Kalkulator długości łuku okręgu

Kalkulator długości łuku okręgu mierzy zakrzywioną odległość wzdłuż dowolnej części okręgu, od małego wycinka po pełny obwód. Przyjmuje sześć różnych miar początkowych, więc możesz użyć tej wartości, którą już masz. Wykonaj poniższe kroki, aby otrzymać poprawną odpowiedź w mniej niż minutę.

1. Wybierz metodę wprowadzania. Wybierz Promień, Średnicę, Obwód pełnego okręgu, Długość cięciwy, Pole pełnego okręgu lub Pole wycinka. Pole wprowadzania, jego etykieta i lista jednostek zmieniają się zgodnie z wybraną metodą.
2. Wprowadź swoją miarę. Wpisz wartość w polu wprowadzania. W przypadku metod opartych na polu użyj listy jednostek kwadratowych (mm², cm², m², km², in², ft², yd²).
3. Wprowadź kąt środkowy. Wpisz kąt w stopniach lub radianach za pomocą przełącznika DEG/RAD albo przeciągnij suwak kąta od 0° do 360°. Diagram na żywo i wynik aktualizują się podczas przesuwania.
4. Ustaw kąty początkowy i końcowy, jeśli ich potrzebujesz. Domyślny łuk zaczyna się od 0° i biegnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Zmień kąt początkowy, kąt końcowy lub kierunek, aby zmierzyć łuk w dowolnym miejscu okręgu. O długości łuku decyduje zakres kąta, a nie położenie.
5. Wybierz jednostki wejściowe i wyjściowe. Kalkulator przelicza dane wejściowe na spójną jednostkę wewnętrzną, oblicza, a następnie przelicza odpowiedź na wybraną jednostkę wyjściową. Liczba zmienia się wraz z jednostką, długość nie.
6. Wybierz dokładność. Wybierz 2, 4, 6 lub 8 miejsc po przecinku. Domyślnie jest to 4. Kalkulator zawsze używa pełnej dokładności π wewnętrznie i zaokrągla tylko wyświetlany wynik.
7. Kliknij Oblicz teraz. Głównym wynikiem jest długość wybranego łuku wraz z jego klasyfikacją: łuk o zerowej długości, łuk mniejszy, półokrąg, łuk większy lub pełny okrąg. Poniżej otrzymasz promień, średnicę, pełny obwód, łuk dopełniający, długość cięciwy, pole wycinka, pole odcinka koła, procent łuku, obie postacie kąta oraz stosunek łuku do cięciwy.
8. Poznaj diagram. Diagram okręgu na żywo rysuje pełny okrąg, podświetla wybrany łuk na złoto oraz oznacza środek O, linie promieni, cięciwę i końce. Użyj przełączników, aby pokazać lub ukryć promień, średnicę, cięciwę, punkt środkowy, znacznik kąta oraz łuki mniejszy i większy.
9. Skopiuj, wydrukuj lub zresetuj. Użyj opcji Kopiuj wynik, aby umieścić odpowiedź w schowku, Drukuj podsumowanie, aby uzyskać prosty raport, lub Resetuj, aby wyczyścić panel. Przyciski z przykładami ładują zweryfikowane przykłady natychmiast.

Wypróbuj przykład. Promień 5 przy kącie 60° daje łuk o długości 5.2359877560 jednostek. Promień 8 przy 90° daje 12.5663706144 jednostek. Promień 4 przy 270° daje łuk większy o długości 18.8495559215 jednostek. Średnica 14 przy 120° daje 14.6607657168 jednostek. Promień 10 przy 180° daje łuk półokręgu o długości 31.4159265359 jednostek, a promień 6 przy 360° daje pełny obwód 37.6991118431 jednostek.

Ważne wskazówki. Zachowaj spójność jednostek kąta: 60° i 1.0471975512 radiana to ten sam kąt, ale 60 radianów to nie 60°. Długość łuku to tylko zakrzywiona odległość; cięciwa to inna miara i zawsze jest krótsza, z wyjątkiem łuku o zerowej długości. Jeśli wprowadzisz średnicę, kalkulator najpierw dzieli ją na pół, aby znaleźć promień. Miara zerowa lub ujemna nie jest prawidłowym okręgiem, więc kalkulator ją odrzuca zamiast pokazywać wprowadzającą w błąd odpowiedź.

Okrąg to zbiór wszystkich punktów znajdujących się w stałej odległości, promieniu, od punktu środkowego O. Łuk to ciągła część okręgu między dwoma punktami na nim. Długość łuku to odległość, którą pokonasz, idąc wzdłuż krzywej od jednego końca do drugiego, pozostając cały czas na okręgu.

Wyobraź sobie okrągłą bieżnię. Długość łuku to odległość wzdłuż toru między dwiema bramkami. Prosta przecinająca boisko między tymi samymi dwiema bramkami to cięciwa i jest krótsza. Różnica ma znaczenie: biegacz podąża za krzywą, więc liczy się zakrzywiona odległość.

Każdy okrąg ma te same części, przeskalowane według promienia. Środek O to stały punkt. Promień r biegnie od O do dowolnego punktu na okręgu. Średnica d biegnie z jednej strony na drugą przez O i zawsze jest dwa razy dłuższa od promienia. Obwód C to odległość dookoła, C = 2πr. Kąt środkowy θ to kąt przy O między dwoma promieniami biegnącymi do końcówek łuku i decyduje, jaką część obwodu obejmuje łuk.

Dwa punkty na okręgu zawsze tworzą dwa łuki: krótszy, łuk mniejszy, i dłuższy, łuk większy. Razem tworzą pełny obwód. To, który z nich jest potrzebny, zależy od zadania, a kalkulator pokazuje oba, więc nigdy nie musisz zgadywać.

Długość łuku to miara jednowymiarowa, długość, więc podaje się ją w zwykłych jednostkach, takich jak cm, m czy cale. Nie jest to pole ani kąt. Rozróżnienie tych trzech wielkości to pierwszy krok do poprawnego wykonywania każdego obliczenia na okręgu.

Długość łuku okręgu wynika wprost z obwodu pełnego okręgu. Obwód pełnego okręgu to:

Kąt środkowy stanowi ułamek pełnego obrotu 360°. Łuk o kącie środkowym θ obejmuje ułamek θ / 360 całego okręgu, więc:

Uproszczenie daje postać wzoru w stopniach:

Gdy kąt mierzy się w radianach, wzór jest jeszcze prostszy, ponieważ radian jest zdefiniowany przez sam promień:

Każdy symbol we wzorach ma dokładne znaczenie:

Obie postacie dają tę samą odpowiedź. Użyj L = πrθ / 180, gdy kąt jest w stopniach, oraz L = rθ, gdy jest w radianach. Kalkulator najpierw przelicza stopnie na radiany, a następnie wewnętrznie używa L = rθ, dlatego oba tryby zawsze dają zgodny wynik.

Użycie średnicy zamiast promienia daje drugą postać tego samego wzoru. Ponieważ d = 2r, to r = d / 2, a podstawienie daje L = dθ / 2 w radianach lub L = πdθ / 360 w stopniach.

Promień wraz z kątem środkowym to najbardziej bezpośredni sposób na znalezienie długości łuku. Poniższy przykład obliczeniowy wykorzystuje promień 5 jednostek i kąt środkowy 60°.

1. Określ promień. r = 5 jednostek.
2. Określ kąt środkowy. θ = 60°.
3. Przelicz stopnie na radiany. θ = 60 × π / 180 = π / 3 = 1.0471975512 radiana.
4. Zapisz wzór na długość łuku. L = rθ.
5. Podstaw wartości. L = 5 × π / 3.
6. Oblicz. L = 5.2359877560 jednostek.
7. Zaokrąglij w razie potrzeby. Do dwóch miejsc po przecinku, L = 5.24 jednostek.

Te same kroki działają dla dowolnego promienia i kąta. Promień 8 jednostek przy 90° daje L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 jednostek. Promień 3 jednostek przy 60° daje L = 3 × π / 3 = 3.1415926536 jednostek. Promień 1 jednostki przy 60° daje L = 1.0471975512 jednostek, czyli dokładnie π / 3, co jest przydatnym sprawdzeniem: dla r = 1 długość łuku jest równa kątowi w radianach.

Zasada zaokrąglania. Zaokrąglaj dopiero na końcu. Jeśli zastąpisz π liczbą 3.14 przed mnożeniem, promień 5 przy 60° da 5.2333333333 zamiast 5.2359877560, błąd 0.0026544227. Błąd ten rośnie wraz z promieniem, więc zachowaj pełną dokładność przez całe obliczenie i zaokrąglij dopiero końcowy wyświetlany wynik.

Gdy znasz średnicę zamiast promienia, najpierw podziel ją na pół, a następnie zastosuj ten sam wzór. Poniższy przykład obliczeniowy wykorzystuje średnicę 14 jednostek i kąt środkowy 120°.

1. Określ średnicę. d = 14 jednostek.
2. Znajdź promień. r = d / 2 = 14 / 2 = 7 jednostek.
3. Określ kąt środkowy. θ = 120° = 2π / 3 = 2.0943951024 radiana.
4. Zapisz wzór. L = rθ lub bezpośrednio L = πdθ / 360.
5. Podstaw. L = 7 × 2.0943951024 lub L = π × 14 × 120 / 360.
6. Oblicz. L = 14.6607657168 jednostek.
7. Zaokrąglij w razie potrzeby. Do dwóch miejsc po przecinku, L = 14.66 jednostek.

Obie drogi dają dokładnie zgodny wynik, co jest dobrym sprawdzeniem. Droga przez promień daje 7 × 2.0943951024 = 14.6607657168. Droga przez średnicę daje π × 14 × 120 / 360 = 14.6607657168. Jeśli wyniki się różnią, średnica nie została poprawnie podzielona na pół.

Inny przykład: średnica 20 jednostek przy 180° daje r = 10 jednostek, więc L = π × 10 = 31.4159265359 jednostek, łuk półokręgu. Średnica 10 jednostek przy 60° daje r = 5 jednostek, więc L = 5.2359877560 jednostek. Najczęstszym błędem w tym obliczeniu jest zapomnienie o dzieleniu przez dwa i użycie średnicy tak, jakby była promieniem, co podwaja odpowiedź. Dla d = 14 ten błąd daje 29.3215314336 zamiast 14.6607657168.

Wskazówka pomiarowa. Średnice często łatwiej zmierzyć w życiu codziennym niż promienie, ponieważ można zmierzyć prosto w poprzek okręgu. Dlatego kalkulator przyjmuje średnicę bezpośrednio: zmierz w poprzek, wprowadź ją, a kalkulator podzieli ją na pół za ciebie.

Stopnie to codzienna jednostka kąta. Pełny okrąg zawiera 360°, więc kąt środkowy w stopniach mówi bezpośrednio, jaką część pełnego okręgu obejmuje łuk. Kąt 90° obejmuje jedną czwartą okręgu, 180° obejmuje połowę, a 270° obejmuje trzy czwarte.

Wzór w stopniach to L = πrθ / 180, gdzie θ jest w stopniach. Wynika z idei ułamka: θ / 360 obwodu 2πr, po uproszczeniu.

Przykład obliczeniowy. Promień 8 jednostek, kąt 90°.

1. Określ wartości. r = 8 jednostek, θ = 90°.
2. Znajdź ułamek okręgu. 90 / 360 = 1 / 4, ćwierć okręgu.
3. Zapisz wzór. L = πrθ / 180.
4. Podstaw. L = π × 8 × 90 / 180 = π × 8 / 2.
5. Oblicz. L = 12.5663706144 jednostek.
6. Sprawdź względem obwodu. Pełny obwód to 2π × 8 = 50.2654824574 jednostek, a jedna czwarta z tego to 50.2654824574 / 4 = 12.5663706144 jednostek. Wyniki są zgodne.

Więcej przykładów w stopniach przy promieniu 5 jednostek: 30° daje L = 2.6179938780 jednostek, 45° daje L = 3.9269908170 jednostek, 120° daje L = 10.4719755120 jednostek, a 270° daje L = 23.5619449019 jednostek. Zauważ, że podwojenie kąta podwaja długość łuku przy tym samym promieniu, ponieważ długość łuku jest wprost proporcjonalna do kąta środkowego.

Typowy błąd przy stopniach. Wstawienie wartości w stopniach bezpośrednio do L = rθ bez przeliczenia daje bardzo błędną odpowiedź. Dla r = 5 i 60° nieprzeliczone obliczenie daje 5 × 60 = 300, a poprawna odpowiedź to 5.2359877560. Wzór L = rθ wymaga radianów, więc albo najpierw przelicz, albo użyj postaci w stopniach L = πrθ / 180.

Radian to kąt, który otrzymujesz, gdy długość łuku jest równa promieniowi. Jeśli owiniesz wokół okręgu sznurek o długości równej promieniowi, kąt, który wyznacza on przy środku, to dokładnie 1 radian. Pełny okrąg zawiera 2π radianów, około 6.2831853072 radiana, ponieważ pełny obwód to 2πr, a po podzieleniu przez r zostaje 2π.

Wzór w radianach to L = rθ, najprostszy wzór na długość łuku. Nie zawiera π, ponieważ π jest już zawarte w mierze kąta wyrażonej w radianach.

Przykład obliczeniowy. Promień 5 jednostek, kąt π / 3 radiana (czyli 60°).

1. Określ wartości. r = 5 jednostek, θ = π / 3 = 1.0471975512 radiana.
2. Zapisz wzór. L = rθ.
3. Podstaw. L = 5 × 1.0471975512.
4. Oblicz. L = 5.2359877560 jednostek.
5. Sprawdź względem stopni. π / 3 radiana to 60°, a wzór w stopniach daje L = π × 5 × 60 / 180 = 5.2359877560 jednostek. Wyniki są dokładnie zgodne.

Więcej przykładów w radianach: promień 4 jednostek przy θ = π / 2 radiana daje L = 4 × 1.5707963268 = 6.2831853072 jednostek. Promień 6 jednostek przy θ = π / 4 radiana daje L = 6 × 0.7853981634 = 4.7123889804 jednostek. Promień 10 jednostek przy θ = π radianów daje L = 10 × 3.1415926536 = 31.4159265359 jednostek, łuk półokręgu.

Dlaczego radiany są preferowane w matematyce. Wzory rachunku różniczkowego na długość łuku oraz wzory na cięciwę, wycinek i pole odcinka na tej stronie używają radianów. Stopnie są wygodne w codziennych pomiarach, ale radiany sprawiają, że matematyka jest przejrzysta, dlatego kalkulator przelicza każdy kąt na radiany przed obliczeniem.

Dwa punkty na okręgu dzielą go na dwa łuki. Krótszy z nich to łuk mniejszy, a dłuższy to łuk większy. Mają te same końce, a razem tworzą pełny obwód.

Kąt środkowy decyduje, który jest który. Kąt środkowy poniżej 180° daje łuk mniejszy. Kąt środkowy powyżej 180° daje łuk większy. Dokładnie 180° daje półokrąg, który nie jest ani mniejszy, ani większy: oba łuki są równe.

Łuki mniejszy i większy dopełniają się. Dla mniejszego kąta środkowego θ łuk mniejszy to Lminor = rθ, a łuk większy to Lmajor = r(2π - θ). Ich suma zawsze jest pełnym obwodem:

Przykład obliczeniowy. Promień 5 jednostek, mniejszy kąt 60°. Łuk mniejszy to L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 jednostek. Łuk większy wykorzystuje kąt wypukły 360° - 60° = 300°, więc L = 5 × 5.2359877560 = 26.1799387799 jednostek. Suma to 5.2359877560 + 26.1799387799 = 31.4159265359 jednostek, czyli dokładnie obwód 2π × 5. Łuk mniejszy to 16.67% okręgu, a łuk większy to 83.33%.

Inny przykład. Promień 4 jednostek, kąt 270°. To już łuk większy: L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 jednostek. Jego dopełniający łuk mniejszy wykorzystuje 90°: L = 4 × π / 2 = 6.2831853072 jednostek. Suma to 25.1327412287 jednostek, pełny obwód 2π × 4.

Nie myl tych dwóch kątów. Najczęstszym błędem przy łukach mniejszych i większych jest użycie mniejszego kąta, gdy zadanie wymaga łuku większego, lub odwrotnie. Zawsze sprawdź, czy podany kąt jest mniejszym kątem, czy kątem wypukłym, i pamiętaj, że kalkulator pokazuje oba łuki obok siebie, abyś mógł wybrać ten, którego wymaga zadanie.

Długość łuku i długość cięciwy łączą te same dwa punkty na okręgu, ale biegną różnymi drogami. Łuk podąża za krzywą. Cięciwa przecina prosto. Łuk jest prawie zawsze dłuższy.

Wzory wyraźnie pokazują różnicę:

Cięciwa zależy od sinusa połowy kąta, który rośnie wolniej niż sam kąt, więc różnica między łukiem a cięciwą powiększa się wraz ze wzrostem kąta.

Trzy fakty z tabeli warto zapamiętać. Przy 30° łuk jest tylko około 1.15% dłuższy od cięciwy, więc przy małych kątach oba są bliskie. Przy 180° cięciwa to średnica, 10 jednostek, natomiast łuk to πr = 15.7079632679 jednostek. Przy 270° cięciwa kurczy się z powrotem do 7.0710678119 jednostek, tyle samo co przy 90°, ponieważ cięciwa zależy od mniejszego kąta między końcami, podczas gdy łuk rośnie wraz z zakresem kąta.

Przypadek szczególny. Przy 60° cięciwa jest dokładnie równa promieniowi: c = 2r sin(30°) = 2r × 0.5 = r. Dla r = 5 cięciwa ma 5 jednostek, a promień, cięciwa i dwa promienie tworzą trójkąt równoboczny. To przydatne sprawdzenie i ulubiony chwyt autorów zadań egzaminacyjnych.

Dlaczego to ma znaczenie. Jeśli tniesz zakrzywioną rurę, potrzebujesz długości łuku. Jeśli mierzysz prostą odległość między dwoma punktami na okrągłej części, potrzebujesz cięciwy. Pomylenie ich to jeden z najczęstszych błędów przy okręgu, a kalkulator pokazuje obie wartości razem, aby różnica była zawsze widoczna.

Długość łuku i pole wycinka brzmią podobnie, ale mierzą różne rzeczy. Długość łuku to jednowymiarowa zakrzywiona odległość, mierzona w zwykłych jednostkach. Pole wycinka to dwuwymiarowy obszar, klin okręgu wycięty przez dwa promienie i łuk, mierzony w jednostkach kwadratowych.

Wzory wyglądają podobnie, i właśnie dlatego są mylone:

Pole wycinka to długość łuku pomnożona przez połowę promienia: A = ½ × r × L. Ta zależność to przydatne sprawdzenie. Dla promienia 5 jednostek i 60° łuk ma 5.2359877560 jednostek, a pole wycinka to ½ × 5 × 5.2359877560 = 13.0899693900 jednostek kwadratowych.

Jednostki są wskazówką. Jeśli odpowiedź ma być długością, jednostką jest cm, m lub cale. Jeśli ma być polem, jednostką jest cm², m² lub cale kwadratowe. Odpowiedź na długość łuku w jednostkach kwadratowych albo odpowiedź na pole wycinka w zwykłych jednostkach jest z pewnością błędna. Kalkulator trzyma te dwie wielkości osobno i wyraźnie oznacza jednostki.

Sprawdzenie dla pełnego okręgu. Przy 360° wycinek to cały okrąg, więc pole wycinka musi być równe πr². Dla r = 6, π × 36 = 113.0973355292 jednostek kwadratowych. Łuk w tym samym czasie to pełny obwód, 37.6991118431 jednostek. Oba wynikają z tego samego promienia i kąta, ale odpowiadają na różne pytania.

Odcinek koła to obszar ograniczony łukiem i jego cięciwą. Wyobraź sobie plasterek okręgu odcięty prostą linią: zakrzywiona krawędź to łuk, prosta krawędź to cięciwa, a pole między nimi to odcinek. Jest mniejszy od wycinka, ponieważ wycinek obejmuje również trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę.

Pole odcinka to pole wycinka minus pole trójkąta między dwoma promieniami a cięciwą:

Tutaj θ to kąt środkowy w radianach, od 0 do 2π. Wzór poprawnie obsługuje zarówno odcinki mniejsze, jak i większe: dla łuku mniejszego daje małą czapkę, a dla łuku większego daje duży obszar obejmujący większość okręgu.

Przykłady obliczeniowe. Dla r = 5 jednostek i 60° pole wycinka to 13.0899693900 jednostek kwadratowych, a pole odcinka to ½ × 25 × (1.0471975512 - 0.8660254038) = 2.2646518427 jednostek kwadratowych. Odcinek jest znacznie mniejszy od wycinka, ponieważ trójkąt zajmuje większość klina. Dla r = 5 i 90° odcinek ma 7.1349540849 jednostek kwadratowych. Dla r = 8 i 90° odcinek ma 18.2654824574 jednostek kwadratowych.

Przypadki szczególne. Przy 180° sin θ = 0, więc pole odcinka jest równe polu wycinka: ½ πr². Dla r = 5 oba wynoszą 39.2699081699 jednostek kwadratowych, czyli dokładnie połowę okręgu. Przy 270° sin θ = -1, więc odcinek jest większy od wycinka: dla r = 5 wycinek ma 58.9048622548 jednostek kwadratowych, a odcinek ma 71.4048622548 jednostek kwadratowych. Przy 360° cięciwa znika, a odcinek to cały okrąg, πr².

Odcinek a wycinek, w jednym zdaniu. Wycinek to klin od środka. Odcinek to czapka za cięciwą. Jeśli zadanie dotyczy środka, potrzebujesz wycinka. Jeśli dotyczy tylko łuku i jego cięciwy, potrzebujesz odcinka.

Stopnie i radiany to dwie jednostki tej samej wielkości, kąta. Stopnie dzielą pełny obrót na 360 równych części. Radiany mierzą kąt łukiem, który odcinają, w jednostkach promienia. Obie są powiązane jedną zależnością: π radianów to 180°.

Wzory przeliczeniowe to:

Przykłady przeliczeń. 120° w radianach to 120 × π / 180 = 2.0943951024 radiana. 45° to 45 × π / 180 = 0.7853981634 radiana. W drugą stronę 1 radian to 1 × 180 / π = 57.2957795131°, a 2 radiany to 114.5915590262°. Ta ostatnia wartość jest przydatna: łuk staje się dłuższy od średnicy dokładnie wtedy, gdy kąt przekracza 2 radiany.

Której jednostki użyć? Użyj stopni, gdy zadanie podaje stopnie, i radianów, gdy podaje radiany. Kalkulator przyjmuje obie, a przełącznik DEG/RAD przelicza kąt bez zmiany łuku. Przy obliczeniach ręcznych stopnie pasują do postaci ułamkowej L = πrθ / 180, natomiast radiany pasują do prostej postaci L = rθ. W każdym razie nigdy nie mieszaj obu w jednym wzorze.

Czasami nie podano ani promienia, ani średnicy. Kalkulator działa wstecz od czterech innych miar, najpierw wyznaczając promień, a następnie stosując jak zwykle L = rθ. Wszystkie sześć metod daje ten sam promień i tę samą długość łuku dla tego samego okręgu, więc możesz użyć tej miary, którą rzeczywiście masz.

Na podstawie pełnego obwodu okręgu. Pełny obwód to C = 2πr, więc r = C / (2π). Dla C = 31.4159265359 jednostek, r = 31.4159265359 / 6.2831853072 = 5 jednostek. Wtedy łuk 60° to L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 jednostek. Zauważ skrót: łuk 60° to jedna szósta obwodu, a 31.4159265359 / 6 = 5.2359877560 jednostek.

Na podstawie długości cięciwy. Wzór na cięciwę to c = 2r sin(θ / 2), więc r = c / [2 sin(θ / 2)]. Dla cięciwy 5 jednostek przy kącie 60°, r = 5 / (2 × sin 30°) = 5 / (2 × 0.5) = 5 jednostek. Wtedy L = 5.2359877560 jednostek. Wprowadzanie cięciwy działa tylko wtedy, gdy kąt jest ściśle między 0° a 360°: przy 0° lub 360° cięciwa jest zerowa i nie można odzyskać promienia, więc kalkulator odrzuca te kąty dla tej metody.

Na podstawie pola pełnego okręgu. Pole pełnego okręgu to A = πr², więc r = √(A / π). Dla A = 78.5398163397 jednostek kwadratowych, r = √(78.5398163397 / π) = √(25) = 5 jednostek. Wtedy łuk 60° to L = 5.2359877560 jednostek. Możesz zweryfikować promień, wstawiając go z powrotem do wzoru na pole: π × 25 = 78.5398163397 jednostek kwadratowych.

Na podstawie pola wycinka. Pole wycinka to A = ½r²θ, więc r = √(2A / θ), przy θ w radianach. Dla pola wycinka 13.0899693900 jednostek kwadratowych przy kącie 60°, θ = 1.0471975512 radiana, więc r = √(2 × 13.0899693900 / 1.0471975512) = √(25) = 5 jednostek. Wtedy L = 5.2359877560 jednostek. Ta metoda wymaga kąta oprócz pola, ponieważ to samo pole wycinka może pochodzić z wielu kombinacji promienia i kąta.

Które dane wejściowe wybrać. Użyj tej miary, którą rzeczywiście masz. Jeśli dwie różne miary dają różne promienie, jedna z miar jest błędna i tę niezgodność warto zbadać, zanim zaufasz którejkolwiek odpowiedzi.

Długość łuku to nie abstrakcyjne ćwiczenie szkolne. Wszędzie tam, gdzie trzeba zmierzyć, wyciąć, zbudować lub przejechać zakrzywioną odległość na okręgu, stosuje się ten sam wzór.

Inżynieria i produkcja. Gięcie rur zaczyna się od długości łuku: rura zgięta o 90° przy promieniu gięcia 8 jednostek potrzebuje 12.5663706144 jednostek rury na samo zagięcie. Blacha walcowana w zakrzywiony panel, profil zęba przekładni i kształt krzywki wymagają zakrzywionej długości przed cięciem materiału. Błąd marnuje materiał albo zostawia część za krótką.

Architektura i budownictwo. Łukowe drzwi, okrągłe okna, kopuły i zakrzywione schody są wymiarowane według ich łuków. Łuk półkolisty o promieniu 10 jednostek potrzebuje 31.4159265359 jednostek listwy wzdłuż krzywej. Zamówienie obramowania okrągłej rabaty wymaga łuku dla zakrzywionego boku i średnicy dla prostego boku, a to różne liczby.

Drogi i tory. Okrągły zakręt drogi, łuk bieżni lub zakręt kolejowy są wytyczane według promienia i kąta środkowego. Długość zakrętu decyduje o ilości asfaltu, długości szyny i odległości, jaką pojazd pokonuje przez zakręt. Zakręt 120° o promieniu 7 jednostek ma długość 14.6607657168 jednostek.

Zegary, koła i robotyka. Wskazówka zegara zakreśla łuk w miarę upływu czasu. Koło toczące się po ziemi pokonuje odległość równą łukowi, przez który się obraca. Ramię robota obracające się wokół przegubu porusza chwytak po łuku koła, a pokonana odległość to rθ, dlatego radiany są naturalną jednostką w robotyce.

Grafika komputerowa i CAD. Krzywe w modelach CAD, czcionkach i animacjach są budowane z łuków kołowych. Długość łuku decyduje o tym, jak dzieli się ścieżkę narzędzia, jak renderuje się krzywą i jak daleko obiekt przesuwa się po ścieżce kołowej w animacji.

Uwaga o rzeczywistych kształtach. Nie każda zakrzywiona konstrukcja jest idealnym okręgiem. Prawdziwe łuki mogą być eliptyczne lub paraboliczne, a prawdziwe drogi wykorzystują przejścia klotoidy. Wzory dla okręgu na tej stronie stosują się dokładnie, gdy krzywa jest prawdziwym łukiem kołowym, i są dobrym przybliżeniem tylko wtedy, gdy krzywa jest bliska okręgu. Zawsze potwierdź kształt przed zastosowaniem wzoru.

Większość błędnych odpowiedzi przy długości łuku okręgu wynika z krótkiej listy błędów. Sprawdzenie każdego z nich zajmuje sekundy i pozwala uniknąć większości pomyłek.

1. Używanie średnicy zamiast promienia. Wzór wymaga r, a nie d. Użycie d = 14 jako promienia podwaja odpowiedź: 29.3215314336 zamiast 14.6607657168 dla łuku 120°. Najpierw podziel średnicę na pół.
2. Zapomnienie o przeliczeniu stopni na radiany. L = rθ wymaga radianów. Wstawienie 60° bezpośrednio daje 5 × 60 = 300 zamiast 5.2359877560. Najpierw przelicz albo użyj L = πrθ / 180.
3. Mylenie kąta środkowego z kątem wpisanym. Kąt wpisany to połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Jeśli zadanie podaje kąt wpisany φ, kąt środkowy to θ = 2φ, a łuk to L = r × 2φ. Użycie φ bezpośrednio zmniejsza odpowiedź o połowę.
4. Mieszanie łuków większych i mniejszych. Kąt 270° daje łuk większy o długości 18.8495559215 jednostek dla r = 4. Użycie zamiast tego mniejszego kąta 90° daje 6.2831853072 jednostek, łuk mniejszy. Sprawdź, o który łuk pyta zadanie.
5. Mylenie długości łuku z długością cięciwy. Cięciwa to prosta linia, zawsze krótsza od łuku. Dla r = 5 i 180° cięciwa ma 10 jednostek, a łuk ma 15.7079632679 jednostek. Są równe tylko w granicznym przypadku łuku o zerowej długości.
6. Mylenie pola wycinka z długością łuku. Pole wycinka to dwuwymiarowy obszar w jednostkach kwadratowych. Długość łuku to jednowymiarowa odległość w zwykłych jednostkach. Dla r = 5 i 60° pole wycinka to 13.0899693900 jednostek kwadratowych, a łuk ma 5.2359877560 jednostek. Różne wielkości, różne jednostki.
7. Używanie niewłaściwych jednostek miary. Promień w cm i kąt w stopniach to w porządku, ale odpowiedź wyjdzie w cm. Mieszanie cm i cali w jednym obliczeniu albo zapomnienie o przeliczeniu jednostki wyjściowej daje liczbę o niewłaściwej wielkości. Najpierw przelicz, potem obliczaj.
8. Zaokrąglanie π zbyt wcześnie. Zastąpienie π liczbą 3.14 przed mnożeniem wprowadza błąd, który rośnie wraz z promieniem. Zachowaj pełną dokładność π przez całe obliczenie i zaokrąglij dopiero końcowy wyświetlany wynik.
9. Zapomnienie, że pełny okrąg to 360°. Kąt 360° to pełny obwód, 2πr, a nie zero. Kąt 0° to łuk o zerowej długości. Oba wyglądają podobnie na diagramie, ponieważ końce się pokrywają, ale ich długości łuku różnią się tak bardzo, jak to możliwe.
10. Użycie niewłaściwego przedziału kąta. Wzory na długość łuku okręgu zakładają, że zakres kąta mieści się między 0° a 360°. Kąt 450° nie jest prawidłowym pojedynczym łukiem na jednym okręgu: to pełny obrót plus 90°, a łuk dla jednego okręgu to pozostałe 90°, 12.5663706144 jednostek dla r = 8.

Ostatnie sprawdzenie, które wykrywa większość z nich. Zweryfikuj wynik względem obwodu. Łuk musi mieścić się między 0 a 2πr, musi być dłuższy od cięciwy, a łuki mniejszy i większy muszą sumować się do dokładnie 2πr. Jeśli którekolwiek z tych sprawdzeń zawiedzie, przyczyną jest jeden z dziesięciu błędów powyżej.

Te sześć przykładów obejmuje główne metody wprowadzania danych i rodzaje łuków kalkulatora. Każdy z nich jest obliczany przez ten sam silnik, który napędza narzędzie, a każdy wynik został niezależnie zweryfikowany.

Przykład 1: Łuk mniejszy o promieniu 5 i kącie 60°. Dane: r = 5 jednostek, θ = 60° = π / 3 radiana. Długość łuku L = 5 × π / 3 = 5.2359877560 jednostek. Średnica d = 10 jednostek. Cięciwa c = 2 × 5 × sin(30°) = 5 jednostek. Pole wycinka A = ½ × 25 × π / 3 = 13.0899693900 jednostek kwadratowych. Pełny obwód C = 31.4159265359 jednostek.

Przykład 2: Łuk ćwierćokręgu o promieniu 8 i kącie 90°. Dane: r = 8 jednostek, θ = 90° = π / 2 radiana. Długość łuku L = 8 × π / 2 = 12.5663706144 jednostek. Cięciwa c = 2 × 8 × sin(45°) = 11.3137084990 jednostek. Pole wycinka A = ½ × 64 × π / 2 = 50.2654824574 jednostek kwadratowych. Łuk to dokładnie jedna czwarta obwodu 50.2654824574 jednostek.

Przykład 3: Łuk większy o promieniu 4 i kącie 270°. Dane: r = 4 jednostek, θ = 270° = 3π / 2 radiana. Długość łuku L = 4 × 3π / 2 = 18.8495559215 jednostek. Cięciwa c = 2 × 4 × sin(135°) = 5.6568542495 jednostek. Pole wycinka A = ½ × 16 × 3π / 2 = 37.6991118431 jednostek kwadratowych. Dopełniający łuk mniejszy, przy użyciu 90°, ma 6.2831853072 jednostek. Oba łuki sumują się do 25.1327412287 jednostek, pełnego obwodu.

Przykład 4: Łuk ze średnicy 14 i kąta 120°. Dane: d = 14 jednostek, θ = 120° = 2π / 3 radiana. Promień r = 14 / 2 = 7 jednostek. Długość łuku L = 7 × 2π / 3 = 14.6607657168 jednostek. Cięciwa c = 2 × 7 × sin(60°) = 12.1243556530 jednostek. Pole wycinka A = ½ × 49 × 2π / 3 = 51.3126800086 jednostek kwadratowych. Pole odcinka to 30.0950576159 jednostek kwadratowych.

Przykład 5: Półokrąg o promieniu 10 i kącie 180°. Dane: r = 10 jednostek, θ = 180° = π radianów. Długość łuku L = 10 × π = 31.4159265359 jednostek. Cięciwa c = 2 × 10 × sin(90°) = 20 jednostek, średnica. Pole wycinka A = ½ × 100 × π = 157.0796326795 jednostek kwadratowych, dokładnie połowa pola pełnego okręgu. Łuk jest π / 2 razy dłuższy od średnicy, około 57.08% dłuższy od prostej linii w poprzek.

Przykład 6: Pełny okrąg o promieniu 6 i kącie 360°. Dane: r = 6 jednostek, θ = 360° = 2π radianów. Długość łuku L = 6 × 2π = 37.6991118431 jednostek, czyli pełny obwód. Cięciwa c = 0, ponieważ końce się pokrywają. Pole wycinka A = ½ × 36 × 2π = 113.0973355292 jednostek kwadratowych, pole pełnego okręgu. Procent łuku to 100%.

Kliknij dowolny przycisk z przykładem w kalkulatorze, aby załadować jeden z tych przykładów i zobaczyć pełne rozwiązanie krok po kroku, diagram na żywo oraz wszystkie drugorzędne wyniki dla tych danych.