者在图上看起来相似，因为端点重合，但它们的弧长差别尽可能大。
10. 用了错误的角度范围。圆的弧长公式假定扫掠范围在 0° 到 360° 之间。450° 的角不是一个圆上的有效单次扫掠：它是一整圈加上 90°，一个圆上的弧是剩下的 90°，对于 r = 8 是 12.5663706144 个单位。

能发现大多数错误的最终检验。对照周长验证结果。弧必须介于 0 和 2πr 之间，必须比弦长，劣弧加优弧必须正好等于 2πr。如果任何一项检验失败，原因就是上面十个错误之一。

这六个例题涵盖了计算器的主要输入方式和弧的类型。每个例题都由驱动该工具的同一引擎计算得出，每个结果都经过独立验证。

例题 1：半径 5、60° 的劣弧。已知 r = 5 个单位，θ = 60° = π / 3 弧度。弧长 L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 个单位。直径 d = 10 个单位。弦 c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 个单位。扇形面积 A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 平方单位。完整周长 C = 31.4159265359 个单位。

例题 2：半径 8、90° 的四分之一圆弧。已知 r = 8 个单位，θ = 90° = π / 2 弧度。弧长 L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 个单位。弦 c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 个单位。扇形面积 A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 平方单位。弧正好是周长 50.2654824574 个单位的四分之一。

例题 3：半径 4、270° 的优弧。已知 r = 4 个单位，θ = 270° = 3π / 2 弧度。弧长 L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 个单位。弦 c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 个单位。扇形面积 A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 平方单位。互补的劣弧使用 90°，是 6.2831853072 个单位。两条弧相加为 25.1327412287 个单位，即完整周长。

例题 4：直径 14、120° 的弧。已知 d = 14 个单位，θ = 120° = 2π / 3 弧度。半径 r = 14 / 2 = 7 个单位。弧长 L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 个单位。弦 c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 个单位。扇形面积 A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 平方单位。弓形面积是 30.0950576159 平方单位。

例题 5：半径 10、180° 的半圆。已知 r = 10 个单位，θ = 180° = π 弧度。弧长 L = 10 × π = 31.4159265359 个单位。弦 c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 个单位，即直径。扇形面积 A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 平方单位，正好是整圆面积的一半。弧是直径的 π / 2 倍，比横穿圆的直线长约 57.08%。

例题 6：半径 6、360° 的整圆。已知 r = 6 个单位，θ = 360° = 2π 弧度。弧长 L = 6 × 2π = 37.6991118431 个单位，即完整周长。弦 c = 0，因为端点重合。扇形面积 A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 平方单位，即整圆面积。弧占周长的百分比是 100%。

点击计算器中的任意预设按钮，即可加载其中一个例题，查看完整的分步解答、实时图形以及该输入的所有次要结果。